2026年中考数学几何模型解读与训练：全等模型-角平分线模型（学生版+详解版）

专题12全等模型.角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,OC为NAO3的角平分线、C4_LQ4于点4时，过点C作C4_LO8.

结论：CA=CB.\OAC^\OBC.

图1图2

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2,在A4BC中，ZC=90°,AO为NC48的角平分线，过点。作。七_LA8.

结论：DC=DE、ADACg（当AABC是等腰直角三角形时，还有A8=AC+CQ.）

图3

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3,0。是NCOB的角平分线，AC=BC,过点。作CO_LOA、CELOB.

结论：①ZB3+Z46=180°；②AD=BE；@OA=OB+2AD.

例1.（2025・北京•中考真题）如图，在AABC中，AO平分/SAC,DE148若AC=2,。石=1,则5*°=

例2.（2025•山东泰安•中考真题）如图，8c的外角NACD的平分线CP与内角NA8C的平分线8P交于点

P,若/8PC=40。，贝IJNC4P=()

C.50°D.60°

例3.（2025•广东中山•八年级校联考期中）如图，“18。中，NA8C、/E4C的角平分线42、”交于点

R延长PMJ.BE,/W_L8P',则①C9平分/Ab；②/A3C+2NAPC=180°；③NAa=2/AP3；

5旷,记=S/WAP+SANCP.上述结论中正确的是（）

A.①②B,①③C.②③④D.①②③④

例4.（2025秋•浙江•八年级专题练习）如图，四边形4BOC中，ND=ZABD=90。，点O为BD的中点,

旦。4平分/B4C.（1）求证：OC平分/ACO；（2）求证：⑶求证：AB+CD=AC.

例5.（2025・河北•九年级专题练之）已知OP平分财03,团。CE的顶点C在射线OP上，射线。。交射线

OA于点F,射线CE交射线OB于点G.（1）如图1,若CD0O4,CE2OB,请直接写出线段CF与CG的数

量美系；（2）如图2,若（MO3=120。，0DCE=a4OC,试判断线段。尸与CC的数量美系，并说明理由.

AA

C

D\/FV/\

°5。/oGTB

E'E

图1图2

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,。。为NAO8的角平分线，AB1.OC,

结论：AAOC^/\BOC,AQAB是等腰三角形、0C是三线合一等。

条件：如图2,班:为NA8C的角平分线，BE1EC,延长BA,CE交于点E

结论：ABEC咨ABEF,ABAC是等腰三角形、BE是三线合一等。

例1.（2025•山东淄博•校考二模）如图，点。在A/WC内部，BD平分/A8C,且人力连接CO.若

△BCD的面积为2,则SBC的面积为

例2.（2025秋•湖北黄冈•八年级校考期中）如图，△48C中，4。是/84C的角平分线,

CDLAD,AC-AB=5；若S△叱的最大值为30,则8c长为—.

nB

条件：如图，OC为NAO8的角平分线，A为任怠一点，在05上截取08=04,连结CB.

结论：△OACgAOBC,CB=CA.

条件：如图，6E,C£分别为N/WC和N5CE的角平分线，A3,/8,在3cl.截取8/=/W,连结EE

结论：ABAE^BFE,kCDEm&CFE,AB+CD=BC.

例1.（2025秋•江苏•八年级专题练习）在财8C中，A。为胡8c的角平分线，点E是直线8C上的动点.

（1）如图1,当点E在C8的延长线上时，连接AE,若13E=48。，AE=AD=DC,则财8C的度数为.

（2）如图2,AOA8,点P在线段A。延长线上，比较AC+8P与A8+CP之间的大小关系，并证明.

（3）连接AE,若回D4E=90。，（3BAC=24。，且满足4B+4C=EC,请求出0AC8的度数（要求：画图，写思

路，求出度数）.

图1

例2.（2025•浙江•九年级专题练习）如图，在“BC中，AB=AC,乙4=100。，80是NA8C的平分线,

延长8。至点E,DE=AD，试求/反力的度数.

例3.（2025•北京九年级专题练习）在四边形A/比陀中，。是/切边的中点.

