2026高考数学一轮复习：导数与概率的综合性压轴（含答案）

2026高考数学一轮复习微专题106讲22.导数与概率的综合性压

轴含答案22.导数与概率综合压轴

随着概率与统计的地位越来越重要，未来不排除导数与概率综合去命制压轴题目，作为最

后一节，我们赏析一下概率与导数压轴题.

一.基本原理：似然估计与概率最值

1.已知函数：p(x/e)输入有两个：x表示某一个具体的数据；。表示模型的参数，如果。

是己知确定的，X是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点X,其出现

概率是多少.如果x是已知确定的，e是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的

模型参数，出现x这个样本点的概率是多少.

极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能(最大概

率)导致这些样本结果出现的模型参数值.

换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型己

定，参数未知”.

2.二项分布的两类最值

(1)当〃给定时，可得到函数/(A)=C：p£(i-pyT#=0,12…〃，这个是数列的最值

问题.

pk=晨p“l-+=&(1-〃)+(■+1)〃_〃=]।+

7Z?"-Ml-p)~一(1-〃)~伙1-〃)•

分析：当&+时，PCPg，0随A值的增加而增加；当&>5+1)〃时，

Pk<Pi，随攵值的增加而减少.如果(〃+1)〃为正整数，当攵=(〃+1)〃时，Pk=Pw

此时这两项概率均为最大直如果5+1)〃为非整数，而攵取(〃+1)〃的整数部分，则外是

唯一的最大值.

注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量Z等于期望时，概率最大.

(2)当我给定时，可得到函数/(〃)=C：/(1一〃)”",〃e(OJ),这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

分析：

f(P)=MFI-P)i-Pk(n-k)(\-p)

=C；pia-p)"ik(l-〃)-(〃-Q”=c：产(1-(kTip).

当攵=1,2,…,〃—1时，由于当〃<人时，f\p)>0,/(P)单调递增，当〃,K时，

nn

r(P)〈O，/(P)单调递减，故当〃」时，/(〃)取得最大值，f(P)max=/(与•又当

nn

〃fOJ(P)-1，当〃―0时，—从而/[p)无最小值.

3.超几何分布的概率最值

将从3+。)件产品中取出〃件产品的可能组合全体作为样本点，总数为•其中，次品出

现％次的可能为•令N=〃+8,则所求概率为4(N)=

二产二N：iN-〃N+助令加L则当〃〃MN时，

4(N-l)N-N-nN+kN%(N—1)

2>1；当时，丸<1,即当N<E时，4(N)是关于N的增函数；当N>2时,

kk

%(N)是关于N的减函数.所以当'=y时，4(N)达到最大值.

二.典例分析

例1.(24届杭州市高三二模T19)在概率统计中，常常用频率估计概率.己知袋中有若干

个红球和白球，有放回地随机摸球〃次，红球出现〃次.假设每次摸出红球的概率为P,

根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率P的估计值为p=~.

n

(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取

3个球，设摸出的球为红球的次数为丫，则y〜8(3,p).(

注：与"二%)表示当每次摸出红球的概率为〃时，摸出红球次数为Z的概率)

(ii)在统计理论中,把使得Pp(Y=。的取值达到最大时的P,作为P的估计值,记为P，

请写出〃的值.

(2)把(1)中“使得与[丫=%)的取值达到最大时的〃作为〃的估计值〃”的思想称为最

大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.

具体步骤：先对参数。构建对数似然函数/(夕)，再对其关于参数。求导，得到似然方程

/'(e)=o,最后求解参数。的估计值.已知y〜8(几〃)的参数〃的对数似然函数为

/(P)=£xjnp+W(l_X,)ln(l_p),其中X=[鬻求参数P的估

计值，并且说明频率估计概率的合理性.

解(1)因为丫〜3(3,〃)，所以P的值为I或

(i)表格如下

k0123

272791

々(一)64646464

4

192727

勺“=%)64646464

4

(ii)由题知口(y=2)=Cp"(l-p广.

