陕西省咸阳市高新一中2025-2026学年高二上学期阶段性质量检测（一）数学试题（含解析）

咸阳市高新一中2024级阶段性质量检测（一）数学试题考试时长：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1．过两点的直线倾斜角为（）A．B．C．D．2.下列关于空间向量的说法中正确的是（

）A．单位向量都相等B．若，，则C．若向量，满足，则D．若，，则3.设向量不共面，已知，若三点共线，则（

）A．1 B．2 C．3 D．44.若直线与平行，则实数值为（）A.0 B.2C.3D.2或35.如图，空间四边形中，，，，点在线段上，且，点为的中点，则（

） B．C.D．6.已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（）A或B.或（3，0）C.D.（7,0）7.已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（

）A． B． C． D．8.如图，在正方体ABCD−A1B1C下列结论不正确的是（

）A．D1E//B．EC．二面角E−A1D．直线EB1与平面二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知空间向量，，下列说法正确的是（

）A若，则 B．若在上的投影向量为，则C．若，则 D．若与夹角为锐角，则10.下列说法不正确的有（）A．直线的倾斜角越大，斜率越大B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是C．直线的倾斜角的取值范围是D．直线在轴上的截距是311.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，∠D1A1B1=60A．DB．A1C与平面AAC．三棱柱ABD−A1D．点A1到平面AMN的距离为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a=2,−1,3，b=−1,2,−2，c=6,1,λ，若a−b13.已知点、，则线段的垂直平分线方程为．14.如图所示，在直四棱柱ABCD−A1B点E在棱AA1上，且AE=14AA1=1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15.已知a=1,2,−2，b=(1)求cosa(2)若2a→−b→16.求满足下列条件的直线的方程：(1)经过点C(2，-3)，且平行于过M(1，2)和N(-1，-5)两点的直线；(2)经过点B(3，0)，且与直线2x+y−5=0垂直.17.已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点.（1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程；（2）求面积的最小值及此时直线的方程.18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．求证：(1)BE∥平面PAD；(2)平面PCD⊥平面PBC．19.如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ADEF为平行四边形，AB//CD,AD⊥CD,∠FAD=π4,AF=2(1)求证：DF⊥AD；DF⊥BC；(2)求点P到平面BEF(3)在线段BC上是否存在一点H，使得平面DHP与平面BEF的夹角的余弦值为4214？若存在，求BH参考答案1.【答案】A解析:，故．2.【答案】D解析：对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的；把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误；对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行，所以当时，与不一定平行，故B错误；对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误；对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确．故选：D.3.【答案】C解析：因为三点共线，所以，则存在实数，使得，由已知得故由于不共面，故解得另解:因为向量不共面，所以，由已知得故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得．故选：C.4.【答案】B5.【答案】A解析：因为，所以；因为点为的中点，所以，易知，，所以，又，，，所以．故选：A6.【答案】A7.【答案】D解析：由已知：平行六面体所有棱长均为，，则，又因为：，同理可得：，则，则.故选：.8.【答案】D解析：对于选项A：因为平面D1C1CD//平面A1B所以D1E//平面如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E(0,m,0),0≤m≤1，B1(1,1,1)，D1对于选项B：EB1=(1,1−m,1)因为EB所以EB1⊥故选项B正确；因为A1B1//CD，E在棱CD上，所以二面角因为DA1⊥A1B1，AA1所以∠DA1A在正方形ADD1A1中，∠DA直线EB1的方向向量为EB1=(1,1−m,1)所以cosE所以直线EB1与平面ABCD所成角的的正弦值为随m的值的变换其正弦值也变化，故直线EB1与平面ABCD所成角也变化，D错误.9.【答案】ACD解析：对于A：，，又，，即：，解得：，故A选项正确；对于B：在上的投影向量为：，即，代入坐标化简可得：，故，无解，故B选项错误；对于C：，，解得：，故C选项正确；对于D：与夹角为锐角，，解得：，且与不共线，即，解得：，所以与夹角为锐角，解得：，故D选项正确；故选：ACD.10.【答案】ABD解析：对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误；对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误；对于C，直线的倾斜角为，则，因为，所以，故C正确；对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误.故选：ABD.11.【答案】AC解析：对于A，连接B1D1所以△B1C1D所以D1N⊥BC以D为原点，在平面ABCD内过点D作DC的垂线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A13,−1,2，C0,2,0，A3对于B，平面AA1BA1C=−3,3,−2，设则sinθ=所以A1C与平面AA对于C，由题意知△ABD为等边三角形，△ABD的外接圆半径r=22sin60∘=2所以三棱柱ABD−A1B对于D，AM=0,2,1，AN=设平面AMN的法向量为n=则AM⋅n=0AN⋅n=0，即2y+z=0−3点A1到平面AMN的距离d=【答案】-313.【答案】14.【答案】5解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则D0,0,0∴D设平面EDC1的法向量为n令z=1，则x=−5∴点B到平面EDC1的距离d=n⋅DB解析：（1）因为a=1,2,−2，b=4,−2,4，则b=16+4+16=6（2）由题意可得：2a因为2a→−设2a−b=λc,λ∈R，即−2,6,−817.解析（1）由题意可知直线不经过原点，又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为，代入点，得，解得，故直线的方程为，即.（2）依题意，设直线的方程为，则，且，所以，解得，当且仅当，即时，等号成立，所以的面积，即的面积的最小值为，此时直线的方程为，即.18.解析（1）依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.则B1,0,0，C2,2,0，D0,2,0，由E为棱PC的中点，得E1,1,1因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又AB⊥AD，PA∩AD=A，PA,AD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB=1,0,0为平面PAD的一个法向量，而所以BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD．（2）设平面PCD的一个法向量为n=x,y,z则n⋅PD不妨令y=1，可得n=0,1,1为平面设平面PBC的法向量m=x,y,z，又向量PB=则m⋅PB=0不妨令x=2，可得m=2,−1,1为平面因为n⋅m=所以平面PBC⊥平面PCD．19.解析：（1）证明：在△ADF中，因为AD=2,AF=22所以DF=A所以AD2+D又平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD, DF⊂平面所以DF⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以DF⊥BC.（2）由（1）可得DF⊥AD, DF⊥DC，又AD⊥CD，所以以DA,DC,DF所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0),B(2,2,0),F(0,0,2),E(−2,0,2)，C(0,4,0),P(−1,2,1),设平面BEF的一个法