2026年中考数学压轴题专项练习-方程与不等式中的新定义问题（学生版+详解版）

方程与不等式中的新定义问题

1.（2025•路北区校级一模）定义区表示不超过实数x的最大整数，如=[-1.2]=-2,[-3]=-3,

则方程2卜]=/的解为（）

A.0或忘B.。或2C.2或立D.0或血或2

2.（2025秋•寻乌县期末）【阅读理解】

定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两

条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”.如图1,

点尸在直线/上，射线PR,PS,P7位于直线/同侧，若只S平分NR/7,则有/RPT=2ZRPS,所以我

们称射线球是射线PS,PT的“双倍和谐线

【迁移运用】

（1）如图1,射线&（选填“是”或“不是”）射线球，PF的“双倍和谐线”；射线PT（选

填“是”或“不是”）射线"，PK的“双倍和谐线”；

（2）如图2,点O在直线MN上，OA±MN,ZAQ4=40。，射线OC从QN出发，绕点O以每秒4。的速

度逆时针旋转，运动时间为/秒，当射线OC与射线。4重合时，运动停止.

①当射线。4是射线03,OC的“双倍和谐线”时，求f的值；

②若在射线”旋转的同时，ZA08绕点O以每秒2。的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线8平

分ZAOB.当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM,。。的“双倍和谐线”时，求NCON的

度数.

MN

O

图2备川图

3.(2025春•姜堰区期末)【情境呈现】

2人十3y4A-3y_

------+------=7

在解方程组32时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量

2x+3y+4A--3y

=5

43

比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3y、4%-3y分别看作一个整体，通过换元：令〃z=2x+3y、

mn_

—+—=7

2m=\2,，〃=12...、

n=4.r-3y,可以将原方程组化为《3,解得.,把《入m=2x+3y、〃=4x—3y,住

〃=6n=6

-+-=5

43

2x+3y=12,解得[x=3,所以原方程组解为,x=3

4x-3>,=6&=2)'=2

【灵活运用】

3—+2)=1的解为

(1)若方程组J3x+如=1的解为x=1,则方程组.

ax+j=6[y=1a(x-2)+[y+2)=6

(2)若方程组乎3"。的解为i,其中左为常数.

a2x+b2y=c2y=K-2

-t7,(x+l)+—/7.(v-2)=c.

①求方程组;:'的解:

-a2(x+\)+-b2(y-2)=c2

②是否存在负整数左，使得①中方程组的解满足若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理

由.

4.(2024秋•蓬江区校级期中)对任意四个有理数a,b,c,d,定义新运算：|"b\=ad-bc.

cd

(1)若12'|=18,则％=:

x\

(2)若I*”2|=4,求x的值.

x-\a

5.（2025春•东阳市期末）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，

则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程

（1）判断一元一次方程3-2（l-.r）=4x与分式方程生已_1=1—是否是“相似方程”，并说明理由;

2x-l4X2-1

（2）已知关于x,y的二元一欠方程y=g+6与y=x+4〃?是"相伴方程”，求正整数〃!的值.

6.（2025春•西峡县期末）阅读理解

定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内,则称该一元一次方程为该不等式组的“子

2x—3<9—x

方程”，例々口：2x-l=3的解为x=2,'的解集为一3<xv4,不难发现x=2在一3<x〈4的

5x+5>2x-4

2x—3v9—x

范围内，所以标-1=3是*'的“子方程”.

5x+5>21-4

问题解决

(1)在方程①版-1=0,②241=0,③2x+3(x+2)=21中，不等式组.3（.2）-%”的“子方程”

3

是—.（填序号）

3Y—6>4—X

（2）若关于工的方程2xd=2是不等式组"的“子方程”，求出的取值范围；

x-l>4x-10

⑶若方程2-=。，浮一都是关于'的不等式组工+5””的，，子方程，，，试求”的取值

x+m<2m-3

范围.

9.(2025春•石林县期末)我们定义，关于同一个未知数的不等式A和4，如果两个不等式的解集相

同，则称不等式A与4为同解不等式.

