北师大版九年级数学上册 第四章《图形的相似》单元检测卷（附答案）

北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元检测卷附答案解

析

学校:班级：姓名：考号：

一、单选题

I.若2=。，则/一的直为（）

m4tn+n

A.-B.-C.-D.-

3456

2.下列说法正确的是（）

A.矩形都是相似图形；B.菱形都是相似图形

C.各边对应成比例的多边形是相似多边形；D.等边三角形都是相似三角形

3.若两个相似三角形的面积比是1：9,则它们对应高之比为（）

A.—B.3C.•—D.—

9381

4.如图，已知矩形A4co的顶点A,。分别落在X轴，y轴上，00=204=12,AD=3AB,

C.(4,14)D.(6,16)

5.图，.ABC以顶点A为位似中心放大后得到JU宓，若方格纸的边长为1,则.48C与

ADE的相似比是（）

A.2:3B.3:2C.2:5D.3:5

6.如图，在矩形人品7）中，A3=6cm,BC=8cm,点E,尸分别在边A5,8C上，AE=2cm,

BD,EF交于点G.若EG=FG,则8G的长为（）

7.如图，点。，E,F分别是V/WC三边上的中点，若VABC的面积为12,则./）£尸的面

积为（）

A.3B.4C.6D.8

8.小明设计用手电来测量某古城墙高度，如图所示，点P处水平放置一平面镜（平面镜的

厚度忽略不计），光线从点A出发，经平面镜反射后刚好射到古城墙CO的顶端。处，已知

ABLBD,CDLBD,且则得48=2米，BP=2.4米，尸。=18米，那么该古城墙的高度是

（）

A.9米B.12米C.15米D.21.6米

9.如图，在VA8C中，BC=18cm,高4O=12cm,矩形EFG”的边E尸在线段8C上，点

10.如图所示，若把矩形A8C。截除一个正方形。庄（阴影部分）后，剩卜.的矩形仍

与原矩形相似，那么原矩形ABC。的两边A3与4C应满足的关系是（）

A.AB:BC=\：y/2B.A8:8C=(石-1):2

C.A^:BC=(x/2-l):2D.AB:BC=(>/3-l):2

二、填空题

11.已知:=［，则代数式?二一.

b5b

12.点M在线段AB上，gAM2=AB-MB(AM>MB),那么MB:AM的值为

13.如下图所示，一个直角三角形48c里面有一个正方形3皮尸，且人4=6,BC=8,则

正方形BEDF的面积为.

14.在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知每个小正方形的边长都是I,

VABC与43'。’的顶点都在正方形网格的格点上，旦VA8C与为位似图形，则位似

中心的坐标为一.

15.如图，在平行四边形A3CD中，48=2,£是边。C的中点，连接AE,交AC于点G,

BG=3.按以下步骤作图：①以点8为圆心、适当的长为半径作弧，分别交8CBK于点M,

N；②以点A为圆心、4M的长为半径作弧，交4/3于点”，；③以点M为圆心、MN的长为

半径作弧,在平行四边形ABCD内部交前面的弧于点V；④过点N'作射线AN交BE于点F.

若8G:GE=2:1,则斯的长为.

(4)求四边形的面积.

18.如图，在矩形ABCO中，AB=8,4)=4,连接AC,点E,厂分别在边AO,CD上,

连接踮，BF,分别交47于M,N,ZEBF=45°

p：£

AB

⑴若6=2,求AE的长；

(2)在点E由点A运动到点。的过程中，设b=x,AE=y.

①求)'与x的关系式；

②连接EF,求△8所面积的最大值.

19.己知：如图，矩形八4c。中，8=/U。，E为BC上一点,连接OE,与对角线HC交

于点H.以OE为边顺时针作矩形OEFG,矩形八BCOs矩形。EFG,对角线以'与4C,A8

分别交于M，M

(1)如图①，当2=1,E为BC中点时，求。的值；

BN

(2)如图②，2^1,若ZADF=/CDE,用含有;I的式子来表示工.

