2025年高三数学 第十三单元《概率》测试卷(含解析)_第1页
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文档简介

2025年高三《第十三单元概率》测试卷

一、单选题

1.已知随机变量x〜o-1分布,且p(x=1)=0.4,设y=2X-1,那么p(y=-1)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

2.设4B为同一试验中的两个随机事件,则“PQ4)+P(8)=1”是“事件48互为对立事件”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知离散型随机变量X的分布列为尸(X=1)=ak(k=1,234,5),则P(X》*)为()

AB.|C.|

4.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法,用此方法可以快速进行大量重复试验,进而用频率估

计概率.甲、乙两名诜手讲行比赛,采用三局两胜制决出胜负,若每局比蹇甲获胜的概率为0.4,乙获胜的概

率为06利用计算机产生1〜5之间的随机整数,约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜,由于要

比赛3局,所以3个随机数为一组,现产生了20组随机数如下:

354151314432125334541112443534312324252525453114344423123243,则依此可估计甲

选手最终赢得比赛的概率为()

A.0.40B.0.35C.0.30D.0.25

5.关于频率与概率说法正确的是()

A.一个人打靶,打了10发子弹,有7发子弹中靶,因此这个人中靶的概率是5

B.在乒乓球、排球等比赛中,裁判通过上抛均匀塑料圆板并让运动员猜着地时是正面向上还是反面向上来

决定哪一方先发球,这样做不公平

C.某地发行彩票,其回报率为47%,有人花了100元钱买彩票,一定会有47元的回报

D.在n次重复进行的试验中,若事件/发生的频率为三则当九很大时,事件4发生的概率尸(㈤,9

6.设M,N是两个随机事件,若「(M)=《〃3)==幺则下列结论错误的是()

A.若NEM,则P(MUN)=:

B.若MnN=。,则P(M+N)=;

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C.若P(MnN)二焉,则M,N相互独立

D.若M,N相互独立,则P(MuM)=A

7.某次考试共有4道单选题,某学生对其中3道题有思路,1道题完全没有思路.有思路的题目每道做对

的概率为0.8,没有思路的题目,只好任意猜一个答案,猜对的概率为0.25.若从这4道题中任选2道,则

这个学生2道题全做对的概率为()

A.0.34B.0.37C.0.42D.0.43

8.某地7个贫困村中有3个村是深度贫困,现从中任意选3个村,下列事件中概率等于前勺是()

A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村

C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村

9.为备战乒乓球赛,某体校甲,乙两名主力进行训练,规则如下:两人每轮分别与老师打2局,当两人获胜

局数不少于2局时.则认为此轮训练过关:否则不过关.若甲.乙两人每局获胜的概率分别为小,p2,且满足

Pi+P2=*每局之间相互独立.记甲、乙在九轮训练中训练过关的轮数为X,若£(X)=16,则从期望的角度

来看,甲,乙两人训练的轮数至少为()

A.28B.24C.32D.27

10.同时抛掷一白一红两枚质地均匀的骰子,用工表示白色骰子的点数,y表示红色骰子的点数,设事件

4="%+y=6",事件8="移为偶数”,事件C="%>3”,则下列结论正确的是()

A.4与8对立B.P(BC)=卷CM与C相互独立D.8与C相互独立

11.抛掷一枚质地均匀的硬币,一直到出现正面向上时或抛满100次时结束,设抛掷的次数为X,则随机变

量X的数学期望E(X)()

A.大于2B.小于2

C.等于2D.与2的大小无法确定

二、多选题

12.在一个有限样本空间中,假设「缶)=P(8)=P(C)=<,且A与8相互独立,A与C互斥,则()

A.P(AUfi)=1

B.P(C\A)=2P(A\C)

C.P(C\AB)=1

D.若P(C|B)+P(。⑻=I,则B与C互斥

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13.设随机变量X〜N(0,l),f(x)=P(XW;O,下列说法正确的是()

A.变量X的方差为1,均值为0B.P(|X|<x)=1-2fM,x>0

C.函数/•(%)在(0,4-8)上单调递增D./"(-x)=1-/«

14.已知离散型随机变量X服从二项分布B5,p),其中n£N\0<p<l,记X为奇数的概率为a,X为偶数

的概率为b,则下列说法中正确的有()

A.a+b=1B.p=5时,a=b

C.0〈p<g时,a随着九的增大而增大DJ〈P<1时,a随着n的增大而减小

15.射击场,甲乙两人独立射击同一个靶子,击中靶子的概率分别为衿.记事件A为“两人都击中”,事件8

为“至少1人击中”,事件C为“无人击中”,则下列说法正确的是()

A.事件4与C是互斥事件B.事件B与C是对立事件

C.事件4与3相互独立D.P(AU3)=/

o

三、填空题

16.设随机变量《服从正态分布N(2,l),若P(f>a+l)=P(fVa),则。=.