（1）如图（1）,若AC平分的£,ZACE=90°,则线段4E、AB、的长度满足的数量关系为；

（直接写出答案）；（2）如图（2）,AC平分EC平分NAED,若NACE=120。，则线段48、BD、

DE.AE的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明.

例4.（2025•湖北十堰•九年级期末）在（2ABC中，0ACB=20B,如图①，当团C=90。，AD为配AC的角平分线

时，在AB上截取AE=AC,连结DE,易证AB=AC+CD.

（1）如图②，当团O90。，AD为团BAC的角平分线时，线段AB,AC,CD乂有怎样的数量关系？不需要证明，

请直接写出你的猜想；（2）如图③，当AD为团ABC的外角平分线时，线段AB,AC,CD又有怎样的数量关

系？请写出你的猜想，并对你的猜想给予证明.

①②

课后专项训练

1.（2025秋•福建厦门•九年级校考期中）如图，NAO8=a（。是常量）.点P在NAO8的平分线上，且OP=2,

以点P为顶点的NM/W绕点P逆时针旋转，在旋转的过程中，的两边分别与。B,04相交于M,

N两点，若NM/W始终与NAO3互补，则以下四个结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③四边

形PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

MB

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

2.（2025•江苏常州•一模）如图，已知四边形的对角互补，且=48=15,AD=\2.过

顶点C作CE_LA8于E,则二的值为（）

A.773B.9C.6D.7.2

3.（2025•成都•中考模拟）已知，如图，BC=DC,EB+0D=18O°.连接AC,在AB,AC,AD上分别取点E,P,

F,连接PE,PF.若AE=4,AF=6,（3APE的面积为4,则回APF的面积是（）

A.2B.4C.6D.8

4.（2025•福建厦门•九年级校考期中）如图，ZAOB=a（a是常量）.点Q在/的平分线上，且OP=2,

以点P为顶点的绕点。逆时针旋转，在旋转的过程中，NMPN的两边分别与08,04相交于M,

N两点，若始终与NAO8互补，则以下四个结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③四边

形PMON的面积不变；④点M与点N的距离保持不变.其中正确的为（）

A.①③B.①②③C.①③④D.②③

5.（2025•安徽合肥•一模）如图，△ABC中，AO平分N朋C,E是BC中点,AD1BD,AC=7,A3=4,

则DE的值为（）

6.（2025•福建•福州一模）如图，中，1MBe=45。，CZM4B于点。，BE平分财8C,且于点

交C。于点巴，是BC边的中点，连接。”交BE于点G,现给出以下结论：①财CO3MB。；②AE=CE；

③/为等腰三角形；④S四边形ADGE=S冲始形GHCE.其中正确的有（写出所有正确结论序号）.

7.（2025•黑龙江哈尔滨•统考模拟预测）如图，四边形/WCQ中NO=2NB=I20。，A8=AD,E为BC上一

点，连接AE,BE=2,。。=7,若4NB4E+N4C7）=120。，则线段CE的长为

8.（2025•达州•校考一模）如图，己知四边形A8CO中，C4平分/BCD,BC>CD,AB=4D求证:

ZB+ZD=180°.

9.12025•安徽芜湖•九年级期中）如图，已知，/&9=90。,人3二八仁8。是49。的平分线，且CEJ.BD交BD

的延长线于点£求证：BD=2CE.

10.（2025•江苏扬州•中考真题）如图，在o48C。中，BE、DG分别平分NABC、ZADC,交AC于点区G.

（1）求证：BE〃DG、BE=DG：

（2）过点E作垂足为小.若oAACO的周长为56,EF=6,求A44C的面积.

11.（2025秋•湖北武汉•九年级校联考阶段练习）如图，在△ABE中，。、C分别在AE、BE上且CD=CB,

4c平分/E4〃，CW_LAB于点H.（1）求证：ZAOC+N8=180。：（2）若AO=3,AB=8,求AH的长.

