2026年中考数学几何模型解读与训练：相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）（学生版+详解版）

专题20.相似三角形重要模型••母子型（共边共角模型）

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入

理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重灾第③步。

模型1.“母子”模型（共边角模型）

【模型解读与图示】“母了•”模型的图形（通常有•个公共顶点和另外•个不是公共的顶点，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

比例就可以判定这两个三角形相似.

1）“母子”模型（斜射影模型）

条件：如图1,NC=NABD；结论：AABDS^ACB,AB12=3ADAC.

2）双垂直模型（射影模型）

条件:如图2,CQ_LA&

结论：Ss/\ABCs△CBD：CA2=ADA13,BCr=BDBA,CD?=DADB.

3）“母子”模型（变形）

条件:如图3,ZD=ZC4£,A/?=4C；结论：△

4）共边模型

条件:如图1,在四边形A8CO中，对角线8。平分N48C,ZADB=/DCB,结论：BD?=BC；

例1.（2025・贵州贵阳•中考真题）如图，在二ABC中，。是A4边上的点，NB=ZACD,AC:AB=l:2f

则,AOC与A4C8的周长比是（)

A.1：＞/2B.1:2C.1:3D.1:4

例2.（2025春•江苏•九年级专题练习）如图，在RtMBC中，0AC8=9O。，点。在4B上，且处=生.

ACAB

（1）求证tMCDSMBC；（2）若AO=3,BD=2,求CQ的长.

例3.（2025.山西九年级期中）如图，点C,。在线段48上，△PC。是等边三角形，且NAP8=I2O。，求证:

（1）^ACP^/XPDB,（2）CD2=AC*BD.

例4.（2025・湖南•统考中考真题）在RtZSABC中，ZBAC=90°,A。是斜边4C上的高.

（1）证明：（2）若力5=6,BC=10,求BO的长.

例5.（2025.浙江中考模拟）如图,在.ABC中，HACB=90\CD121AB.

（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为_（不需证明）：

（2）已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长：

（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点0,建立直角坐标系（如图2）,

若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线

段BA运动，其中•点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P,

使以点B、P、Q为顶点的三角形与团ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

例6.(2025•陕西汉中•九年级期末)如图，是等腰直角A8C斜边A8的中线，以点。为顶点的/EC厂绕

点D旋转，角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F,。尸与AE交于点M,DE与BC

交于点N,且/的=45。.⑴如图1,若CE=C〃，求证：OE=Z)F；(2)如图2,若CEwb,求证：CD2=CECF;

(3)如图2,过。作力G_L8C于点G,若6=2,CF=叵,求ON的长.

例7.(2025•浙江•九年级期末)(1)如图1,在中，。为A8上一点，AC?=人力...求证：ZACD=NB.

(2)如图2,在.ABCD^,五是上一点，连接AC,己知4石一4,AC=6,-9.求证：2AD=3EC.

(3)如图3,四边形A8CO内接于。，AC,8。相交于点E.已知。的半径为2,AE=CE,AB=s[iAE，

BD=20求四边形A8CO的面积.

例8.(2025春・广东深圳•九年级校考期中)【基础巩固】

(1)如图1,在四边形A8C。中，对角线B。平分NA8C,ZADB=NDCB,求证：BD1=BABC；

【尝试应用】(2)如图2,四边形4BC。为平行四边形，尸在4)边上，AB=A八点七在班延长线上,

连结七八BF,CF,若NEFB=NDFC,BE=4,BF=5,求AO的长；

A.BC°=BDABB.CD?=ADBDC.AC2=CDABD.AC2-BC2=AD2-BD1

4.（2025・山东济南・统考中考真题）如图，在工8c中，AB=AC,/B4C=36。，以点C为圆心，以BC为

半径作弧交4c于点。，再分别以8,。为圆心，以大于J励的长为半径作弧，两弧相交于点P,作射线W

交AB于点E,连接。E.以下结论不正碰的是（）

A.ZBCE=36°B.BC=AEC.—=D.=

AC2S^BEC2

5.（2025•云南临沧•统考三模）如图，在A8C中，D是AB上的点，N4=NAC/1,AC=\,AB=2,则

与△8C。的面积比为（）

1：V2C.1:3D.1:4

6.12025•山东东营•统考中考真题）如图，在，A8C中，以点C为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC,BC

于点D,E；分别以点£>,E为圆心，大于^。后的长为半径作弧，两弧交于点E；作射线。尸交A8于点G,

若AC=9,BC=6,BCG的面积为8,贝kACG的面积为

GH

7.12024•山西・统考中考真题）如图，在R/AA3C中，ZACZ?=90°,4C=3,4c=4,CDLAB,垂足为

E为3c的中点，AE与CD交于点F,则。尸的长为.

