2026年中考数学几何模型解读与训练：解直角三角形模型之实际应用模型（学生版+详解版）

专题22解直角三角形模型之实际应用模型

解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际

问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注

意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造

直角三角形。为了提高解题和得分能力，本专题重点讲解解直角三角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型

【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CQ,构造出两个直角三角形求解，其中公共

边（高）是解题的关键.

【重要关系】如图1,CO为公共边，AD+BD=AB：

如图2,CE=D4,CD=EA,CE+BD=AB；

如图3,CD=EF,CE=DF,AD+CE+BF=AB.

例L（2025年四川省中考数学真题）“科技改变生活〃，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航

拍.在一次航拍时，数据显示，从无人机人看建筑物顶部B的仰角为45。，看底部。的俯角为60。，无人机

A到该建筑物8c的水平距离AO为10米，求该建筑物BC的高度.（结果精确到0.1米;参考数据：&=1.41，

6=1.73）

□□

□□

□□

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a□

例2.（2025湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在

高空测量距离和高度.圆圆要测量教学楼A8的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教

学楼底部246米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点。处，测得教学楼A8的顶部B处的俯角为

30。，C。长为49.6米.已知目高CE为1.6米.（1）求教学楼AA的高度.（2）若无人机保持现有高度沿平行于C4

的方向，以4G米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线

例3.（2025年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯

形A8C。，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度"'与水平宽度斯的比.已知斜坡CD长度为20米，

ZC=18°,求斜坡AB的长.(结果精确到米)(参考数据:sin18°»0.31,cos18°«0.95,tan18°0.32)

例4.（2025年山东省荷泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机

测最大楼的高度8C,无人机在空中点尸处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60。，楼顶。点

处的俯角为30。，己知点A与大楼的距离4B为70米（点4&C,P在同一平面内），求大楼的高度8。（结

果保留根号）

■

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

图1图2图3图4

【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC,沟造有公共直角的两个三角形求解，其中公

共边是解题的关键。

【重要等量关系】

如图1,BC为公共边,AO+OOAC；如图2,8c为公共边，DC-BC=DB；

如图3,DF=EC,DE=FC,BF+DE=BC,AE+DF=AC,如图4,AF=CE,AC=FE,BC+AF=BE.

如图5,DE+EC=Z?C；如图6,EC-BC=BE,

如图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BGx

如图8,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG；

如图9,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AG.

例I.（2025•河北沧州•模拟预测）如图I,嘉淇在量角器的圆心。处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪.将

此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点".

⑴在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角若铅垂线在量角器上的读数为53。，求。的值；

（2）如图2,已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在3处观测M的仰角为（1）中的。，向前走1.25米到达。处，此

334

时观测点M的仰角为45。，求树MN的高度.（注：tan37°«-,sin370*:,cos37。））

455

例2.（2025・内蒙古•统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CO.如图所示，一架

c

模型3、拥抱模型

【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。

【重要等量关系】如图1,BC为公共边；如图2,BF+FC+CE=BE；如图3,BC+CE=BE；

如图4,AB=GE,AG=BE,BC+CE=AG,DG+AB=DE.

例I.（2025•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼八B和CO之间有一棵古树E/，从楼顶C处经过树顶石

点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角。为30°,从教学楼8的底部。处经过树顶E点恰好看到教学

楼A3的顶部A点，且仰角0为£3°,已知树高E尸=6米，求Db的长及教学楼A4的高度.（结果精确到

0.1米，参考数据：禽=1.73、sin53°&'、cos53°>tan53°^―）

553

B

例2.（2025•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼A4和CO的高度，小明将木杆E"

放在楼48和C。之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼

A3顶部的仰角NAG8=30°,再将测角仪放在”处（。、F、〃三点在一条直线上），测得楼CO顶部的仰

角NDHC=60°,同时测得8E=15〃?，CE=14m,EG=6/n.（点A、B、C、D、E、尸、G、H均在同一平

面内，结果精确到0.1米，，§21.732）（1）求楼/W的高度；（2）求楼。。的高度.

D

例3.（2025年浙江省湖州市中考数学真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如

图，把支架（叱）放在离树（A"）适当距离的水平地面上的点尸处，再把镜子水平放在支架（火）上的点E处,

然后沿着直线8/后退至点。处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A,再用皮尺分别测量8/，DF,EF,

观测者目高（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度，已知。_L8。于点。，EF上BD于点、F,

A5_L9于点8,8/=6米，。尸=2米，所=0.5米，CO=1.7米，则这棵树的高度（4B的长）是米.