(1)若关于x的不等式4:3-2x>0,不等式B.—―-<2是同解不等式，求”的值；

3

(2)若关于X的不等式，不等式D:x-4>0是同解不等式，其中〃?，〃是整数，试求/〃，〃

的值.

10.(2025春•常熟市期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元

一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”.如：一元一次方程x+l=2的解为x=l,而一元一次不等

式2x-3<x的解集为x<3,不难发现戈=1在x<3范围内，则一元一次方程x+1=2是一元一次不等式

2”3<x的“伴随方程”.

(1)在①-30+1)=9,②2x+3=5,③=L三个一元一次方程中，是一元一次不等式3(1+刈八-4

42

的“伴随方程”的有(填序号)；

(2)若关于上的一元一次方程3x-a=2是关于x一元一次不等式3(〃+。.4〃+x的“伴随方程”，且一元

一次方程£21+1=1不是关于x的一元一次不等式g<二的“伴随方程”.

223

①求a的取值范围；

②直接写出代数式|a|+|a-3|的最大值.

11.（2025春•浦东新区期末）我们规定，若关于x的一元一次方程奴=〃的解为工=8-〃，则称该方程

为“奇异方程”.例如：2x=4的解为x=2=4-2,则该方程2—4是“奇异方程”.请根据上述规定

解答下列问题：

（1）判断方程5x=-8（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；

（2）若〃=3,有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求。的值；若没有，请说明理由.

12.（2025春•即墨区期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该

Y-I>1

一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程*-1=3的解为工=4,而不等式组的

x-2<3

解集为2<x<5,不难发现x=4在2vxv5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组厂一>1的“关联方

x-2<3

程”.

(1)在方程①3(x+1)-3=9;②4工-7=0;——+l=x中，不等式组1、的“关联方程”

23(x-2)-^<4

是—：（填序号）

3x+l

----->X

2

（2）若关于工的方程2xd=6是不等式组的“关联方程”，求左的取值范围？

x-l>2x+l2

23

13.(2025春•扬州月考)阅读下列材料：我们知道|x|表示的是在数轴上数x对应的点与原点的距离,

即|x|=U-0|,也就是说，|x|表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为|芭-七|

表示在数轴上数%,占对应点之间的距离.

例如:解方程|x|=6.

解：•.♦|划=|工-0|=6,

二在数轴上与原点距离为6的点对应的数为±6,即该方程的解为x=±6.

【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式.

我们定义：形如“国,|x|<m,|x|>inn(〃?为非负数)的不等式叫做绝对值不等式，能

使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集.

由图1可以得出：绝对值不等式|x|>1的解集是X<-1或x>1,

绝对值不等式国工机的解集是—3WxW3.

例如：解不等式

解：如图2,首先在数轴上找出的解，即到1的距离为2的点对应的数为-1,3,则>一1|>2的

解集为到1的距离大于2的点对应的所有数，所以原不等式的解集为x<T或x>3.

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)方程|、一5|=3的解为.

(2)不等式国24的解集是—.

(3)不等式2*+2|+1<9的解集是.

(4)不等式|x+l|+|x-3|>4的解集是.

(5)若年一3|—卜+4|Ka对任意的％都成立，则a的取值范围是.

I也

14.(2025春•温江区校级期中)我们定义一种新的运算“g”；对于两个数进行“⑥”运算时，同

号相乘，异号相除，0与任何数进行"凶"

运算，结果为0.例如：(+5)0(-4)=+20,(+6)0(-3)=-2,(+7)00=0.

(1)(-5)®(-10)J=;

(2)对于任意有理数〃，b,计算：(/+2)区/；

(3)比较大小；2X2-4X+3。(填或“<");若x>0,且(2/-<?+4人)0(-2人)=一1,求

(2x2-4,v+3)®(x+1)+(A2+7x)0(-,v)的值：

(4)在(3)的条件下，求代数式》+/+./+/+.../2+，+3+4+±+...+=7的值.