17.将五张标有1,2,3,4,5的卡片摆成下图,若逐一取走这些卡片时,每次取走的一张卡片与剩下的卡

片中至多一张有公共边,则把这样的取卡顺序称为“和谐序”(例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是

“和谐序”,按1-5-2-3-4取走卡片的顺序不是“和谐序”),现依次不放回地随机抽取这5张卡片,

则取卡顺序是“和谐序”的概率为.

18.某高中食堂鲜奶站提供小B两种鲜奶,他们经过统计分析发现:第一次购买的人购买4种鲜奶的概率为

r购珈种鲜奶的概率%而前一次购买4种鲜奶的人下一次来购买4种鲜奶的概率痔购班种鲜奶的

概率为系前•次购买B种鲜奶的人下•次来购买A种鲜奶的概率为g、购买8种鲜奶的概率也是看如此往复.记

某人第几次来购买A种鲜奶的概率为七.则P2=;经过一段时间的经营每天来购买鲜奶的人稳定在800

人,假定这800人都已购买过很多次该两种鲜奶,那么公司每天应至少准备4种鲜奶份.

19.某种电路开关闭合后,会出现红灯或绿灯闪动,已知开关第一次闭合后,出现红灯和出现绿灯的概率都

是:,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,从下一次出现红灯的概率是:,出现绿灯的概率是|:若前次

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(1)若一共有100人应聘,他们的笔试得分X服从正态分布N(60,144),规定XN72为达标,求进入面试环

节的人数大约为多少(结果四舍五人保留整数);

(2)某进入面试的应聘者第一题答对的概率为全后两题答对的概率均为事每道题是否答对互不影响,求该

应聘者的面试成绩y的数学期望.

附:若X〜N(〃R2)9>0),则P(〃-a<X<^+a)0.683,P(p-2。VXV〃+2a)«0.954,P卬-3a<

X〈〃十3。)之0.997.

24.设A、B、C三个事件两两相互独立,事件力发生的概率是:,A、8、C同时发生的概率是:,A、B、。都

224

不发生的概率是

(1)试分别求出事件B和事件C发生的概率;

(2)试求力、8、C只有一个发生的概率.

25.某商店售卖一种珠环,消崩者从红、蓝两种颜色的装饰珠中各诜出偶数个,按随机的顺序用绳子穿成

“串”(穿在一根绳子上,之后固定位置不可移位),再将绳子首尾相接连成“环”.小王现在选了6个红珠4

个蓝珠穿成一个“串”.

(1)如果小王将这一串装饰珠剪了一刀分成了两串,每串各有5个装饰珠,求这两串装饰珠都恰好是3个红

珠和2个蓝珠的概率;

(2)在把10个装饰珠连成环后,小王剪了两刀将珠环分成各含4个装饰珠和6个装饰珠的两电设4个装饰

珠串里红珠的个数为随机变量X,求X的分布列与期望;

(3)如果小王选了27几个红珠和2〃个蓝珠以任意顺序连成一个“环”求证:只需要在合适的位

置剪两刀,总可将环分成两串,每串都恰好是m个红珠和几个蓝珠.

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答案和解析

1.【答案】D

【解析】由题意y=2X—l,随机变量X〜0-1分布,月.P(X=l)=0.4,

得P(y=-1)=P(x=0)=1-P(X=1)=1-0.4=0.6.

故选:D.

2.【答案】B

【解析】若事件4与事件B是对立事件,则4U8为必然事件,

再由概率的加法公式得P(4)+P(B)=1,

设掷一枚硬币3次,事件4“至少出现一次正面”,事件&“3次出现正面”,

71

则P(A)=(P(B)=—满足P(Q+P(B)=1,

oo

但事件48不是对立事件.

