【16：9】第2章 第2讲 函数求导法则+3+7

高等数学（上册）（慕课版）第2讲函数的求导法则第1章导数与微分01函数和、差、积、商的求导法则02反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数本讲内容定理2.3设函数在点x处可导，则函数，在点x处也可导，且（1）；（2）；特别地，（C为常数），3特别地，.（3），01函数和、差、积、商的求导法则34注法则（1）（2）可以推广到任意有限个可导函数相加减和相乘的情形..01函数和、差、积、商的求导法则4

1例

解设函数在点x处可导，利用定义证明：（1）；（2）设函数可导，（1）根据导数定义并运用极限的运算法则5，写出的求导公式..01函数和、差、积、商的求导法则5由于存在，故在点x处连续，从而.所以，01函数和、差、积、商的求导法则6

解（2）连续使用乘积的求导法则得01函数和、差、积、商的求导法则7

2例

解设,求,．

根据定理2.3，

,

所以.

01函数和、差、积、商的求导法则8设,求．

．

3例

解01函数和、差、积、商的求导法则9设

，

求y'．

即

．

4例

解

，

01函数和、差、积、商的求导法则10

5例

解

，

01函数和、差、积、商的求导法则111设

，求y'．即

．设,求y'．

即

6例

解，01函数和、差、积、商的求导法则12

7例

解，01函数和、差、积、商的求导法则132设

，求．即

01函数和、差、积、商的求导法则02反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数本讲内容若函数在区间内单调可导且每一点都，定理2.4则它的反函数在相应区间内也单调可导，或即反函数的导数等于直接函数导数的倒数..02反函数求导法则15

8例

证则是它的反函数，设为直接函数，函数在内单调可导，且，则在内有又，故证明.02反函数求导法则16；

9例

证则是它的反函数，设为直接函数，函数在内单调可导，且，则在内有又，故证明.02反函数求导法则173；

10例

证则是它的反函数，设为直接函数，函数在内单调可导，且，则在内有又，故证明.02反函数求导法则184

11例

证则是它的反函数，设为直接函数，函数在内单调可导，且，则在内有又，故证明.02反函数求导法则195

证明

．

设是直接函数,则是它的反函数，函数在区间上单调可导，

且，

由反函数求导法则知，

在对应区间内有

即指数函数的求导公式为．

特别地，

当时，

．

12例

证，02反函数求导法则2001函数和、差、积、商的求导法则02反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数本讲内容定理2.5若函数在点x处可导，函数在对应点处可导，则复合函数在点x处也可导，且或.推广.03复合函数求导法则22

13例

解03复合函数求导法则236可看作由

复合而成，求函数的导数因为所以

14例

解03复合函数求导法则247求函数的导数复合函数可分解为，

15例

解03复合函数求导法则258求函数的导数求下列函数的导数

16例（1）（2）

解（1）03复合函数求导法则26

解（2）.03复合函数求导法则27

17例

解已知函数，，求.所以.而，03复合函数求导法则2801函数和、差、积、商的求导法则02反函数求导法则03复合函数求导法则04高阶导数本讲内容定理2.5若函数导数仍可导，则称函数类似地，的导数为函数的二阶导数，记作或，即.二阶及二阶以上的导数统称为函数的高阶导数.04高阶导数30若函数，在x点处有n阶导数，则有（1）；；（2）莱布尼茨公式.证明见下页04高阶导数运算法则31运算法则

证（2）由得由数学归纳法得，记为.（其中0阶导数理解为函数本身），，04高阶导数32

18例

解04高阶导数339求函数

的各阶导数.

19例

解04高阶导数3410求函数

的

n阶导数.归纳得类似可得

求函数的阶导数.

，

······，

.通过归纳得

20例

解，

04高阶导数35

21例已知，求.

解诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”连续使用诱导公式······

，，，.04高阶导数36已知，求.

解.剩余步骤同上题.

22例04高阶导数