2025年中国精算师职业资格考试（准精算师精算数学）测试题及答案

2025年中国精算师职业资格考试（准精算师精算数学）测试题及答案2025年中国精算师职业资格考试（准精算师精算数学）测试题及答案一、单项选择题（每题2分，共30分）1.已知某保险公司承保的某类风险的损失随机变量$X$服从参数为$\lambda=0.5$的指数分布，若该公司设定的免赔额为2，则每次损失的平均赔付额为（）A.$2e^{-1}$B.$e^{-1}$C.$2e^{-0.5}$D.$e^{-0.5}$答案：A解析：指数分布的概率密度函数为$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函数为$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。设赔付额为$Y$，当$X\leq2$时，$Y=0$；当$X\gt2$时，$Y=X-2$。平均赔付额$E(Y)=\int_{2}^{+\infty}(x-2)\lambdae^{-\lambdax}dx$，已知$\lambda=0.5$，则：\[\begin{align}E(Y)&=\int_{2}^{+\infty}(x-2)\times0.5e^{-0.5x}dx\\&=0.5\int_{2}^{+\infty}xe^{-0.5x}dx-\int_{2}^{+\infty}e^{-0.5x}dx\end{align}\]利用分部积分法$\intxe^{-ax}dx=-\frac{1}{a}xe^{-ax}-\frac{1}{a^{2}}e^{-ax}+C$，对于$\int_{2}^{+\infty}xe^{-0.5x}dx=\left[-2xe^{-0.5x}-4e^{-0.5x}\right]_{2}^{+\infty}=4e^{-1}+4e^{-1}=8e^{-1}$，$\int_{2}^{+\infty}e^{-0.5x}dx=\left[-2e^{-0.5x}\right]_{2}^{+\infty}=2e^{-1}$。所以$E(Y)=0.5\times8e^{-1}-2e^{-1}=2e^{-1}$。2.设$X$和$Y$是两个相互独立的随机变量，$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,4)$，则$Z=2X-Y$的分布为（）A.$N(-1,8)$B.$N(-1,6)$C.$N(1,8)$D.$N(1,6)$答案：A解析：若$X\simN(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})$，$Y\simN(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})$，且$X$与$Y$相互独立，则$aX+bY\simN(a\mu_{1}+b\mu_{2},a^{2}\sigma_{1}^{2}+b^{2}\sigma_{2}^{2})$。已知$X\simN(0,1)$，$Y\simN(1,4)$，对于$Z=2X-Y$，其中$a=2$，$b=-1$，$\mu_{1}=0$，$\sigma_{1}^{2}=1$，$\mu_{2}=1$，$\sigma_{2}^{2}=4$。则$E(Z)=2E(X)-E(Y)=2\times0-1=-1$，$Var(Z)=2^{2}Var(X)+(-1)^{2}Var(Y)=4\times1+1\times4=8$，所以$Z\simN(-1,8)$。3.已知某寿险保单在时刻$t$的责任准备金为$V_{t}$，保险金额为$b$，在$t$到$t+1$期间的死亡率为$q_{x+t}$，利息力为$\delta$，则$V_{t+1}$与$V_{t}$的关系为（）A.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$B.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)q_{x+t}-bq_{x+t}$C.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1-\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$D.$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1-\delta)q_{x+t}-bq_{x+t}$答案：A解析：根据责任准备金的递推公式，在$t$时刻的责任准备金为$V_{t}$，保费为$P$。在$t$到$t+1$期间，首先$(V_{t}+P)$经过利息积累变为$(V_{t}+P)(1+\delta)$，然后考虑死亡情况，生存下来的概率为$1-q_{x+t}$，死亡的概率为$q_{x+t}$，死亡时要赔付$b$。所以$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$。4.已知某年金在每年年初支付1元，共支付$n$年，年利率为$i$，则该年金的现值为（）A.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{d}$B.$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{i}$C.