2025年中考数学试题分类汇编：一元二次方程（二）

一元二次方程（二）

一.选择题（共5小题）

1.（2025•广安）关于x的一元二次方程，+3卢1=0的根的情况是（）

A.没有实数根

B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根

D.无法确定

2.（2025•遂宁）已知关于工的一元二次方程7-3x+〃?+l=（）有实数根，则实数〃?的取值范围是（）

5555

->-c>-<-

A.4B.-44D.-4

3.（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同,第一季度共生产钢铁1860吨,

若设月平均增长率为x,那么可列出的方程是（）

A.560（1+x）2=1860

B.560+560（1+x）+560（1+缄）=1860

C.560+560（1+x）+560（1+x）2=1860

D.560+560（1+2J）2=1860

4.（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客

达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（）

A.10%B.20%C.22%D.44%

5.（2025•台湾）已知甲方程式为（x-4）2=%乙方程式为（x+9）2=-4.关于甲、乙两方程式的解的

情形，下列叙述何者正确？（）

A.甲有两个相异的解,乙无解

B.甲有两个相异的解,乙有两个相异的解

C.甲有两个相同的解,乙无解

D.甲有两个相同的解,乙有两个相异的解

二,填空题（共9小题）

6.（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2?+x-1=0的根的情况是.

7.（2025•绥化）已知加，〃是关于x的一元二次方程A2-2025x+l=0的两个根，则（"+1）（〃+1）

8.（2025•苏州）已知xi，x2是关于工的一元二次方程AZr-/«=0的两个实数根，其中为=1,则x2

9.（2025•眉山）已知方程x*2-5=0的两根分别为xi，X2»则（xi+1）（X2+1）的值为.

10.（2025•山东）若关于x的一元二次方程?+4.r-m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围

是.

11.（2025•广安）己知方程5、-24=0的两根分另U为〃和小贝U代数式J-4。+〃的值为.

12.（2025•上海）一元二次方程2?+4+〃，=0没有实数根,那么,n的取值范围是.

13.（2025•泸州）若一元二次方程2?-6尸1=0的两根为a,0,则2a2-3a+30的值为.

14,已知关于x的方程7+如-3=0的一个根是I,则的值为.

三.解答题（共4小题）

15.（2025•齐齐哈尔）解方程：/-7x=-12.

16.（2025•威海）如图，某校有一块长20〃?、宽14〃?的矩形种植园.为了方便耕作管理，在和植园的四周

和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面枳均为24〃尸的9个矩形地块，请你

求出小路的宽度.

<-----20m-----a

14m

17.（2025•南充）设加4是关于*的方程（x-1）（x-2）=m2的两根.

（1）当用=-1时，求工2及加的值.

（2）求证：（.ri-I）（X2-1）W0.

18.（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产

成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.

（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；

（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲

种商品.

一元二次方程（二）

参考答案与试题解析

一.选择题（共5小题）

题号12345

答案BDCBA

一,选择题（共5小题）

1.（2025•广安）关于x的一元二次方程/+3x+|=0的根的情况是（）

A.没有实数根

B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根

D.无法确定

【考点】根的判别式.

【专题】判别式法；运算能力.

【答案】B

【分析】依据题意，由一元二次方程为，+3x+1=0,则△=32・4X1X1=5>O,进而可以判断得解.

【解答】解：由题意，•・•一元二次方程为f+3x+l=0,

AA=32-4XlX|=5>0.

・•・该一元二次方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

【点评】本题主要考查了根的判别式，解题时要熟练掌握并能灵活运用根的判别式进行判断是关键.

2.（2025•遂宁）已知关于x的一元二次方程Y・3x+机+1=0有实数根，则实数〃?的取值范围是（）

5555

<C

-->---<-

A.4B.44D.TH4

【考点】根的判别式.

【专题】判别式法；运算能力.

【答案】。

【分析】根据方程的系数，结合根的判别式A=/J-4ac20,可得出5-4〃?20,解之即可得出实数机

的取值范围.