AN

20.在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的性质”为主题开展数学探究活动，矩形ABCD

和矩形AEFG是两个完全一样的矩形，AB=AE=4,A。=AG=3.

B

ffll图2省用图

(1)如图1,连接。G、BE,直线DG和直线跖的位置关系为.

(2)如图2,当点石恰好落在边CD上，连接8G交AE于点。，连接跖，求证：①EB平分

ZAEC-,②点。为线段8G的中点.

(3)若直线E8与直线OG交于点“，当8石=4时，请直接写出OH的长.

参考答案与解析

题号12345678910

答案CDCCCBACCB

I.C

【分析】本题考查了求代数式的值，根据'=!，可得：阳=4〃，把〃?=4〃代入代数式一

m4rn+n

可得：原式=/一，计算即可求出结果.

4〃+n

【详解】解：v-=i

m4

m=4〃,

m4〃4〃4

:.----=------=---=—.

in+n4/?+n5〃5

故选：C.

2.D

【分析】本题考查了相似图形的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握相似图形的定义

和特点.

根据相似图形的三条特点①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；

③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况，结合选项即

可判断出答案.

【详解】解：A、矩形的四个角都为直角，但邻边的比值不一定相等，只有邻边比值相等的

矩形才相似，所以矩形不都是相似图形，故本选项错误，不符合题意；

B、菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，故本选项错误，不符合题意；

C、菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似国形，故本选项错误，不符合题意；

D、等边三角形都是相似三角形，故本选项正确，符合题意.

故选：D.

3.C

【分析】木题考查了相似三角形的性质，由两个相似三角形面积之比为根据相似三角

形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，乂由相似三角形对应高的比等于相

似比，即可求得答案.

【详解】解：•・•两个相似三角形面积之比为1:9,

•••相似比为1：的=1：3,

・•・对应高之比为1:3.

故选：C.

4.C

【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，过C作

轴于E,根据矩形的性质得到CO=A4,ZA06=90。，根据余角的性质得到

ZDCE=ZADO,根据相，’以三角形的性质得到CE=4,DE=2,于是得到结论，正确的作

出辅助线是解题的关键.

【详解】解：过c作轴十七，

•••四边形48CD是矩形，

：.CD=AB,ZADC=90。，

，ZADO+NCDE=NCDE+NDCE=90°,

JZDCE=ZADO,

/.△CDESAADO,

.CEDECD

••而一而一而’

•••0/）=204=12,AD=3AB,

/.0A=6»CD:AD=—,

3

：.CE=-OD=4,DE=-OA=2,

33

・・・0E=14,

••・C（4J4）,

故选：c.

5.C

【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念是解题的关键.根据位似图形的概念

得到,ABCs.AOE,结合图形解答即可.

【详解】解：ABC以顶点A为位似中心放大后得到一4)石，

二.ABCS：，ADE,

「方格纸的边长为1,则A3=2,AO=5,

二ABC与-ADA的相似比是2:5,

故选：C.

6.B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性

质.先利用饰形的性质得到NA3C=NC=90。，CD=AB=6cm,再计算出8E=4cm,再

由勾股定理计算出8力=10cm,接着根据斜边上的中线性质得到5G=£G=/；G,所以

NME=NCBD,则RtVFBEsRWBCD,然后利用相似比求出E/L从而得到8G的长.

【详解】解：•・•四边形八BQ)为矩形，

AZABC=ZC=90°,CD=AB=(ycm,

VA£=2cm,

/.BE=4cm,

在R3CD中，BD=JCD2+BC2=46、+8、=10(cm),

,:EG=FG,

・•・G是E尸的中点,

，BG=EG=FG,

:・/BFE=NCBD,

JRtVFBEsRiVBCD,

:.EF:BD=BE:CD,KPEF:10=4:6,

解得打=；20,

BG=-£7'=—(cm).

23v7

故选：B.

7.A

【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定

理得到===证明△。防SAOB,根据相似三角形的性质计算

即可.