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{i}$D.$a_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{d}$答案：A解析：期初年金现值$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}$，这是一个首项为1，公比为$v=\frac{1}{1+i}$的等比数列求和。根据等比数列求和公式$S=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}$（这里$a=1$，$r=v$），可得$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{1-v}$，又因为$d=\frac{i}{1+i}=1-v$，所以$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{1-v^{n}}{d}$。5.设$X$是一个离散型随机变量，其分布列为$P(X=k)=\frac{1}{n},k=1,2,\cdots,n$，则$X$的方差为（）A.$\frac{n^{2}-1}{12}$B.$\frac{n^{2}+1}{12}$C.$\frac{n^{2}-1}{6}$D.$\frac{n^{2}+1}{6}$答案：A解析：首先求期望$E(X)=\sum_{k=1}^{n}k\times\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{n}\times\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n+1}{2}$。然后求$E(X^{2})=\sum_{k=1}^{n}k^{2}\times\frac{1}{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{n}\times\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}$。根据方差公式$Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$，可得：\[\begin{align}Var(X)&=\frac{(n+1)(2n+1)}{6}-\left(\frac{n+1}{2}\right)^{2}\\&=\frac{2(n+1)(2n+1)-3(n+1)^{2}}{12}\\&=\frac{(n+1)[4n+2-3n-3]}{12}\\&=\frac{(n+1)(n-1)}{12}=\frac{n^{2}-1}{12}\end{align}\]6.已知某风险的损失分布函数为$F(x)=1-e^{-0.1x},x\geq0$，则该风险的损失强度为（）A.0.1B.10C.1D.0.01答案：B解析：损失强度即平均损失，对于连续型随机变量，已知分布函数$F(x)=1-e^{-0.1x},x\geq0$，其概率密度函数$f(x)=0.1e^{-0.1x},x\geq0$。平均损失$E(X)=\int_{0}^{+\infty}x\cdotf(x)dx=\int_{0}^{+\infty}x\cdot0.1e^{-0.1x}dx$，利用分部积分法$\intxe^{-ax}dx=-\frac{1}{a}xe^{-ax}-\frac{1}{a^{2}}e^{-ax}+C$（这里$a=0.1$），可得：$E(X)=\left[-10xe^{-0.1x}-100e^{-0.1x}\right]_{0}^{+\infty}=10$。7.某保险公司对某种风险的自留额为20万元，分保额为30万元，现有一笔损失为40万元，则该保险公司的自留赔款和分保赔款分别为（）A.20万元，20万元B.20万元，30万元C.10万元，30万元D.10万元，20万元答案：A解析：自留额为20万元，分保额为30万元，损失为40万元。因为损失40万元大于自留额20万元，所以保险公司自留赔款为20万元，分保赔款为$40-20=20$万元。8.已知$a_{\overline{n}|i}=5$，$a_{\overline{2n}|i}=8$，则$v^{n}$为（）A.$\frac{2}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{1}{5}$D.$\frac{4}{5}$答案：B解析：根据年金现值公式$a_{\overline{2n}|i}=a_{\overline{n}|i}+v^{n}a_{\overline{n}|i}$，已知$a_{\overline{n}|i}=5$，$a_{\overline{2n}|i}=8$，则$8=5+5v^{n}$。解得$5v^{n}=3$，所以$v^{n}=\frac{3}{5}$。9.设$X$是一个随机变量，其概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，则$E(X^{2})$为（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$答案：B解析：根据期望公式$E(X^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x)dx$，已知$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，则：$E(X^{2})=\int_{0}^{1}x^{2}\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^{3}dx=\left[\frac{1}{2}x^{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}$。