2026年中考数学几何模型解读与训练：三角形中的重要模型-等积模型（学生版+详解版）

专题07三角形中的重要模型.等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

模型L等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图I,当ABHCD,则△…；反之，如果S△八CLS,。，则可知直线A8//CQ。

2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时，则SA4B.：SA皿=8£）：乂。

如图3,当点。是8c边上的动点，BEYAD,时，则鹿.）：§△：C凡

例匚（山东省临沂市2025-2024学年八年级月考）如图，8。是“6。边AC的中线，点E在BC上，BE=；EC,

△A8O的面积是3,则匹的面积是（）

A.4D.3C.2D.1

例2.（河北省石家庄市2025-2024学年八年级月考）如图，8。是“WC的边AC上的中线，4E是△AB。

的边上的中线，M是△八4E的边AE上的中线，若△ABC的面积是32,则阴影部分的面积是（）

A.9B.12C.18D.20

例3.（湖北十堰五校联考2025-2024学年八年级月考）如图，点G为的重心,D,E,尸分别为BC,

C4,48的中点，具有性质：AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:l.已知的面积为2,则A48C的面积为.

例4.（浙江省杭州市2025-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，是△A8C的一条中线,

E为BC边上一点且BE=2CE,AE.CO相交于F,四边形8ZX石的面积为6,则aABC的面积是.

例5.（2025春•江西萍乡•八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图1,4。是边8C上的中线，则S△八加MSTLISAW

理由：因为AO是“8C边BC上的中线，所以80=8.

又因为2八必.BDxA”,SJCD=；CDXAH，所以S△械=Sfe=gSw-

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：在如图2至图4中，448c的面积为

(ffl2)(图3)

£

⑴如图2,延长A48C的边BC到点，使CO=8C,连接OA.若△AC。的面积为却，则$二（用

含”的代数式表示）；

（2）如图3,延长“18。的边8c到点。，延长边C4到点E,使CD=3C,AE=CAf连接OE.若△。石。的

面积为名，则S?=（用含。的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长A8到点尸，使=连接尸。，“，得至（如图4）.若阴影部分的面

积为S-则&=（用含。的代数式表示）；

拓展应用：

⑷如图5,点。是“8C的边上任意一点，点E,口分别是线段AO,CE的中点，且△入8c的面积为8。，

则Z\5所的面积为_（用含〃的代数式表示），并写出理由.

例6.（2025春•上海•九年级期中）解答下列各题

⑴如图1,已知直线〃?〃〃，点A、3在直线〃上，点C、“在直线，"上，当点尸在直线胴上移动时，总有

______与AABC的面积相等.

⑵解答下题.①如图2,在△ABC中，已知8c=6,且3c边上的高为5,若过。作CE〃4连接AE、

BE,则ABAE的面积为.

②如图3,A、3、£三点在同一直线上，即7J_AC,垂足为〃.若AC=4,BH=际，NABC=乙4cB=60。，

ZG=ZG^F=60°,求△4b的面积.

（3）如图4,在四边形A4CO中，工3与CD不平行，AB/C。，且S^8c<S》e，过点A画一条直线平分四

边形48co的面积（简单说明理曰）.

模型2.蝴蝶（风筝）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面枳关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系

如图1，结论：①S1：Sz=S4：S3或S|XS3=S2XS4；②AO:OC=（S]+S2）]S4+S3）。

梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系

如图2,结论：①耳氏:片：从；②5：与：52：54=。2：从：出,:岫；③梯形S的对应份数为（67+〃）二

例1.在四边形4BC。中，AC和8。互相垂直并相交于。点，四个小三角形的面积如图所示.则阴影部分

三角形BC0的面积为.

例2、如图，SAACB=24平方厘米，&ACD=16平方厘米，54加=25平方厘米，则SAG加为平方厘米。

例3、如下图，梯形A8CD的A5平行于8,对角线AC,BD交于O,已知△AO3与△8OC的面积分别

为25平方厘米与35平方厘米，那么梯形A4C。的面积是平方厘米.

