北师大版八年级数学上册 第一章《勾股定理》单元检测卷（附答案）

北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》单元检测卷附答案

学校:班级：姓名：考号：

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正

确的）

1.下列条件：@b2=c2—a2;②乙C=乙4—；③a：b：c=\：4-F♦④乙4：乙B：zC=

Oio

3；4.-5,能判定ZiABC是直角三角形的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3,4,5；5,12,

13；7,24,25：...这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与投相差1,柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相

差2的一类勾股数，如：6,8,10；8,15,17；若此类勾股数的勾为2m（m>0,m为正整数），则弦是

（结果用含m的式子表示）（）

A.m2+1B.m2—1C.2m+2D.2m+3

3.古埃及人曾经用如图所示的方法回直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同

时握住绳子的第I个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个

直角三角形，这样做的道理是（）

A.直角三角形两个锐角互余

B.三角形内角和等于180。

C.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

4.如图，在AA8C中，Z4CB=90。，BC=16cm,以点4为圆心，AC长为半径画弧，交线段A5于点D；

以点8为圆心，8。长为半径画弧，交线段8c于£•.若则4c的长为（）

A.12cmB.13cmC.14cmD.15cm

5.如图，在直线1上有正方形a,b,c,若a,c的面积分别为4和16,则b的面积为（)

C.12D.22

6.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制J'一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图是由弦图变

化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT

的面积分别为Si，S2,S3.若Si+Sz+S3=12,则下列关于Si，S?,S3的说法正确的是（）

A.S]=2B.$2=3C.Si+Sz=6D.$1+63=8

7.如图，在△ABC中，边48的垂直平分线分别交48,8c于点M,E,边AC的垂直平分线分别交4C,BC

于点MF,△4£尸的周长为9.若/8+乙。=45。，EF=4,则△AEF的面积为（）

5

C5

-

D.2

8.勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记

载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放

入矩形内得到的，^BAC=90°,48=6,4c=8.点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上，

则矩形KLMJ的面积为（）.

J

D

H

（图1）

A.288C.432D.440

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

9.如图，已知P为△48C内一点，过点P分别作三边的垂线，垂直分别为E,£G.若BE=2,E71=4,AG=

2,GC=5,FC=6,则BF=

10.如图，直角三角形A8C中，A8的长度是12厘米，AC的长度是24厘米，D、E分别在AUBC上，那

么等腰直角三角形BDE的面积是

11.有一架秋千，当它静止时，踏板离地垂直高度。E=0.5血，将它往前推送2m(水平距离=2m)时,

秋千踏板离地的垂直高度B尸=1.5m,秋千的绳索始终拉得很直，则绳索4。长为m.

12.勾股定理Q2+M=C2本身就是一个关于a,b,c的方程，满足这个方程的正整数解(Q,b,c)常

叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：

(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25)，…，分析上面勾股数组可以发现，4=1X(34-1),12=

2x(5+l),24=3x(7+1),…分析上面规律，第6个勾股数组为.

如图，每个小方格的面积均为1,图（1）（2）（3）中以直线三角形三边向外作正方形A、B、C,图中

正方形的面积如卜.：

ABC

图（1）448

图（2）—913

图(3)9—34

（1）在表格中的横线上填空.

【提出问题】

（2）根据图（1）（2）（3）中三个正方形的面积关系，若直角三角形两条直角边长分别为a,b,斜边

长为c,写出a,b,c之间的数量关系：.

【解决问题】

（3）根据（2）中的发现，解决以下问题：

•个垂直于地面的木杆在离地面6米处被折断，木杆顶端落在离木杆底端8米处，木杆折断之前有多

17.1876年，菲尔德利用下图验证了勾股定理.

b

□_____□

a/)

（1）请用含a、b、c的代数式通过两种不同的方法表示直角梯形的面积（不需要化简）：

方法1：___________________

方法2：_____________________

（2）利用“等面积法”。推导a、b、c之间满足的数量关系，完成勾股定理的验证.

18.为了测量学校旗杆的高度，八（1）班的两个数学研究小组设计了不同的方案，请结合下面表格的信息,

完成任务问题.

第一小组要测旗杆AB的高度，只需要测量________的长度为线段并说明理由.

（2）任务二：推理计算

利用第二小组获得的数据，求旗杆的高度AB.