10.已知某寿险保单的趸缴纯保费为$\pi$，保险金额为$b$，死亡率为$q_{x}$，利息力为$\delta$，则$\pi$与$b$的关系为（）A.$\pi=bvq_{x}$B.$\pi=b(1+\delta)q_{x}$C.$\pi=bv(1-q_{x})$D.$\pi=b(1+\delta)(1-q_{x})$答案：A解析：趸缴纯保费是指在保险合同开始时一次性缴纳的纯保费。对于一年期寿险，在年初缴纳保费$\pi$，年末若被保险人死亡则赔付$b$，死亡概率为$q_{x}$，考虑利息因素，$v=e^{-\delta}$。根据收支平衡原理，$\pi=bvq_{x}$。11.设$X$和$Y$是两个随机变量，$Cov(X,Y)=2$，$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$，则$X$和$Y$的相关系数$\rho_{XY}$为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{2}{3}$C.$\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{9}$答案：A解析：相关系数$\rho_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$，已知$Cov(X,Y)=2$，$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$，则：$\rho_{XY}=\frac{2}{\sqrt{4\times9}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。12.已知某年金在每年年末支付1元，共支付$n$年，年利率为$i$，若将该年金改为每年年初支付1元，共支付$n$年，则期初年金现值与期末年金现值的关系为（）A.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=(1+i)a_{\overline{n}|i}$B.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\frac{a_{\overline{n}|i}}{1+i}$C.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=a_{\overline{n}|i}+1$D.$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=a_{\overline{n}|i}-1$答案：A解析：期末年金现值$a_{\overline{n}|i}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}$，期初年金现值$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}$。$\ddot{a}_{\overline{n}|i}=(1+i)\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}=(1+i)a_{\overline{n}|i}$。13.设$X$是一个服从泊松分布的随机变量，$P(X=1)=P(X=2)$，则$E(X)$为（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：泊松分布的概率质量函数为$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots$，已知$P(X=1)=P(X=2)$，则：$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，即$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，因为$\lambda\gt0$，解得$\lambda=2$。对于泊松分布，$E(X)=\lambda$，所以$E(X)=2$。14.已知某风险的损失分布函数为$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{x}{10},0\leqx\lt10\\1,x\geq10\end{cases}$，则该风险的平均损失为（）A.5B.6C.7D.8答案：A解析：平均损失$E(X)=\int_{0}^{+\infty}[1-F(x)]dx$，已知$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{x}{10},0\leqx\lt10\\1,x\geq10\end{cases}$，则$1-F(x)=\begin{cases}1,x\lt0\\1-\frac{x}{10},0\leqx\lt10\\0,x\geq10\end{cases}$。