【详解】解：•・•点。，E,/分别是VABC三边上的中点，

:.DE、EF.。尸都是VA6C的中位线，

DE=-AC.EF=-AB,DF=-BC,

222

.DEEFDF

''~AC~~AB~~BC'

：.△DEF'S/XCAB,

SABCUJ4

IVABC的面积为12,

，刀砂的面积为3,

故选：A.

8.C

【分析】本题考查相似三角形性质的应用.解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应

边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.

根据题意得出ABP^CDP,利用相似比即可得出占城噜的高度.

【详解】解：根据题意，ZAPB=/CPD,ZABP=NCDP,

•••.ABP^.CDP,

:.CD:AB=PD:BP

•.•A4=2米，8P=2.4米，PO=18米，

PD

:.CD=—xAB=\5^

BPf

该古城墙的高度是15米.

故选C.

9.C

【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，推出

△AHGSAABC,列出比例式进行求解即可.

【详解】解：设AO交格于点K,

：・NHEF=NEHG=90。,HG〃EF、HG=EF,

,：AO为V48c的高，

ZADE=90°,

・••四边形〃K/比为矩形，

ADK=HE,

VEH:EF=1:3,

・••设=则：HG=EF=3x,DK=x,

/.AK=AD-DK=\2-x.

•・,HGHEF,

•••公AHGsMBC,

.HGAK3x12-x

..---=,即niI：—=------,

BCAD1812

解得：x=4,

A3x=12；

：.HG=\2,

故选C.

10.B

【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程.解决本题的关键是根据相似多

边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果.

【详解】解：由题意可知：矩形AHEPs矩形8cz

.AFAB

一前一前’

\-AF=BE=BC-AB,

BC-ABAB

••一，

ARBC

整理得：AB2+BCAB-BC2=0,

,叫AB।

——）-+----1=0n,

BCBC

解得：丝=®或竺=*Z1（负值，舍去）,

BC2BC2

故选：B.

【分析】本题考查比例的性质，能利用整体代入法求解是解题的关犍.

3

先由题意得到a=然后代入代数式化简解题即可.

【详解】解：•・•；="

b5

3,,

a+b_J+'_8,

~lT~b~5

故答案为：

12.

2

【分析】本题考查了黄金分割，设AB=1,则痴=1-AM,根据4M2=ABM8可得:

AM2+AM-\=O,解方程可得：AM=7*",所以可得:MBAM_x/5-1

22

【详解】解:如F图所示,

设48=1,则=l—AW,

由题意得：A〃2=ix(l-AM),

整理得：/\M2+Z4M-1=0,

解得：4M=7或4M=二^叵(不符合题意,舍去),

〈AM'ABMB，

,MBAM_-1+石石-1

2―2

M

41---------------1---------5

故答案为：叵

【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理与相似二角形的判定与性质，灵活的运用

相关知识是解题的关键.

在直角三角形A8C中根据勾股定理可得AC=10,设正方形4ED尸的边长为x,则

ED=DF=EB=BF=x,AE=6-x,FC=8-x,利用正方形的性质可知

ApFD

NDEB=NDFB=90°,EDBC,则可证得QAE/AZQW,利用相似比可得而=而，由

此求解出正方形BEDF的边长，再计算其面积即可.

【详解】解：在直角三角形A5C中，A6=6,6c=8,

:.AC=JAB?+BC?=V62+82=10，

设正方形BEDF的边长为x,

则ED=DF=EB=BF=x,AE=6-x,FC=8-x,

在正方形3瓦厂中，

4DEB=NDFB=第。,EDBC,

:.ZAED=/DFC=90。,ZADE=ZDCF,

；-AE*_DFC(AA),

AEED

——=——,

DFFC

解得：x=—,

「•正方形AEO”的面积为；2424二5关76.

7749

故答案为：娑.

49

14.(-4,-3)

【分析】本题考查位似变换，对应顶点所在直线相交于一点即为位似中心，确定位似中心是

解题的关键.

连接A4'、BB'，并延长交于一点，交点即为所求.