13

当y=o或1时，参数〃=；的概率最大；当y=2或3时，参数〃==的概率最大.

44

所以P二；

Jcc

]〃1n

(2)对对数似然函数进行求导，/'(p)=—ZX,「^—Z(1-XJ,因此似然方程为

Pi=iP/=1

[〃1〃1n

片X「可面的方程‘得衿*如

因此，用最大似然估计的参数〃与频率估计概率的〃是一致的，故用频率估计概率是合理

的.

例2.(2021新高考2卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微

生物为第。代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每

代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个

数，P(X=/)=p,(/=O,l,2,3).

(1)己知Po=0.4,P1=0.3,P2=0.2,〃3=0.1,求E(X)；

(2)设。表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，0是关于x的方程：

“o+PM+p^+Pax=x的一个最小正实根，求证：当E(X)K1时，〃=1,当E(X)>1时,

3

P<1;

（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义

解析：（2）设/（同=〃3丁+〃2丁+（〃1-1）工+〃0，因为2+P2+P1+PO=1，故

/（引=〃3丁+〃2/一（〃2+〃0+〃3）%+〃0,若E（X）$1,贝！8+2P2+3用W1,故生+2〃34〃（）.

2

r（x）=3P3X+2p2x-（p2+Po+pj，因为r（°）=一（〃2+/%+〃3）<°，

:（1）=〃2+2〃3-〃04°，故广（X）有两个不同零点玉衣2，<0<l<X2,

且x«-oo，X）5/，*°）时，/'（x）>0;%£（%,%）时,r（x）vO;故在（Y°，X3（4+00）

上为增函数，在（彳毛）上为减函数，若I2=1，因为/（工）在（王，”）为增函数且"1）二°，

而当X«O,&）时，因为/（X）在（小5）上为减函数，故f（x）>f（w）=/⑴=0,故1为

Po+P'X+p2f+Py，=x的一个最小正实根，若占>1，因为/⑴=。且在（。,马）上为减函数，

故1为PO+PX+P2K2+P/3=X的一个最小正实根，综上，若夙X）G,则0=1.若E（X）>1,

贝IJ区+20+3%>1,故P2+2%>Po.此时/'（0）=-（〃2+〃0+〃3）<0，

/'（1）=〃2+2〃3-〃0>。，故r（x）有两个不同零点0Z，且X3<°<Z<1，且

,xjua，”）时，r（x）>o；入«知匕）时，/'（力<0；故/（文）在（f玉），（演,人）

上为增函数，在（如玉）上为减函数，而/（1）=0,故/（王）<0,又/（0）=〃。>0,故/•（1）

2

在（。，七）存在一个零点"，且〃V1.所以〃为〃0+PyX+p2X+.3/=X的一个最小正实根，

此时〃<1,故当石（X）>1时，〃<1.

（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后

代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于L

例3.（24届湖北省部分学校联考）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大

的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦

田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，

最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到〃颗麦穗（假设"颗麦穗的大小均不相

同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最

大的麦穗，现有如下策略：不摘前女<〃）颗麦穗，自第Z+1颗开始，只要发现比他前

面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设〃=/〃，该学生摘到那颗最大

的麦穗的概率为P.（取

(1)若〃=4,k=2,求P；

4

(2)若〃取无穷大，从理论的角度，求。的最大值及，取最大值时/的值.

解析：(1)这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有A：=24种情况.

要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：

①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有A；=6种情况.

②最大的麦穗是最后1颗,第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，

有2A；=4种情况.故所求概率为M4・

(2)记事件A表示最大的麦穗被摘到，事件％表示最大的麦穗在麦穗中排在第7颗.