XX2X4X8X5,2

15.(2025春•巴中期末)定义：如果两个一元一次方程的解之和为I,我们就称这两个方程为“美好

方程”,例如：方程24-1=3和x+l=O为“美好方程”.

(1)请判断方程叙-3+5)=1与方程-2)，-)，=3是否互为“美好方程”；

(2)若关于尤的方程已+〃?=0与方程3x-2=x+4是“美好方程”，求加的值;

2

1

(3)若关于x方程一!一x-l=0与x+I=34+&是美好方程”求关于y的方程

20222022

I

(y+2)+l=3y+&+6的解.

2022

16.(2025春•朝阳区校级期末)新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程

为“友好方程”，如：方程2x=6和次+9=。为“友好方程

(1)若关于工的方程3x+〃z=O与方程2x-6=4是“友好方程”，求机的值.

(2)若某“友好方程”的两个解的差为6,其中一个解为〃，求〃的值.

17.(2025秋•余姚市月考)【阅读理解】

若A,B,C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到8的距离2倍，我们就称点。是［4,用的“妙

点”.例如，如图1,点4表示的数为-1,点8表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2,到点

8的距离是1,那么点。是［A,B］的“妙点”.又如，表示0的点。到点A的距离是1,到点8的距

离是2,那么点。就不是［A,3的“妙点”，但点。是［4,川的“妙点

【知识应用】

如图2,M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-2,点N所表示的数为4.

(1)数3(填“是”或“不是")［M,N］的“妙点”，数2(填“是”或“不是”)［N,

M］的“妙点”.

(2)若数轴上有一点。表示的数是x,且点。是［N,M］的妙点，求/的值.

(3)如图3,A、4为数轴上两点，点A所表示的数为-4().点4所表示的数为20.现有一只电子蚂

蚁。从点4出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止.当，为何值时，点P,A和4中

恰有一个点为其余两点的“妙点”？(请直接写出答案)

ADCB

-J--1---，，，»

-3-2-I0I23

mi

1M111N

-4—3-2-I01234

图2

AB

-40-30-20-10010203040

图3

A,111i1.B11»

-40-30-20-10010203040

务用国

18.（2025春•岳麓区校级期末）新定义：对于实数x,我们规定国表示不大于x的最大整数，例如[1.4]=1,

[2]=2,[-3.5]=-4,试解决下列问题：

（1）填空：

①（乃为圆周率），

②如果比-2]=3,则实数4的取值范围:

（2）若点尸《y）位于第一象限，其中”，），是方程组上+,=团+2的解，求〃的取值范围：

'3x+4y=6[«]+3

（3）若/伏）=[包上岗伏是正整数），例：f（3）=[2±1]-[2]=1.下列结论:

4444

①/（1）=0：②/仅+4）=./W：③/（k+l）.JW：④7W=0或1.

正确的有（填序号）.

19.（2025秋•锦江区校级期末）小兵喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，他给出一个新定

义：若是关于x的一元一次方杼公+2=0（。/0）的解，为是关于），的方程的所有解的其中一个解，且

%,其满足/+），0=1（X）,则称关亍），的方程为关于”的一元一次方程的“友好方程例如：一元一次

方程3x-2x-99=0的解是为=99,方程），+]=2的所有解是y=1或y=-1,当为=1时，4+%=100,所

以9+1=2为一元一次方程3X-2.L99=0的“友好方程”.

（1）已知关于），的方程：①2），-2=4,®\y\=2f

以上哪个方程是一元一次方程3x-2x-102=0的“友好方程”？

请直接写出正确的序号是.

（2）若关于），的方程|2），-2|+3=5是关于x的一元一次方程x-包萨=〃+1的“友好方程”，请求出a

的值.

（3）如关于y的方程2ni|y-491+"*:50=，〃+〃是关于x的一元一次方程+45〃=54/??的"友好方程”，

请直接写出画乂的值.

20.(2025春•庐阳区校级期中)阅读以下材料：对于三个数a,b,c,用M{a,b,c}表示这三个

数的平均数，用，〃加{a,b,c}表示这三个数中最小的数.例如：M{-1,2,3}=+3=,

2,3)=-1:tnin{-\,2,".