E

12.（2025•宁夏银川•校考二模）问题提出

（1）如图①，已知N4O8,以点。为圆心，适当长为半径画瓠，交Q4于点M,交OB于点N,分别以点

为圆心，大于:;MN的长为半径画弧，两弧在NA08的内部交于点C,画射线0C,连接CM,CMMN,

2

则图①中与△owe全等的是:

问题探究（2）如图②，在aABC中，A。平分NBAC,过点。作。M_ZA3F•点M,连接CO,BD,若

AB+AC=2AM,求证：ZACD+ZABD=180°：

问题解决（3）如图③，工人刘师傅有块三角形铁板ABC,ZB=60°,他需要利用铁板的边角裁出一个四边

形BEFD,并要求NEFD=120。，EF=DF.刘师傅先在纸稿上画出了三角形铁板的草图，再用尺规作出

的平分线AD交"C于点。，作N&X的平分线CZ?交A6于点K,AD,CE交于点八得到四边形

跳ED.请问，若按上述作法，裁得的四边形4£7力是否符合要求？请证明你的结论.

13.（2025•江苏•一模）如图，已知NCWH,AE,8。是A/WC的角平分线，且交于点P.

（1）求NAP3的度数.（2）求证：点P在NC的平分线上.（3）求证：①PD=PE；②=

14.（2025•北京西城•二模）在MBC中，AB=AC,过点C作射线C9,使勖。£=财。8（点方与点8在直线

AC的异侧）点。是射线3上一动点（不与点C重合），点E在线段8C上，且团D4E+aACQ=90。.

⑴如图1,当点£与点。重合时，4。与C*的位置关系是，若4C=〃，则CO的长为；（用

含。的式子表示）⑵如图2,当点E与点C不重合时，连接。及①用等式表示N8AC与/以上之间的数量

关系，并证明；②用等式表示线段BE,CD,OE之间的数量关系，并证明.

BrB'

AA

/\JD/\\/D

BC（E）BEC

图1图2

15.（2025•重庆•二模）已知：如图1,四边形ABC。中，ZABC=135°,连接AC、BD,交于点£,

BDIBC,AO=AC.⑴求证：ND4C=90。：（2汝U图2,过点8作B/JLAS,交。。于点凡交AC于点G,

若％"=2SQ-求证：AG=CG；⑶如图3,在（2）的条件下，若A8=3,求线段GF的长.

16.（2025•陕西西安•一模）如图，/VW。和ZiBCE都是等边三角形，0ABe<105。，AE与。C交于点E

(1)求证：AE=DC；(2)求团4/石的度数；(3)若4F=9.17cm,8产=1.53cm,CF=7.53cm,求CD

D

17.（2025•自贡市九年级月考）根据图片回答下列问题.

⑴如图①，AD平分NBAC,ZB+ZC=180°,ZB=90°,易知：DBDC.

（2）如图②，AD平分NBAC,ZABD+ZACD=180°,ZABD<90°,求证：DB=DC.

c

DD

D

ABABAB

图①图②图③

18.（2025・山东•九年级专题练习）【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教材96页的部分内容.

已知：如图13.5.4,。。是NAOA的平分线，。是。C上任意一点，PD1OA,PEA.OB,垂足分别为点。

和点£

913.5.4

求证：PD=PE.

分析：图中有两个直角三角形P/X）和PE。，只要证明这两个三角形全等便可证得尸。=尸£

【问题解决】请根据教材分析，结合图①写出证明包二房的过程.

【类比探究】（1）如图②，OC是NA04的平分线，P是OC上任意一点，点M,N分别在。8和04上，连

接PM和PN,若NPMO+NPAS180。，求证：PM=PN:（2）如图③，的周长是12,BO、CO分

别平分/A8C和ZAC8。。_18。于点。，若。£>=3,则△45C的面积为.

19.（2025•安徽•九年级期末）如图，在△A3C中，AC=BC,4。平分NCA3.

（1）如图1,若AC8=90。，求证：AB=AC+CD；（2）如图2,若AB=AC+BD,求4C3的度数；

（3）如图3,若NAC8=100。，求证：AB=AD+CD.

20.（2025•湖北孝感•九年级校联考阶段练习）（情景呈现）画408=90。，并画/AO8的平分线OC.