例4.（2025年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度.

如图，塔AB前有一座高为OE的观景台，已知CO=6m,NOCE=30。，点E,C,A在同一条水平宜线上.

某学习小组在观景台C处测得塔顶部8的仰角为45。，在观景台。处测得塔顶部8的仰角为27。.（1）求

的长；（2）设塔4B的高度为力（单位：m）.①用含有力的式子表示线段E4的长（结果保留根号）；②求塔

的高度（tan27。取0.5,6取1.7,结果取整数）.

课后专项训练

1.（2025年浙江省衢州市中考数学真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆

BC=®，AB=b,48的最大仰角为。.当NC=45。时，则点A到桌面的最大高度是（）

A

D

bb

A.a+——C.a+bcosaD.a+Osina

cosasine?

2.（2025•浙江金华•中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知4c=6m,ZABC=a,

则房顶4离地面E户的高度为（）

A.（4+3sina）mB.（4+3tana）mc.4+——mD.4+——m

IsinaJItan67J

3.（2025年山东省日照市中考数学真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近

海及进出口照港的船舶提供导航服务.数学小组的同学要测景灯塔的高度，如图所示，在点8处测得灯塔

最高点4的仰角NA8D=45。，再沿BQ方向前进至右处测得最高点4的仰角/4。）=60。，BC=15.3m,

则灯塔的高度A。大约是（）（结果精确到1m,参考数据：也=1.41,73^1.73）

BCD

A.31mB.36mC.42mD.53m

4.（2025•黑龙江牡丹江•中考真题）小明去爬山，在山脚看山顶角度为30。，小明在坡比为5团12的山坡上走

13co米，此时小明看山顶的角度为60。，求山高（

12

A.(600—250。)米B.(600点一250)米C.(350+3506)米D.500石米

5.（2025・贵州毕节•中考真题）如图，某地修建一座高比'=5m的天桥，已知天桥斜面48的坡度为1:逐,

D.56m

6.（2025・云南昆明•校考模拟预测）为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校每日都在学生进校前进

行体温检测.某学校大门A3高65米，学生。尸身高1.5米，当学生准备进入体温检测有效识别区域时，

在点。处测得摄像头A的仰角为30。，当学生刚好离开体温检测有效识别区域段时，在点C处测得摄像

头A的仰角为60。，则体温检测有效识别区域。。段的长为（）

学

校

大

门

:体必检测有效识别区；於排队区;

BE尸

A.生叵米B.也叵米C.10米D.5白米

33

7.（2025年湖北省黄石市中考数学真题）如图，某飞机于空中A处探测到某地面目标在点8史，此时飞行

高度AC=1200米，从匕机上看到点8的俯角为37。飞机保持匕行高度不变，且与地面目标分别在两条平行

直线上同向运动.当飞机飞行弘3米到达点。时，地面目标此时运动到点E处，从点E看到点D的仰角为

474。，则地面目标运动的距离跖约为_____米.（参考数据：tan37。=tan47.4。。当）

49

AD

8.（2025年湖北省黄冈市中考数学真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图，无

人机从地面。＞的中点人处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45。，尚美楼顶部产的俯

角为30。，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度。〃为米.（结果保留根号）

9.12025•浙江•校考二模）如图1足两扇推拉门，足门槛，AD,。。足可转动门宽，且/W=2八/）=2"C.现

将两扇门推到如图2（图1的平面示意图）的位置，其中tan8=1,且点A,C,。在一条直线上，测得A,

。间的距离为18而cm,则门宽人。=.如图3,已知而1=30。，团8=60。，点户在A8上，且4夕=

54cm，点M是AO上一动点，将点M绕点。顺时针旋转60。至W,则CM，的最小距离是cm.

10.（2025年浙江省绍兴市中考数学真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱。4垂直地面。8,

支架C。与OA交于点A,支架CG工CD交OA千点、G,支架力E平行地面OB,篮筐E尸与支架DE在同一

直线上，04=2.5米，人力=0.8米，ZAGC=320.

⑴求NGAC的度数.（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在髡子上，最高可以把篮网挂到离地面3米

处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由.（参考数据：sin32°«0.53,cos32°«0.85,tan32°«0.62）

11.（2025年浙江省温州巾中考数学真题）根据背景素材，探索解决问题.