-l(ti>-1)

解决下列问题：

(1)如果加〃{2,2x+2,4-2x}=2x+2,则4的取值范围为.

(2)如果M{2,x+1,2A}=min{2,x+1,2x},求x的值.

(3)根据(2),你发现结论“若M{a,b,c]=min{a,h,c}”,那么a,b,c之间有怎样的大小关

系？简单说明理由.

21.(2025•宝应县一模)对于实数a、b,定义一种新运算“〃☆〃”，规定如下：a^b=ab2-b.例

如3仝2=3x2'-2=10.

(1)若[☆x=2,则满足条件的x值为;

(2)对于(〃-l)☆x=2,存在两个不同的数值x,求a的取值范围；

(3)若时，求x的取值范围.

22.（2025秋•市中区期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和匕，规定a☆6=加+2m+〃.如:

]☆3=1x3"+2x1x3+1=16.

（1）（-2）^3=；

（2）若（也3）☆（—2）=16,求a的值；

2

（3）“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它

们的差W-N,若W-N>0,则M>N；若M-N=O,则A/=N；若M-N<0,则MvN.若x=〃?，

（卜）☆3-〃（其中x为有理数），试比较小，〃的大小.

23.（2025秋•仓山区期末）定义：若关于X的方程0¥+〃=0（4/0）的解与关于），的方程（7+〃=0（（?工0）的

解满足|工-'|二〃1（〃?为正数），则称方程ar+〃=0（aw0）与方程cy+d=O（cwO）是“/〃差解方程”.

（1）请通过计算判断关于工的方程2x=5x-12与关于y的方程3（）』1）-），=1是不是“2差解方程”；

（2）若关于x的方程%--—―=〃-1与关于y的方程2（y-2inn）-3（〃-1）=m是"m差解方程”，求〃的值；

3

（3）若关于x的方程sx+/=/?（s工0）,与关于y的方程s（y-k+l）=〃T是“2〃z差解方程”，试用含〃】的

式子表示左.

24.(2025秋•达川区校级期末)阅读理解：已知实数x,)，满足31-)，=5…①，2x+3j=7…②，求x

-4)，和7x+5y的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得

代数式的值，如由①-②可得上-4丁=-2,由①+②x2可得7i+5y=19.这样的解题思想就是通常所

说的“整体思想”.利用“整体思想”，解决下列问题：

(1)已知二元一次方程组《2'+'<则］_),=,x+y=;

x+2y=8-'

(2)买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58

元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？

(3)对于实数局y,定义新运算：力+c,其中。，b,。是常数，等式右边是实数运算.已

知3*5=15,4*7=28,求1*1的值.

25.(2025春•井研县期末)深化理解：

新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为<x>,

即：当〃为非负整数时，如果〃一~-<X<7?+—,则VX>=〃；

22

反之，当〃为非负整数时，如果<x>=〃，则〃一！Vx<〃+」.

22

例4口：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<2>=2,<3.5>=<4.12>=4,...

试解决下列问题：

(1)填空：①<乃>=(乃为圆周率)；

②如果<x-l>=3,则实数x的取苴范围为.

'2x-4,।

-----—1

(2)若关于x的不等式组3一’的整数解恰有3个，求”的取值范围.

(a^—x>0

⑶求满足3g的所有非负实数工的值.

1.（2025•路北区校级一模）定义国表示不超过实数尤的最大整数，如[1.4]=1,[T.2]=-2,[-3]=-3,

则方程2卜]=/的解为（）

A.0或&B.0或2C.2或应D.0或立或2

【解答】解：21xj=x2»

/.x.O,

①Q,人<1时，/2=0,解得x=O;

②L,x<2时，x2=2,解得x=&或工=-应（舍）；

2

③2Mx<3时，x=41解得x=2或x=-2（舍）；

④x.3时，方程无解；

综上所述：方程的解为x=0或x=2或x=&,

故选：D.