（I）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点Q上，使三角尺论两条直角边分别与N408的两边OA,OB

垂直，垂足为£，F（如图1）.则若把三角尺绕点P旋转（如图2）,则巫PF.（选

填："<〃、">〃或"="）

（理解应用）（2）在（1）的条件下，过点尸作直线G〃_LOC,分别交。4,。8于点G,H,如图3.

①图中全等三角形有对.（不添加辅助线）；②猜想GE,FH,EF之间的关系为.

（拓展延伸）（3）如图4,画ZAOB=60°,并画NAOB的平分线0。，在OC上任取一点P,作/EPF=120°,

/EP尸的两边分别与。4,相交于E,f两点，山与P尸相等吗？请说明理由.

专题12全等模型.角平分线模型

角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各

类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全

等模型作相应的总结，需学生反复掌握。

模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,OC为NAO3的角平分线、C4_LQ4于点4时，过点C作C4_LO8.

结论：CA=CB.\OAC^\OBC.

图1图2

常见模型1（直角三角形型）

条件：如图2,在A4BC中，ZC=90°,AO为NC48的角平分线，过点。作。七_LA8.

结论：DC=DE、ADACg（当AABC是等腰直角三角形时，还有A8=AC+CQ.）

图3

常见模型2（邻等对补型）

条件：如图3,0。是NCOB的角平分线，AC=BC,过点。作CO_LOA、CELOB.

结论：①ZB3+Z46=180°；②AD=BE；@OA=OB+2AD.

例1.（2025・北京•中考真题）如图，在AABC中，AO平分/SAC,DE148若AC=2,。石=1,则5*°=

£

BD

【答案】1

【分析】作于点八由角平分线的性质推出以'=DE=1,再利用三角形面积公式求解即可.

【详解】解：如图，作。〃_LAC于点八

团AD平分㈤C,DE1.AB,DFLAC,由DF=DE=1,

MSMCD=^ACDF=^X2XI=1.故答案为：1.

【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形HCO中AC边的高是解题的关键.

例2.(2025•山东泰安•中考真题)如图，M8c的外角N4c。的平分线CP与内角乙48c的平分线8P交于点

P,若N8PC=40。，则NCAP=()

【答案】C

【分析】根据外角与内角性质得出/MC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出

ZCAP=ZFAP,即可得出答案.

【详解】解：延长84作PN_LBD,PFA.BA,PM上AC,设NPCD=x°,

•"P平分NACO,AZACP=ZPCD=x°tPM=PN,

•.•£P平^}NA8C,ZABP=ZPBC,PF=PN,:.PF=PM,

VZfiPC=40°,AZABP=ZPBC=ZPCD-ZBPC=(x-40)°,

^BAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80\?.ZCAF=100°,

PA=PA

在Rt△呻和R3M4中，

/.RtAPEA^RtAPM/A(HL),ZFAP=ZPAC=500.故选C.

【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线

的性质得出PM=P/V=PF是解题的关健.

例3.（2025•广东中山•八年级校联考期中）如图，中，ZABC.NE4C的角平分线BP、AP交于点

P,延长84、,PM_LBE,/W_LBb，则①CQ平分NAb；②ZABC+2ZAPC=180°；③NAC8=2AAPB；

（2）S^PAC~SAAfAP+Szcp♦上述结论中正确的是（）

A.①②B.①③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】过点尸作尸。_LAC于。，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明

Rt/4M9RI△尸4O（HL）,Rt/3Rt/CN（HL）,得出=/CPD=NCPN,进而得到

4MPN=2ZAPC,再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即

可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论.