因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以以给定所在位置的序

号作为条件，外力=£2⑷层)当14/二时，最大的麦穗在前攵颗

;=1〃j=\

麦穗之中，不会被摘到，此时耳4|%)=0.当A+时，最大的麦穗被摘到，当且仅

当前J-1颗麦穗中的最大的一颗在前k颗麦穗中时，此时*AI%)=合.由全概率公式知

P(A)=，力’7="£1="|吟.令函数g(x)=±ln3：x>0),^(x)=-ln---»令

g'(x)=O,则x=,，当xe(0,£)时，当时，g'(x)v0,所以g(x)在

上单调递增，在|X，］上单调递减.所以双口皿寸仅］△.所以当女=dP(A)=2k?时

ye)\c)eenk

取得最大值，最大值为工，此时/=1，即P的最大值为」，此时/的值为L

eeee

例4.(2011全国卷)

(1)设函数/(x)=ln(l+x)--------,证明：x>0时，f(x)>0；

x+2

(2)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取

o1

20次，设抽得的20个号玛互不相同的概率为〃.证明：p<(—),9<—.

10e~

解析:⑴/■)=-—『，当x>0时，/'a)>0,所以/(幻为增函数，又/(())=(),

(x+l)(x+2)-

因此x>0时，/(x)>0.

(2)依题，—又99x81<90:98X82<9()2,…,91x89<9()2,

1OO20

o2

所以〃<(一)匕由(1)知：当x>0时，/(工)>0,因此(l+-)ln(l+x)>2.

10x

在上式中，令1=工，则191nW>2,即(竺尸〉/,所以〃

99910e"

三.习题演练

1.为了估计一批产品的不合格品率〃，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为〃的样本

5

备,々13,…4，定义。技，i=l，2,…,〃，于是P©=1）=P,p©=0）=1-〃，

0,第，次合格

i=12…"记Up）=P（0=N，易=巧,…©,=%”）（其中瓦=0或1,/=1,2<称〃〃）表示〃为

参数的似然函数.极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然

原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,若在一次试验中，

结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大.极大似然估计是

一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知〃，通过若干次试

验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大.根据以上原

理，下面说法正确的是（）

A.有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球.今

随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中

抽出的

B.一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测

鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的

ca

r

♦L（p）=（1-p）曰（用=0或l,i=l,2,）

1）1

D.L（〃）达到极大值时，参数P的极大似然估计值为

〃i-l

【详解】极大似然是一种估计方法，A错误；设鲤鱼和草鱼的比例为L则出现80条鲤鱼,

/\80z\20

20条草鱼的概率为C北——,

U+lJU+1J

设"）=4岛MM

北吧韦a或二脸彳仰.如）,

”+1）U+1）

.•.0</<4时，r（0>0,4vr时,fXt）<0,

.•J8）在/€（o,4）上单调递增,在/44,田）上单调递减，

故当f=4时，最大，故B正确;

根据题意，L（P）=P（&=%，易=%…局=/）（其中玛=（）或1,i=12…

所以可知C正确;

〃〃)="•'(1-P)IX=0或l,i=1,2,)

刈〃)=(£。/哈-〃当,〃-£玉］(1-〃)"唔"

\<=|/\/=i)

蒋一

=P-'

»=17\»=1)\

6

1n1n1/r

令Z/（p）=O,解得〃=一2怎，且0＜〃＜_ZK时L'（P）＞0，时L'（〃）＜°，

〃1=1〃1=1〃r=1

（\n、

故"〃）在o,E＞，上递增，在、＞，」上递减，故达到极大值时，参数”的极大

似然估计值为工力的,故D正确.

故选：BCD

2.设随机变量x的概率密度函数为p*；e）（当x为离散型随机变量时，P（K。）为x=.i•的

概率），其中e为未知参数，极大似然法是求未知参数e的一种方法.在〃次随机试验中，随

机变量x的观测值分别为丐，”2,…，%,定义（松〃）…P（%；0）为似然函

数.若9=0时，〃°）取得最大值，则称0为参数e的极大似然估计值.

⑴若随机变量x的分布列为

X123

20(1-0)

P01（1-夕尸

其中OvOvl.在3次随机试验中，X的观测值分别为1,2,1,求0的极大似然估计值从

⑵某鱼池中有鱼皿〃亚65）尾，从中捞取50尾,做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾,

观测到做记号的有5尾，求〃?的极大似然估计值而.