【解答】解：•・•关于x的一元二次方程，-3x+,〃+l=0有实数根，

2022年接待游客人次数X（1-该景区这两年接待游客的年平均增长率）2,可列出关于x的一元二次方

程，解之取其符合题意的值，即可得出结论.

【解答】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为

根据题意得：25（1+x）2=36,

解得：xi=0.2=20%,X2=-2.2（不符合题意，舍去），

・•・该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

5.（2025•台湾）已知甲方程式为G-4）2=9,乙方程式为（x+9）2=-4.关于甲、乙两方程式的解的

情形，下列叙述何者正确？（）

A.甲有两个相异的解，乙无解

B.甲有两个相异的解，乙有两个相异的解

C.甲有两个相同的解，乙无解

D.甲有两个相同的解，乙有两个相异的解

【考点】解一元二次方程-直接开平方法；一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】A

【分析】利用直接开平方法解方程（X-4）2=9,利用负数没有平方根可判断方程J+9）2=-4没有

实数解，从而可对各选项进行判断.

【解答】解：对于方程（x-4）2=%

x-4=±3,

解得X1=7,X2=l；

对于方程G+9）2=-4.

因为负数没有平方根，

所以此方程没有实数解.

故选：A.

【点评】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如$=〃或（依+〃?）2=〃（〃20）的一元二次

方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

二.填空题（共9小题）

6.12025•广东)不解方程，判断一元二次方程27+x-1=0的根的情况是方程有两个不相等方实数根.

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】方程有两个不相等的实数根.

【分析】把〃=2,〃=1,c=-l代入判别式△=/，-4时进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情

况.

【解答】解：一元二次方程2?+x-1=0,

AA=12-4X2X(-1)=9>0.

・•・该方程有两个不相等的实数根.

故答案为：方程有两个不相等的实数根.

【点评】此题主要考查了根的判别式，正确求出根的判别式是解题关键.

7.12025•绥化)已知机，〃是关于x的一元二次方程7-2025x+l=()的两个根，则(加+1)(〃+1)=2027.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用：运算能力.

【答案】2027.

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出〃计〃=2025,代入整理后的代数式，即可求解.

【解答】解：•・•机，〃是关于人的一元二次方程7・2025x+l=0的两个根，

/.m+n=2025，mn=1,

(，〃+1)(?/+1)=〃〃%+用+〃+1=1+2025+1=2027,

故答案为：2027.

【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键.

8.(2025•苏州)已知内，。是关于x的一元二次方程f+Zt-加=0的两个实数根，其中xi=l,则X2=-

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】-3.

【分析】利用根与系数的关系，可得出用+工2=-2,结合川=1,即可求出超的值.

【解答】解：Vxi，也是关于x的一元二次方程/+2♦，〃=0的两个实数根，

.*.X|+X2=-2,

又Vxi=1,

•.X2=-2-x\=-2-1=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ad+Zu+c=OQWO）的两根之和等于一

是解题的关键.

9.（2025•眉山）已知方程/・&-5=0的两根分别为四，式2，贝[J<AI+1）（A2+1）的值为-2.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用：运算能力.

【答案】-2.

【分析】依据题意，利用根与系数的关系得到M+X2,R也的值，然后（片+1）（X2+1）代入计算即可.

【解答】解：由题意，•・•方程/-2r-5=0的两根分别为即，也，

.,.X|4-X2=2,X\X2=-5.:.（.ri+1）（X2+1>=X]X2+X\+X2+\=~5+2+1=-2.故答案为：・2.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用关系式是关键.

10.（2025•山东）若关于x的一元二次方程/+4.〃?=0有两个不相等的实数根，则实数〃，的取值范围是

_4.

【考点】根的判别式.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】〃?>-4.

【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式△>（）,可列出关于相的一元一次

不等式，解之即可得出实数，〃的取值范围.