【详解】解：①如图，过点产作户。J_AC于O,

•.W)平分/A3C,PMA.BE,PN工BF,PM=PN,

•.•AP平分NEAC，PMLBE,PDVAC,:.PM=PD,:.PN=PD,

,.PN工BF,PD_LAC,「.CP平分NAb,①结论正确；

②YPM人BE,PD1AC,PNLBF,:."MA=〃>DA=4NB=W,

PM=PD,、

在RtaAAM和RiAPA。中，，RUP^W^R(AP^D(HL|,

PA=PA

：.ZAPM=ZAPD,同理可得，RtAPCD^Rl/av(HL),：.4PD=KPN,

NMPN=Z.APM+/APD+NCPD+乙CPN=2(^APD+NCPO)=l^APC,

•.•ZABC+NPNB+NMPN+NPMA=360°,/.ZABC+NMPN=360°-ZPNB-NPMA=180°,

.•.Z4BC+2ZAPC=180°,②结论正确；③AP平分/E4C,ZCAE=2ZMAP,

•/Z.CAE=ZABC+ZACB,Z/W4P=ZABP+ZAJ>B,,NABC+Z.ACB=2(ZABP+NAPB),

•.•8P平分/ABC,/.ZABC=2ZABP,2ZABP+ZACB=2ZABP42Z4PB,：.ZACB=2ZAPB,③结论正确；

④由②可知，.-.RtA/VbV/^RtA/WD,Rt^rCD^Rt^rCN,=5”必，S^.D=S^.N,

'：S.PAC=Sqo+SJ1cD'=S、PAM+S.N,S^pM+S△«*=S2fle,Q)结论JI1确,

・•.E确的结论是①②③④，故选：D

【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和,

三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键.

例4.（2025秋•浙江•八年级专题练习）如图，四边形A8OC中，ZD=ZABD=90°,点。为8。的中点,

且OA平分284。.⑴求证：OC平分/4CO；（2）求证：OUOC；⑶求证：AB+CD=AC.

【答案】（1）见解析（2）见解析⑶见解析

【分析】（1）过点。作OE1ACFE,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得OB=OE,从而

求出OE=8,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；

⑵利用证明根据全等三角形对应角相等，可得408=ZAOE,同理可得

ZCOD=ZCOE,然后求出NA8=90°,再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，

可得/W=AE,CD=CE,然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论.

【详解】(1)证明：过点。作OE/AC于E,

团？A3。90?,OA平分N84C,®OB=OE,

团点。为8。的中点，6OB=OD,^OE=OD,又团？O90?,团OC平分/ACO；

(2)证明：在Rt^ABO和RtZvlFO中，

'AO=AO

<八CCL，&RtAA80^RtAAE0(HL),^ZAOH=ZAOE,

OB=OE

(CO=CO/、

在RtZ\CEO和RtATOO中，,团RtaC反泾RtzXW(HL),

UE=UD

©NCOD=NCOE,BZAOC=ZA0E+ZCOE=ix180°=90°,0Q4±OC；

2

(3)证明：团RaA^gRsAEO,^AI3=AE.

BRuCEO^RtACDO.⑦CD=CE,(3AE+C£=AC,^A8+CD=AC.

【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助

线构造出全等三角形是解题的关键.

例5.(202S•河北•九年级专题练工)己知O户平分0AO从酸CE的顶点C在射线Oa上，射线CQ交射线

OA于点F,射线CE交射线OB于点G.

(1)如图1,若CQ3OA,CE^OB,请直接写出线段C/与CG的数量关系；

(2)如图2,若0408=120。，0DCE=(MOC,试判断线段与CG的数量关系，并说明理由.

【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2：结论：b=CG,作CM3OA于M,CM3OB

于N,证明（3CM阳3CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.

【详解】解：（1）结论：CF=CG；

证明：回0P平分m08,CI^OA,CG^OB,BCF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）;

（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C作。M0OA,CN3O8,

回0P平分财。8,CM^OA,CM3OB,财04=120。，

团CW=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），阻400勖白＞60。（角平分线的性质）,

^DCE=^A0C,^AOC=^BOC=WCE=60°,00A/CO=9O°-6O°=30°,0^CO=9O°-6O°=30°,

回13MCN=3O°+3O°=6O°,^MCN=WCE,

酿MC产WMCN4WCM^NCG^DCE-^DCN,03A/CF=0/VCG,

NCMF=ZCNG

在&MC尸和团NCG中，CM=CN团团MCF03NCGCASA）,

4MCF=£NCG

^CF=CG（全等三角形对应边相等）.

【点睹】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分

线的性质的应用，熟练证明三角形全等.

