24.1.3 弧、弦、圆心角-人教版九年级数学上册导学案 学生版

24.1圆的有关性质24.1.3弧、弦、圆心角教学目标：1、理解圆心角的概念．2、掌握在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角及弦心距之间的关系．教学重难点：圆的性质的综合应用．知识点一：圆的旋转不变性圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题：如图所示的图形绕圆心旋转多少度后能与自身重合？变式．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0＜α＜90），得到△A′B′C′，若，则∠B的度数为（）A．30° B．45° C．50° D．60°知识点二：圆心角定义：角的顶点在圆心的角例题．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于（）A．50° B．55° C．65° D．80°变式1．如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE是（）A．40° B．60° C．80° D．120°变式2．已知弦AB把圆周分成2：3的两部分，则弧所对圆心角的度数是（）A．72° B．72°或144° C．144° D．144°或216°知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．

（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系

三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．例题1．如图，在⊙O中=，∠AOB=40°，则∠COD的度数（）A．20° B．40° C．50° D．60°例题2．如图，在⊙O中，已知=，则AC与BD的关系是（）A．AC=BD B．AC＜BD C．AC＞BD D．不确定例题3．如图，AB是半圆的直径，∠BAC=20°，D是的中点，则∠DAC的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．70°变式1．如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（）A．150° B．75° C．60° D．15°变式2．如图，==，已知AB是⊙O的直径，∠BOC=40°，那么∠AOE=（）A．40° B．60° C．80° D．120°变式3．如图，已知⊙O的半径等于2cm，AB是直径，C，D是⊙O上的两点，且，则四边形ABCD的周长等于（）A．8cm B．10cm C．12cm D．16cm拓展点一：利用圆心角、弧、弦之间的关系进行计算或证明例题1．如图所示，△ABC的三个顶点在⊙O上，D是上的点，E是上的点，若∠BAC=50°．则∠D+∠E=（）A．220° B．230° C．240° D．250°°例题2．如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E、F在半圆上，AC=CD=DE=EF=FB，则∠COF=（）A．90° B．100° C．108° D．120°例题3．如图，AB是⊙O的直径，若∠COA=∠DOB=60°，等于线段AO长的线段有（）A．3条 B．4条 C．5条 D．6条变式1．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是．变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是．变式3．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD=．变式4．如图，已知AB是⊙O的直径，PA=PB，∠P=60°，则弧CD所对的圆心角等于度．例题4．如图，在⊙O中，=，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD=BE．例题5．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．变式1．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD=DE．变式2．如图，AB是⊙O的直径，C，E是⊙O上的两点，CD⊥AB于D，交BE于F，=．求证：BF=CF．拓展点二：垂径定理与圆心角、弧、弦之间关系的综合应用例题1.如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（）A．40° B．45° C．50° D．60°例题2．如图，AB、AC是⊙O的弦，直径AD平分∠BAC，给出下列结论：①AB=AC；②=；③AD⊥BC；④AB⊥AC．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个变式1．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（）A．AD=AB B．∠D+∠BOC=90° C．∠BOC=2∠D D．∠D=∠B变式2．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB=25°，则∠ADC的度数为（）A．65° B．55° C．60° D．75°变式3．如图是小明完成的．作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥AB．当C点在半圆上移动时（C点不与A、B重合），∠OCD的平分线与⊙O的交点必（）A．平分弧AB B．三等分弧ABC．到点D和直径AB的距离相等 D．到点B和点C的距离相等易错点：误认为同圆中弧及弧所对的弦有相同的倍数关系例题．如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC变式1．在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（）A．AB＞2CD