二,解答题（共29小题）

2.（2025秋•寻乌县期末）【阅读理解】

定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两

条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”.如图1,

点?在直线/上，射线网?,PS,PT位于直线/同侧，若PS平分ZRPT,WOWZRPT=2ZRPS,所以我

们称射线”?是射线内，PT的“双倍和谐线”.

【迁移运用】

（1）如图1,射线PS不是（选填"是”或“不是”）射线网，口的“双倍和谐线”；射线PT

（选填“是”或“不是"）射线”，蹬的“双倍和谐线”；

（2）如图2,点O在直线MN上，OA工MN,ZAOB=AO°,射线OC从。N出发，绕点O以每秒4。的速

度逆时针旋转，运动时间为/秒，当射线X与射线QA重合时，运动停止.

①当射线OA是射线04,OC的“双倍和谐线”时，求/的值；

②若在射线OC旋转的同时，406绕点O以每秒2。的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平

分ZAOB.当射线OC位于射线OD左侧且射线线是射线OM,QD的“双倍和谐线”时，求NCON的

度数.

图I图2备用图

【解答】解：（1）・.,PS平分4PT,

:/tPS=ZTPS,

射线QS不是射线松，PT的“双倍和谐线”；

PS平分々PT，

/.ZTPR=2ZTPS.

射线PT是射线PS,PR的“双倍和谐线

故答案为：不是；是；

（2）①由题意得：ZAOC=90°-4°r,ZAQ8=40°.

•.•射线04是射线04,OC的“双倍和谐线”，

ZAOC=2ZAOB或ZAOB=2ZACX?.

0

贝lj:90-4r=2x40.

解得”|.

0

则：40=2（90-4/）.

解得：”生.

2

综上，当射线OA是射线08,OC的“双倍和谐线”时，，的值为3或更.

22

②由题意得：4CON=啊，ZAQN=90°+2。/,ZAOD=20°,^LDON=ZAON-ZAOD=70°4-2°t.

•.•当射线”与射线OA重合时，运动停止，

此时NAON=NCON.

/.90+2r=4/.

.\/=45.

.•.当/=45秒时，运动停止，此时ZACW=18U。.

•.・射线OC位于射线8左侧且射线OC是射线OM,8的“双倍和谐线”,

/.4COM=2ZCOD或4COD=2Z.COM.

当NCOW=2NC8时，如图，

即：180°-NCON=2(NCON-NOON),

则：180-41=2(41—70—21).

解得：r=40.

.•.NCOV_40K40—160。.

当NCOD=2NCOM时，如图,

贝I」：4/-（70+2/）=2（180-4/）.

解得：7=43.

.•.NCON=4°x43=172°.

综上，当射线OC位于射线。。左测旦射线比是射线OM,。。的“双倍和谐线”时，NCON的度数为

160。或172。.

3.（2025春•姜堰区期末）【情境呈现】：

2x+3y4x-3y）

-----+-----=7

在解方程组L32时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量

2x+3y+4x3y_5

比较大，也容易出错，如果把方程组中的2x+3），、4%-3），分别看作一个整体，通过换元：令〃z=2x+3y、

tnn-

—।—=7

〃=4x-3），，可以将原方程组化为32,解得〃?二产，把『=产代入"=2r十3外〃=以-3），，得

m〃「/?=6n=6

仁;;U解得仁;,所以原方程组解为仁:.

【灵活运用工

（1）若方程组用”的解为L，则方程组卜一2）+伙>2）=1的解为

ax+y=6[y=1[a（x-2）++2）=6

（2）若方程组卜的解为,其中％为常数.

a2x+b2y=c2[y=k-2

^1(x+l)+^Z>1(>'-2)=cI

①求方程组；:的解:

—^2(x+1)+—b2(.y—2)=c2

②是否存在负整数0使得①中方程组的解满足X>），，若存在，请求出々的值；若不存在，请说明理

由.