8.（2025•河北邢台•校考二模）如图1,在,"。中，AB=ACt8c=24,lanC=』，点p为BC边上一

12

点，则点P与点A的最短距离为.如图2,连接的，作NAPQ,使得乙4PQ=N5,/>0交AC于。,

9.12025•内蒙古•统考中考真题）如图，AC4RCE是正五边形48CDE的时角线，AO与C£相交于点尸.下

列结论：①b平分/ACO；②A尸=2。尸；③四边形46b是菱形；④ABhAQ•所

其中正确的结论是.（填写所有正确结论的序号）

10.（2024•广东广州•统考中考真题）如图，正方形A8C。中，AABC绕点A逆时针旋转到A4FC,AB',AC

分别交对角线8。尸点瓦开，若A七=4,则防•即的值为.

11.（2024・四川南充・中考真题）如图，在A3C中，D为BC上一点,BC=&B=3BD,则AO:AC的值

12.（2025•四川宜宾•九年级期末）如图，在0ABe中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=AB,0DEC

=0B.（1）求证：0AED00ADC；（2）若AE=1,EC=3,求AB的长.

13.（2025♦江苏盐城•中考真题〉如图，在二ABC与V/VZTC*中，点。、7）0分别在边6C、6C'上，且

△AC£>saAC'D,若，则△AmAPD.请从①岩=学；；②隽=篝:③

ZM£>=N»A'D这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明.

A

A

14.（2025・湖南•统考中考真题）在RtaABC中，N84C=90。，AO是斜边8C上的高.

(1)证明：△ABDsMBA：(2)若45=6,3c=10,求8。的长.

15.（2025•宁夏・统考中考真题）综合与实践

问题背景：数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36。的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣

并展开探究.

A

DC

探究发现：如图1,在MBC中，ZA=36°,AB=AC.

（1）操作发现：将ABC折叠，使边落在边BA上，点C的对应点是点E,折痕交AC于点。，连接OE,

DB,则ZBDE=。，设AC=I,BC=x,那么AE=（用含工的式子表示）；

（2）进一步探究发现：冬白=更二1,这个比值被称为黄金比.在（1）的条件下试证明：等=在二1：

腰AC2腰AC2

拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形.例如，图1中的JSC是

黄金三角形.如图2,在菱形A8CD中，ZBA£>=72°,AB=\.求这个菱形较长对角线的长.

16.（2025•广东•九年级专题练习）定义：如图，若点尸在三角形的一条边上，且满足N1=N2，则称点尸

为这个三角形的“理想点（1）如图①，若点。是.ABC的边A8的中点，AC=242,AB=4，.试判断点。

是不是A8C的〃理想点”，并说明理由；（2）如图②，在孜A8C中，ZC=9O°,AB=5,AC=4,若点D

是A8C的“理想点〃，求CD的长.

17.（2025・江西•统考中考真题）如图，四边形"CO为菱形，点£在4C的延长线上，ZACD=ZABE.

⑴求证：aA8cs.AEB：（2）当AB=6,AC=4M，求AE的长.

E

D

B

18.（2025•湖北武汉•校考模拟预测）已知，点。在ABC的边3。上，连接40.⑴如图1,若如。=NC.求

4

证：B^=BDBC-.（2）如图2,若AD」BC,BD=5,CO=3,tanZ^C=^.求线段AO的长：⑶如图3,

M、N分别是AC、AB上的两点，连接MN交4。于点P,当AA=AC,如:m:8C=2:5:6时，若乙4PN=NC,

19.（2025・湖南长沙•校考三模）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角

形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角〃.例如，如图1,在A8C中，AD为边BC

上的中线，△48。与A8C相似，那么称"C为关于边BC的“华益美三角〃.

