2025年高三数学 第十二单元《计数原理》测试卷（含解析）

2025年高三《第十二单元计数原理》测试卷

一、单选题

1.在（1+%X）8的展开式中，系数为整数的项数是（）

A.9B.4C.3D.2

2.已知：（X—2）8=+Q［（x-1）+。2（%-1）2+…+-1）8，则。5=（）

A.56B.-56C.448D.-448

3.2025年1月7口9时5分，西藏自治区口喀则市定日县发生6.8级地震，现从各省共抽派7支抢险工作

队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有（）

A.1800B.16800C.14280D.25200

4.一只蚂蚁从点4出发沿着水平面的网格线爬行到点B,再由点B沿着长方体的棱爬行至顶点。处，则它可以

爬行的不同最短路径条数有

A.40B.60C.80D.120

5.五一假期期间，某单位安排5人值5天班，每人值班一天，要求甲不值第一天，乙不值第五天，则不同

安排方法的种数有（）

A.42B.72C.78D.96

6.某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年卡的

不同分配方式有（）

A.9种B.11种C.44种D.45种

7.现有编号为4B,C的3个不同的红球和编号为。，E的2个不同的白球.若将这些小球排成排，耍求A

球排在正中间，且D,E不相邻，则不同的排法有（）

A.8种B.12种C.16种D.32种

8.若32。+。能被8整除,则a的值可能为（）

A.1B.2C.4D.7

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9.“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一.如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一

组平行线，则在第10条斜线上，最大的数是()

,第I条斜线

第)条斜统;二卜第3条斜线

第5条斜线

第4条斜线厂「"31，彳二4第7条斜线

41

笫6条斜线1：：为，。01()51

广入152()156

A.35B.25C.21D.20

10.已知卜+去)”的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72,则该展开式中的常数项为()

A2163「21n9

A-TDn-T6C.痴D.-

11.已知/(%)是定义在R上的函数，且/(%)-/(2-%)=0,/(x)+/(2+%)=0,/(-1)=1,则£；雪2[(_

1)嗡"侬-1)+(-I)一嘲2J(2切=()

A.22024B,22023C.21012D.0

二、多选题

12.在(4-3)6的二项展开式中，下列说法正确的是()

A.常数项为学B.各项系数和为-2

432

C.二项式系数和为64D.无项的系数为一今

13.在4张奖券中，一、二、三、四等奖各1张，将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至多2

张，则下列结论正确的是()

A.若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有24种不同的获奖情况

B.若甲获得了一等奖和二等奖，则共有6种不同的获奖情况

C.若仅有两人获奖，则共有36种不同的获奖情况

D.若仅有三人获奖，则共有144种不同的获奖情况

14.商场某区域的行走路线图可以抽象为一个2x2的正方体道路网(如图，图中线段均为可行走的通道)，

甲、乙两人分别从48两点出发，随机地选择一条最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达4为止,

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下列说法正确的是（）

A.不从A必须经过g到达B的方法数共有9种

B.甲从4到B的方法数共有180种

C.甲、乙两人在。2处相遇的概率为与

D.甲、乙两人相遇的概率为第

15.下列关于排列组合数的等式或说法正确的有（）

A,月+优+Cl+•••+C；。=330

B.已知九>m,则等式号=零对任意正整数上m都成立

m+1n+1

C.没%=>4gox（亲+*+*…+弱）,则%的个位数字是6

D.等式（或）2+（屐）2+（鬣）2+...+（C；；）2=C%对任意正整数"都成立

16.已知（1-%）2°25=Q°+a6+3炉+…+。2025/°25，则（）

A.展开式的各二项式系数的和为0

B.Q]++…+^2025=-1

C.22。25ao+22024%+2202302+...+a2（）25=1

D.—+—+-+^—=-1

ala2a2025

三、填空题

17.在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+义》0的展开式中，含一项的系数是.（具体数字作答）

18.有3名司机，3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配

方法有种（填数字）.

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】(1+"展开式的通项为A+1=4(网」=3』•哈必，

当7=0,3,6时，系数为整数，

故系数为整数的项数是3.