【详解】解：如图,

连接A4'、，并延长交于一点P，点、P即为所求.由网格图形可知，点户的坐标为3）.

故答案为：（T—3）.

【分析】本题考杳了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形

中已有的公共角、公共功等除含条件，以充分发挥基本图形的作用：灵活运用相似三角形的

性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键.也考查了平行四边形的判

定与性质.

先利用基本作图得到N3/F=NC3E,再根据平行四边形的性质得到人B=CD=2,AB//CD,

30

则CE=1,接着利用BG：GE=2：1得到GE=],所以跖=万，然后证明ABG^NBEC,

则利用相似三角形的性质可求出M的长.

【详解】解：由作图可得：5AF=/CBE,

・四边形A8CD为平行四位形，

AB=CD=2,AB//CD,

后是边OC的中点，

:.CE=\,

BG:GE=2:1,

13

2-2-

39

BE=BG+GE=3+-=~,

22

ABCE,

ZABF=NBEC,

JBAF=4CBE,

ABGsBEC,

BF:CE=AB:BE,

9

即BF:1=2:-,

2

4

解得

4

故答案为：

16.6.6米

【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性

质是解题的关键.

过点C作CGJ_/W于G,交EF于Q,先证明四边形CDQ尸是矩形，四边形CZX沼是矩形,

得BG=&=CO=1.6米，CG=BD,CQ=。尸=2.8米，设AG=x米，则AB=(x+1.6)米，

再证明AOQS二祝4,ACQESJSGA,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：如图，过点C作CG_LA8十G,交EF十Q,

由题意得，CDLBD,EF1BD,AB工BD,

：.CD//EF//AB,

VCG1AB

：.CG//BD,

・•・四边形是矩形，四边形ax汨是矩形，

BG=&=CO=1.6米，CG=BD,CQ=。/=2.8米，

,/砂=3米，

・•・石。=1.4米，

设AG=x米，则A8=(x-1.6)米，

•・•小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小网站立(小峰与树之间的距离忽略

不计)刚好在镜面中看到路灯的顶端A，

.../FPQ=Z1APB

•・•NPFQ=ZABP=90。

:.FPQsBPA

•丝一竺即上-上

**ABPB'X+1.6PB

P3=4+1.6),

7.(7

CG=BD=2.8+1.4+-(x+1.6)=5.6+—X米,

8k8J

VEF///\B

:.£QES£GA

「cL4_2.8

.EQ=CQ-7

AGCG5.6+-X

o

解得：x*4.98

/.A8=x+1.6=1.6+4.98=6.58^6.6(米).

答：路灯A8的高度约为6.6米.

17.⑴见解析

(2)见解析

⑶员（3,-5）见解析

（4）16

【分析】（1）平移VA3C到△A4G，其中点A的对应点A坐标为（-3,3）,得到一个向左平

移6个单位，再向下平移2个单位平移变换，确定坐标后，画图即可；

（2）将VA8c绕点。旋转180。得到△&4G，即作了一个中心对称变换，根据中心对称坐

标特点，确定坐标后，画图即可：

（3）根据旋转的性质画图解答即可.：

（4）利用分割法计算四边形的面积即可.

本题考查了平移作图，中心对称作图，旋转作图，分割法计算面积，熟练掌握变换的基本特

征，分割法求面积是解题的关键.

【详解】（1）解.：平移VA8C到△AAG，其中点A的对应点A坐标为（-3,3）,得到一个向

左平移6个单位，再向下平移2个单位平移变换，

则与（T,l）,C（TO）,画图如下:

(2)解:将VA4c绕点0旋转18()。得到△&医G，即作了一个中心对称变换，根据题意,

得人(-3,⑹,6(-5,-31的(-2,-2),画图如下：

(3)解：根据旋转的性质，画图如下:

则△A^G即为所求，且4(3,-5).

(4)解：连接AVB瓦，如图所示,

则四边形488人的面积为：

4x8--x6x2--x6x2--x2x2--x2x2=16.