【解答】解：•・•关于x的一元二次方程，+4x-〃?=0有两个不相等的实数根，

・•・A>0,

即A=42+4/n>0,

解得m>-4.

故答案为：〃?>-4.

【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程/+bx+c=0（g0）的

根与△=/>?-4〃c有如下关系：当△>（）时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=（）时，方程有两个

相等的两个实数根；当AV0时，方程无实数根.

II.（2025♦广安）已知方程』-5x-24=0的两根分别为〃和6则代数式,尸-的值为.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用：运算能力.

【答案】29.

【分析】依据题意，由己知方程24=0中的两根分别为。、b,得出〃+b=5,a2-5a-24=0,

求出J-5〃=24,代入a2-4a+b=a2-5a+〃+〃求出即可.

【解答】解：•・•方程，-5工-24=0中的两根分别为a、b,

.,.«+/?=5,cP-5a-24=0.

Aa2-5a=24,

.9•a1-4a+b=cr-5a+a+b,

=24+5,

=29.

故答案为：29.

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的解的应用，解题时要能熟练掌握并能灵活运

用了整体代入（。+力和〃2-5〃分别当作一个整体）的思想是关键.

12.（2025•上海）一元二次方程2/+x+m=0没有实数根，那么〃？的取值范围是.

【考点】根的判别式.

【专题】判别式法；运算能力.

【答案】〃

【分析】根据方程的系数，结合根的判别式A=b2-4ac<。，可得出1-8〃?<0,解之即可得出川的取

值范围.

【解答】解：•・•一元二次方程2?+.计〃?=0没有实数根，

:.A=l2-4X2X机=1-8〃?V0,

解得：，“>1.

O

••・加的取值范围是

故答案为：

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当AV0时，方程无实数根”是解题的关键.

13.（2025•泸州）若一元二次方程・6x-1=0的两根为a,0,则2a2-3a+3B的值为10.

【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】10.

【分析】将x=a代入原方程，可得出2a2・6a=l,利用根与系数的关系，可得出a+0=3,再将其代

入原式=(2a2-6a)+3(a+p)中，即可求出结论.

【解答】解：将x=a代入原方程得：2a2-6a-1=0,

2a2-6a=1.

•・•一元二次方程2?-6x-I=0的两根为a,p,

a+0=3,

/.2a2-3a+3p=(2a2-6a)+3(a+p)=1+3X3=10.

故答案为：1().

【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，利用一元二次方程的解及根与系数的关系,

找出2a2-6a=l及a+B=3是解题的关键.

14.已知关于x的方程/+/内-3=0的一个根是I,则〃?的值为2.

【考点】一元二次方程的解.

【专题】一元二次方程及应用；运算能力.

【答案】2.

【分析】根据题意可得：把x=l代入方程)+〃a・3=0中得：1+m・3=0,然后进行计算即可解答.

【解答】解：把*=1代入方程,&g-3=0中得：1+〃?-3=0,

解得：，〃=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查了一元二次方程的解.，准确熟练地进行计嵬是解题的关键.

三,解答题(共4小题)

15.(2025•齐齐哈尔)解方程：?-7x=-12.

【考点】解一元二次方程因式分解法.

【专题】一元二次方程及应用：运算能力.

【答案】内=4,X2=3.

【分析】先移项，再将左边因式分解，进一步求解即可.

【解答】解：整理得：?-7x+12=0,

因式分解得：(x-4)(x-3)=0,

所以x-4=0或x・3=0,

解得xi=4,m=3.

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方

法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.

16.（2025•威海）如图，某校有一块长20〃?、宽的矩形种植园.为了方便耕作管理，在和植园的四周

和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24〃/的9个矩形地块，请你

求出小路的宽度.

【考点】一元二次方程的应用.

【专题】一元二次方程及应用；应用意识.

【答案】

【分析】设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为（20-4%）机，宽为（14-4x），〃的矩形，

根据小路把种植园分成面积均为24〃%的9个矩形地块，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合

题意的值，即可得出结论.