2.【答案】B

[解析】因为(％-2)8=[(%-1)-I]8,

其展开式的通项为G+1=1)8T(-l)r,

则令r=3,得as=(-1)3xCl=-56.

故选8.

3.【答案】B

【解析】从各省共抽派7支抢险工作队前往5个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队,

则可将7人分为1,1,1,1,3或1,1,1,2,2五组即可，

则不同的分组方法有第+空=35+105=140种，

A2

s

则每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有1404S=16800种.

故选：B.

4.【答案】B

【解析】由题意，从力到B最短路径有底=10(条)，

由点B沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点C,最短路径有四=6(条)，

.••它可以爬行的不同的最短路径有10x6=60(条).

故选B.

5.【答案】C

【解析】根据题意甲不值第一天，乙不值第五天，

若甲排在第五天，则其余4人进行全排列，有川=24种排法，

若甲不排在第五天，则甲有3种排法，乙有3种排法，其余三人有用=6种排法,

・•・3x3X用=54种排法，

：,24+54=78种排法.

故选C.

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6.【答案】D

【解析】由题意，恰有1人抽到自己写的贺年卡，即其他4人都取到不是自己写的贺年卡,

先分析其他4人都取到不是自己写的贺年的情况，

设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为。、氏c、丸

第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式；

第二步，假设甲取6则乙的取法可分两类：

乙取Q，则接下来丙、丁取法都是唯一的，

乙取C或d(2种方式)，不管哪一科情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的

根据加法原理和乘法原理，共有3x(1+2)=9种情况，

则恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有5x9=45种

7.【答案】C

【解析】因为月球要排在正中间第三个位置，所以A球的位置是固定的，只有1种排法.

剩下8、C,D、E进行全排列，排列数为川=24种.但是这里多算了0、E相邻的情况.

当。、E相邻时，把。、E看成一个整体放在1,2位置或者4,5位置，

有度x度=2x2=4种排法，

8、C全排列有用=2种排法，

所以。、E相邻的排法有4x2=8种.

那么。、E不相邻的排法有24-8-16种.

则满足题意的不同的排法有16种.

故选：C.

8.【答案】D

【解析】320+a=910+a=(1+8)10+a

l10

=C?08°+C\0Q+...+Cjg8+a

210

=1+a+(小8i+C5o8+...+C；§8)

%8i+%82+...+C得8I。能被8整除,

•••1+Q也能被8整除，

Q的值可能为7.

故选：D.

9.【答案】C

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【解析】找寻数字的排列规律，第1条斜线上的数是1,第2条斜线上的数是C；,第3条斜线上的数是望,

C；,第4条斜线上的数是及，0,第5条斜线上的数是C；,或，废，…，

第九条斜线上的数是C；_i，Cj_2,C:3,C：…,

发现规律是从。乙[开始，后一个组合数的下标减小1,上标增大L直到找全满足规律的所有的组合数，

所以第io条斜线上的数是eg,乙,仔，cj,乙，

所以该斜线上最大的数是G=21.

10.【答案】A

【解析】依题意，鬃+。厂2=72,即n(n—l)=72,而九为正整数，解得〃=9,

则(入++/展开式的通项公式为几+1=《7-A(*)k=("»c"9-3k,k=o,l,29,

由9-3攵=0,解得k=3,

所以该展开式中的常数项为6)3傍=y.

故选：A.

11.【答案】B

【解析】因为fW-f(2-%)=0,

即/(%)=/(2-x),

所以函数/■(%)的图象关于直线％=1对称；

又因为/(%)+/(2+x)=0,所以/(2-%)+/(2+因=0,

所以函数/'(%)的图象关于点(2,0)对称：

所以f(2+x)=-f(2-x)=-/(x),

所以/'(4+X)=-f(2+x)=/(x),

即函数f(%)周期为4,

又因为，(-1)=1,

所以/(0)=0,/(1)=-1/2)=0,/•⑶=1,

即/(2k)=0,f(2k-1)=(-I?#Ez.

1012

所以£[(-1)世僦f(2k-1)+(-1产】嘲2/(2切

k=l

10121012

=»="嚼水-1打(2攵-1)+o]=yk=i嚼力

1

c1+c3+c5+c2o23

222o22o2c24--x22024=?2023

242

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故选:B.