⑴如图2,在贤8c中，BC=&AB，求证：48c为关于边8c的“华益美三角〃;

⑵如图3,已知48c为关于边3c的“华益美三角〃，点。是，ABC边4c的中点，以也）为直径的团。恰好

经过点A.①求证：直线CV与。相切；②若。的直径为2而，求线段A3的长；

⑶已知.ABC为关于边4c的“华益美三角〃，4c=4,ZZ?=30°,求ABC的面积.

20.（2025•浙江台州•统考一模）已知在团48C。，AB=20,BC=10,08=60°,E是边8c上的动点，以A£

为一边作团4EFG,且使得直线FG经过点D.

（1）如图1，EF与AD相交于H,若H是EF的中点.①求证：GF=DF；②若G用CD,求GD的长：

（2）如图2,设AE=x,AG=y,当点E在边8c上移动时，始终保持MEF=45。，

①求y关于x的函数关系式，并求函数y的取值范围；②连接E。，当AAE。是直角三角形时，求。F的值.

\G\G

21.（2025・山西临汾•统考二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务.

规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的〃倍，则称三角形为“〃倍角三角形”.当〃=1时,

称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是"1倍角三角形"；当〃=2时，，称为〃2倍角三角形〃，小康通过探索

后发现：“2倍角三角形〃的三边有如下关系.

如图，在以8c中，NBAC,NB,NC所对的边分别为a,b,c,若NBAC=2NB,则/_/=儿:.

下面是小康对“2倍角三角形"的结论的两种探索证明过程：

证法1：如图1,作“胡。的平分线AO,团N84O=NC4O=；/84C.

•/ZBAC=2NB,=ZCAD=NB•/ZACD=^BCA,:..ACD~8C4——=——=——

tBCACAB

设DC=x,则AO=8。=a-x.•/AC=b,BC=a,AB=c:.-=^-=—~~-

abc

b2=ax,a2-ax=bea2-b2=be

证法2：如图2,延长C4到点。，使得AO=A8=c,连接8。....

D

任务：⑴上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出三角形来加以证明的（填“全等〃或”相似〃）.

⑵请补全证法2剩余的部分.

22.（2025•安徽•校联考三模）在,ABC中，ZABC=2ZACB,8。平分NA8C.

（1）如图1,若A8=3,AC=5,求4。的长.（2）如图2,过A分别作AEJ.AC交8c于E,A尸JL8Z）于

BF

F.①求证：ZABC=ZEAF；②求打的值.

23.（2025春•山东淄博•八年级统考期末）如图，已知..八82，点C,。在边人8上，连接PC,PD,使

Z4£>P=60°,且3Abs△尸08.（1）请判定.PCD的形状，并说明理由；⑵若AC=2,80=3,求的

面积.

24.（2025・湖南娄底•统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国

旗匕的每颗星都是标准五角星.为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等.数学老师组织学生对五角星

进行了较深入的研究.延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星.如图，正五边形

A8CDE的边84、DE的延长线相交于点F,NEAF的平分线交所于点M.

⑴求证：AE?=律EM.⑵若铲=1，求AE的长.⑶求工的值.

25.（2025•江苏苏州•统考中考真题）（1）如图1,在中，ZAC8=2/8,CO平分NAC8,交A8于力、

D,DE//AC,交BC于点、E.

3AfiRF

①若Z）E=I,BD=-,求8。的长；②试探究二-后是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不

2ADDE

是，请说明理由.（2）如图2,NC8G和/Bb是的2个外角，/BCF=2NCBG,CD平分/BCF,

交A8的延长线于点。，DE//AC,交。的延长线于点E.记酎CO的面积为号，0CDE的面积为与，©BDE

的面积为§3.若3；5=3；,求8S/C8O的值.

16

图1

图2

专题20相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型）

相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，

是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入

理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。

母子相似证明题一般思路方法：

①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；

②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；

③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；

④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重灾第③步。

模型1.“母子”模型（共边角模型）

【模型解读与图示】“母了•”模型的图形（通常有•个公共顶点和另外•个不是公共的顶点，由于小三角形

寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成

比例就可以判定这两个三角形相似.