测算发射塔的高度

某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发

射塔的高度MN（如图1）.他们通过自制的测倾

仪（如图2）在A,B,C三个位置观测，测倾仪

上的示数如图3所示.

景

素

材

经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度.

问题解决

分析规划选择两个观测位置：点和点

务

写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间

获取数据

1的图上距离.

任推理计算计算发射塔的图上高.度MN.

务

2

任

楼房实际宽度OE为12米，请通过测量换算发射塔

务换算高度

的实际高度.

3

注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm.

12.（2025年浙江省丽水市中考数学真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在

气体净化设备上增加一条管道A—O—C,已知。C_LAC,AB_LZ?C,ZA=60°,AB=IIm.CD=4m,求管道

A—D-C的总长.

13.（2025年浙江省台州市中考数学真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线C4,CA及在黑板上

的投影图像高度"抽象成如图所示的ABC,/朋C=90。.黑板上投影图像的高度/W=120cm,CB与A3

的夹角N4=33.7。，求AC的长.（结果精确到1cm.参考数据：sin33.7°«0.55,cos33.7。。0.83,

14.（2025年浙江省宁波市中考数学真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量

角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示.

rA

⑴如图2,在.P点观察所测物体最高点C,当量角器零刻度线上A,4两点均在视线PC上时，测得视线与

铅垂线所夹的锐角为〃，设仰角为夕，请直接用含a的代数式示夕.

⑵如图3,为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点8。分别测得气球A

的仰角/为37。，/ACD为45。，地面上点8C,O在同一水平直线上，BC=20m,求气球A离地面

的高度AZ）.（参考数据：sin37°«0.60,cos37°«0.80,uin37°«0.75）

15.（2025年浙江省金华市中考数学真题）问题：如何设计“倍力桥”的结构？

图1是搭成的“倍力桥”，纵梁夹住横梁b,使得横

梁不能移动，结构杉固.

图2是长为/（cm）,宽为女m的横梁侧面示意图，三

个凹槽都是半径为1cm的半圆.圆心分别为

。1。2，。3，0加=QMO2Q=03尸=2cm,纵梁是底面

半径为1cm的圆柱体.用相同规格的横梁、纵梁搭

“桥”，间隙忽略不计.

探究1：图3是“桥〃侧面示意图，48为横梁与地面的交点，CE为圆心，2必,也是横梁侧面两边的交点.测

得A8=32cm,点C到A8的距离为12cm.试判断四边形COE4的形状，并求/的值.

探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形.

①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形修，243%求/的值;

②若有〃根横梁绕成的环（〃为偶数，且〃之6）,试用关于〃的弋数式表示内部形成的多边形片“J7'H”

的周长.

16.（2025年浙江省嘉兴（舟山）市中考数学真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄

像头视角围内才能被识别），其示意图如图2,摄像头A的仰角、俯角均为15。，摄像头高度04=160cm,

识别的最远水平距离OB=150cm.

⑴身高208cm的小杜，头部高度为26cm,他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下

蹲多少厘米才能被识别.（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm,踮起脚尖可以增高女m,但仍无法被识

别.社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20。（如图3）,此时小若能被识别吗？请计算说明.（精确到

0.1cm,参考数据sin15。*0.26.cos15°«0.97.tan15°«0.27.sin20。»0.34.cos20°»0.94.tan20°«0.36)

17.（2025•浙江嘉兴•中考真题）小华将•张纸对折后做成的纸飞机如图1,纸飞机机尾的横截面是•个轴对

称图形，其示意图如图2.已知4D=8£：=10cm,CD=CE=5cm,AO_LC£>,BEA.CE,ZDCE=40°.(结

果精确到0」cm,参考数据：sin20°»0.34,cos20°»0.94,tan20°»0.36,sin40°»0.64,cos40°«0.77,

tan40°«0.84）o⑴连结求线段的长.（2）求点A,8之间的距离.