1

⑶随机变量X的概率密度函数为〃（工;02）CT>0.若—，"2,…9乙是X的

y/liicy

一组观测值，证明：参数〃的极大似然估计值为32=,£&-1）2.

n/-I

【详解】（1）依题意得：L（e）=p（x=i）p（x=2）p（x=i）=e2.2e（i-e）6=2eJ2＞,

所以//（0）=10。'-1205=-1204（0-，,当0〈0〈得时，r（6＞）＞0,U。）单调递增：

当时，〃（。）＜0,单调递减：所以0=3时，取得最大值，所以e的极大

66

A5

似然估计值为。=3

6

所以+=(阳-49)(19)

（2）依题意得:L(M=p(5"〃)='取"L(〃"-(加一64)(〃?+1)

令一EM"'得65金”199’令与r＜1，得〃399,

又又199)=£(200),所以L(65)<L(66)<--<L(199)=£(200)>又201)>£(202)>...

所以〃7=199或200时，〃⑼取得最大值，所以”的极大似然估计值为布=199或200.

（3）依题意得:""）=〃（凡；/）〃伍；。2）…〃（土；/）

7

皿出\

=---e2/-----c2，-------c2a--I--

yjlTKj\l2na。2兀crVV2ncrJi.w

所以lnL（b2）=_gln（2i）-glncr?一二'（七一1）’

令/⑺=-3!1（2兀）-311-1£（七-1）2,/>0,

222rr.]

/[-/£（七一1）]，令尸⑺=。，得，=，£（演-1）、

则F'S=-巳+，*（七-1）2=-

〃\〃i=l/〃1=1

当0＜/＜，£（的_1）2时，Fr（z）＞0,b⑴单调递增；

〃|=!

当『时，尸⑺＜。，尸⑺单调递减；

ni-\

所以当，二，七（七-1『时，/⑺取到最大值.

ni=I

即。'J之（七-if时.，1叱（/）取得最大值，即取得最大值.

〃1=1

1n,

所以参数〃的极大似然估计值为于=一£（匕-1）-.

〃r=l

3.函数/（r）=lnr—^^L

⑴讨论的单调性；

（2）若函数“力有两个极值点..，曲线y=f（x）上两点（百/（幻），（w/（w））连线斜率记

为k,求证：k＞—；

a-\

⑶盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，

记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证：〃＜；.

e

x2+（2-2a）x+\

【详解】（1）“X）定义域为（。，+8），/（%）=——-―'—-―

X（x+lfx（x+l）2

对于方程f+（2-2〃）x+l=0,△=（2-2〃『-4=4（/一2〃）,

当△《（），即0WaW2时，x2+（2-2t/）x+l＞0,f\x）＞0,/（x）在（Q+。）上单增,

当△＞（）,即“＜0或〃〉2时，方程f+（2-加卜+1=0有两不等根，

22

%）=a-\-\］a-2a»x2=a-\+\la-2a»而％+毛=2i：〃-1）,x}x2=1,

所以当"0时，内＜9＜0,r（x）＞o在（0,转）上恒成立，〃x）在（0,+8）上单增;

当a＞2时，0＜玉＜巧，］e（0,xJ或xe（w，4^o）时，/*（x）＞0,1£（［,占）时，/'（x）〈0,

所以f（力在（0、M）和（0*0）卜.单增.在（芭八）卜单减，

综上，当〃＜2时，“X）在（0,y）上单增；

8

当a>2时，在（0,a-1—和"I+JH-2°收）上单增,

在（4-1-y/a1-2a,a-\+4a‘-2a）上单减；

心也Ulnt，仁”

⑵⑸〔।一1J〔".+J

X,-X,%一%2

lnA__2。（％-/）jni_2a（z-々））nA

&（百+1）（々+1）_占n+K+W+l=&2a=ln%|-In]_.