例4、如图，梯形八比7）中，AAOB、ACa）的面积分别为1.2加2.7,则梯形AHCQ的面积为

例5、梯形ABC。中，对角线AC,BD交于点O,AB垂直AC,并且已知40=6厘米，BO=10厘米，则三

角形。。。的面积是.,平方厘米。

例6、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积己经标出，则中间的四边形GQ”S的面积为.

模型3.燕尾（定理）模型

条件：如图，在AAAC中，E分别是8c上的点，G在AE上一点，结论：Si：S2=S3：S4=Si+&：S2+S4=BE

:EC。

例I、如图，ZkABC中，M、N分别是8C、AC边上的三等分点，AM.8N相交于点0,已知△B0M的面

枳为2,则四边形MCNO的面积为o

例2.（2025•山东•八年级专题练习）如图，在0ABe中，已知点P、Q分别在边AC、BC上，BP与AQ相交

于点O,若（3B0Q、团ABO、0APO的面积分别为1、2、3,则同PQC的面积为（）

A.22B.22.5C.23D.23.5

例3.如下图，三角形A8C中，"/B=8Z）:DC=CE:AE=3:2,且三角形G”/的面积是1,则三角形ABC

的面积为.

C

例4.（2025江苏淮安九年级月考）已知dAC的面积是60,请完成下列问题：

⑴如图1,若人。是AABC的BC边上的中线，则△M£>的面积/CD的面积.（填。"“<〃”=〃）

⑵如图2,若CD、跳:分别是“BC的A3、AC边上的中线，求四边形AOOE的面积可以用如下方法，连

==

接4。，由AD=Z）B得：S&4no=5皿J,同理：SaCEQ=SJEO,设Sgs,=X,y>则^t.AEOy

I1f2x+y=30

由题意得：54Sf=-S^c=30,5ADC=-5^C=30,可列方程组为：解得，则可得

四边形AOOE的面积为.⑶如图3,A£）:£>3=1:3,CE:4E=1:2,则四边形AZX正的面积为.（4）

如图4,D,尸是A8的三等分点，E,G是C4的三等分点，CD与跖交于O,且S△布=60,则四边形ADOX

的面积为

模型4.鸟头定理（共角定理）模型

共角三角形：两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角定理：共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

如图，在AAHC中，RE分别是A氏AC上的点（如图1）或。在胡的延长线上，E在4c上[如图2）,则

SaABC：S△八DE=（A8xAC）:（AOx人石）

例I、如图，在三角形/1AC中，I）、石是人8,4。上得点，且人。：A8=2:5,AE：AC=4：7,三角形人。石的

面积是16平方厘米，则人的面积为o

例2.（2025・山西晋中•九年级统考阶段练习）阅读理解

如果两个三角形中有一组对应角相等或互补，那么这两个三角形叫做共角三角形，共角三角形的面积比等

于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比，

SArtFAD-AE

例：在图1中，点。，E分别在八5和AC上，ZkAOE和△/WC是共角三角形，则4口”

'jBC,月C

证明：分别过点E,C作EGM8于点G,C限48于点F,得到图2,

FGAF

0（?L4GE=[MFC,又国4=M,00GAE00MC,0—=—

CFAC

s—AD・EG

又..VAQE_2S；、DE二AD.EG二/空=AO/E

SfBcLABCFS»BCAB・CFABACS«BCABAC

2

S&ADE_AZ?'AE

任务：⑴如图3,已知贴AC+BD4E=180。，请你参照材料的证明方法，求证:

S4ABeABAC

S^&DE;1A.

（2）在（1）的条件下，若W，AB=9,则A氏

S&i8c6AC

例3.（2025•重庆•九年级专题练习）问题提出：如图1,。、E分别在0A8C的边A8、AC上，连接OE,已

知线段AD=mDB=b,AE=c,EC=d,则SMOE,SM8C和a,b,c,d之间会有怎样的数量关系呢？

图6图7

问胭解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律.如图2,若DE^BC,

则且姐=酎，所以如IDELABC,可得比例式：一7二—;而根据相似三角形面枳之比等于相

CI+Dc+a

似比的平方.可得沁=1%.根据上述这两个式子，可以推出：

SJQE_a2_aa_ac_ac

Sa，：(ci+b'fa+ha+ba-bc+d(a+b)(c+d)'

(2)如图3,若明。£=囹。，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由.