所以“PG4)+P(8)=1”是“事件4及互为对立事件”的必要不充分条件.

故选8.

3.【答案】D

【解析】由题意根据离散型随机变量的概率分布列的性质可得a+2a+3a+4a+5a=1,

解得a=

JLO

3344

••・p(x》?)=P(X==)+P(X=7)+P(X=1)=3a+4a+5a=12a=三,

故选D.

4.【答案】B

【解析】这20组随机数中,甲获胜的有.:151125112312252114123,共7个,

所以估计甲选手最终赢得比赛的概率为4=0.35.

故选:B.

5.【答案】D

【解析】4一个人打靶,打了1。发子弹,有7发子弹中靶,则这个人中靶的频率为《,故/错误,

8,•.・塑料圆板着地时是正面向上还是反面向上的概率都为点.•.这样做公平,故夕错误,

C,某地发行彩票,其回报率为47%,有个人花了100元钱买彩票,不一定能有回报,故C错误,

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D,•••大量试验后,可以用频率近似估计概率,故。正确.

故选:D.

6.【答案】0

【解析】对于4,若NGM,则P(MUN)=P(M)=热力正确;

对干8,若MnN=0,则M,N事件互斥,

所以P(M+N)=P(M)+P(N)/+W=^8正确;

对于C,因为P(M)=J,P(N)=±所以P(MnN)=白=P(M)P(N),

则M,N相互独立,C正确;

对干0,若M,N相互独立,则向》相互独立,且P柿)=1一;=0,P丽=1-4=葭

aDOO

所以P(MUN)=P(M)+P(N)-P(MN)=4+^-4x^=^,0错误.

5O5olo

故选:D.

7.【答案】C

【解析】若从这4道题中任选2道,可能选到2道有思路的题或者1道有思路的题,1道完全没有思路的

题,

当选到2道有思路的题时,全做对的概率为昌x0.8x0.8=0.32;

C4

当选到1道有思路的题,1道完全没有思路的题时,全做对的概率为警x0.8X0.25=0.1;

故所求概率为0.32+0.1=0.42.

故选C

8.【答案】B

【解析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数,X服从超几何分布,

故P(X=0)=等=煮

C7◊口

P(X=1)=等建,

尸1=2)=Ci*d=羡12

P(Y=3)=第=表,

P(X=1)+P(X=2)=

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则下列事件中概率等于3的是有1个或2个深度贫困村,

故选B.

9.【答案】D

【解析】由题可得,甲乙两人通过训练的概率为:P=C|pi(l-P1)P2+曲2(1-P2)P1+P1P2=-3piP2+

8

5Plp2,

因Pl,P2>0,PI+P2=£由基本不等式,得P1P2&342)2=本

当且仅当Pi=P2=争寸,取等号.则-3p:p;+|pip2

“228,16\,16/41216-16

=_3(pm-gPiP2+8J-J+27=-3旧口2-9J+27-77,

又注意到甲、乙在n轮训练中训练过关的轮数为X满足二项分布,则期望为:

np=16,结合pW£可得九N16x意=27.故。正确.

故选:D.

10.【答案】B

【解析】选项力:当x=2,y=4E寸,x4-y=6且xy=8为偶数,说明?!C8工0,

故,4与B不互斥,更非对立事件,选项力错误;

选项8:事件BC:x>3且孙为偶数,

%=4(偶数):、任意,共6种;

%=5(奇数):y需为偶数(2,4,6),共3种;

无二6(偶数):y任意,共6种;

总数:6+3+6=15种,P(BC)=^1=焉,选项B正确;

选项C:PG4):%+y=6的组合有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种,PQ1)=会;

P(C):x>3时“=4.5.6.共3x6=18种,P(C)=1|=|;

PQ4C):x>3且x+y=6,可能的组合为(4,2),(5,1),共2种,P(AC)=^=-^;

lo

因为PG4)。P(C)=2X力焉工高所以力与C不相互独立,选项c错误:

DOZ/Zlo

选项D:P⑻:孙为偶数的概率为1一P(0为奇数)=1-^=1,

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XP(FC)=P(C)=I,所以P⑻.2©='.:=能[所以8与。不相互独立,选项。错误.

故选:B.