2222

8

18.（1）-

（2）①8（4f）（0KJK4）；（2）16

x+4

【分析】（I）可通过证明三角形相似：AFCBSVBA,」FNCs止NA,

利用相似三角形的性质来求解AE的长

（2）①延长A。到G,使DG=AO,延长8C到〃，使C〃=3C,连接G”，延长BF交GH

于点/>,连接EP,过点8作交G”的延长线于Q,通过同样利用全等三角形

（・/4珞〃4。（人5人））及勾股定理（6尸+662二产炉），建立）'与x的关系式；②先表示

出48所的面积表达式，再根据不等式的性质求最大值.

【详解】（1）解：在矩形4BC。中，NA8C=N8CQ=90,8C=AO=4,A6=C£>=8,bC=2

AC=yjAB2+BC2=V82+42=4x/5»BF=y]FC2+BC2=V22+42=2x/5

,-DC//AB,

FC_2_1BC_4_1

*BC=4=2'AB=8=2，

.FCBC

前一布‘

:.：.FCBsCBA,

NFBC=NCAB,

在.RiA3。中，ZC4B+ZACB=90°,

.-.Z/^C+ZACB=90°,

NCN8=90°,

/EBF=45。,

ANMB=90°-NEFB=45°=/FBF,

:.MN=BN,

'；FCAB，

FNCsBNA,

.CNFNFC_2\

.4“4.r-16^..4-40展875

..AAKNJ=—AC=-x4\/5=------、NBD=—BDF=—x2,5=,

555555

.A.8旧A.AZWV%小8x/58x/5„...,a3旧12。

・•MN=-----,AM=AN-MN=----------------=■,/VfC=AC-AM=4,5—■=-------,

555555

.AE//BC,

.HAMES,CMB,

8x/5

AEAMHnAE飞一

BCMC4126

亍

：.AE=-i

3

（2）①延长A。到G,使DG=AO,延长BC到H,使CH=8C,连接G”，延长BF交GH

于点P，连接EP，

;AB=8,BC=4,

：.BH=AG=AB=2BC=2AD=8、AG〃BH、AG=BH,

二.四边形是平行四边形，

vZABC=90°,AB=BH.

••・四边形A8〃G是正方形，

过点3作BQJ_BE文GH的延长线丁Q,

/.NEBQ=ZABC=90°,即ZABE+NEBF=NQBH+"BF,

ZABE二NQBH,

•;NEBF=45°,

,ZABE4-NFBH=90°-ZEBF=45°,即4PBQ=NEBP=45°,

AB=BH2ABE=NQBH,4QHB=NDAB=90°

，AB®HAQ(ASA),

:.BE=BQtHQ=AE=y

又BP=BP,ZABE=ZQBH,

二EBP^ABP(SAS),

:.EP=PQ,

•・•BC=CH,GH〃DC,

.\BF=FP,即“>是18〃/的中位线,

:.HP=2FC=2x,

：.PE=PQ=2x+yf

222

在RtG样中，ZG=90°,GP=Gh1-PH=S-2X,GE=AG-AE=S-ytGP+GE=PE,

「.(8-2x)2+(8-y)2=(2x+»,

整理，得y=8(j),(ox4)

9

x+4

G8-2xp2XH丫Q

\/\7

8飞/\i/

m/8r\尸x/

ASB

②如图，过点E作a_LBC于L,则四边形为矩形，

BL=AE=y,LC=4-y,EL=AB=8

:.S=-BCCF='x4;=2x.加边形£O=3(/?C+&Rc=g(8+x)(4—)’)，

lf!((~rT22

STABLE=ABBL=8y,

F=g(8+x)(4-y)+8y-2X,

SBEF=S四边形以0F+Sjp形A.-SBO

S=^(32-x)1-8y+4x)+8y-1i(1

BEF-2x=16--.v},-4>,+2x+8y-2x=16--A>'+4y=16-—

由①尸也⑹，(0<x<4)；

x+4

5四=1611产%6-(小32)(47)=小(32-旬(I)

附(2)x+4x+4x+4

Q0<x<4,

/.32x-4>0,x-4>0,x+4>0,

(32-4x)(x-4)

--------------------3U，

x+4

.q_16(32-4X)(X-4)

・・、BEF-1。1-------------------1O9

.•.当x=4时，△BE厂面积的最大值为16.