Sac

探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：产=方法回顾：

两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以

«-BDAH血

解决.如图4,。在幽BC的边上，做AWBC于H,可得：沁=?--------=/.借用这个结论，请你

3以上DCAHDC

2

解决最初的问题.

延伸探究：(1)如图5,D、E分别在财8c的边48、AC反向延长线上，连接。E,已知线段AO=mAB

s

=b,AE=c,AC=d,则.(2)如图6,E1在的边AC上，。在AB反向延长线上，连

s

接。E,已知线段AO=〃，AB=b,AE=c,AC=d,萨些=_____.

XABC

结论应用：如图7,在平行四边形A8CD中，G是8c边上的中点，延长GA到E,连接。E交BA的延长线

于凡若A8=5,AG=4,AE=2,的面积为30,则34石尸的面积是

模型5.金字塔与沙漏模型

条件：①丝=丝=匹=丝：②53注：5小.=4尸：462。

ABACBCAG"

例1.(2025秋•辽宁沈阳•九年级校考阶段练习)如图，已知点。、E分别是48、4c边上的点，且

△NDESZ^BC,面积比为1:9,AG上BC交DE于点、F.则AF:AG=()

A

A.1:3B.3:1C.1:9D.9:1

例2.（2025•福建龙岩•九年级校考阶段练习）如图，“8C中，DE//BC,跖与相交于点尸.如果

DF;FC=\:3,那么，做0.等于（）

例3.（2025•江苏•模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C。是网格线交点，4C与相交

于点O,则的面积与△80的面积的比为（）

A.1；2B.y/2;2C.1：4D.夜：4

例4.（2025春•北京海淀•九年级校考开学考试）如图，是等边三角形，被一矩形所截，48被截成

三等分，EH//BC,若图中阴影部分的面积是6,则四边形8CG尸的面积为（）

A

H

A.8B.9C.10D.11

例5.（2025•辽宁•九年级校考期中）如图，旗为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点夕处与地面跖的距离为1.6

米，车头FACD可近似看成一个矩形，且满3FD=2B4,盲区£8的长度是6米,车宽FA的长度为米.

例6.（2025・四川成都•九年级成都实外校考期中）如图，中，点尸Q分别在ABAC上，且〃Q〃8C,

PMJ.BC于点、M,QN_LBC于点MAD/BC于点、D,交PQ于点、E,且A。:HC=2:3,连接M2,若A/WC

的面积等于75,则MQ的最小值为.

例7.（2025秋•河南郑州•九年级校考期中）如图，矩形EFGH内接于^BC（矩形各顶点在三角形边上），

E,r在8c上，H,G分别在A8,AC上，且于点。，交"7于点N.

⑴求证：若AD=3,BC=9,设七"=x,则当x取何值时，矩形EFG”的面积最大？

最大面积是多少？

课后专项训练

2

1.（2025山西八年级期末）如图在“48C中，。、E分别是边8。、AO的中点.CF=；EF,S^BC=l2cm,

则图中阴影部分的面积为（）

BD

A.2cnrB.4cmC.6cm2D.8cm

2.（2025•江苏扬州•八年级校联考期末）如图，一个矩形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占矩形

面积的15%,黄色三角形面积是21平方厘米，则矩形面积为平方厘米.

3.12025安徽芜湖八年级期中）如图，在“8。中，D,E,少分别是8GAD,CE的中点，且S.c=8cn?,

贝US阳影".

4.〔浙江省杭州202S-2024学年九年级上学期10月月考数学试题）如图，是的一条中线，E为BC

边上一点且8£=2CE,AE.CO相交于尸，四边形8DFE的面积为6,则“8c的面积是.

5.（广东省宝安区文汇学校2025-2025学年九年级上学期月考数学试题）如图，的面积为40cm?,

DE=2AE,CD=3BD,则四边形血圮尸的面积等于cm2.