模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）

【模型解读与图示】

条件：如图1,OC为NAOB的角平分线，ABLOC,

结论：△AOCZZ\8。。，ACMB是等腰三角形、OC是三线合一等。

B

B

条件：如图2,BE为NA8。的角平分线，BEYEC,延长BA,CE交于点、F.

结论：ABEC咨ABEF,MFC-是等腰三角形、BE是三线合一等。

例1.(2025•山东淄博・校考二模)如图，点。在内部，BD平分/ABC,且连接CO.若

ABCD的面积为2,则»BC的面积为.

【分析】延长A。交8C「E,由ASA证明Z\A双星△£•%＞，得出AO=ED,根据三角形中线的性质即可

求解.

【详解】解：延长A。交8c于E,如图所示：

QB。平分/ABC,AD垂直于BD,..ZABD=NEBD,ZADB=ZEDI3=90°,

NABD:NEBD

在△ABO和△E8O中，,:^ABD^EBD(ASA),..AD=ED,

NADB=NEDB

++=

,,SdADB=S二BDE、'尸隧=J)EC，5AADC=^BDEJ)EC^BDC=?»

团△8CO的面积为2,回入48C的面积为4,故答案为：4.

【点睛】此题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算，中线的性质,

证明三角形全等得出AD=ED是解题关键.

例2.（2025秋•湖北黄冈•八年级校考期中）如图，SBC中，AO是N84C的角平分线,

CDLAD,AC-AB=5；若5/^^的最大值为30,则8c长为一.

【答案】24

【分析】延长C。和48相交于点E,构造出△AOCGAAOESSA）,从而求出座的值：根据当跖_L8C时,

S"有最大值求解即可；

【详解】解：延长8和A4相交于点E,如图：

团八D是N84C的角平分线团NC4£>=NE4O1CD1AD^ZCDA=ZEDA=90°

\-AD=AD：.^ADC^ADE(ASM,\AC=AE,DC=DE

:.BE=AE-AB=AC-AB=5,SsBCE=2SABDC

当BE_L8C时，S.BCE有最大值：此时2g=25。乂=2、30=60,

60x2120…

即：^BC.BE=6QBC=-------=——=24

BE5

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的定义；通过角平分线构造全等三角形是解题关键.

例3.（2025•绵阳市•九年级期中）在财3。中，AB=AC,团84c=90,3。平分的WC交AC于点D.

(1)如图1,点尸为8C上一点，连接AF交8。于点E.若AB=BF,求证：B。垂直平分4F.

(2)如图2,CE^BD,垂足E在B。的延长线上.试判断线段CE和8。的数量关系，并说明理由.

(3)如图3,点尸为8C上一点，C斑EF,垂足为E,EF与AC交于点M.直接写出线段

CE与线段/M的数显关系.

【答案】(1)见解析；(2)BD=2CE,理由见解析：(3)FM=2CE.

【分析】⑴由8。平分EL4BC,可得团ABEWFBE,可证△ABE00FBE(SAS),可得AE=FE,0AEB=[?lFEB=yxl80°=90°

即可；(2)延长CE,交BA的延长线于G,由C£0fiD,0ABE=0FBE,可得GE=2CE=2GE,可证ABADEBCAG(ASA),

可得BD=CG=2CE：(3)作FM的中垂线NH交CF于N,交FM于H,由FN=MN,MH=FH=；FM,可得加IMH=I3NBH,

rhEEFC=y0ABC=22.5%nJ^R0ABC=3ACB=0MNC=45°,可得NM=CM=FN,由夕卜角

团EMCWMFC+团MCF=22.5°+45°=67.5°,可求回ECM=90°^EMC=22.5°,可证AFNH能CME(AAS),且得FH=CE即

可.

【详解】证明(1)回平分团43C,回回ABE=0FBE,mBA=BF,BE=BE,回ZkABE胴FBE(SAS),

回AE=FE,0AEB=aFEB=^xl8Oo=9Oo,用8。垂直平分AP.