图I图2

18.（2025・浙江绍兴•中考真题）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪

器，它包括一根直立的标竿（称为"表"）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），

当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面.上H影长度最长的那•天定为冬至，日影长度最

短的那一天定为夏至.图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表4c垂直圭8C,已知该市

冬至正午太阳高度角（即48。为37。，夏至正午太阳高度角（即NADC）为84。，圭面上冬至线与夏至线

之间的距离（即的长）为4米.⑴求N845的度数.（2）求表AC的长（最后结果精确到0」米）.（参考

34319

数据：sin37°=—,8537。=—,tan37o：»—,tan840=*—)

5542

19.（2025•浙江金华•中考真题）图1是光伏发电场景，其示意图如图2,夕•为吸热塔，在地平线EG上的

点B,9处各安装定日镜（介绍见图3）.绕各中心点（AA）旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射

后到达吸热器点F处.已知A3=A:B'=1m,£3=8m,£*=86m,在点A观测点F的仰角为45。.

定El镜

由支架、平面镜等组成.

支架与镜面交点为中心点.

支架与地平线垂

中心为/平面镜

支架

——1——地平•线

图I图3

(1)点F的高度E尸为m.(2)设/D48=a,/O'A8'=#,则。与0的数量关系是

20.（2025•浙江金华•校考一模）金华新金婺大桥是华东第一的独塔斜拉桥，如图1是新金婺大桥的效果

图.2025年4月13日开始主塔吊装作业.如图2,我们把吊装过程抽象成如下数学问题：线段OP为主塔，

在离塔顶10米处有一个固定点QPQ=10米）.在东西各拉一根钢索QN和。M,已知MO等于214米.吊

装时，通过钢索QM牵拉，主塔OP由平躺桥面的位置，绕点。旋转到与桥面垂直的位置.中午休息时

NPON=60°,此时一名工作人员在离M6.4米的B处，在位于B点正上方的钢索上A点处挂彩旗.44正

好是他的身高L6米.（1）主塔OP的高度为米，（精确到整数米）（2）吊装过程中，钢索QN也始终

处「•拉直状态，因受场地限制和安全需要，QN与水平桥面的最大张角在37。到53。之间（即

专题22解直角三角形模型之实际应用模型

解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际

问题转化为数学问题是关键，通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题，在解直角三角形时要注

意三角函数的选取，避免计算复杂。在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造

直角三角形。为了提高解胭和得分能力，本专题重点讲解解直角「角形的实际应用模型。

模型1、背靠背模型

【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高8,构造出两个直角三角形求解，其中公共

边（高）是解题的关键.

【重要关系】如图1,CD为公共边,AD+BD=AB,

如图2,CE=DN,CD=EA,CE+BD=AB；

如图3,CD二EF,CE=DF,AD+CE+BF=A1^

例1.（2025年四川省中考数学真题）"科技改变生活〃，小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航

拍.在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部8的仰角为45。，看底部C'的俯角为60。，无人机

A到该建筑物8C的水平距离A。为10米，求该建筑物8C的高度.（结果精确到0.1米;参考数据：血。1.41，

6=1.73）

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【答案】该建筑物8C的高度约为27.3米

【分析】由题意可知，NK4O=45。，ZC4D=60°,4。1BC,根据三角形内角和定理和等角对等边的性

质，得到切=4。=10米，再利用曳角三角函数，求出8=106米，即可得到该建筑物8c的高度.

【详解】解：由题意可知，N84）=45。，ZC4D=60°,ADIBC,:.ZADB=90°,

..ZABD=}S(T-ZADB-ZBAD=45°=ABAD,8。=AO=10米，

在Rl^ACD中，CO=八。•lanZCAD=/ID-tan60。=【()6米，

.•.BC=BO+CQ=10+10Ga27.3米，答：该建筑物BC的高度约为27.3米.

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【点睛】本题考查的是解直角三角形一一仰俯角问题，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，锐角三角函

数，熟练掌握直角三角形的特征关键.

例2.（2025湖南省衡阳市中考数学真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，加代替人们在

高空测量距离和高度.圆圆要测量教学楼A8的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教

学楼底部246米的C处，遥控无人机旋停在点。的正上方的点。处，测得教学楼A8的顶部8处的俯角为

30。.C7）长为496米.已知目高筑为L6米.

⑴求教学楼43的高度.（2）若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以46米/秒的速度继续向前匀速飞

行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB.

