2026高考数学一轮同步练习 - 函数的概念及其表示 -答案

函数的概念及其表示基础性1．函数y＝ln(x＋1)＋eq\f(1,\r(4－x2))的定义域是()A．[－1，2)B．(－1，2)C．(－1，2]D．[－1，2]解析：B由函数解析式有意义，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1>0，,4－x2>0，))解得－1<x<2.故选B.2．函数f(x)＝eq\f(x,x－1)＋eq\r(x－1)的定义域是()A．[1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－∞，1)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：D由函数解析式有意义，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－1≠0，))解得x>1，故函数的定义域是(1，＋∞).故选D.3．设M＝{x|0≤x≤4}，N＝{y|－4≤y≤0}，函数f(x)的定义域是M，值域是N，则f(x)的图象可以是()eq\o(\s\up7(),\s\do10(A))eq\o(\s\up7(),\s\do10(B))eq\o(\s\up7(),\s\do10(C))eq\o(\s\up7(),\s\do10(D))解析：B因为定义域是{x|0≤x≤4}，A错误；因为值域是{y|－4≤y≤0}，D错误；因为对于定义域内每一个x有且只有一个y值，C错误．故选B.4．下列函数中，与函数f(x)＝x2是同一个函数的是()A．f(x)＝(x＋1)2B．f(x)＝x·eq\r(x2)C．f(x)＝eq\f(x3,x)D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x|x|，x≤0，,x|x|，x>0))解析：Df(x)＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，对于A，f(x)＝(x＋1)2与f(x)＝x2的对应关系不同，故不是同一个函数；对于B，f(x)＝x·eq\r(x2)的值域为R，故不是同一个函数；对于C，f(x)＝eq\f(x3,x)的定义域为{x|x≠0}，故不是同一个函数；对于D，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x|x|，x≤0，,x|x|，x>0))＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x≤0，,x2，x>0))＝x2，故与f(x)＝x2是同一个函数．故选D.5．若函数f(x)的定义域是[1，3]，则函数g(x)＝eq\f(f(2x－1),\r(x－1))的定义域是()A．(1，2]B．(1，5]C．[1，2]D．[1，5]解析：A因为函数f(x)的定义域是[1，3]，则在函数g(x)＝eq\f(f(2x－1),\r(x－1))中，必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤2x－1≤3，,x－1>0，))解得1<x≤2，所以g(x)的定义域是(1，2].故选A.6．已知函数f(x)＝ax3＋bx＋eq\f(c,x)＋3，若f(t)＝4，则f(－t)＝()A．－4 B．－2C．2 D．0解析：C因为f(－x)＝－ax3－bx－eq\f(c,x)＋3，所以f(x)＋f(－x)＝6，即f(t)＋f(－t)＝6.又因为f(t)＝4，所以f(－t)＝2.故选C.7．(多选)函数f(x)＝eq\f(x,1＋x2)(x≠0)，则下列等式成立的是()A．f(x)＝f(eq\f(1,x))B．－f(x)＝f(eq\f(1,x))C．eq\f(1,f(x))＝f(eq\f(1,x))D．f(－x)＝－f(x)解析：AD因为f(eq\f(1,x))＝eq\f(\f(1,x),1＋(\f(1,x))2)＝eq\f(x,x2＋1)＝f(x)，所以A成立，B、C不成立．又f(－x)＝eq\f(－x,1＋(－x)2)＝eq\f(－x,1＋x2)＝－f(x)，所以D成立．故选AD.8．已知函数f(x)＝eq\r((m＋1)x2－(m＋1)x＋\f(3,4))的定义域是R，则实数m的取值范围是__________________．解析：[－1，2]由题意得(m＋1)x2－(m＋1)x＋eq\f(3,4)≥0在R上恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，eq\f(3,4)>0恒成立，符合题意，当m＋1≠0时，只需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1>0，,Δ＝(m＋1)2－3(m＋1)≤0，))解得－1<m≤2.综上，m∈[－1，2].综合性9．(2024·河南南阳高三期末)已知函数f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，则函数g(x)＝eq\f(f(ex),x＋2)的定义域是()A．{x|x<0}B．{x|x<0且x≠－2}C．{x|－1<x<1}D．{x|0<x<1}解析：B要使f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)有意义，则eq\f(1－x,1＋x)>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域是(－1，1).要使g(x)＝eq\f(f(ex),x＋2)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<ex<1，,x＋2≠0，))解得x<0且x≠－2，所以函数g(x)的定义域是{x|x<0且x≠－2}．故选B.10．(2025·重庆质检)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>1，,x2－1，x≤1，))则f(x)<f(x＋1)的解集为______________．解析：(－eq\f(1,2)，＋∞)当x≤0时，x＋1≤1，f(x)<f(x＋1)⇔x2－1<(x＋1)2－1，解得－eq\f(1,2)<x≤0.当0<x≤1时，x＋1>1，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，所以当0<x≤1时，恒有f(x)<f(x＋1).当x>1时，f(x)<f(x＋1)⇔log2x<log2(x＋1)，显然成立．综上，不等式f(x)<f(x＋1)的解集为(－eq\f(1,2)，＋∞).11．已知f(x)＋2f(－x)＝x2－x，则函数f(x)的解析式为____________________．解析：f(x)＝eq\f(1,3)x2＋x由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(x)＋2f(－x)＝x2－x，①,f(－x)＋2f(x)＝x2＋x，②))2×②－①可得3f(x)＝x2＋3x，故f(x)＝eq\f(1,3)x2＋x.12．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，0<x<1，,2(x－1)，x≥1，))若f(a)＝f(a＋1)，则f(a)＝________．解析：eq\f(1,2)若0<a<1，则1<a＋1<2.由f(a)＝f(a＋1)，得eq\r(a)＝2(a＋1－1)，即a＝4a2，解得a＝0(舍去)或a＝eq\f(1,4)；若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)，得2(a－1)＝2(a＋1－1)，该方程无解．综上可知，a＝eq\f(1,4)，所以f(a)＝f(eq\f(1,4))＝eq\r(\f(1,4))＝eq\f(1,2).创新性13．对任意实数x，y，都有f(x＋y)－2f(y)＝x2＋2xy－y2＋3x－3y，则函数f(x)的解析式为____________________．解析：f(x)＝x2＋3x因为f(x＋y)－2f(y)＝x2＋2xy－y2＋3x－3y对任意实数x，y都成立，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0，再令y＝0，得f(x)－2f(0)＝x2＋3x，所以f(x)＝x2＋3x.14．20世纪50年代，小学冬天普遍采用三足铸铁火炉，炉子上是铁皮卷成的烟囱，拐弯处的烟囱叫拐脖，如图1所示．其中一部分是底面半径为1的铁皮圆柱筒被一个与底面成45°的平面截成，截成的最短和最长母线长分别为AB＝1，CD＝3，如图2所示，现沿AB将其展开，放置坐标系中，如图3所示，则展开图上缘对应的解析式为()A．y＝1＋eq\r(2πx－x2)(0≤x≤2π)B．y＝－eq\f(2,π2)＋eq\f(4,π)x＋1(0≤x≤2π)C．y＝－(x－π)2＋π2＋1(0≤x≤2π)D．y＝2－cosx(0≤x≤2π)解析：D设M(x，