1）“母子”模型（斜射影模型）

条件：如图1,NC=NABD；结论：AABDS^ACB,AB12=3ADAC.

2）双垂直模型（射影模型）

条件:如图2,CQ_LA&

结论：Ss/\ABCs△CBD：CA2=ADA13,BCr=BDBA,CD?=DADB.

3）“母子”模型（变形）

条件:如图3,ZD=ZC4£,A/?=4C；结论：△

4）共边模型

条件:如图1,在四边形A8CO中，对角线8。平分N48C,ZADB=/DCB,结论：BD?=BC；

例1.（2025・贵州贵阳•中考真题）如图，在二ABC中，。是A4边上的点，NB=ZACD,AC:AB=l:2f

则,AOC与A4C8的周长比是（)

A.1：>/2B.1:2C.1:3D.1:4

【答案】B

【分析】先证明财3酎8。，即有空=华二段=:，则可得问题得解.

ABACBC2AB+AC+HC2

ACAnCD

【详解】同由8=财。。，财=财，^AcrmABc,0一=一=—,

ABACBC

_AC1ACADCD1ACADCDAC+AD+CDI

7----=一团-।।=一|?|，=，=，==一

AB2ABACBC2ABACBCAB+AC+BC2

盟ZOC与0AC8的周长比1:2,故选：B.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明财C皿BC是解答本题的关键.

Ary\r

例2.（2025春•江苏•九年级专题练习）如图，在RtSABC中，酎。=90。，点。在48上，且1~=--

ACAB

(1)求证(2)若AO=3,BD=2,求CD的长.

【答案】（1）见解析：（2）近

【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出,.ACD〜/WC

(2)由,AC£>~.ABC得ZADC=ZAC8=90°,ZACD=NB,推出丛COCBD,由相似三角形的性质得

祟咚,即可求出。的长.

ADCD

ADAC

【详解】（1）a—=——，ZA=ZA,团AACD~.'.A8C；

ACAB

(2)^i.ACD^ABC,0z^DC=ZAC^=9O°,ZACD=/B.

0Z.CDB=180°-9()°=9()°=ZACD,0-ACD.CBD,

CDBD

0=----即CZ)2=A。80=3x2=6,0CD=x/6.

ADCD

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键.

例3.（2025.山西九年级期中）如图，点C,。在线段A3上，△PCD是等边三角形，且NAP8=I2O。，求证:

(1)AACPSRPDB,(2)CN=AC,BD.

证明：(1)•••△PC。是等边二角形，

：・NPCD=NPDC=NCPD=60°,AZACP=ZPDB=\2O0,

•・・/APB=120°,/.ZAPC+ZBPD=6(r,

ZC4P+ZAPC=60°NBPD=NCAP,：.AACP^APD/?：

(2)由(1)得△ACPs^PDB,JA’F,

PDBD

•••△PC。是等边三角形，：,PC=PD=CD,，旦■二：,CD2=AC*BD.

CDBD

例4.(2025・湖南•统考中考真题)在RlZ\A8C中，N84C=90。，AO是斜边3C上的高.

（1）证明：△A或»C6A；（2）若A8=6,8c=10,求B。的长.

1Q

【答案】⑴见解析⑵4。=9

【分析】（1）根据三角形高的定义得出NA£>8=90°,根据等角的余角相等，得出NMD=NC,结合公共

角NB=ZB,即可得证；（2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】（1）证明：E1NRAC=9O。，是斜边8c上的高.

EZAD^=90°,ZB+ZC=90°0+ZI3AD=90°,回N8AO=NC

乂l?l4=N8IZI△AB4MBA,

（2）E/\ABD^Z\CBA0=,ZAB=6>BC=103BD=—-=—=—.

CBABCB105

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

例5.（2025.浙江中考模拟）如图，在.ABC中，0ACB=9O%CD回AB.