6.如图，在AABCU」，已知M、％分别在边AC、8C上，与4V相交于O,若A4OM、/SABO和MON

的面积分别是3、2>1,则可WZVC的面积是

8.四边形ABCZ）的对角线AC与6。交于点0（如图所示）。如果三角形的面积等于三角形BCD的面积

的1,且AO=2,DO=3,那么CO的长度是。。的长度的倍。

3

9.如图，ZVIBC三边的中线A。，BE,的公共点为G,且AG：GD=2：I,若S06C=12,则图中阴影

部分的面积是

10.如图，三角形A8C的面积是1,E是AC的中点，点。在8C上，且4。与交于点尸.则

四边形DFEC的面积等于

11、如图所示，在△ABC中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC,那么△ABC的面积是△GHI面积的几倍？

D

B

12、如图，S△八cs=48平方厘米，S△八e=32平方厘米，S△八加=45平方厘米，则cos为多少平方厘米？

13、图中大平行四边形被分成若干小块，其中四块的面积已经标出，那么中间的四边形GQ”S的面积是多

少？

14如图，某公园的外轮廓是四边形ABCQ,被对角线4C、8。分成四个部分，△4。8面积为I平方千米,

△8OC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,

求人工湖的面积是多少平方千米？

15.（2025春•北京西城•七年级校考期中）阅读与理解：

三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积，即如图1,AO是AA8C中8c边上的中线，则

S,VW）=^MCD=QS.M8c.

理由：，；BD=CD，=-BDxAH=-CDxAH=SMC/,=-,

即：等底同高的三角形面积相等.

操作与探索：在如图2至图4中，AA8C的面积为

⑴如图2,延长AA5c的边8c到点。，使CQ=2C,连接D4.若A4CO的面积为，，则$=

（用含。的代数式表示）：

（2）如图3,延长AA8C的边8C到点。，延长边C4到点E,使CO=8C,AE=CA,连接OE.若ADEC的

面积为邑，则§2=（用含。的代数式表示），并写出理由;

⑶在图3的基础上延长A3到点F,使连接FO,FE,得到AD律（如图4）.若阴影部分的面

积为邑，则邑=：（用含。的代数式表示）

拓展与应用：⑷如图5,已知四边形A8CO的面积是“，E、F、G、”分别是AB、BC、CD、D4的中

点，连接FH,EG交于点。，求图中阴影部分的面积？

图5

16.（2025秋•陕西西安•七年级西安益新中学校考期中）探索：在图1至图3中，已知的面积为

⑴如图1,延长"BC的边5C到点。，使CO=8C,连接D4.若△AC。的面积为S，则S产.（用含。

的代数式表示）

（2）如图2,延长“8C的边8c到点Q,延长边C4到点E,使CO=8C,AE=CA,连接DE,若△DEC的

面积为S?,则S?=.（用含”的代数式表示）

⑶在图2的基础上延长到点尸，使BF=AB,连接产。，FE,得到△£）/方（如图）若阴影部分的面积为

$3,则邑=.（用含〃的代数式表示）

⑷发现：像上面那样，将各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△。律（如图3）,比时，我们称

△ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的江）所的面积是原来面积的倍.

⑸应用：要在一块足够大的空地二栽种花卉，工程人员进行了如下的图案设计：首先在aABC的空地上种

红花，然后将8c向外扩展三次（图4已给出了前两次扩展的图案）.在第一次扩展区域内种黄花，第二次

扩展区域内种紫花，第三次扩展区域内种蓝花.如果种红花的区域（即“WC的面积是10平方米，请你运用

上述结论求出：①种紫花的区域的面积；②种蓝花的区域的面积.

17.（2025•河南郑州•校考二模）小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系.

如图1,AABC中，C。为A8边的中线，可得4）=3。，过点C作OV_L4?于M,则S》0c=

-2ADCM=-2BDCM=S△^/JAI）KC.

AMDNB

图1图2

在扑续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你常助小明完成下列任务:

⑴如图2,矩形A8CO中，点N分别为。力，上的动点，且0M=AN,4W与。N交于点E.连

接CE.①判断与的面积关系；②若4£>=3,A8=4,当点”为C。的中点时，求四边形8CEN

的面积；（2）“\8C中，ZA=30°,48=6,点。为A8的中点，连接C。，将△ACO沿C。折直，点A的对

应点为点八若△瓦力与“8。重合部分的面积为“BC面积的!，直接写出△A8C的面积.