12.【答案】AC

【解析】(］一》6的展开式的通项n+i=^(^)6"(一=(一1».6)6-9«12-33

令12-3A=0,可得&=4,所以74+1=(-1)4吗)2c2=泽4正确；

令X=l,得以一1)6=},即各项系数和为士，8错误；

'2/6464

二项式系数和为〃=64,C正确；

令12-3k=1,得k=2CN,故二项展开式中不存在工项，。错误.

故选AC.

13.【答案】ACD

【解析】若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有个=24种不同的获奖情况，力正确；

若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或者有两人各获得1个奖项,

共有⑷+信=9种不同的获奖情况，8错误；

若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，

共有爷片=36种不同的获奖情况，C正确；

若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，

共有盟4/；=144种不同的获奖情况，。正确.

A2

故选:ACD.

14.【答案】ACD

【解析】对于4结合题意可得，从点A到点Ci，需要向上走2步，向前走1步，

从点g到点8,需要向右走2步，向前走1步，

所以，甲从A必须经过Q到达8的方法数为仁仁二9种，力正确；

对于B,从点A到点8,一共要走6步，其中向上2步，向前2步，向右2步，

所以，甲从力到B的方法数为或第以=90种，〃错误；

对于C，甲从点力运动到点。2，需要向上、前、右各走一步，

再从点Q运动到点B,也需要向上、前、右各走一步，

所以，甲从点4运动到点B,且经过点C2,不同的走法种数为题用=36种，

乙从点8运动到点力，且经过点0，不同的走法种数也为36种，

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所以，甲、乙两人在。2处相遇的概率为黑^二2，。正确；

yUXyU4J

对于0,若甲、乙两人相遇，则甲、乙两人只能在点。1、的、0、E、F.G、斤,

甲从点A运动到点Ci，需要向上走2步，向前走1步，再从点G运动到点8,需要向前走1步，向右走2步,

所以甲从点4运动到点B且经过点Ci的走法种数为(或7，

同理，乙从点8运动到点4且经过点G，不同的走法种数也为(髭产种，

所以甲、乙两人在点G处相遇的走法种数为(或)3

同理可知，甲、乙两人在点C3、E、F、G、”处相遇的走法种数都为(髭)3

因此，甲、乙两人相遇的概率为空照率=义，。正确.

JIJ入xvJJU

故选:ACD.

15.【答案】ABD

【解析】对4由制+制-1=可知，

或+以+以+…+岛=或+或+琛+…/=受+琮+…/=…=4=330,

A正确；

对B:若八＞771,

则里=_______________________________________=S±L,

/Jm+1(m+l)xm!(n-m)!(n+l)x(m+l)![(n+l)-(m+l)J!n+1

B正确;

对C：=M=高一人意一奈nN3”N\

则尹尹尹…+策=(专-*)+(力方)+，”+6-意)/一米

故“磷x(*+竟+4+..・十款

=周"(方-意)=学-1，

•.萼=^=45x89!,其个位数字是0,

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故<=等一1的个位数字是9,C错误；

nnrrrn

对。：v(1+x)的展开式通项为Tr+1=0xl-xx=%•x,r=0,1,2，…，耳•••(1+x)=C®+C\x+

…+C；；xn,

故ix+l)n(x+l)n展开式的x”的系数为的+CjCr1+…+6源，又优=CJTm，则确+

©铲+…+CM=©)2+©)2+(鬣)2+…+©)2,

2n2nr

同理可得:(1十x)的展开式通项为Tr+1=C务xl-X"=%'当r=0,1,2,…,271,即展开式的廿的

系数为",，

2n

由干(X+1)n(%+1)«=(1+X),故(即+©)2+(鬣)2+…+©)2=Cnn,。正确.

故选:ABD.