(2)BD=2CE,理由如下：延长CE,交BA的延长线于G,

(SCaaBD,0ABE=0FBE,0GE=2CE=2GE,00CED=9O°=0BAD,0ADB=0EDC,00ABD=0GCA,

又AB=AC,0BAD=0CAG,,00BAD00CAG(ASA),0BD=CG=2CE,

(3)FM=2CE,理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N,交FM于H,

0FN=MN,MH=FH=^-FM,00NMH=0NBH,

团团EFC=ga44C=22.5°,00MNC=20NFH=2xi[M«C=(aA/iC,

0/lB=4C,(3BAC=90,E0ABC=0ACB=0MNC=45°,0NM=CM=FN,

00EMC=0MFC+0MCF=22.5°+45O=67.5°,00ECM=9O°-0EMC=22.5<>,30NFH=(3MCE,

又盟FHN=13E=90°,0AFNH00CME(AAS),0FH=CE,@FM=2FH=2CE.

【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三

角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂宜平分线是

解题关键.

例4.(2025•安徽黄山•九年级期中)如图，在AA8C中，ZBAC=90c,A8=AC,。是4c边上一动点，CE1BD

于E.(1)如图(1),若BD平分448c时，①求NECO的度数；

②延长CE交物的延长线于点尸，补全图形，探究8/)与比的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图(2),过点A作跳;于点尸，猜想线段BE,CE,反之间的数量关系，并证明你的猜想.

图(1)图(2)

【答案】(1)®ZECD=22.5°,②BD=2EC,理由见详解；(2)BE=CE+2AF,理由见详解.

【分析】(1)①由题意易得(3ABC=0ACB=45°,则有团CBD=(3ABD=22.5°,进而可求团ECDWDBA,则问题得解;

②由题意易得CE=EF,则可证0ABD00ACF,进而可得BD=CF,最后根据线段的数量关系可求解；

(2)在BE上截取BH=CE,连接AH,则易证(EBHAHKEA,则有AE=AH,0BAH=0CAE,进而可得团HAE=90°,

然后根据线段的数量关系可求解.

【详解】解：(1)回N84C=90°,AB=AC,taaABC=[UACB=45°,

团BD平分回ABC,回团CBD=(3ABD=22.5°,

①目SABD唱BDA=13CDE+0ECD=9O°,®CDE=^BDA,团团ABD=®ECD=22.5°：

②BD=2EC,理由如下：如图所示：

回CELBD,00CEB=0FEB=9O°,0BE=BE,00CEBS0FEB(ASA),0CE=FE,

00DBA+0F=9O°,0FCA+0F=9O0,00DBA=0FCA,

回回BAD=囱CAF=90°,AB=AC,国ABD歪ACF(ASA),0BD=CF,回BD=2CE：

(2)BE=CE+2AF,理由如下：在BE上截取BH=CE,连接AH,如图，由(1)易得(3HBA=(3ECA,

0AB=AC,aaBHAEBCEA(SAS),0AH=AE,0BAH=0CAE,

00BAH+0HAC=9O°,00EAC+0HAe=90°,即团HAE=90°,

0AFEBE,回AF=HF=FE,回BE=BH+HF+FE,团BE=CE+2AF.

【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线定理及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握直角三角形斜

边中线定理及等腰直角二角形的性质与判定是解题的关键.

模型3.角平分线构造轴对称模型(角平分线+截线段相等)

【模型解读与图示】

条件：如图，。。为的角平分线，A为任意一点，在。8上截取QB=Q4,连结CB.

结论：△OACgAOBC,CB=CA.

条件：如图，BECE分别为48C和NBCE1的角平分线，AB//CZ),在BC上截取3/=AB,连结EF.

结论：2AEg岫FE,ACDE\CFE,AB+CD=BC°

例1.(2025秋•江苏•八年级专题练习)在财8C中，入。为财5c的角平分线，点E是直线8C上的动点.

(1)如图1,当点石在C△的延长线上时，连接八E,若便£=48。，AE=AD=DCr则HAAC的度数为

(2)如图2,AOA8,点P在线段AD延长线上，比较AC+8P与48+CP之间的大小关系，并证明.