4

18.（2025秋•浙江•九年级专题练习）如图1,点C将线段A4分成两部分，如果空=g，那么称点C为

ABAC

线段A8的黄金分割点.

某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线〃的定义：直线

邑，如果今=%那么称直线/为该图形

/将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为5,

的黄金分割线.

图3图4

（1）研究小组猜想：在△43。中，若点。为A4边上的黄金分割点（如图2）,则直线CZ）是“8C的黄金

分割线.你认为对吗？为什么？

（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？

（3）研究小组在进一步探究中发现：过点。任作一条直线交AB于点E,再过点。作直线。8/CE,交AC

于点F，连接E/（如图3）,则直线E/也是“IBC的黄金分割线.请你说明理由.

（4）如图4,点E是YA88的边A8的黄金分割点，过点E作样〃A。，交DC干点、F,显然直线E厂是

Y/1BCD的黄金分割线.请你画一条YAAC。的黄金分割线，使它不经过YAAC。各边黄金分割点.

19.（2025春•江苏南京•七年级校考阶段练习）【数学经验】三侑形的中线，角平分线，高是三角形的重要

线段，同时，我们知道，三角形的3条高所在直线交于同一点.

⑴①如图1，"8C中，ZA=90",则“8C的三条高所在直线交于点:

②如图2,△A8C中，4AC>90。,已知两条高跳:、AD,请弥仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两

点作直线、连接任意两点、延长任意线段）画出“8C的第三条高.（不写画法，保留作图痕迹）

【综合应用】⑵如图3,在“8C中，ZABONC,AO平分/R4C,过点8作8E_LAQ于点E.

①若乙$C=80。，NC=30。，则/£»£>=；②请写出NEBD与/ABC,NC之间的数量关系,并

说明理由.

【拓展延伸】（3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积

比等于对应底边的比.如图4,中，例是8C上一点，则有；：黑葬;；二等.如图5,小4%;中，

M是BC上一点,且N是AC的中点，若的面积是加，请直接写出四边形CMDN的面

积—.（用含加的代数式表示）

20.（2025春•江苏盐城•七年级统考期末）【问题情境】

苏科版数学课本七年级下册上有这样一道题：如图1,A。是的中线，与△A8O的面积有怎样

的数量关系？

小旭同学在图1中作BC边上的高根据中线的定义可知80=8.又因为高人£相同，所以5,八皿二5...。,

于是比=2S&g.据此可得结论；二角形的一条中线平分该二角形的面积.

【深入探究】（1）如图2,点。在“5。的边8c上，点P在人。上.

①）AD是£>ABC的中线，求证：S&APB-5&4收；（2）若BD=3DC，则S^APB:S&i尸《=

【拓展延伸】（2）如图3,分别延长四边形A8CO的各边，使得点A、B、C、。分别为DH、AE.BF、

CG的中点，依次连结石、F、G、”得四边形EFG”.

①求证：S4HliG+S&FBE~2s四边形ARCD；②若Spq成形人雨/）=»则S网边形.〃=

21.（2025秋•广西柳州•八年级校考开学考试）阅读下面资料•：

小明遇到这样一个问题：如图1,对面积为a的团ABC逐次进行以下操作：分别延长AB、BC、CA至Ai、Bl、

Cl,使得AiB=2AB,BiC=2BC,C1A=2CA,顺次连接4、Bi、Ci,得到ElAjBiCi,记其面积为S1,求Si的值.

据等高两三角形的面积比等于底之比，所以Ss8c=SMG=SAMc=SACj=2SaABC=2a,由此继续推理，从而

解决了这个问题.（1）直接写出S『（用含字母a的式子表示）.

请参考小明同学思考问题的方法，解决卜.列问题:

（2）如图3,P为团ABC内一点，连接AP、BP、CP并延长分别交边BC、AC、AB于点D、E、F,则把（3ABC

分戌六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求gBC的面积.

（3）如图4,若点P为团ABC的边AB上的中线CF的中点，求SMPE与SABPF的比值.

