2025-2026学年人教版九年级数学上册基础过关练：概率初步（学生版+详解版）

专题25概率初步（知识解读）

【当灯目标】

1.了解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.

2.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念,

理解概率取值范围的意义.

3.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.

4.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率，了

解频率与概率的区别与联系.

5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.

【知例点梳理】

考点1事件类型

①必然事件：有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.

②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.

③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（又叫随机事件）.

说明：必然事件、不可能事件都称为确定性事件.

（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1；

②小可能事件发生的概率为。，即P（小可能事件）=0：

③如果A为不确定事件，那么0<P（A）<l

考点2概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A,把刻画其发生可能性大小的数值，称

为随机事件A发生的概率，记为P（A）.

（1）一个事件在多次试验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这

个事件发生的概率。

（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发

生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为

P（A）=-.

n

（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。

（2）在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

（3）在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能

性越大，则它的概率越接近1;反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接

近Oo

（5）一个事件的概率取值：0<P（A）

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P（必然事件）=1

不可能事件的概率为0,即P（不可能事件）=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则OVP（A）<1

（6）可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则

它的概率越接近0.

0事件一生的可能性越来越小

一」概率的值

不可能发生---------------------------必然发生

事件发生的可能性越来越大

2.求概率方法：

（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可

能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性

事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助

枚举法。

（2）列表法：当一次焚验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现

的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素•（例如从3个口袋中取

球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

考点3频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某

n

个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。

【典例台析】

【考点1事件类型】

【例1】（2024春•泰山区期末）翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件

是（）

A.不可能事件B.随机事件C.必然事件D.无法确定

【变式1-1］（2024秋•斗门区期末）下列事件中，是必然事件的是（）

A.通常加热到100。C时，水沸腾

B.掷一次骰子，向上一面的点数是6

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.射击运动员射击次，命中靶心

【变式1-2］（2024春•青川县期末）下列事件是必然事件的是（）

A.2024年7月12H青川县的大气是晴大

B.从一副扑克中任意抽出一张是黑桃

C.在一个三角形中，任意两边之和大于第三边

D.打开电视，正在播广告

【变式1-3］（2025•天宁区模拟）下列说法错误的是（）

A.了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查

B.一组数据5,5,3,4,1的众数是5

C.甲、乙两人跳高成绩的方差分别为S2甲=1/，S2乙=2.5,则乙的成绩比甲稳定

D.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件

【考点2概率】

【例2】（2024秋•衢江区期末）一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜

色不同以外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）

A.AB.Ac.2D.1

323

【变式2-1］（2025•瓯海区一模）一个不透明袋子中有3个红球，4个白球，2个黑球，它

们除颜色外其余都相同.从中任意摸出一个球是白球的可能性是（）

A.2B.2c.AD.苴

9999

涂黑，再将图中剩余的编号1-5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组

成的图案是一个轴对称图形的概率是（）

A.1B.ACD

54-f

【变式3-2]（2025春•清镇市校级月考）如图，A、8是边长为1的小正方形组成的网格上

的两个格点，在其余的格点中任意放置点C,恰好能使△A4C构成等腰三角形的概率是

B.-1C.且D.J-

52325

【考点3用列举法求概率】

【例4】（2024秋•义乌市期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为

1,2,3,4,从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（）

A.2B.AC.&D.工

8283

【变式4-1]（2024秋•无为市期末）随着“新冠”疫情防控进入常态化，为了做好个人防

护，学校要求学生每天上、放学途中必须佩戴口罩.小明和小凫两人家里都购买了相同

数量的淡蓝色和白色•次性医用防护口罩，并且两人每天都随机选择口罩颜色，则某天

上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的概率是（）

A.AB.Ac.AD.A

2346

【变式4-2]（2024秋•立舆县期末）从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花1,2,3,背

面朝上搅匀后先抽取一张点数记为小放回搅匀再抽取一张点数记为〃，则点（小b）在

直线y=x-1上的概率是（）

A.-1B.-1C.2D.土

3699

【变式4-3]（2025♦滑县模拟）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地

分成5个和4个扇形.每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转

动两个转盘.则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线上时，重新转动转盘）的

概率是（）

［例5］（2025•南海区一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公

厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策.为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某

学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调杳，调查结果共分

为四个等级：

A.非常了解；B.比较了解；C.基本了解；。.不了解.

根据调查结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：

（1）若该校有学生2000人，请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政

策的人数约为多少？

（2）根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”

的小明和小刚中选一个人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明

的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，

若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏

规则是否公平.