【答案】（1）教学楼A8的高度为25.6米（2）无人机刚好离开视线E8的时间为12秒

【分析】（1）过点B作AG_LDC于点G,根据题意可得：OC_LAC,A4_LAC,AC=246米，々/犯=如，

通过证明四边形GC4B为矩形，得出BG=AC=246米，进而得出DG=次7・1加30。=24米，最后根据线段

之间的和差关系可得CG=AB=CO-/）G,即可求解：

（2）连接所并延长，交。产于点”，先求出EG=CG—CE=24米，进而得出8。=3石，则

NBEG=NBDG=60P,则D”二。后出1160。=48G米，即可求解.

【详解】（1）解：过点B作3G_LDC于点G,

根据题意可得：0c_LACA8_LAC,A。=24＞万米，ZFDB=3（T,

^DCA.AC,AB1AC,BGLDC,团四边形GC48为矩形，m8G=AC=24，5米，

^DFLDC.BG1DC,QDF〃BG,田NDBG=NFDB=3U,G）DG=4Gtan300=24米,

回CD长为49.6米，0CG=AB=CD-£X7=49.6-24=25.6（米），

答：教学楼48的高度为25.6米.

（2）解：连接E8并延长，交。尸于点从

（3CE=1.6米，CG=25.6米，回EG=CG-C£=24米,

团ZX7=EG=24米，BGA.DC,£BD=BE,

0Z^ZTG-ZZ?ZX；-90°-30°-60°.DZT—/X；十2G-48米，0D7/=DE-tan600=48>73（米），

团无人机以米/秒的速度飞行，团离开视线房的时间为：竺g=12（秒），

4G

答：无人机刚好离开视线所的时间为12秒.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟

练掌握解直角三角形的方法和步骤.

例3.（2025年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯

形ABC7）,斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度所与水平宽度的比.已知斜坡。。长度为20米，

ZC=18°,求斜坡A8的长.（结果精确到米）（参考数据:sin180®0.31,cosl8°«0.95,tan18°«0.32）

【答案】斜坡人8的长约为10米

【分析】过点。作。E_L2C于点K,在Rt^DEC中，利用正弦函数求得/犯=6.2,在RtA3「中，利川勾

股定理即可求解.

【详解】解：过点。作OE_L8C于点E,则四边形AOE尸是矩形,

在山△"&(:中，CD=2(),ZC=18°,

DE=CDsinZC=20xsinl8o*20x0.31=6.2.0AF=D£=6.2.

(3-=-,0在RtA8歹中，AB=ylAF2+BF2=-AF=-x6.2«10(米).

BF433

答：斜坡AB的长约为10米.

【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定

义是解题的关键.

例4.（2025年山东省荷泽市中考数学真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机

测最大楼的高度8C,无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60。，楼顶C点

处的俯角为30。，已知点A与大楼的距离A3为70米（点A,B,C,夕在同一平面内），求大楼的高度8c（结

果保留根号）

P

-

-

D

D

D

D

D

D

D

D

D

B口

〃〃〃〃〃/〃〃〃〃〃〃〃〃/〃/

【答案】大楼的高度BC为30gm.

【分析】如图，过〃作a/_LA6尸〃，过C作Q2,尸〃于Q,而CB_LA4,则四边形是矩形，可得

QH=BC,BH=CQ,求解尸〃=AP$in600=80x正=40百，AH=APYOS600=40,可得

2

CQ=8”=70-40=30,PQ=CQ-ian30°=1073，可得8C=QH=4()6-10G=30G.

【详解】解：如图，过P作于"，过。作于Q,而C8_LA8,

则四边形是矩形，=BC,BH=CQ,

由胭意可得：AP=80,ZPAH=60°,NPCQ=30",AB=70,

团尸9=AP・sin600=80x—=4O>/3，A/7=AP<os600=40.

2

回CQ=8"=70-40=30,团PQ=CQ・tan30。=10G,

^BC=QH=40^-1Ox/3=30x/3,回大楼的高度BC为3()6m.

【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的

关键.

模型2、母子模型

图2图4

【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC,构造有公共直角的两个三角形求解，其中公

共边8c是解题的关键。

【重要等量关系】

如图1,BC为公共边,AD+DC=AC；如图2,8c为公共边，DC-BC=DB；

如图3,DF=EC,DE=FC.BF+DE=BC,BC+AF=BE。

c

图9

如图5,BE+EC=BC；如图6,EC-BC=BE；

如图7,AC=FG,AF=CG,AD+DC=FG,BC+AF=BG；

如图8,BC=FG,BF=CG,AC+BF=AG,EF+BC=EG,

如图9,BC=FG,BF=CG,EF+BC=EG,BD+DF=BF,AC+BD+DF=AGo

例I.（2025•河北沧州•模拟预测）如图1,嘉淇在量角器的圆心。处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪.将

此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M.

