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数学简史主讲人：宁锐第8章 微积分发展主题：18世纪数学发展1第1页分析时代问题导读？无限小算法推广两条路线及其结果，两条路线特点是什么？欧拉主要数学贡献及其意义是什么？微积分深入发展方向：积分技术与椭圆积分、微积分向多元函数推广、无穷级数理论、函数概念深化、微积分严格化含义是什么？18世纪微积分应用发展特点，新分支形成过程及基本思想，比如常微分方程、偏微分方程、变分法等是什么？概述微分几何发展、代数发展、数论发展。2第2页分析时代概述？ 本章重点介绍了微积分深入发展方向，及在微积分影响下一些主要数学分发展。主要内容？ 恩格斯说：“人类精神最高胜利”。微积分产生推进了许多新数学分支产生，形成了“分析”这么一个在观念和方法含有鲜明特点数学领域。18世纪是分析时代，也是向当代数学过渡主要时期。3第3页一、无穷小算法发展两条路线无穷小算法发展两条路线 一是英国一批数学家以牛顿流数术为出发点微积分应用方向。二是欧洲大陆一批数学家沿着莱布尼茨路线分析方向。英国优异代表有： 泰勒（泰勒公式，是微积分深入发展有力工具）、麦克劳林（微积分形式化努力，因为其几何传统没有成功，旋转椭球体引力定理）、棣莫弗、斯特林等。他们取得了许多微积分算法结果，而且也向微积分形式化方向但因为几何传统而不成功。4第4页一、无穷小算法发展两条路线 欧洲大陆： 新分析方向是在莱布尼茨后继者推进下发展。雅各布.伯努利和约翰.伯努利，他们工作组成了现在初等微积分主要内容。18世纪微机分最主要贡献是欧拉作出。欧拉（1707－1783），《无限小分析引论》、《微分学》、《积分学》是微积分学史里程碑式工作，欧拉引进了一批标准符号，对分析表述规范化起了很主要作用。除此之外，18世纪推进微积分还有法国学派，代表人物又克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯和勒让德等。5第5页二、微积分发展几个方面：（1）积分技术与椭圆积分：变量代换和部分分式等方法；椭圆积分，它们不能用已知初等函数来表示，普通形式为：

以后对椭圆函数普通研究在19世纪被阿贝尔和雅可比独立地发展成深刻椭圆函数理论。6第6页二、微积分发展几个方面：（2）微积分向多元函数推广：（3）无穷级数理论：调和级数，欧拉常数，悖论，级数收敛判别法则（4）函数概念深化：函数在17世纪引入，牛顿“生成量”，莱布尼茨首先使用“函数”（function），这时函数堪称“像曲线上点横坐标、纵坐标、切线长度、垂线长度等全部与曲线上点相关量”，约翰.伯努利，函数概念公式化，欧拉将伯努利将函数解析化，他将函数定义为：变量函数是一个由该变量与一些常数以任何方式组成解析表示式。函数概念大大丰富了，发觉了一系列超越函数，比如函数和函数。7第7页二、微积分发展几个方面：（5）微积分严格化尝试： 代表人物是：达朗贝尔、欧拉、拉格朗日。 在严格化过程中，英国牛顿后继者因为坚持几何论证而显得软弱无力，而欧洲大陆数学家则力图以代数化来克服微积分基础困难。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔极限观点则为微积分严格表述提供了合理内核。（6）微积分应用与新分支 微积分