（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为—（不需证明）：

（2）已知AB=5,AC=4,请你求出CD的长:

（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点0,建立直角坐标系（如图2）,

若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线

段3A运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P,

使以点B、P、Q为顶点的三角形与0ABe相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

1227399

【答案】(1)3,-ABG3AACD,BABCHACBD,•.ACD0>CBD；(2)—；(3)存在，(―,(-,—)

5402810

【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为:鼬BGZ@ACD,[MBC^CBD,

0ACD00CBD.（2）先在0ABe中由勾股定理求出BC的长，冉根据0ABe的面积小变得到《AB・CD=gAC・BC,

即可求出CD的氏.（3）由于团B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与0ABe相似时，分两种情况进行

讨论：①圆PQB团0ACB：②OQPB00ACB.

【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：0ABe0纵CD,0ABCE0CBD,团ACD胴CBD.

证明：0CD0AB,酿ADC至ACB=90°,又回鼬=鼬，E0ADCEEACB

同理可证：0ABCEECBD,0ACDGHCBD.

故答案为：3；团ABOmiACD,0ABC2BCBD,0ACDEECBD.

(2)如图2中，在(3ABC中，B3ACB=90°,AB=5,AC=4,mBC==J?%7=3,

A,I1ACBC12

盟ABC的面积=7AB・CD=7AC・BC,0CD=------------=—

22AI35

（3）存在点P,使以点B、P、Q为顶点的三角形与团ABC相似，理由如下:

129

在BBOC中，03COB=9O°,BC=3,0C=—,0OB=~.

3，

分两种情况：①当回BQP=90。时，如图2①，此时即QB国ACB,

用整=卷，团?=:，解得t=£，即8Q=CP=£,0BP=5C-CP=3-1=^.

DCJ5oXHX

在田BPQ中，由勾股定理，得qQ=河2_BQ1=舟_4）2=.,回点p的坐标为（条当:

Vo824。2

②当［3BPQ=90°时，如图2②，此时回QPB国ACB,自丝二丝，回”二：，

BCAB35

解得t=—,即BQ=cP=-.BP=BC-CP=3--=-,

8888

15

PEBOPE«9

过点P作PE取轴于点E.版QPB03ACB,0--=-^,即干？=+，EPE=—.

COAB"510

5

在加PE中，BE=y/Plf-PE2=楣＞一（Q=2Z,

927999

也OE=（）B-BE=-----=-,回点P的坐标为（一,一），

5408810

综上可得，点P的坐标为（半27，-3）：（9^,9-）.

4UZo1U

【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关健是学会

用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

例6.（2025•陕西汉中•九年级期末）如图，是等腰直角.A8C斜边人8的中线，以点。为顶点的/石。/绕

点D旋转，角的两边分别与AC、8C的延长线相交，交点分别为点£、F,DF与AE交于点、M,DE与BC

交于点N,且/£8=45。.⑴如图1,若8=。尸，求证：QE=QF;（2）如图2,若CEHCF,求证：CD2=CECF;

⑶如图2,过。作DG_L8C于点G,若CD=2,CF=g，求ON的长.

图1图2

【答案】⑴证明见解析；⑵证明见解析；（3）拽.

3

【分析】（1）由题意可得勖CD=MCQ=45°,0fiCE=EL4CF=9O°,从而可得回DCEWOCV=135°,于是可■证得

△DCg八DCF,则有DE=DF；（2）结合（1）可求得国CO尸+"=45°从而可得团产=回。£,则，

利用相似三角形的性质即可求解：（3）由。G34C,（2L4CB=9O°,鼬8=妫。。=45。，结合（2）可求得CE=2

夜，从而可求得CG=7X7=后，可证得ACENSAGDN,从而可求得GN=@,再利用勾股定理即可求

3

得DN.