【点睛】本撅主要考杳了矩形的性质、正方形的判定和性质.全等三角形的判定和性质，

相似三角形的判定与性质以及勾股定理，不等式的性质等知识，构造辅助线，证全等、相似

及利用勾股定理构造方程是解题的关键.

19.(1)3:1:2

⑵vm7

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判

定，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键.

(1)连接8。交AC于点。，证明△QOMS/V)CE,设正方形48co边长为2a,则

—=—=—=—,而CE=〃，那么0历=①"，而。E=&,则。“=巫”，可

DE2aCE222

得AM=OA—。0=正〃，CM=OC+OM=-y[2af由AB〃C。，得至ij，

22

求出而=&。£：=加4,则7尸=。尸一。M—MN=®a,即可

363

求解DM:MN:NF；

(2)连接8。，延长。EC8交于点丁，证明NOCBS/OEV,导角得到N1=N3=N2=N7,

RN

而△尔f,则丽=而二加而由勾股定理得到皿二后皿则

【详解】(1)解：连接交4c于点。,

当人=1时，AD=CD,

••・四边形A8C。是矩形，

，四边形A4C。是止方形，

:,AC上BD,/BCD=90。,DC=BC,

•・•矩形ABCDs矩形DEFG,

••・四边形OEFG是正方形，

/EDF=4CDB=45。

：,ZMD()=ZEDC,

•：ZDOM=ZDCE=90°,

:./\DOMs^DCE,

.DMDO_OM

''~DE~~DC~~CE"

设正方形A8CO边长为2a,

OD=-DB=-y]DC2+BC2=E,

22

.DM_42a_0M_yf2

，'~DE=^'=~CE=~2,

•・・E为BC中点,

:.CE=a,

.V2

・•OM=——a,

2

;DE=yjDC+CE2=45a，

♦nw加

••DM=—DE=-----a>

22

•・•正方形A8CO中，OA=OB=OC=OD=6a，

AAM=OA-OM=^a，CM=OC+OM=之近a,

22

正方形A8CO中，AB//CD,

:.AAMNS&JMD,

.DMCMI缶.

••MN-AM-]d'

2V

：.MN=-DM=—a,

36

•・•在正方形力EFG中，/D砂=90。，

DF=6DE=M(I,

.A/zm,

•.NF=nDrF-nDwM-MN=V10(/------a----A---o-a=-x-/-i-o--a

263

•n\/fKAMKirVF5

263

(2)解：连接80,延长OECB交于点了，

,/矩形OCBAs矩形DEFG,

.DCBC

*：/DCB=NDEF=90°

・•・/DCBs/DEF,

ZCDB=ZEDF,

・•・/2=/3,

*/Z1=Z2,

N1=N3,

•・•矩形A8C£>中，BC//AD

AZ1=ZT,MTNSADN

/.Z3=ZT

/.BD=BT,

•・•ABTNsMDN，

.BNBTDB

・•丽一而一而

•••矩形ABC。中，AB=CD^DAB=90°,

：,CD=^AD=AB=AAD

,BD=^ADr+AB-=>IAD2+A2AD2=J1+无AZ），

・・翳需G・

20.（1）ZX?AEB

⑵①证明见解析；②证明见解析:

(3)26+2或2石一之

22

【分析】（1）由题得到AO=AG=3,AH=AE=4,NDAG=/BAE,求得,DAGs.BAE,

根据相似三角形的性放得到NAGO=NAEB,延长ZX；与团的延长线十点H,EH交GF于

点、L，求得ZAEB+NFGH=NGLH+/FGH=90°,据此得解：

(2)①过点〃作8M_LAE于点M,由题可