xy-x2xi-x,X）-x2l+2a-2+lx1-x2

2-aInx-In,1,Inx.-Inx,2

所以要证k>-即证一!------1>---H即证一!-----">——,

67-1七一七"1玉~X2西+X2

2件一1、

也即证In%-生匚®=M±—&-^<0（*）成立.设，=±c（O，l）,函数

・GXi+X2W五+1

〃(f)=lnf-坐?，由(1)知力⑺在(0,+司上单增，且砍1)=0,所以f«0,l)时,h(t)<0f

所以(*)成立，原不等式得证;

⑶由题可得”羔=吆端篝”因为99的=好—

98x82=902-82<902,....91x89=902-I2<902,所以P<（^），又由（2）知，£。，+°°），

2但11

/?（z）=inz_rkzl）>0,取T，有11一-^~即In管J>2,即

=ln^-A>0

''1+\991。「

---+1919

9

rO\,91

所以〃<-

lioj<—•

4.某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为

提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程

票的人数分别为36、60和24.

⑴若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随

机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率.

⑵记单程卜.山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买

回程票的m(帆>2且meN')人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的

2人的购票类型相同，则该组标为A,否则该组标为B,记询问的某组被标为B的概率为p.

(i)试用含m的代数式表示p；

(ii)若一共询问了5组，用g(p)表不恰有3组被称为B的概率，试求g(p)的最大值及此

时m的值.

9

【详解】(1)因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为3:5:2,所以这10

人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：小器3=3,10x点5=5,

7C2C23

IOx-^-=2,故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率P二言二正.

(2)(i)从〃z+2人中任选2人，有Ci?种选法，其中购票类型相同的有C：+C；种选法，

4

则询问的某组被标为B的概率=1-与坐=1-,r丁

PC；,+2,tJ~++2+3/n+2

(ii)由题意，5组中恰有3组被标为B的概率

g(P)=C；p3(l-p)1=10//(l-2p+/r)=10(p3-2/74+/),

所以g'(P)=।O(3〃2-8p3+5p4)=IO/r(〃一1)(5〃-3),()<〃<],

所以当〃40怖)时，g'(p)>0,函数g(p)单调递增，

当修1)时，g，(p)<(),函数g(〃)单调递减，

所以当时，g(p)取得最大值，且最大值为gR]=c；x(耳x(l-斗216

5151\5JI5J625

,4"?3cc*/nC

由〃=r----------=-,加>2且〃?eN,得"7=3.

+3w+25

当〃7=3时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且g(p)的最大值为当.

625

指数均值与对数均值不等式

一.基本原理

a-b.,.

,---------(。工b)

1.对数均值不等式：两个正数。和力的对数平均定义：L(a,b)=\\na-\nb

a(a=b).

对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：

\[ab<L(a、b)<

2

(此式记为对数平均不等式)，取等条件：当且仅当。=〃时，等号成立.

证明如下：不失一般性，可设(1)先证：箍<L(a,b)……①

不等式①olna-ln/?v<=>In—<.—<=>2Inx<x——(其中x=>1)

4abb\b\ax\b

1911

构造函数f(x)=21nx-(x—),(x>l),则/'(x)=-1--=-(l—)2.

XXX

因为x>l时，f(x)<0,所以函数/(X)在(1,+o。)上单调递减，故/(x)v/(l)=O,从

而不等式①成立.

10

再证：②

(2)L(a,b)<—2……

2(")

加〉3(.

不等式②<=>In。一InZ?>——<=>In—>1>1)

a+bb,a,、U+l)

(7+1)

b

构造函数g")=1w当肃—D,则g'(x)=9看=焉左

因为x>l时,grM>0,所以函数g(x)在(1,+0。)上单调递增,

故g(x)<g(l)=(),从而不等式②成立；综合(1)(2)知，对VoSc*,都有对数平均

不等式&了SL(a,b)4丝2成立,当且仅当。=〃时，等号成立.