16.【答案】BCD

【解析】4选项，展开式中各二项式系数的和为22025,故/错误；

B选项，令x=0,得％=1,

令X=1,得劭+%+。2+…+a2Q25=0，

所以由+与+…+。2025=-1，故4正确；

2023

C选项，22°25。0+22°24Q]_(_222+…+0,2025

20252-2025

=2(a0+2一%[+2~a2+...+2a2025)

=22025[1-2-1]2025=22025-(1)2025=1,故C正确；

°选项，因为1+=不-+。2°25-k(_])2025-A

uk口2025T^202511)^>2025(

II

=2025!(-1)〃+2025!(-l)2025-^

一(2025-k)!k!(2025—k)!

=(-1户+(-1)2。25-4=0,

所以工+上+…+'

ala2a2025

11111

=(----1-------)+(----1-------)+…H--------

ala2024a2。2023a2025

=0+=--=-1,故。正确.

a2025«o

故选：BCD.

17.【答案】330

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【解析】在(1+X)3+(1+x)4+…+(1+%)1°的展开式中,

含好项的系数是第+朝+eg+…+《0=吟=黑黑誉=330.

故答案为：330.

18.【答案】36

【解析】先将3个司机安排在3辆车上，再安排3个售票员，

故有胫房=36种结果，

故答案为36.

19.【答案】24；112

【解析】设％(ij=1,2,3,4)表示第i行第洌数，

第一行在=1,234)中选1个，有4种选法；

不妨设第一行选了小1，则第二行只能在4/0=234)中选1个，有3种选法；

不妨设第二行选了勾2,则第三行只能在=3,4)中选1个，有2种选法；

不妨设第三行选了的3,则第四行只选。44,有1种选法，因此共有4x3x2x1=24种选法.

因为在下面数表中，

10203040

10203040

10203040

10203040

选4个方格，且每行和每列均恰有一个方格被选中，则选中方格的4个数之和为100,

而所给数表是：

10+120+130+140+0

10+220+230+340+2

10+320+230+340+3

10+520+430+440+4

所以问题转化为在数表中,

1110

2232

3233

5444

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选4个方格，且每行和每列均恰有一个方格被选中，则选中方格的4个数之和最大.

因为在数表中，

1110

2232

3233

5444

选中满足条件的方格的4个数之和的最大值为5+3+3+1=12,

所以在题目所给的数表中，选中满足条件的方格的4个数之和的最大值为100+12=112.

20.【答案】255

2

【解析】由-=a。+ax(x-1)4-Q式X-I)+…+。8(工-1)8•

令x=2,可得X着—=28=256,

828

又[1+(x-I)]=。。+%(%—1)+a2(x-I)+…+aQ(x—I),

上式二项展开的通项为：G+1=喘(％-1)=.令r=8,可得08=或=1.

二2葭ai=255.

故答案为：255.

72

21.【解析】(1)在(％-1)(-x+I)=a。+axx+a2x+…+他小中，

取x=1,得劭+%+©+…+即=0

取x=-1,得—256=劭-%+…+即，

以上两式相减，得+。3+。5+=128.

7k7k

(2)(mx+I)’的通项为T〃+i=C/(mx)7f=m~CyX~t

若&二一70,PJiJmCy—m2^=—70,

所以3nI?一7n-io=o,解得m=2或一*

22.【解析】(1)当九=4时，学校共有6种不同的荤菜和4种不同的素菜，

若每份学生餐有1荤3素，由分步乘法计数原理可知，不同的选择方法为盘(4=6X4=24(种).

(2)6种不同的荤菜和n种不同的素菜，任取2荤2素，不同的选择方法为髭鬣(种).

由题意，得C鸡2200,整理可得九(九一1)2野，解得心三等或"三等(舍去)，

因为n€N*,5x4〈察6x5涔,

所以力之6,力的最小值为6.

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23•【解析】(1)依题意可得第2项的二项式系数为4,第3项的二项式系数为鬣，

所以胃=看，即f=|，则/一6几=0,

n2x1

•••n=6或九=0(舍去)，

•••n=6；

11/3

所以(2%一意)6展开式的通项为：G+i=C%(2x)6-r(-x-2y=(—l)「26-rc"6-严(0<r<6,re/V),

令6-5r=0,解得r=4,

所以7'5=22以3=60为常数项，所以常数项为60,为第5项；

(2)由(1)知7；+1=(-l)r26-r^x64r(0<r<6,reN),

令6-则r=