22.（2025•江苏盐城•统考二模）⑴如图1,助8c中，。是BC边上一点，则MB。与财。C有一个相同的

SRD

高，它们的面积之比等于相应的底之比，记为1"==;（姐以）、MOC的面积分别用SA人B。、SMDC表

\ADC

示）.现有BD=gBC,则SMBQ：5AADC=_；

（2）如图2,0A5C4SE、尸分别是5C、AC边上一点，且有BE：EC=1：2,AF：FC=1：1,AE与6尸相交

于点G、现作尸交AC于点，、依次求FH：HC、AG：GE、BG：G厂的值；

⑶如图3,0ABC中，点P在边4B上，点M、N在边AC上，且有4P=PB,AM=MN=NC,BM、BNgCP

分别相交于点R、Q,现已知0ABe的面积为1,求团BRQ的面积.

23.（2025•四川成都•八年级统考期末）如图,一知正方形。EFG的边斯在财8c的边BC上，顶点QG分别

在边A8/C上力砸8c于”.8C=：15dH=10.求正方形OEFG的边长和面积.

24.（2025・广东九年级校考课时练习）已知：如图，E、M是48边的三等分点，口词MM3BC求：＞AEF

的面积:四边形EMNF的面积:四边形MBCN的面积.

25.（2025,河南信阳•九年级统考期末）将一副直角三角板按右弱叠放.

（1）证明：财。803。0。；（2）求团404与团。0c的面积之比.

B

专题07三角形中的重要模型.等积模型

三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的

思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。本专题就三

角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应

试题分析，方便掌握。

模型L等积变换基础模型

1）等底等高的两个三角形面积相等；

如图I,当ABHCD,则△…；反之，如果S△八CLS,。，则可知直线A8//CQ。

2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2,当点。是BC边上的动点时，则SA4B.：SA皿=8£）：乂。

如图3,当点。是8c边上的动点，BEYAD,时，则鹿.）：§△：C凡

例匚（山东省临沂市2025-2024学年八年级月考）如图，8。是“6。边AC的中线，点E在BC上，BE=；EC,

△A8O的面积是3,则匹的面积是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【分析】利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，由此利用己知条件可以分别求出

S*DDC、SABED•

【详解】解：团3。是△ABC边AC的中线，△A5。的面积是3,05wx.==3,

回BE=—EC,0SjfFj）~TSMe=1，故选：D.

【点睛】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半；三角形的中线将三角形分

成面积相等的两部分.

例2.（河北省石家庄市2025-2024学年八年级月考）如图，80是&48C的边AC上的中线，A石是△ABO

的边8。上的中线，所是“BE的边AE上的中线，若△A8C的面积是32,则阴影部分的面积是（）

【答案】B

【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可.

【详解】解：团3。是△ABC的边AC上的中线，05=5ASCD=15i4fiC=1x32=16,

国AE是4ABD的边30上的中线，团S"八昭=S.ADE=1邑八即=；x16=8,

又包打.是ziABE的边AE上的中线，则C77是AACE的边4石上的中线，

SSS58

团S,BEF=S冰BF=TS.ABE=1X8=4,S《EF=&ACF=&ADE=SCED=-^C£=,

+

则$阴影=\BEFSKEF=4+8=12,故选：B.

【点睛】本题考杳了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键.

例3.（湖北十堰五校联考2025-2024学年八年级月考）如图，点G为“8。的重心，。，E,尸分别为8C,

。，A8的中点，具有性质：AG:GD=BG:GE=CG:GF=2:T.已知“FG的面积为2,则A48C的面积为.

【答案】12

【分析】根据高相等的两个三角形的面积之比等于底之比可得答案.

【详解】解：•••CG:G"=2:1,4ARG的面积为2,

.-.△ACG的面积为4,AACF的面积为2+4=6,

•・,点”为A4的中点，AACE的面积=ABCF的面积，

「.△ABC的面积为6+6=12,故答案为：12.

【点睛】本题主要考查了三角形的重心，三角形的面积等知识，熟练掌握高相等的两个三角形的面积之比

等于底之比是解题的关键.

