专题1.1 二次函数（高效培优讲义）（教师版）

专题1.1二次函数教学目标学生能够准确理解二次函数的概念；

2.熟练掌握根据具体实际问题，构建简单的二次函数模型，确定函数关系式，且能依据实际意义正确确定自变量的取值范围；

3.学会运用待定系数法求解二次函数的解析式，提升数学运算与函数表达式确定的能力；4.积极感受数学与现实生活的紧密联系，充分认识数学在解决实际问题中的重要价值，从而激发学习数学的浓厚兴趣和应用数学的强烈意识。教学重难点1.重点（1）y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，以及各系数的意义；（2）根据实际问题准确列出函数关系式；（3）二次函数值。2.难点（1）能够从实际情境中准确提炼出数学问题，并构建二次函数模型；（2）实际问题中自变量取值范围。知识点01二次函数的相关概念二次函数的概念:一般地，形如y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．注意：二次函数的判断方法：①函数关系式是整式；②化简后自变量的最高次数是2；③二次项系数不为0．二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项注意：二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，

还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c。

【即学即练】1．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）下列各式中，y是x的二次函数的是（

）A．y=3x-C．y=1x【答案】B【分析】本题主要考查二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c（【详解】解：A、y=3B、y=-C、y=D、y=2故选：B．2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）在圆的面积公式S=πr2中，s与A．一次函数关系 B．正比例函数关系C．反比例函数关系 D．二次函数关系【答案】D【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可判断，解题的关键是正确理解：一般地形如y=ax2+【详解】解：圆的面积公式S=πr2中，故选：D．知识点02二次函数的值根据题意把x值代入函数解析式，求出y值即可。【即学即练】1．（24-25九年级上·山西吕梁·期中）当x=1时，y=2xA．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本题考查了二次函数值的求解，是基础题，准确计算是解题的关键．把x=1【详解】解：当x=1时，y=2x故选：B．题型01列二次函数关系式【典例1】（24-25九年级上·天津河西·期末）一矩形绿地的长和宽分别为30 m和20 m，如果长和宽各增加了x m，则扩充后绿地的面积A．y=x2C．y=x2【答案】B【分析】本题考查了二次函数的实际应用问题．根据题意列出y与x的关系式可得答案．【详解】解：由题意得，y=故选：B．【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与xA．w=x-30-2x+80 B【答案】A【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式．【详解】解：根据题意得，w=即w=故选：A．【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键．【变式2】（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是．【答案】y【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(1-每次降价的百分率)2，列出函数关系式，即可求解．【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是y=5000故答案为：y=5000【变式3】（22-23七年级下·山东枣庄·期中）长方形的周长为30cm，其中一边长为xcm（其中0<x<15），面积为ycm2，则这样的长方形中【答案】y【分析】利用周长公式可得另一边长为15-x【详解】解：其中一边长为xcm，则另一边长为：30-2∴y与x的关系可以写成：y=故答案为：y=【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握其基础知识是解题的关键．题型02二次函数的判断【典例2】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）下列函数是二次函数的是（

）A．y=axC．y=3x2【答案】D【分析】本题考查了二次函数的概念：二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c，其中【详解】解：A、当a=0B、是一次函数，故不符合题意；C、右边不是整式，故不符合题意；D、由二次函数的概念知，y=8故选：D．【变式1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（

）A．y=x2C．y=ax【答案】B【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键．直接根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A、y=B、s=2C、y=ax2D、y=故选：B．【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数属于二次函数的是（

）A．y=x+1C．y=3x D【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（根据定义逐一判定．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（【详解】解：A．y=B．y=C．y=3D．y=ax故选：B．【变式3】（2025·上海·模拟预测）下列函数是二次函数的是（