【变式5-1］（2024春•垦利区期末）小明和小亮做摸牌游戏，游戏规则为：从形状、大小

完全相同的，印有2,3,4,5,4,6,7,9的8张扑克牌中任摸一张，摸到比5大的牌,

小明赢；否则，小亮赢.

（1）求小明摸到4的概率；

（2）你认为这种游戏规则对他俩公平吗？请你说明理由.若不公平，请你修改游戏规则,

使游戏对双方都公平.

【变式5-2]（2025•湖北模拟）4张相同的卡片分别写有数字1,2,3,4,将卡片的背面

朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装

有标号为1,2,3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，

将摸到的球的标号作为减数.

（1）用列表法或树状图求这两个数的差为负数的概丞；

（2）规定：当抽到的两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜.这个规定公平吗？

如果不公平，请设计一个公平的规定.

【变式5-3]（2024春•渝中区校级期末）端午力是中国首个入选世界非遗的节F1,民间和

吃粽子，挂艾草，赛龙舟等习俗.端午前夕，亿品超市为了解市民对白味粽、蛋黄粽、

鲜肉粽、八宝粽（分别用A、8、C、。表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，以达到

按需进货的目的，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了两幅不完

整的统计图.

・就四种不同口哗的人能及所占的百分比

（1）本次参加抽样调查的居民共有人；

（2）将两幅统计图补充完整；

（3）端午节这大，妈妈给小牡牡买/超市最畅销的白味粽和八宝粽各两个，请用“列表

法”或“画树状图”的方法，求出小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝

粽的概率.

【考点4用频率估计概率】

【例6】（2025春•南海区校级月考）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中

阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20aM

的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录

小球落在不规则图案.上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若

干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约

小球落在不规则图案内的概率

为（）图①图②

A.6cm2B.lcnrC.8cn?D.9c〃尸

【变式-1】（2024•平乐县模拟）在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的一袋小球，

其中若干个黑求，白球2个，随机抽取一个小球是黑球的可能性大小是60%,则黑球的

个数是（）

A.6B.5C.4D.3

【变式6-2]（2024秋•章丘区期末）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球

和若干黑球,通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%,估计袋中黑球有（）

个.

A.8B.9C.14D.15

【变式6-3]（2024秋•宣化区期末）某鱼塘里养了100条鲤鱼、若干条草鱼和50条罗非鱼，

通过多次捕捞实验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，可估计该鱼塘中草鱼的数

量为（）

A.150B.100C.50D.200

专题25概率初步（知识解读）

【名灯目标】

1.了解什么是必然发生事件、不可能发生事件和随机事件.

2.在具体情境中了解概率的意义，体会概率是描述不确定事件发生可能性大小的数学概念,

理解概率取值范围的意义.

3.能够运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率.

4.能够通过试验，获得事件发生的频率，知道通过大量重发试验，可以用频率估计概率，了

解频率与概率的区别与联系.

5.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些简单的实际问题.

【笈物直梳理】

考点1事件类型

①必然事件：有此事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件.

②不可能事件：有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件.

③不确定事件：许多事情我们无法确定它会不会发生，称为不确定事件（乂叫随机事件）.

说明：（1）必然事件、不可能事件都称为确定性事件.

（2）事件分为确定事件和不确定事件，确定事件乂分为必然事件和不可能事件，其中，

①必然事件发生的概率为1,即P（必然事件）=1；

②不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；

③如果A为不确定事件，那么0<P（A）<l

考点2概率

1.定义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称

为随机事件A发生的概率，记为P（A）.

（1）一个事件在多次求验中发生的可能性，反映这个可能性大小的数值叫做这

个事件发生的概率。

（2）概率指的是事件发生的可能性大小的的一个数值。

2、概率的求法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发

生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为

P（A）=--

n

（1）一般地，所有情况的总概率之和为1。

（2）在一次实验中，可能出现的结果有限多个.

（3）在一次实验中，各种结果发生的可能性相等.

（4）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小，事件发生的可能

性越大，则它的概率越接近1;反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接

近Oo

（5）一个事件的概率取值：OWP（A）

当这个事件为必然事件时，必然事件的概率为1,即P（必然事件）=1

不可能事件的概率为0，即P（不可能事件）=0

随机事件的概率：如果A为随机事件，则OVP（A）<1

（6）可能性与概率的关系

事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1,事件发生的可能性越小，则

它的概率越接近0.

n事件发生的可能性越来越小।

9・•一」概率的值

不可能发生必然发生

事件发生的可能性越来越大

3.求概率方法:

（1）列举法：通常在一次事件中可能发生的结果比较少时，我们可以把所有可

能产生的结果全部列举出来，并且各种结果出现的可能性相等时使用。等可能性

事件的概率可以用列举法而求得。但是我们可以通过用列表法和树形图法来辅助

枚举法。

（2）列表法：当一次实验要涉及两个因素（例如掷两个骰子），并且可能出现

的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

（3）列树形图法：当一个实验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取

球）时，列表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果时使用。

考点3频率与概率

1、频数：在多次试验中，某个事件出现的次数叫频数

2、频率：某个事件出现的次数与试验总次数的比，叫做这个事件出现的频率

3、一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率-会稳定在某

n

个常数p附近，那么，这个常数p就叫作事件A的概率，记为P（A）=P。

【典例今折】

【考点1事件类型】

[例1]（2024春•泰山区期末）翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件

是（）

A.不可能事件B.随机事件C.必然事件D.无法确定

【答案】B

【解答】解：翻开鲁教版八年级下册数学课本，恰好是45页，这个事件是随机事性，

故选:B.

【变式1-1]（2024秋•斗门区期末）下列事件中，是必然事件的是（）

A.通常加热到100°C时，水沸腾

B.掷一次骰子，向上一面的点数是6

C.经过有交通信号灯的路口，遇到红灯

D.射击运动员射击次，命中靶心

【答案】A

【解答】解:小通常加热到100°。时，水沸腾，是必然事件，符合题意；

8、掷一次骰子，向上一面的点数是6,是随机事件，不符合题意；

。、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；

。、射击运动员射击次，命中靶心，是随机事件，不符合题意；

故选：A.

【变式1-2]（2024春•青川县期末）下列事件是必然事件的是（）

A.2024年7月12日青川县的天气是晴天

B.从一副扑克中任意抽出一张是黑桃

C.在一个三角形中，任意两边之和大于第三边

D.打开电视，正在播广告

【答案】C

【解答】解：A、2024年7月12日青川县的天气是晴天，是随机事件，不符合题意：

8、从一副扑克中任意加出一张是黑桃，是随机事件，不符合题意；

C、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，是必然事件，符合题意；

。、打开电视，正在播广告，是随机事件，不符合题意；

故选：C.

【变式（2025•天宁区模拟）下列说法错误的是（

A.了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查

B.一组数据5,5,3,4,1的众数是5

C.甲、乙两人跳高成绩的方差分别为52甲=1/，§2乙=2.5,则乙的成绩比甲稳定

D.“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件

【答案】C

【解答】解：八、了解市民知晓“礼让行人”交通新规的情况，适合抽样调查，本选项说

法正确，不符合题意；

B、一组数据5,5,3,4,1的众数是5,本选项说法正确，不符合题意；

。、甲、乙两人跳高成绩的方差分别为52甲=1.1,52乙=2.5,则甲的成绩比甲稳定，故本

选项说法错误，符合题意；

。、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，本选项说法正确，不符合题意；

故诜：C.

【考点2概率】

【例2】（2024秋•衢江区期末）一个不透明的布袋中装有1个白球和2个红球，它们除颜

色不同以外其他都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为（）

A.AB.Ac.2D.1

323

【答案】A

【解答】解：一共有3个球，其中白球有1个，

因此摸出一球是白球的概率为2，

3

故选：A.

【变式2-1]（2025•瓯海区一模）一个不透明袋子中有3个红球，4个白球，2个黑球，它

们除颜色外其余都相同.从中任意摸出一个球是白球的可能性是（）

A.2B.2c.AD.苴

9999

【答案】C

【解答】解：从中任意摸出一个球共有9种等可能结果，其中摸出的球是白球的结果有4

种，

所以从中任意摸出一个球是臼球的可能性是居，

9

故选：C.

【变式2-2]（2024秋•天河区校级期末）如图，一个游戏盘中，红、黄、蓝三个扇形的

圆心角度数分别为40°,120°,200°,让转盘自由转动，指针停止后在黄色区域的概

9399

【答案】B

【解答】解：・・,“黄色”扇形区域的圆心角为120°,

・•・“黄色”区域的面积占整体的坨=2•，

3603

即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是工，

3

故选：B.

【变式2-3]（2024秋•阳城县期末）某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了

某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能

的是（）

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”

B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块

C.布袋中有1个红球和2个黄球，它们只是颜色上芍区别，从中任取一球是黄球

D.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是4

【答案】D

【解答】解：A、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头”的概率为

3

故A选项不符合题意;

8、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是工■=2

524

故B选项不符合题意.

。、暗箱中有1个红球却2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率

为工,故C选项不符合题意；

3

D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为2-0.17,故B选项符

6

合题意.