1L【答案】B

【解析】当第一次就出现正面向上时,X=l,其概率P(X=1)=J;

当第一次为反面,第二次为正面时,X=2,其概率P(X=2)=(1—g)xg=W;

当第一次、第二次为反面,第三次为正面时,X=3,其概率P(X=3)=(1-7乂齐宝;

当抛满100次时,无论第100次是正面还是反面,%=100,其概率P(X=100)=(l-g)99,

则E(X)=1xi+2x^-+3x^+---+99x+100x(1—2严,

设S=1xg+2x%+3x£+…+99x(T),

则如=或+2X++~+98X/+99X6②,

⑦一(W得5一3=:+*+或+..•+/一99x壶’

即;S=2(父)-99x募,则S=2一期,

1-2

则所以E(X)=2-温"+100X(1—g)99=2—嬴<2.

故选:B.

12.【答案】BCD

【解析】对于4由于力与8相互犯立,PG4B)=PG4)•P(8)=,

故PQ4U8)=PQ4)+P(B)-P(4B)=g+»g/故力错;

对于8,由P(4C)=0,P(A)=P(AC)+P(AC)=P(4C),

由条件概率公式P©Q=需=1,P(砥)=黯=禺故3对;

对于C,由P(4BC)=0,及P(4B)=P(ABC)+P(ABQ=P(ABQ,

得P©4B)=^=皤=1,故C对:

对于0,由P(C)=P(BC)+P(8C)=g故P(BC)=+-P(BC),

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而P(C|B)+P(C⑻=I,即黯+鬻=3P(B0+|-[|-^0]=p

解得P(8C)=0,即Bnc=0,故8与C互斥,故Z)对.

13.【答案】ACD

【解析】随机变量X〜N(O,1),即X服从正态分布,且变量X的方差为1,均值为0,故力正确;

P(\X\<x)=P(-x<X<x)=1-2[1-/(x)]=2/(x)-1,A>0,故8不正确,

X

任取%2>1>。,则P(X《X2)>P(XE%1),即/(%2)>7(无1),

可得/(%)在(0,+8)上单调递增,故C正确,

因为正态曲线关于直线X=0对称,且/(无)=P(X<%),

所以/(-%)=P(X<-x)=P(X>x)=l-f(x),故D正确,

故选/CO.

14.【答案】ABC

【解析】X的可能取值为0,1,2,n,那么P(X为奇数)+P(X为偶数)=1,a+b=l,故力止确;

由时,离散型随机变量X服从二项分布8(几[)

则户(X=k)=《G)"(»-k=U(/,(k=0,1,2,3……,九)

所以Q=(抄©+盘+底+…)=

b=(")"©+鬣+第+•••)=(;)〃2x=提所以Q=b,故选项V正确.

对于C,。选项,

a=©ip[(1-p)“T+《p3(l-p)n~3+…

b=^P°(l-p)n+鬣p2(l-p)n-2+...

由4选项可得Q+b=1=[(1—p)4-p]n=C?(l—p),lp°+Cj(l-p)"Tp1+C„(l—p)"-2P2-----C;](l—

P)W①,

[(l-p)-p?=CS(l-p)“(-p)°+K(1-p)”T(一p)】+K(1-p)A2(-p)2+...+党(1-p)。(一p)二=

b一a②,

由竽可得。=匕啜匕

当0<p<|fl寸,0<l-2p<1,故a=上啜以随着n的增大而增大,故选项。正确.

当;<p<l时,l—2p<0,(l—2p)〃正负交替,故选项Q不正确.

15.【答案】ABD

第10页,共16页

【解析】依题意,P(i4)=|x|=|,P(B)=1-P(B)=1-(1-1)(1-1)=P(C)=P(B)=(1-1)(1-

l)=5:

对于4因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”,即包括“无人击中”,“1人击中”,故事件

4与C是互斥事件,即彳正确;

对于B,因“至少1人击中”包括“1人击中”,“2人击中”两种情况,故其对立事件即“无人击中”,

即B正确;

对于C,依题意,因力08=4,则尸(408)=「(力)=去而2(4)⑻4=(4门8),故事件4与B

不相互独立,即C错误;

7

对干0,因力UB=B,故P(4UB)=P(B)=白故O正确.

O

故选:ABD.

16.【答案】?

【解析】因为P(f>Q+l)=P(《<Q),

所以Q+1与a关于%=2对称,

所以a+l+a=4,

解得a=

故答案为?.