$E(X)=\int_{0}^{10}(1-\frac{x}{10})dx=\left[x-\frac{x^{2}}{20}\right]_{0}^{10}=10-5=5$。15.已知某寿险保单在第5年末的责任准备金为1000元，第6年的保费为200元，第6年的死亡率为$q_{x+5}=0.01$，利息力为$\delta=0.05$，保险金额为5000元，则第6年末的责任准备金为（）A.1130.95元B.1120.95元C.1110.95元D.1100.95元答案：A解析：根据责任准备金递推公式$V_{t+1}=(V_{t}+P)(1+\delta)(1-q_{x+t})-bq_{x+t}$，这里$t=5$，$V_{5}=1000$，$P=200$，$q_{x+5}=0.01$，$\delta=0.05$，$b=5000$。$(V_{5}+P)(1+\delta)=(1000+200)(1+0.05)=1260$，$(V_{5}+P)(1+\delta)(1-q_{x+5})=1260\times(1-0.01)=1247.4$，$bq_{x+5}=5000\times0.01=50$。所以$V_{6}=1247.4-50=1130.95$元。二、多项选择题（每题3分，共15分）1.以下关于年金的说法正确的有（）A.期末年金是指在每期期末支付的年金B.期初年金是指在每期期初支付的年金C.永续年金是指支付期无限的年金D.变额年金是指每期支付金额不固定的年金答案：ABCD解析：期末年金的支付时间点是每期期末，期初年金的支付时间点是每期期初，永续年金没有支付期限的限制，支付期无限，变额年金的特点就是每期支付金额不固定，所以ABCD都正确。2.设$X$和$Y$是两个随机变量，以下关于协方差$Cov(X,Y)$的性质正确的有（）A.$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$B.$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$，其中$a,b$为常数C.$Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)$D.若$X$和$Y$相互独立，则$Cov(X,Y)=0$答案：ABCD解析：协方差具有对称性，即$Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$；根据协方差的运算性质，$Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)$；$Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)$体现了协方差的线性性质；若$X$和$Y$相互独立，则$E(XY)=E(X)E(Y)$，根据$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$可得$Cov(X,Y)=0$，所以ABCD都正确。3.以下关于寿险责任准备金的说法正确的有（）A.责任准备金是保险公司为了履行未来保险责任而提存的资金B.期初责任准备金是指在保险期间开始时的责任准备金C.期末责任准备金是指在保险期间结束时的责任准备金D.责任准备金的计算与死亡率、利率等因素有关答案：AD解析：责任准备金是保险公司为了确保能够履行未来的保险责任而提前提存的资金，其计算会受到死亡率、利率等多种因素的影响，A和D正确。期初责任准备金是指在某一时刻开始时的责任准备金，期末责任准备金是指在某一时刻结束时的责任准备金，并非保险期间开始和结束时，B和C错误。4.已知某风险的损失随机变量$X$服从正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，以下关于风险度量的说法正确的有（）A.期望损失$E(X)=\mu$B.方差$Var(X)=\sigma^{2}$C.标准差$\sigma$可以衡量风险的离散程度D.在一定置信水平下，风险价值（VaR）可以衡量该风险的潜在最大损失答案：ABCD解析：对于正态分布$N(\mu,\sigma^{2})$，期望$E(X)=\mu$，方差$Var(X)=\sigma^{2}$，标准差$\sigma=\sqrt{Var(X)}$能够反映随机变量的离散程度，风险价值（VaR）是在一定置信水平下衡量风险潜在最大损失的指标，所以ABCD都正确。5.以下关于保险费率厘定的基本原则有（）A.公平性原则B.充足性原则C.合理性原则D.稳定性原则答案：ABCD解析：保险费率厘定需要遵循公平性原则，即不同风险程度的投保人应缴纳不同的保费；充足性原则，确保保费能够满足保险公司的赔付和运营成本；合理性原则，保费不能过高或过低；稳定性原则，保费在一定时期内保持相对稳定，所以ABCD都正确。三、解答题（每题15分，共45分）1.已知某保险公司承保的某类风险的损失随机变量$X$服从参数为$\lambda=0.2$的指数分布，该公司设定了免赔额$d=3$。（1）求每次损失的平均赔付额；（2）若该公司预计在一年内有100次损失，求这100次损失的总赔付额的期望和方差。解：（1）指数分布的概率密度函数为$f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x\gt0$，分布函数为$F(x)=1-e^{-\lambdax},x\gt0$。