(3)连接AE,若回D4E=90。，(3BAC=24。，且满足AB+4C=EC,请求出财C8的度数(要求：画图，写思

路，求出度数).

【答案】(1)108°：(2)AC+BP>AB+PC,见解析；(3)44。或104。：详见解析.

【分析】(1)根据等边对等角，可得NE=NADE，ADAC=AC,再根据三角形外角的性质求出

ZADE=2ZDAC=4S°,由此即可解题：

(2)在AC边上取一点M使八小人氏构造夕，根据MQ+MC>PC即可得出答案；

(3)画出图形，根据点上的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长C4到G,使AGM4,可

得GC=EC,可得NG=NGEC,设NAC8=2r,WOZG=ZGEC=90°-x；根据团84c=24。，AD为△人8c的

角平分线，可得N3AD=ND4C=12。，可证AAGE二(SAS),得出N/WE=NG=90°—x,利用还有

ZABE=240+2x,列方程90。一尢=24。+2代当点E在80上时，团EAOV90。，不成立；当点£在。。上时，

I3E4OV90。，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G,使AG=ABf可得GC=EC,得出/G=/GEC,

设ZAC8=2一则NG=NGEC=x：回84c=24。，根据A。为“BC的角平分线，得出N84Z>/mC=12。，

证明AAGE三“18£：(545),得出ZABE=NG=x,利用三角形内隹和列方程％+24。+2]=180。，解方程即可.

【详解】解：(1)加石=人。=。。，I3NE=NADE,NDAC=/C,

团ZE=48°,ZADE=ZD4C+ZC,0Z4DE=2Z/?AC=48°,

0A,为AAbC的角平分线，即N84C=2N/)AC,(3ZBAC=48°；KZABC=180°-48°-24°=108°

(2)如图2,在AC边上取一点M使AM=4从连接MP,

B

图2

AB=AM

在AABP和尸中，\^BAP=ZMAP,团4ABP二△AA/尸(SAS),^BP^MP,

AP=AP

^MP+MC>PC,MC=AC-AM,^AC-AB+BP>PC,(34C+BP>45+PC；

(3)如图，点E在射线CB延长线上，延长C4到G,使AGM8,

^AB+AC=EC,^AG+AC=EC,即GC=EC,aNG=NGEC,设ZAC4=2r,则NG=NGEC=900-x；

乂叵84c=24°,A。为△ABC的角'工分线，团N区4O=NZMC=12。，

乂叵/3£：=90。,0^BAE=^P-ABAD=78°,ZGAE=90°-ZDAC=78°,回N8AE=NG4E,

AE=AE

在44GE和△回£中，，NGAE=NBAE,^^AGE^ABE(SAS),i?；ZABE=ZG=90°-x,

AG=AB

又RZABE=NBAC+Z4CB=24°+2x,09O°-x=24o+2x,解得：x=22°,0ZACB=2v=44°：

当点E在8£>上时，0EAD<9O°,不成立；当点七在CD上时，0E4DV90。，不成立:

如图，点E在BC延长线上，延长C4到G,使AGMB,

(M5+AC=EC,MG+AC=EC,即GC=EC,0ZG=ZGEC,设ZAC8=2t,则NG=NGEC=x；

又加184c=24。，八。为△人BC的角平分线，mNAAD=ND4C=12。，

又(iND4E=90。，EZBAE=90°+ABAD=102°,ZGAE=90°+ZDAC=102°,^ZBAE=ZGAE,

AE=AE

在44GE和中，"GAE=NBAE,^^AGE^ABE(SAS),

AG=AB

^\ZABE=ZG=x,团x+240+2x=180。，解得：x=52°,团乙4a=2r=104°.同朋C8的度数为44°或104°.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形

内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键.

例2.(2025•浙江•九年级专题练工)如图，在“8C中，AI3=AC,乙4=100。，80是NA8C的平分线，

延长8。至点E,DE=AD，试求NEC4的度数.

【答案】40。

【分析】在8c上截取3尸=AB,连接。尸，通过证明“山泾△阳D(SAS),可得皿匕=180。-44=80。，

再通过证明△DCEWmCF(SAS