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线性代数（慕课版）第6讲极大线性无关组和秩(2)第3章向量与向量空间本讲内容01极大线性无关组和向量组的秩(1)02向量组的秩和矩阵的秩的关系3

01极大线性无关组和向量组的秩(1)📚例1若向量组(I)与(II)等价，求𝑎的值.

解

401极大线性无关组和向量组的秩(1)𝑎=−1时，𝑎=1时，

5判断向量组是否等价：01极大线性无关组和向量组的秩(1)📚例2

解

1

601极大线性无关组和向量组的秩(1)

2

7

01极大线性无关组和向量组的秩(1)📚例3

解

3

801极大线性无关组和向量组的秩(1)4

于是即

故两向量组等价.901极大线性无关组和向量组的秩(1)📚例4

解

线性表示；

线性表示；

本讲内容01极大线性无关组和向量组的秩(1)02向量组的秩和矩阵的秩的关系1102向量组的秩和矩阵的秩的关系📖定理3.7设𝐴是一个𝑚×𝑛矩阵，则𝐴的秩等于𝐴的行秩，也等于𝐴的列秩.

则

12列摆行变换法02向量组的秩和矩阵的秩的关系

求向量组的秩与一个极大无关组：

📚例5

解1302向量组的秩和矩阵的秩的关系📚例6

(3)将其余向量用该极大无关组线性表示.

解(1)(2)1402向量组的秩和矩阵的秩的关系化为梯形阵后每个阶梯选一个向量得一个极大无关组：

(3)把矩阵𝐵继续作初等行变换：15则

02向量组的秩和矩阵的秩的关系1602向量组的秩和矩阵的秩的关系📚例7

(1)求其一个极大无关组;(2)将其余向量用该极大无关组线性表示.解(1)517

02向量组的秩和矩阵的秩的关系6

18

02向量组的秩和矩阵的秩的关系📚例8令证明则

则19由极大无关组的定义，

从而矩阵A+B的列向量组可由向量组线性表示，所以02向量组的秩和矩阵的秩的关系2002向量组的秩和矩阵的秩的关系📚例9设𝐴为𝑚×𝑛矩阵，𝐵为𝑛×𝑠矩阵，则𝑟(𝐴𝐵)≤证明

令即𝐴𝐵的列向量组可由𝐴的列向量组线性表示，从而𝑟(𝐴𝐵)≤𝑟(𝐴).

所以

即𝑟(𝐴𝐵)≤𝑟(𝐵).min{𝑟(𝐴),𝑟(𝐵)}.21📖定理2.9（3）若𝐴为𝑚×𝑛矩阵，𝐵为𝑛×𝑠矩阵，则

02向量组的秩和矩阵的秩的关系2202向量组的秩和矩阵的秩的关系📚例10

证明

表示，所以

7

设向量组

证明：

故

23又由题意可得：02向量组的秩和矩阵的秩的关系8

2402向量组的秩和矩阵的秩的关系📚例11

已知向量组

证明

2502向量组的秩和

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