2

注：对数均值不等式实际上是对数不等式链：跑二。<111.丫<,*-工)户>1在双变元情

1+12x

形下的应用.

2.对数不等式链

x—\2(x—1)3(x2-1)f—111,..

------<<-------------<\nx<yjx——产<—(x——)<x-\,xe(1,-KO)；

xx+1---X2+4X+\------------------4X2x

上!<2)<G"nx<…)

x2xGx2+4x4-1x+l

生上空ex--ex'0演+o'、

3.指数均值不等式.若芭,与£△，则e2<--------<g+g.

x2-x12

证明：(方法1.双变量消元直接证明)

生正〃闷忙生e^-x2_|

欲证e2<-—―,两边同除以涉，即证e2<-----------,即证

西一工2%一毛

一一局X|一X2

(x「w)e2〉6”F一1，即证(为一超"2_/厂与+1〉0

令与72=(<0)即证不等式/__+1>0当，<0时恒成立，

(--1(t1

设+1,・,・"(/)="+".]_/七+1产_/=_/

而溪>2+1,即潟-/+1>0,・・・。(。在(3,0)上是减函数，又

212，

。(0)=0・・・〃(，)>0恒成立，得证.

22

gwu-jM—m-ue-e'e'+ee-e'e'+e2Alit.，人十

接着证明右边的不等式-------<---,同样设x2>x],--------<--—等价于

x2-xl2x2-x,2

2卜必-e")<(工2-玉)(。"+*).令g-X|=m(m>0),x2=%+m,则

11

2卜内+，"_8)〈机+*+'”)，两边同时除以△得2|，"一1)v〃?(l+e'〃).

设h(m)=m(l+d")—2(，"-1)=〃z+me,n-2d"+2,"(〃?)=1+(d"+mem]-2d”=1

+me,n-e,n=\+(m-\)e'\hn(m)=em+(m-V)em=me,n>0(因为例>0),所以

〃(小)在(0,+oo)上单调递增.由于厅(0)=1+(0—l)e°=0,因为厅(加)在(0,+8)上单调递

增，所以〃(6)在(0,+8)上单调递增，/?(/??)>/?(())=0+0-2x(1-1)=0,即

〃2（1+*）一2（一”-1）＞0,所以2（/”-1）＜加（1+/"），也就是

一+电

综上，不等式e2＜---------＜---------得证.

々一玉2

（方法2.对数均值不等式转化）

设％则。=6再/="\将。==*代入对数均值不等式

I一~a-b,—r4厂~~e"-e"e'—ex~

dab<---------中，可得ax/c2”<-------,BHPne-<-------

In«-inbxx-x2x1-x2

4mx*L&xa-ba+b-e"

把"e',b=e-代入---------<-----=--------<--------

In〃-ln力22

司+」2

综上，由对数均值不等式可得到指数均值不等式e2

玉一/2

二.典例分析

例1.（2011年辽宁卷）已知函数f（x）=\nx-ax2+（2-a）x

（1）讨论/*）的单调性；

（2）若函数y=f（x）的图像与x轴交于A,B两点，线段AB的中点的横坐标为与，证明:

/(%))<。

z

解：(2)/(x0)=--2ax()+(2-6?),由

x()

InX]-orj+(2-〃)玉=0(1)

/(%)=/*2)=0=

Inx2-ax^+(2-a)x2=0(2)

（1）-（2）:In%-Inx,=。（玉2-毛2）+（4-2）（不一天），同除以（西一.）得，

ln：T,-&+­）=0

2

要证广（见）＜0,只需证一-20ro+（2-。）=-〃(尤]+x,)+(2—〃)<0；

X1+/

12

只需证-------〃(玉+&)+(2-〃)<―一〃(王+工2)+(2-〃)；

•V1+

根据对数平均不等式工/>广一:,故原命题得证.

2//1¥,-lnx2

例2.(2010天津卷)已知函数/(M=xeT,xeR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)如果与。工2，且/但)=/(X2)，证明：西+“2〉2.