【解答】解：设小路的宽度为x则9块矩形地块可合成长为（20-4x）/”，宽为（14-4x）小的矩

形，

根据题意得：（20-4x）（14-4x）=24X9,

整理得：2?-17x+8=0,

解得：X|=1,X2=8（不符合题意，舍去）.

答：小路的宽度为|即

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

17.（2025•南充）设加，也是关于x的方程（x-1）（x-2）=,/的两根.

（1）当XI=-I时，求X2及加的值.

（2）求证：（Ai-1）（X2-1）W0.

【考点】根与系数的关系.

【专题】一元二次方程及应用：应用意识.

【答案】（1）次=4,771=±A/6：（2）详见解答.

【分析】（1）先把方程的解代入方程，得关于m的新方程并求解，再根据根与系数的关系或解方程求

出方程的另一个解；

（2）先利用根的判别式判断方程解的情况，再利用根与系数的关系整体代入，得结论

【解答】解：（1）把同=-I代入方程（x-1）（x-2）=〃J,

得〃a=6,

•=+>/6.

：.（x-1）（x-2）=6,即f-3x-4=0.

:.（x-4）（x+1）=0.

.*.X1=-1，X2=4.

••x2=4,m=±\/6.

（2）方程（x-1）（x-2）=谓可化为/-3"2-/=o.

•IA=9-4（2-毋）=4勿2+]>o,

，方程有两个不相等的实数根.

・•'方程（x-1）（x-2）=nr即』-3x+2-〃』=（）的两根为x\、X2»

/.xi+X2=3,xi*X2=2-nr.

/.（XI-1）（.X2~1）

=Xl*X2-（X|+X2>+l

=2-n?-3+1

=-nr2.

VTM2^0,

:.・〃』W0，叩（xi-1）（X2_1）WO.

【点评】本题主要考查了一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式、根与系数的关系、一元二次方

程的解法等知识点是解决本题的关键.

18.（2025•泸州）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产

成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.

（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率：

（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲

种商品.

【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.

【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识.

【答案】（D20%；

（2）40件.

【分析】（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为工，利用乙种商品2024年每件的进价=乙种商品

2022年每件的进价义（1-乙种商品每件进价的年平均下降率）2,可列出关于x的一元二次方程，解之

取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）设购进y件甲种商品，则购进（100-y）件乙种商品，利用进货总价=进货单价X购进数量，结

合进货总价不超过7800元，灯列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【解答】解：（I）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x,

根据题意得：125（1-x）2=80,

解得:xi=0.2=20%,X2=1.8（不符合题意，舍去）.

答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%：

（2）设购进），件甲种商品，则购进（100-y）件乙种商品，

根据题意得：（125-25X2）>-+80（100-y）W7800,

解得：了240,

的最小值为40.

答：最少购进40件甲种商品.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关

系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

考点卡片

1.一元二次方程的解

(I)一元二次方程的解(根)的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.又因为只含有一个未知数的方程的解

也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根.

(2)元二次方程定有两个解，但不定有两个实数解.这㈤，人2是元二次方程al十4十c=O(a#O)

的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量.

依产+"盯+。=0(a#0),ar22+te+c=O

2.解一元二次方程-直接开平方法

形如/=〃或2=〃(〃》())的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程.

如果方程化成/=〃的形式，那么可得工=±四：

如果方程能化成｛iix+m)2=p(p》0)的形式，那么派+〃?=±四.

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数.

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程.

③方法是根据平方根的意义开平方.

3.解一元二次方程■因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两

个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一

元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零：②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得

到两个一元一次方程：④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.

4.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=/，-4ac)判断方程的根的情况.

一元二次方程ax1+bx+c=0(〃K0)的根与-4ac有如下关系：

①当4>0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△VO时，方程无实数根.

上酉的结论反过来也成立.

5.根与系数的关系

（1）若二次项系数为1,常用以下关系：XI，X2是方程/+px+