17.【答案】9

【解析】总的方法数为腌=120,

觌取1或3,共有©x©x6x己=16种,

至冼取5,共有舄x©x©=12种,

则取卡顺序是“和谐序”的数量为16+12=28,

则取卡顺序是“和谐序”的概率为裔=套

故答案为:

18.【答案】9320

【解析】根据题意,匕=弓,所以P2=U+!x:=;

3343Z3

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由题知,Pn+1=Pnx|+(1-Pn)x1=-1Pn+1,

所以乙+1-5=一'(P八一|)»

所以{p〃-各是等比数列,公比为一1首项为,一仁白

所如(-旷,*=8(-旷气

囚为假定这800人都己购买过很多次该两种鲜奶,

所以当71->+8时,Pn-»

所以公司每天应该准备4种鲜奶800x1=320份

故答案为:320.

19.【答案】黄

【解析]依题意,连续三次发光中出现一次红灯、两次绿灯的情况共有如下三种方式:

(1)出现绿、绿、红的概率为;x1x/

4DD

(2)出现绿、红、绿的概率为"■与

(3)出现红、绿、绿的概率为劣

所以连续三次发光中,出现一次红灯、两次绿灯的概率为

„123,132,12234

P=2X5X5+2X5X3+2X3X5=75-

故答案为:费

20.【解析】】(1)由表可知,x+0.25+0.35+0.2+x=1,解得%=0.1,

参赛教师为优秀教师的频率为0.2+X=0.3;

(2)由(1)可知,当地中学教师是优秀教师的概率为0.3,

X的取值可能为0,1,2,3,

P(X=0)=(1-0.3)3=0.343,P(X=1)=C;x0.3x(1-0.3)2=0.441,

P(X=2)=x0.32x(1-0.3)=0.189,P(X=3)=0.33=0.027,

X的分布列为

X0123

P0.3430.4410.1890.027

第12页,共16页

E(X)=0x0.343+1x0.441+2x0.189+3x0.027=0.9.

或写成由X〜B(3,0.3),得E(X)=3x0.3=0.9.

21•【解析】⑴依题意,P(4)=K=3,PQ42)=得,P(a)=卷=9

(2)设事件B为“取得的球是合格品”,

依题意,P(8|4)=0.8/(8|力2)=09P(8|4)=0.7,

由⑴知P(4)=Q02)=,/遍=I,

由全概率公式得P(8)=P(8|4)P(4)+0(8■2>(力2)+0(8]4)PG43)

=0.8x11+03.9x^+0.7x11=0.81,

若取出的球是合格品,该球是甲工厂生产的概率为P(4|8)=隼察=戏=察.

r\Dyvl.OA.OX

22•【解析】(1)由题知,员工中本年度考核合格必须通过8测试,且4、。测试中至少有一项通过,故其考核

合格的概率为P=4x(1-Fx7)=焉

•OO•v

(2)(据选择小C、。三项测试,则必须证过。测试,且4、C测试中至少有一项通过,故员工甲考核合格的

概率为匕=基(一""=穿蜻

腐选择4、8、0三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率P2=gx'x

O*

含喏选择8、C、。三项测试,则需任意两项测试通过或三项测试均通过,故员工甲考核合格的概率为P3=1x

11,351,151,35119、3

_x-+-x-x-+-x-x-+-x-x-=->-;

结合⑴中粉,满足条件的方案为选小B、。和选8、C、D.

23.【解析】(1)因为X服从正态分布M60,144),所以〃=60。=12,72=〃+a

所以P(右72月上等2=0.1585,

进入面试的人数Z〜8(100,0.1585),£(7)=100x0.1585士16.

因此,进入面试的人数大约为16.

(2)由题意可知,丫的可能取值为024,6,8,10,

则P(y=o尸(11)X(1-?)2嚓;

P(}=2)=|x(l-i)2=A;

第13页,共16页

p(y=4)=(i-|)x以x“(i令嗅

八八八、

2xQix4-x(l416

P(}=6)=TOOO/D

P(y=8)=(l2)X(4)2=16.

Pg0)=1x(拧啜.

所以后⑺=ox寻2x导4x导6x身8x身lOx祟状

24.【解析】(1)设事件8发生的概率为Pi,事件C

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