例4.（浙江省杭州市2025-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，C。是△A/JC的一条中线,

E为BC边上一点且BE=2CE,AE、CD相交于凡四边形8。石的面积为6,则△口（?的面积是.

【分析】连接设S.皿.=/则切.=6-〃,根据8为AB边上中线,可得3w=S皿

1112

S&HDC=2SJBC;根据BE=2CE,“［得S=CEF=/S.户=5（6-。），S^ABE=—8c•进而,^C,ABC的1加积"I表

示为2sA皿,和|s.A8E，由此建立方程18-〃=：4+9,解出Q的值即可得到AABC的面积.

【详解】解：连接8/，如图所示：设%»•=〃,则%“=6-〃，

团CD为AB）.：i卜中线,•二SJDF=S^BDF=a,S^HI）C

回BE=2CE,S&CEF=5S述£尸二5（6—a）,S&ABt:--3S

「电机=25皿=2伍+（6-。）。+；（6一。）］=18一。,

333

2.=5$#8£=5（2〃+6-。）=-«+9,

3

即|8-a=24+9.解得：a=3.6./.=18-a=18-3.6=14.4故答案为:14.4.

【点睛】本题考查了三角形面积的计算，关键是利用同底等高的三角形面积相等、等高不同底的三角形面

积比为底之比来表示出三角形面积，进而使用方程思想解决问题.

例5.（2025春,江西萍乡•八年级统考期中）基本性质：三角形中线等分三角形的面积.

如图1,AZ）是“8C边上的中线，则以人即=5".。=会.改一

理由：因为人。是“8C边8C上的中线，所以80=8.

又因为£八Q=：5。><4，,S^ACI）=^-CDXAH,所以S△八初=$58=Js.w

所以三角形中线等分三角形的面积.

基本应用：

在如图2至图4中，的面积为a.

（ffll）（图2）（图3）

（图4）（图5）

⑴如图2,延长△"（?的边改?到点。，使CD=BC,连接D4.若“18的面积为，，贝屿=（用

含。的代数式表示）：

（2）如图3,延长△ABC的边3c到点。，延长边C4到点E,使CD=8C,AE=CA,连接OE.若△力EC的

面积为Sz,则邑=（用含〃的代数式表示）；

⑶在图3的基础上延长AA到点忆使3/=A3,连接产O,FE,得到必£尸（如图4）.若阴影部分的面

积为S3,则其=（用含。的代数式表示）；

拓展应用：

⑷如图5,点。是的边8c上任意一点，点£,〃分别是线段A。，CE的中点，且“18C的面积为8a,

则ABM的面积为_（用含〃的代数式表示），并写出理由.

【答案】（1）。（2）2〃（3）6。（4）2处见解析

【分析】（1）直接根据“等底同高的三角形面积相等“即可.得出答案;

（2）连接40.运用“等底同高的三角形面积相等"得出SAE°=2SM8C，即可得解;

+

（3）由（2）结论即可得出邑=S^ECD+^H£FASABFD,从而得■解；

可得

（4）点E是线段A。的中点，S&ABE=S.E，^ACE=S^E.S,BCE=gg点/是线段CE的中点,

可得2诋=，8e=；S.E・从而可得答案•

【详解】（1）解：如图2,•.•延长AABC的边到点。，使CD=8C,

4c为AABD的中线，.，.SSCD=S小BC即「二〃；

（2）如图3,连接AO,

(3)[I](2)得SAECD=2s必BC=为，

$.入=、即卜笫=科

同理：2sA48c=2aS.CD=S2a,5,=S^ECD+Sm+S^FD=6a

（4）S△诋=2a,理由如下：理由：回点E是线段A。的中点，

=

回S^ABES/DE，S&RCE=SdDCE•®$,必芯=~SjBC.

团点尸是线段CE的中点，团%/=2呼=3%归田S&8»=；S/"c=2a.

【点睛】此题考查了阅读与理解：三角形中线的性质，等底同肩的三角形面积相等，灵活运用这个结论并

适当添加辅助线是解答此题的关键.

例6.（2025春•上海•九年级期中）解答下列各题

⑴如图1,已知直线〃，〃"，点A、3在直线〃上，点C、尸在直线加上，当点尸在直线机上移动时，总有

与小48C的面积相等.