故选：D.

【例3】（2025•淮北模拟）如图，在3X3的方格中有3个方格涂有颜色，在剩卜.的6个方

格中随机将一个方格涂上颜色，使得有颜色的部分恰好是一个轴对称图形的概率是（

6323

【答案】D

【解答】解：如图所示，在剩下的6个方格中随机将一个方格涂上颜色共有6种等可能

结果，其中使得有颜色的部分恰好是一个轴对称图形的涂法有4种，

使得有颜色的部分恰好是一个轴对称图形的概率是9=2,

63

故选：D.

【变式3-1］（2024春•垦利区期末）如图，在3X3的正方形网格中，已有两个小正方形被

涂黑，再将图中剩余的编号1-5的小正方形中任意一个涂黑，则3个被涂黑的正方形组

成的图案是一个轴对称图形的概率是（）

7

A.1D-t

【答案】B

【解答】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，

选择的位置有以下几种：1处，2处，4处，5处，选择的位置共有4处，

其概率为

5

【变式3-2］（2025春•清镇市校级月考，）如图，A、B是边长为I的小正方形组成的网格上

的两个格点，在其余的格点中任意放置点C，恰好能使^ABC构成等腰三角形的概率是

)

B.-1C.且D.J-

A.6

^352325

【答案】C

【解答】解：由图知，任意放置的点C共有23种等可能结果，其中能使△/1BC构成等

腰三角形的有如图所示的9种结果,

所以能使△ABC构成等腰二角形的概率为且，

23

故选：C.

【考点3用列举法求概率】

【例4】（2024秋•义乌巾期末）在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为

L2,3,4,从中随机摸出两个小球，则摸出的两个小球标号之和大于4的概率是（）

A.2B.AC.苴D.2

8283

【答案】D

【解答】解：画树状图如下：

开始

共有12种等可能的结果数，其中两次取出的球标号和大于4的有8种结果，

所以摸出的两个小球标号之和大于4的概率是且=2,

123

故选：

【变式4-1]（2024秋•无为市期末）随着“新冠”疫情防控进入常态化，为了做好个人防

护，学校要求学生每天上、放学途中必须佩戴口罩.小明和小亮两人家里都购买了相同

数量的淡蓝色和白色一次性医用防护口罩，并且两人每天都随机选择口罩颜色，则某天

上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的概率是（）

A.AB.AC.AD.A

2346

【答案】c

【解答】解：画树状图如图：

小明浅蓝白

AA

小亮浅蓝白浅蓝白

共有4种等可能的结果，其中某天上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的结果有1种，

・•・某天上学小明和小亮都选择佩戴白色口罩的概率为工，

4

故选：C.

【变式4-2]（2024秋•立舆县期末）从一副扑克中抽出三张牌，分别为梅花1,2,3,背

面朝上搅匀后先抽取一张点数记为〃，放回搅匀再抽取一张点数记为〃，则点（〃，b）在

直线y=x-1上的概率是（）

A.AB.Ac.2D.苴

3699

【答案】C

【解答】解：画树状图得:

开始

123123123

所有等可能的情况有9种，其中点（，，b）在直线y=x-I图象上的结果有2种情况，

所以点（小b）在直线），=x-1图象上的概率为看.

故选：C.

【变式4-3]（2025•滑县模拟）某商户开展抽奖活动，如图所示的两个转盘分别被均匀地

分成5个和4个扇形.每个扇形上都标有数字，当满足抽奖条件的某个客户同时自由转

动两个转盘.则转盘停止后，指针都落在偶数上（指针落在线.上时，重新转动转盘）的

概率是（）

【答案】B

【解答】解：•・•两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，自由转动两个转盘,

・•・指针落在每个数字上的可能性是相同的.

依据题意列树状图如下：

•・•从图中可以看出共有20中等可能，其中指针都落在偶数上的可能有4种,

・••指针都落在奇数上的概率是：一£=」，

205

故选：B.

[例5]（2025•南海区一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公

厅、国务院办公厅颁布了“双减”政策.为了调查学生对“双减”政策的了解程度，某

学校数学兴趣小组通过网上调查的方式在本校学生中做了一次抽样调查，调查结果共分

为四个等级：

儿非常了解；用比较了解；C.基本了解；不了解.