解析；(2)/(玉)=/(%2)等价于2"*=电。*=In%-X[=人工2-％2，故可得：

IV=1,由对数均值不等式可得：1=广三」<"上，故2+々>2.

In%,-Inx2In%)-Inx22

2

小结：由上例可知，形如：f(x)=Inx+kx+bf(x)=Inx+ax+bx+c^At对数式

单独放，在构造对数均值不等式的方向上均是可行的.同时，一些指数结构通过指对转化,

亦可转化为上面两个形式，利用对均不等式可得偏移.

例3(2021新高考1卷)己知函数/(x)=x(lTnx).

(1)讨论“力的单调性；

(2)设。,〃为两个不相等的正实数，且〃Ina—aln〃=。―从证明：2<4+！<0.

ab

解析：证明，+：>2同证法2.以下证明内+/<e.不妨设/=历，则/=三>1,

ab百

由芭(1-InXj)=x(l-Inx)^%1(1-In)=6口-ln(g)],InX)=1-,

22/—1

要证$+勺<6，只需证(l+f)N〈e,两边取对数得吊(1+/)+111*<1,

RniZI、.t\nt.In(l+r)Inr、ln(l+s)....mil

即ln(l+f)+l----<1,即证-------<--.记g(s)=-------,5G(0,-K»),贝||

t-\tt-\s

g(s)=X：….记贴)=号-E(1+s),则厅⑸=备<0,

s~

所以,〃(s)在区间(0，+。)内单调递减./2(5)</2(0)=0,则g'(S)VO,

所以g($)在区间(O,y)内单调递减.由ie(l,+oo)得1-1£(0,母)，所以g(/)vg”-l),

ln(l+/)<In/

即

例4.(2022全国甲卷)已知函数-一\nx+x-a.

x

(1)若/(无)20恒成立，求。的取值范围;

13

（2）若/（X）有两个零点证明：X\X2<1-

解析：（2）此时，，一1有两个解和芍，且0<入1〈1〈尤2・

xX2

此时，e'=tx]\e=tx^,两式相除，可得：=玉0为一西=lnx）-Ini].

于是，欲证斗为<1只需证明：嘉入V（对数均值不等式）.易证！

Inx2-In*

例5.（2022新高考2卷）已知函数/（幻=疣"-1.

（1）当〃=1时，讨论,⑶的单调性;

（2）当x>0时，/UX-1,求。的取值范围;

证明：/—+~^—+•••+]/＞例〃+1)・

(3)设“e”

VI2+1V22+2y]n2+n

解析：（1）略.

（2）由当X>0时，/（X）<-1,得我如一-<一1在区间（0,十8）内恒成立，即<^―

X

在区间（0,+8）内恒成立，在不等式f-l>21n«f>l）中，

t

X|X

令.二[0>0）,可得当x>0时,/一下>2ln〃，即-_]>/一，故当彳>0时,不等式

e2

士>/成立.

x

当时，一“三/〈亡」在区间（°,+8）内恒成立，即0公<上]在区间（0,+8）内

2xx

恒成立，满足题意.

当加-1>0,即*，则月'⑼=加-1>0,因为g'（x）为连续不间断函数，故存在玉e（Q”）,

使得VXW（O，NJ,总有身'（力>0,故g（x）在（0,%））为增函数，故g（力〉g®=0,故万⑴在

（“％）为增函数，故〃（X）>〃（0）=-1,与题设矛盾.

（3）由于<L（a,b）

<=>Intz-In/?<aIn—<.--J—=21nxvx-，（其中x=>1）>接下来

\Jabb\bNaxNb

14

由上述不等式‘卡”彳)，进一步求和可得:

X/———>y=ln(-X-X...X------)=ln(n+1),

\jk~+kk7k12n

I

=====>ln[n+1)

n1+n

例6.(2021年全国乙卷)设函数/(x)=ln(a-M，已知工=()是函数y=M(x)的极值

点.

(1)求。；

x+f(尤)

(2)设函数g*)=.证明:g(x)