（1）证明瓯0AC8=9O",AC=BC,CD是中线，

盟6c0=酎8=45°,^BCE=^ACF=90°,^DCE=^DCF=135°

CE=CF

团在国。CE与团。C/,中，、NDCE="CF,田ADC的△DCF,⑦DE=DF；

CD=CD

(2)证明函团。CE=0DCF=135°函CQP+团”=180°-135°=45°,

^CDF+^CDE-45°,^F-^CDE,

©△CDFsMED,团?=竺，即C》=CECA

CECD

(3)解：如图，团DG3BC,0ACB=9O°,0BCD=0AC£>=45O,

物。GN=I3ECN=90°,回GCD=I3COG=45°,0CG=DG

当8=2,时，由CD2=CEC尸可得，C£=2&,

在RMDCG中，CG=DG=CD.sinZDCG=2xsin45=&

E0ECN=(3OGN,aENC=6DNG,gCENsgDN,

JN_CE,五小\rrA/2

GNDG近33

田口"向再诟=樽）2+扃普

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，作出适当的辅

助线，并熟记相似三角形的判定条件与性质是解题的关键.

例7.（2025•浙江•九年级期末）（1）如图1,在4ABe中，。为人8上一点，AC?=八。.八B.求证：ZACD=ZB.

（2）如图2,在o/WC力中，E是AB上一点，连接AC,EC.已知A£=4,AC=6,8=9.求证：2AD=3EC.

（3）如图3,四边形ABCO内接于。，AC.8。相交于点E.已知。的半径为2,AE=CE,AB=&AE，

BD=243,求四边形ABC。的面积.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2x/3

【分析】（1）由AC=AQ-AB化比例，与NA=NA,可证AACO胤ABC即可；

（2）由ABCD,可得AB=CO,AD=I3C,根据线段比值计算空=：，空=:，可得柒=空，由

AC3AH3ACAB

0FAC=0CAB,可证..AC石（3.48C即可；

（3）连接。4交8。于点尸，连接。B,根据AE=CE\AB=&E，可得4c=24E,根据线段比值计算可

ARAE

得一=—,[t]BBAC=^EAB,可证AABE回zMCB,可证财8。=14。3,“J■得3”=。凡根据勾股定理OF=1,

ACAB

可求SAND=,可诅:SA8E=S.C££,S八。£=S0）£,可得即可.

ACAD

【详解】（1）证明：如图1,^AC2=ADAB,=—,

ABAC

又BNA=Z4,0AACD0^ABC,^ZACD=ZB.

(2)证明：如图2,^c<ABCDtHAB=CD,AD=BC,

(?AE=4,AC=6,8=9,^\AB=CD=9,

=

0——=1—=—,=T>0—-=，E0EAC=0CAB.0ACETABC,

AC63A693ACAB

ApFC4pc2

E■—=——，即-=——=—>R28c=3EC.02AD=3EC；

ACBC68c3

(3)解：如图3,连接04交30于点F,连接。B,0AE=CE,AB=&E，^AC=2AE,

_ABy/2AEaAEAE®0ABAE

AC2AE2ABJ2AE2ACAB

E0AAeM3E4B,gZABD=ZACB,

0aZOB=0AC3,00ABD=a4Dfi,

团点A是弧8。的中点，BD为弦,0A为半径，SOA1BD,BF=DF,

ROA=QA=2,BD=20国BF=DF=G，

在RSOBF中,根据勾股定理OF=yJoB2-I3F2="^5=1，

E—OF—1,0S.ABO=5X8OxA产=,12AE=CE»EARE~CUE»,ADE=,CDE»

够BCD=SABCE0DCE=SABE+SCDEUSMBD，mS四边形ABCD=SM⑺+Sj=2S△八m=26.

【点睛】本题考查三角形相似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算，掌握三角形相

似判定与性质，垂径定理，勾股定理，与三角形高有关的计算是解题关键.

例8.(2025春・广东深圳•九年级校考期中)【基础巩固】

(1)如图1,在四边形48。中，对角线B。平分/ABC,ZADB=NDCB,求证：BD2=BABC；

【尝试应用】(2)如图2,四边形48C。为平行四边形，尸在力。边上，=，点E在刚延长线上，

连结所，BF,CF,若NEFB=/DFC,BE=4,BF=5,求A。的长；

【拓展提高】（3）如图3,在.ABC中，。是3c上一点，连结AO,点£,尸分别在A。，AC上，连结用3

CE3AF

CE»EF,若DE=DC,Z.BEC—ZAEF,BE=16>EF=7>----=—>求---的值.