）A．y=1x2 B．y=x【答案】D【分析】本题考查了二次函数的定义，形如y=ax2+根据二次函数的定义逐项判断即可．【详解】解：A．y=B．y=C．y=2D．y=故选：D．题型03利用二次函数的概念含参数取值范围【典例3】（24-25九年级上·广东惠州·期中）若函数y=(m-1)xA．-1 B．1 C．1或-1 D【答案】A【分析】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（根据“形如y=ax2+bx+【详解】解：∵y=(m|∴|m|+1=2且解得：m=-1故选：A．【变式1】（24-25九年级上·广东肇庆·期中）若函数y=mxm-【答案】4【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如y=ax【详解】解：由题意得：m≠0解得：m=4故答案为4．【变式2】（22-23九年级上·全国·单元测试）若y=m+2xm2-【答案】2【分析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．利用二次函数定义进行解答即可．【详解】解：由题意可知m2-2=2解得：m=2故答案为：2．【变式3】（23-24九年级上·山东济南·期中）若抛物线y=(m-3)xm2A．3 B．-2 C．2 D．2或【答案】C【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0，同时也考察了因式分解法进行解方程．【详解】解：∵抛物线y=(m-∴m2-5则m2解得m1=2，m2∴m=2故选：C．题型04二次函数的一般形式【典例4】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数y=xxA．y=x2C．y=x2【答案】D【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可．【详解】y=故选：D．【变式1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数y=2x2A．2，0，-1 B．2，2，-1 C．2，2，1 D．2，0【答案】A【分析】本题考查了二次函数的一般式，根据二次函数的一般式y=ax2+【详解】解：二次函数y=2x2故选：A．【变式2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数y=3x2-4【答案】3-【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数ax2+bx+c=0（a、b，c是常数且a根据二次函数的定义解答即可．【详解】解：∵y=3∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是-4，常数项是5故答案是：3，-4【变式3】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在二次函数y=2x2【答案】-【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b由题意可得二次项系数是2，常数项是-3【详解】解：在二次函数y=2二次项系数为2，一次项次数为-3∴二次项系数与一次项系数的和是：2+-故答案为：-1题型05二次函数的函数值【典例5】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）已知二次函数y=ax2+2c，当x=2A．a+2c=8 B．2a+c【答案】B【分析】把x=2,【详解】解：由题意得：把x=2,y=88=4等号两边同除以2得：2故选B．【点睛】本题主要考查二次函数，熟练掌握代入法转化为关于a,【变式1】（22-23九年级上·广东广州·期末）已知函数y=x2-2x，x=a时，记函数值y为f(a)，则f(-10)f(-1)（填写【答案】>【分析】分别当x=-10，x=-1时，求出f(-10)，f(【详解】解：由题意得f(-10)=120，f(-1)=3，∵120>3，∴f(-10)>f(-1故答案：>．【点睛】本题主要考查了求函数值，掌握求法是解题的关键．【变式2】（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+x⋯-0123⋯y⋯30-03⋯则代数式a+b+【答案】-【分析】根据表格得出x=1时，y=a+b+c【详解】解：由表格可知，当x=1时，y=a+b∴a+故答案为：-3【点睛】本题考查了二次函数的定义，二次函数的函数值，找出合适的自变量代入是解题的关键．一、单选题1．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）下列函数属于二次函数的是（）A．y=3x-1 B．y=x【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是根据二次函数的定义条件：二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、【详解】解：A、y=3B、y=x3+C、y=2D、y=故选：C．2．（24-25九年级上·浙江温州·期中）二次函数y=3x2A．-5 B．1 C．3 D．【答案】A【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+【详解】解：二次函数y=3x故选：A．3．（24-25九年级上·全国·期中）已知y=(a+2)x2-5A．a≥-2 B．a≠2 C．a≥2【答案】D【分析】此题考查了二次函数的定义，形如y=ax2【详解】解：∵y=(a+2)∴a+2≠0∴a≠-2故选：D4．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）抛物线y=ax2+A．0 B．1 C．-1 D．【答案】C【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把(0,0)代入函数解析式，求解关于【详解】解：∵抛物线y=∴a≠0-a故选C．5.（23-24九年级上·四川成都·期末）若y=(m-4)x2-A．m≠0 B．m>4 C．m<4【答案】D【分析】本题考查的是二次函数的定义．根据二次函数的定义得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【详解】解：∵y=(m-4)∴m解得m≠4故选：D．6．（23-24九年级上·山西大同·阶段练习）如图，一个正方体的边长为xcm，它的表面积为ycm2，则y与x

A．y=x2 B．y=3x2【答案】C【分析】正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，这6个正方形的面积和就是该正方体的表面积．【详解】解：∵正方体有6个面，每一个面都是边长为x的正方形，∴表面积y=6故选：C．【点睛】本题考查了列二次函数关系式，理解两个变量之间的关系是得出关系式的关键．7．（24-25九年级上·北京·期中）如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，SA．二次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，正比例函数关系C．正比例函数关系，二次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系【答案】D【分析】本题考查二次函数与一次函数的识别、矩形的周长与面积公式，根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断．【详解】解：由题意可得：2x即：y=5-∴y与x是一次函数关系，S与x故选：D．8．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米，则y关于x的函数关系式为（A．y=x18-4C．y=x12-4【答案】A【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及AB的长，可得出平行于墙的一边长为18-4x米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x【详解】解：∵铁栅栏的全长为15米，AB=∴平行于墙的一边长为15+3-4x根据题意得：y=故选：A．二、填空题9.（24-25九年级上·广东肇庆·期末）二次函数y=2x2【答案】-【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答．【详解】解：二次函数y=2x2故答案为：-610．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把y=2-3x【答案】12【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为y=ax2+bx根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案.【详解】解：∵y=∴把y=2-3x故答案为：12.11．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为．【答案】y【分析】本题考查了根