设赔付额为$Y$，当$X\leq3$时，$Y=0$；当$X\gt3$时，$Y=X-3$。平均赔付额$E(Y)=\int_{3}^{+\infty}(x-3)\lambdae^{-\lambdax}dx$，已知$\lambda=0.2$。利用分部积分法$\intxe^{-ax}dx=-\frac{1}{a}xe^{-ax}-\frac{1}{a^{2}}e^{-ax}+C$，对于$\int_{3}^{+\infty}xe^{-0.2x}dx=\left[-5xe^{-0.2x}-25e^{-0.2x}\right]_{3}^{+\infty}=15e^{-0.6}+25e^{-0.6}=40e^{-0.6}$，$\int_{3}^{+\infty}e^{-0.2x}dx=\left[-5e^{-0.2x}\right]_{3}^{+\infty}=5e^{-0.6}$。所以$E(Y)=0.2\times40e^{-0.6}-3\times0.2\times5e^{-0.6}=8e^{-0.6}-3e^{-0.6}=5e^{-0.6}\approx2.74$。（2）设第$i$次损失的赔付额为$Y_{i}$，$i=1,2,\cdots,100$，因为各次损失相互独立，所以总赔付额$S=\sum_{i=1}^{100}Y_{i}$。期望$E(S)=\sum_{i=1}^{100}E(Y_{i})=100\timesE(Y)=100\times5e^{-0.6}\approx274$。对于指数分布，当$X\gtd$时，$Y=X-d$仍服从指数分布，参数为$\lambda$，所以$Var(Y_{i})=\frac{1}{\lambda^{2}}=\frac{1}{0.2^{2}}=25$。方差$Var(S)=\sum_{i=1}^{100}Var(Y_{i})=100\times25=2500$。2.已知某寿险保单的保险金额为10000元，保险期限为5年，年利率为$i=0.05$，死亡率$q_{x+k}=0.02,k=0,1,2,3,4$。（1）计算该保单的趸缴纯保费；（2）若采用均衡年缴保费，计算每年的均衡年缴保费。解：（1）趸缴纯保费是将未来保险金给付的现值进行求和。一年期寿险的趸缴纯保费公式为$\pi=bvq_{x}$，这里$b=10000$，$v=\frac{1}{1+i}=\frac{1}{1.05}$。该5年期寿险的趸缴纯保费$\pi=\sum_{k=0}^{4}10000v^{k+1}q_{x+k}$，因为$q_{x+k}=0.02,k=0,1,2,3,4$。$\pi=10000\times0.02\times\sum_{k=0}^{4}v^{k+1}=200\timesv\times\frac{1-v^{5}}{1-v}$，$v=\frac{1}{1.05}$。$v=\frac{1}{1.05}\approx0.9524$，$1-v^{5}=1-(0.9524)^{5}\approx1-0.7738=0.2262$，$1-v=1-\frac{1}{1.05}=\frac{0.05}{1.05}$。$\pi=200\times0.9524\times\frac{0.2262}{\frac{0.05}{1.05}}\approx200\times0.9524\times\frac{0.2262\times1.05}{0.05}\approx200\times0.9524\times4.7502\approx900.74$元。（2）设每年的均衡年缴保费为$P$，根据收支平衡原理，年缴保费的现值等于趸缴纯保费。期初年金现值$\ddot{a}_{\overline{5}|i}=\frac{1-v^{5}}{d}$，$d=\frac{i}{1+i}=\frac{0.05}{1.05}$，$v=\frac{1}{1.05}$。$1-v^{5}\approx0.2262$，$d=\frac{0.05}{1.05}$，$\ddot{a}_{\overline{5}|i}=\frac{0.2262}{\frac{0.05}{1.05}}\approx4.7502$。由$P\ddot{a}_{\overline{5}|i}=\pi$，可得$P=\frac{\pi}{\ddot{a}_{\overline{5}|i}}=\frac{900.74}{4.7502}\approx189.62$元。3.设$X$和$Y$是两个随机变量，已知$E(X)=2$，$E(Y)=3$，$Var(X)=4$，$Var(Y)=9$，$Cov(X,Y)=2$。（1）求$E(2X-3Y)$；（2）求$Var(2X-3Y)$；（3）求$X$和$Y$的相关系数$\rho_{XY}$。解：（1）根据期望的线性性质$E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$，对于$E(2X-3Y)$，有：$E(2X-3Y)=2E(X)-3E(Y)=2\times2-3\times3=4-9=-5$。（2）根据方差的性质$Var(aX+bY)=a^{2}Var(X)+b^{2}Var(Y)+2abCov(X,Y)$，对于$Var(2X-3Y)$，这里$a=2$，$b=-3$。$Var(2X-3Y)=2^{2}Var(X)+(-3)^{2}Var(Y)+2\times2\times(-3)Cov(X,Y)$$=4\times4+9\times9-12\times2=16+81-24=73$。（3）相关系数$\rho_{XY}=\frac{C