⑴在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角若钳垂线在量角器上的读数为53。，求。的值;

⑵如图2,已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在A处观测M的仰角为（1）中的a,向前走1.25米到达。处，此

334

时观测点M的仰角为45。，求树MN的高度.（注…37。7，sin3『，COS37。、）

【答案】（1）37°

（2）树的高度为5.25米

【分析】（I）根据互余的性质计算即可.

（2）过点A作垂足为P,则取=人/=1.5米.设MN=x米.解直角三角形求解即可.

【详解】（1）如图1；a=90°-53o=37°；

（2）如图，过点A作八垂足为"，则RV=A"=1.5米.设MV=x米.

MP4

在RtAAPM中，^P=tan37O=-（x-L5）（米），在RiMCP中，CP=MP=x-L5（米），

4

/.AC=AP-CP=-（x-\.5）-（x-1.5）=1.25（米），解得x=5.25.

3

答：树MN的高度为5.25米.

【点睛】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键.

例2.（2025•内蒙古•统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CO.如图所示，一架

水平飞行的无人机在A处测得河流左岸。处的俯角为。，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至4处,

测得河流右岸。处的俯角为30。，线段AM=246米为无人机距地面的铅直高度，点M,C,。在同一条

直线上，其中tana=2.求河流的宽度CO（结果精确到1米，参考数据：6之1.7）.

AtBF

-M------

【答案】河流的宽度约为64米

【分析】过点8作5ELW。丁点E,分别解RlAAMC、R38OE即可.

【详解】解：过点8作座于点E.则四边形/是矩形.

A…BF

QaP、、30。

I\、、.

I\_

图8E=AM=24>/5，ME=AB=\2r\AF//MD?\^ACM=a

在Rt^AA/C中，Z4MC=900>〕tana=M=2,团^^=2团MC=12百

MCMC

在中，ZBED=90°,ZDBE=90°-30°=60°

0tan=,0tan60°==>/3,团。£=24石x石=72

[?]CD=DE-CE=DE-（A7C-A/E|=72-（12>/3-12）=84-125/3«84-12x|.7=84-20.4«64^

答：河流的宽度。。约为64米.

【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题.作垂线构造直角三角形是解题关键.

例3.(2025年山东省青岛市中考数学真题)太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减

排.某校组织学生进行综合实践活动一一测量太阳能路灯电池板的宽度.如图，太阳能电池板宽为人8,点

。是A3的中点，OC是灯杆.地面上三点Q,E与C在一条直线上，DE=l.5m,EC=5m.该校学生在。

处测得电池板边缘点4的仰角为27。，在E处测得电池板边缘点8的仰角为45。.此时点A、B与E在一条

343

直线上.求太阳能电池板宽心的长度.(结果精确到。」m.参考数据；sin37o.-,COs37o.-,tan37o..

【答案】L4m

【分析】过点8作即7_LDC;点〃，过点8作3/J_0C尸点尸，先证和△OEC均为等腰直角三角

形，四边形小/B为矩形，5"为等腰直角三角形，设3b=xm,则O"=C〃=xm,EH=BH=(5-x)m,

DH=(6.5-x)m,然后在RtZ\3DH中，利用lan=丝得==之二，由此解出x=0.5,再利用勾股定

DH46.5-^

理求出08即可得A8的长.

【详解】解：过点B作BH上DC于点、H,过点3作8/_LOC于点尸，如图，

乂8"_1。。.・造跳77和40£。均为等腰直角三角形，田=8〃，EC=OC,

QDE=1.5m,EC=5m,/.OC=EC=5m,

BHkDC,BF1OC,OC_LOC,.•・四边形切/B为矩形,

/.BF=CH,BH=CF,BF//CH,；,NOBF=/NEH=45。，

「.△O酎为等腰直角三角形，・•・斯=。-=。〃,

设B77=xm,则OF=CH=xm,:.EH=BH=EC-CH=(5-x)m,

RH

DH=DE+EH=1.5+5-x=(6.5-x)m,在RtABDH中,tanZ.BDH=----

DH

即：tan37°=^^