根据调杳结果，绘制了如图的统计图，结合统计图，回答下列问题：

（1）若该校有学生2000人,请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政

策的人数约为多少？

（2）根据调查结果，学校准备开展关于“双减”政策宣传工作，要从某班“非常了解”

的小明和小刚中选一个人参加，现设计/如卜游戏来确定，具体规则是：在一个小透明

的袋中装有2个红球和2个白球，它们除了颜色外无其他差别，从中随机摸出两个球，

若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏

【解答】解：（1）根据调查结果估计这些学生中“比较了解”“双减”政策的人数约为

2000X------------=400；

10+20+40+30

（2）这个游戏规则是不公平的，理由如下:

画树状图得：

开始

红

/T\木桌上

打白白红白白红红白红红白

•・•共有12种等可能的结果，两个球颜色相同的有4种情况，两个球颜色不同的有8种情

况，

（颜色相同）=_£=2，P（颜色不同）=_邑=2,

123123

・•・这个游戏规则是不公平的.

【变式5-1]（2024春•垦利区期末）小明和小亮做摸牌游戏，游戏规则为：从形状、大小

完全相同的，有2,3,4,5,4,6,7,9的8张扑克牌中任摸一张，摸到比5大的牌，

小明赢；否则，小亮嬴..

（1）求小明摸到4的概率；

（2）你认为这种游戏规则对他俩公平吗？请你说明理由.若不公平，请你修改游戏规则，

使游戏对双方都公平.

【答案】（1）乙摸刎4）=2,（2）不公平

84

【解答】解：（1）•・•摸牌的结果共有8种，且每种结果出现的可能性相等，小明摸到4

的结果只有2种，

91

P＜推到4）=—=-；

84

（2）不公平，

•・•摸牌的结果共有8种，且每种结果出现的可.能性相等，摸到比5大的牌的结果只有3

种，

・.p•r（小明口）_—3—，

8

P（小亮»

8

・•3v5

88

・•・游戏规则不公平.

新的游戏规则：从形状、大小完全相同的，印有2,3,4,5,4,6,7,9的8张扑克牌

中任摸一张，摸到奇数牌，小明扁；否则，小亮赢.

【变式5-2]（2025•湖北模拟）4张相同的卡片分别写有数字I,2,3,4,将卡片的背面

朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装

有标号为1,2,3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，

将摸到的球的标号作为减数.

（I）用列表法或树状图求这两个数的差为负数的概丞；

（2）规定：当抽到的两个数的差为非负数时，甲获胜；否则，乙获胜.这个规定公平吗？

如果不公平，请设计一个公平的规定.

【答案】（1）工（2）两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜.

4

此时夕（甲获胜）=Q（乙获胜）=2.

2

【解答】解：（I）根据题意列表如下：

1234

10123

2-1012

3-2-101

•・•共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为负数的情况占3种,

・•・这两个数的差为负数的概率是且=工；

124

（2）•两个数的差为非负数的情况有9种,

，尸（甲获胜）,P（乙获胜）=—=—

124124

•:P（甲获胜）＞P（乙获胜），

・•・这样的规则不公平，

可将规则改为：两个数的差为正数时，甲获胜，否则，乙获胜.

此时户（甲获胜）=P（乙获胜）=2.

2

【变式5-3]（2024春•渝中区校级期末）端午节是中国首个入选世界非遗的节口，民间有

吃粽子，挂艾草，赛龙舟等习俗.端午前夕，亿品超市为了解市民对白味粽、蛋黄粽、

鲜肉粽、八宝粽（分别用4、以。、。表示）这四种不同口味粽子的喜爱程度，以达到

按需进货的目的，对某居民区的市民进行了抽样调查，并根据调查结果绘制了两幅不完

整的统计图.

■我四抑不同口哗的人数及所占的百分比

（1）本次参加抽样调查的居民共有人；

（2）将两幅统计图补充完整；

（3）端午节这天，妈妈给小轩轩买了超市最畅销的白味粽和八宝粽各两个，请用“列表

法”或“画树状图”的方法，求出小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝

粽的概率.

【答案】（1）600（2）略（3）2

3

【解答】解：（1）604-10%=600（人），

即本次参加抽样调查的居民有600人，

故答案为:600；

（2）喜爱C类的人数为：600-180-240-60=120（人），

喜爱A类的人数所占的百分比为：I8O+6OOX1OO%=3O%,

喜爱C类的人数所占的百分比为：I20+600X100%=20%,

将两幅统计图补充完整如下：

喜欢四种不同口味的人数及所占的百分比

（3）把2个白味粽记为A、B,2个八宝粽记为。、D,

画树状图如图：

开始

ABCD

A\A\A\ZN

BCDACDABDABC

共有12种等可能的结果，小轩轩选出的两个粽子恰好是一个白味粽和一个八宝粽的结果

有8种,

・•・小科科选出的两个粽子恰好是一•个