BC4FC

257

［答案］（1）见解析；（2）——；（3）—

45

【分析】（1）据角平分线的定义及相似三角形的判定可知VABMVQBC,再根据相似三角形的性质即可解

答：（2）据平行四边形的性质及相似三角形的判定可知么钻尸S./8C,再根据相似三角形的性质即可解答:

（3）据平行线的性质可知即相似.三角形的判定可知△ECMS45CE,再根据相似三角形的性质即可解答.

【详解】（1）证明：团8。平分NA8C,瓜ZABD=NDBC,

RZADB=/DCB,eYABD^NDBC,闭芸二盘，=BABC;

BDBC

（2）解：回四边形A8CO为平行四边形，^AD//BC,AD=3C,lUZAFB=ZFBC,/DFC=/FCB,

^AB=AF,⑦ZAFB=ZABF,田乙铝F=/FBC,

@aFC-乙FCB,^EFB-ZDFC,自乙EFB—乙FCB,国&EimFBC.

BEBF45缶少汨25._25

。茄二正’即H广正‘解得：隗=7'团\°n二彳；

（3）过点C作CM〃A。交所的延长线于点M,

EZ4EF+NCEF+ZDEC=180°,NBEC+Z.CBE+/BCE=180°,

EZ.CEF=180O-ZAEF-ZDEC,Z.CBE=\W-ABEC-^BCEt

田DE=DC,R/DEC=/DCE,@NCEF=NCBE,

。CM〃AD,©ZDEC=/ECM,也/DEC=4DCE,

FMFC3

[?,ZJECM=Z.DCE,(3/\ECM0°ABCE>.2-----=-----=—,

BEBC4

EBE=16,团EM=12,0EF=7,=12-7=5,

ApEF7

&CM〃AD,0ZACM=ZE4C,EZAFE=ZCFM,SAAEF^ACWF,0—=

FCFM5

图3

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，平行四边形的性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定与性

质是解题的关键.

课后专项训练

AD1

I.（2025成都市九年级期中）如图，矩形48C。中，尸是。。上一点，BFLAC,垂足为E,—=-，△CEF

AB2

的面积为Sl，△4E8的面积为52,则a的值等于（）

401

【解答】解：一=・••设AD=8C=a,WlJAB=CD=2a,：.AC=V5a,

AB2

22

•・・BF_L4C,/.ACBE^ACAB,/\AEB^AABC,：,BC=CE*CAiAB=AE*AC

：.W=CE•后a,Aa2=AE*y/5a,/.CE—,AE=,

55AE4

SiCE,I

•:ACEFs/\AEB,A—=（一）2=TZ，故选：A.

S2AE16

2.（2025•浙江衢州•统考中考真题）如图，在48c中，AZ?=ACN4=36。.分别以点AC为圆心，大于

2

的长为半径画弧，两弧相交于点nE,作直线分别交AC,BC于点、F,G.以G为圆心，GC长为半

径画弧，交BC于点、H,连结AGA”.则下列说法曾送的是（）

A.AG=CGB.NB=2/HABC.t.CAH=_BAGD.BG2=CGCB

【答案】C

【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A：先根据等腰三角形的性质可得

ZC4G=ZC=36°,从而可.得NAG8=72。，再根据等腰三角形的性质可得4〃G=NGA”=54。，然后根据

三角形的外角性质可得4MB=18。，由此即可判断选项B；先假设BAG可得NW/=®G,再根

据角的和差可得NC4H=90°，NB4G=72。，从而可得/CAHrNBAG,由此即可判断选项C；先根据等腰三

角形的判定可得8G=AB=AC,再根据相似三角形的判定可得4ABe_G4C,然后根据相似三角形的性质

可得AC2=CG.CZ?,最后根据等量代换即可判断选项D.

【详解】解：由题意可知，。石垂直平分AC,CG=HG,:.AG=CG,则选项A正确;

.48=AC,NA=36°,.•.NC=NB=36。，

AG=CG,CG=HG,NC4G=NC=36。，AG=HG,

ZAGB=ZC4G+ZC=72°,ZAHG=NGAH=①=54°,

2

.\Z/MB=ZWG-ZB=18°,;.ZB=2/HAB,则选项B正确；

假设,兰班G,：.4CAH=tBAG,

又:Z.CAH=ZCA