19.勾股定理是证明方法最多的定理之一，小明便以此建立项目，加以探究.

D

【问题提出】小明在做作.业本时发现利用右图可以证明勾股定理.思路为利用面积法，将梯形的面积用

不同的方式表示列出等式.由此猜想如果将RSD4r向左平移，能否证明勾股定理？

【方案设计】考虑到探究的难度，他首先设计了两种特殊的位置，开展研究：

方案方案方案二

DD

1J

BB

图形

AC----4A

C上EFL

RS8c40RSEADRtACFD

备注

BC=a,AC=b,AB=c

【探究验证】首先验证方案一为方案二提供经验基础.

方验证过程

图形

式（分别里含有atbtc的伐逐本元或事室）

方S四边形A。8f=§△ABE+SAABD

连结BE,BD不难得出

式S^ABE=_k_.（以AE为底，高为BC）f

ABLED

SARBD=八.（以AD为底，则AD边上的高与AC等长）

D

S四边形=5AEBD+5AEAD

方EAD=3ED•BH+^ED•AH£

式11

S&EBD+LEAD—2〃0.BH+々ED,AH

②

CEA

=：ED,（BH+AH）=3ED-AB=_A_

综上所述利用方式①，②列出等式即可证明勾股定理.

【方法应用】

根据上述经验，请你继续完成方案二后续的证明过程.

提示：如图，连结3。，AD,不难得出COJ_3A,利用两种方法表示四边形3cA。的面积.

D

CFA

20.综合与实践

如图，在△ABC中，AB=10,BC=6,AC=8.

备用图

(1)猜想：请判断△ABC的形状并说明理由.

(2)探究：如果点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿折线A-C-B-A方向运动，运动到点A

停止，设运动时间为t(t>0)秒.

①若点P在AC上，且满足PA=PB,求此时t的值.

②若点P恰好在△BAC的平分线上，求I的值.

参考答案

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】V3

10.【答案】80平方厘米

11.【答案】2.5

12.【答案】13,84,85

13.【答案】55

14.【答案】解：•・•使得C,D两村到E站的距离相等.

ADE=CE,

•・・DA_LAB于A,CBJ_AB于B,

AZA=ZB=90°,

AAE2+AD2=DE2,BE2+BC2=EC2,

.*.AE2+AD2=BE2+BC2,

设AE=x,则BE=AB-AE=(25-x),

VDA=15km,CB=10km,

Ax2+152=(25-x)2+102,

解得：x=10,

/.AE=10km,

・•・I攵购站E应建在离A点10km处.

15.【答案】(1)解：分别测量AB、BC和AC的长度，

^AB2+BC2=AC2,则△ABC是直角三角形，ZABC=90°,即ABJ_BC：

(2)解:

=8000

答：蚂蚁爬行的最短路程是40遍cm.

16.1答案］(1)4；25；(2)a2+b2=c2;

解：(3)如图所示，由题意得，48=6尺，4c=8尺，ABAC=90°,

：.BC2=AB2+AC2=62+82=100,

：.BC=10尺或BC=一10尺(含去),

・,•木杆折断之前有10+6=16尺,

B

17.【答案】(1)iab+ic2+^abii(a+b)(a+b>

乙乙乙乙

(2)解：i(ab)(a+b)cib4-ictb

1

-

2(a2+2ab+b2)=ab+-^c2

1

2+ab+21b2=ah+21c2

1

-

2M+W02

乙乙

Q2+庐=c2

・•・在直角三角形中，两条直角边分别为a,b,斜边为c,则a,b,c之间满足小+房=〃

18.【答案】(1)解：BC

理由如下,

VAB±BC,NACB=45。，・••八ABC是等腰直角三角形，故只需测试BC的长就是旗杆AB的长.

(2)解：设旗杆的长度为x米，则绳子的长度为(x+2)米

在RSAEC中,AE=(x-l)米，CE=6米,AC=(x+2)米..

Aix-l)2+92=(x+2)2

解得x=13

・•・旗杆的高度为13米

19.【答案】解：SMBE=SAABO=:优聂。,AB=%2

［方法应用】

方式①

S内边影ADBC=SABDC+SAACD

S&BDC=-^BC-CF=Tza2

S^ACD=•DF=-^b2

方式②

S内皮杉ADBC=SAABD+SAACB

S^ABD=)AB'DH,SfCB=]AB.CH

1111