⑵解答下题.①如图2,在中，已知8c=6,且BC边上的高为5,若过C作CE〃A8,连接AE、

8E,贝L3AE的面积为.

②如图3,A、4、E三点在同一直线上，8,J.人C,垂足为〃.若AC=4,BH=际，NABC=乙4a=60。，

ZG=ZG^F=60°,求△AO'的面积.

⑶如图4,在四边形4BCO中，工8与。。不平行，ABHCD,且S△枢〈S4e，过点A画一条直线平分四

边形A8CO的面积（简单说明理由）.

【答案】⑴△八〃「⑵①15；②2后⑶图见解析，理由见解析

【分析】（1）根据w/加，可得AABC和AABP同底等高，即可求解；

（2）①先求出S&8c=15,再由CE〃A5,可得财8c和皿达£是同底等高的两个三角形，即可求解；

②先求出SMBC=2V2T,再由Z4BC=ZACB=60°,ZG=NGBF=60。，可得AWF,从而得到%〃=,

即可求解；（3）过点8作8国4。交。C延长线于点匕连接4E,取OE的中点F,作直线4F,则直线4尸

即为所求，可得心取.=,从而得到四边形即，即可求解.

5M£CSA8CO=SgcD+SNBC=SSCD+SMEC=Sg

【详解】（1）解：回〃?//〃，团AAEC和/MBP同底等高，则与△相△的面积相等；

（2）解：①团8c=6,且3c边上的高为5,0^flC=1x6x5=15,

团CE:〃A3,鲍48。和团8AE是同底等高的两个三角形，05^.==15;

②目3〃_LAC,AC=4,8”=及T，叫…卜乂历=2万，

0Z4BC=ZACB=6O°,ZG=ZGBF=60°,

0ZABC=ZACB=ZBAC=60°,ZG=Z.GBF=ZBFG=60°,

^EBG=12Q°,^EBF=60°,E0EBF=0BAC,0AC0BF,团S4-V/lv*F*=SIA.MU3C=2向；

（3）解：如图，过点B作8E0AC交。C延长线于点匕连接AE,取。石的中点儿作直线A尸，则直线

A尸即为所求，理由如下：

团8fMC,幽48c和MEC的公共边AC上的高也相等，

用SsBC=S^EC，团S四边形A%/）=^AACD+^\ABC=^AACD+^SAEC=^AAED，

团S因边mABCF=Sgt*=-SMED=-形ABC。，团,^MCD>^^ABC，

团所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F,则直线AF即为要求作的四边形A8CD的面积等分线.

【点睛】本题主耍考查了平行的性质，熟练掌握两平行线间的距离处处相等，并利用类比思恁解答是解题

的关键.

模型2.蝴蝶（风筝）模型

蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则

四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系：另一方面，也可以得到与面积对应的对角线论比例关系。

蝴蝶定理：任意四边形中的比例关系

如图I,结论：①S：Si=S,:$或$产$3=$2乂$_；®AO:OC=（S,+S,）:（S4

梯形蝴蝶定理：梯形中比例关系

如图2,结论：①$母=。2：/九②'双：邑㈤=力:/:曲:曲；③梯形S的对应份数为（。+4。

例1.在四边形A4CO中，4C和3。互相垂直并相交于。点，四个小三角形的面积如图所示.则阴影部分

三角形BCO的面积为.

A

【答案】45

【详解】设阴影部分面积为工。

根据蝴蝶（风筝）定理：SSyS/SSD

即：2U：x=lb：36解得：X=45

估阴影部分的面积为45.

例2、如图，&.8=24平方厘米，&ACD=16平方厘米，SA八刖=25平方厘米，则SACOB为平方厘米。

【答案】9平方厘米

【解析】在四边形A8CO中，根据蝴蝶（风筝）模型得：DO：BO=SAACD：S=C8=16：24=2：3,

33

则5AAOB=5SAABQ=5X25=15（平方厘米），则SACOB=SAACLS_08=24—15=9（平方厘米）

例3、如下图，梯形ABCD的平行于CD,对角线AC,BD交于O,已知zMOB与△