【解答】解：（1）根据题意得

.r-2=l

y+2=1

解得［=3

\y=-

故答案为：/3

u?=-

*+1)=&

（2）①由题意可得:

l(y-2)=^-2

x=32-1

解得

y=2k-2

x=3^-I

②由①得:

y=2k-2

\x>yf

:.3k-\>2k-2f

k>—\t

又为负整数，

不存在负整数k使得①中方程组的解满足x>y.

4.（2024秋•蓬江区校级期中）对任意四个有理数〃，b,c,d，定义新运算：/人

|=ad-be.

ov-d.

(1)若I1=18,则％=3；

xI

(2)若产121=4,求x的值.

x-\a

【解答】解：(1)根据题意得：2x+4x=18,

解得：x=3;

故答案为：3；

(2)由已知得，«(x+l)-2(x-l)=4,

整理得：(々-2)x=2-a,

当。工2时，x=—\;

当4=2时，方程有无数解.

5.(2025春•东阳市期末)对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，

则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”.

(1)判断一元一次方程3-2(1-力=44与分式方程是否是“相似方程”，并说明理由；

2x-I4F-I

(2)已知关于x,y的二元一次方程好尔+6与y=x+4〃?是“相伴方程”，求正整数〃!的值.

【解答】解：(1)一元一次方程3-2(l-x)=4x与分式方程2-1=——不是“相似方程”，理由如

2x-\4X2-\

下：

解一元一次方程3-2(1-幻=©，

解得：x=L

2

解分式方程2一1=——,

2x—14x—1

解得：X=L

2

检验：当工」时，(2x+l)(2x-1)=0,

2

・•・原分式方程无解，

.•・一元一次方程3-2(l-x)=4x与分式方程注口-1=——不是“相似方程”；

2x-l4X2-1

(2)由题意，两个方程由相同的整数解，

:.inx+6=x+4m,

-l)x=4/〃-6,

①当〃Ll=0时，方程无解，

②当/力―1工()，即mW1时，^f=——,即x=4-,

m-1m-1

,.,%,y均为整数，

/.tn—\=\,2,—I,—2>

又•「〃?取正整数，

.•〃〃=2或3.

6.（2025春•西峡县期末）阅读理解：

定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子

方程”，例如；2x—1=3的解为x=2,一:的解集为—3,xv4,不难发现％=2在T,xv4的范围

5x+5..2x-4

内，所以21=3是的“子方程”.

5x+5..2x-4

问题解决：

（1）在方程①3工-1=0,②M_1=O,③2x+3（x+2）=21中，不等式组［2、T>"+1的“子方程”是

313（工-2）-用,4

③.（填序号）

（2）若关于x的方程21=2是不等式组产丁：4二:的“子方程”，求我的取值范围；

x-1..4x-10

（3）若方程2x+4=0,左二1=一1都是关于x的不等式组［AS.〃:的“子方程”，试求用的取值范

3［X+tn<2m-3

围.

【解答】解:（1）①311=0,

解得：x=L

3

②21一1=o，

3

解得：x=3,

2

③2x+3（x十2）=21,

解得：x=3,

2x-\>x+1@

’3（x-2）f,4②‘

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：&5,

.•.原不等式组的解集为：2<匕5,

.•.不等式组的“子方程”是：③,

l3(.r-2)-.r„4

故答案为：③；

()f3x-6>4-KD

[x-1..4x-10@'

解不等式①得：x>|,

解不等式②得：工,3,

.•.原不等式组的解集为：-<x,3,

2

2x-k=2

•••方程2、-Z=2是不等式组F二6：4二:的，，子方程，，,

(X-1..4X-1()

解得：3〈鼠4;

(3)2x+4=0,

解得：x=-2,

解得：x=-l

X+5..H1®

x+m<2m-3②

解不等式①得：X./Z/-5,

解不等式②得：x<m-3,

.•.原不等式组的解集为：

，・方程2丹4=0,生【=-1都是关于x的不等式组I"••北的“子方程”,

3x+〃？<2m—3

—5,,—2

m-3>-1

解得：2VM.3.

7.(2025春•罗庄区期末)定义一种新运算：A*8=1mT，例：3*2=3-2=1,(-2)*3=3-(-2)=5.

B-A(A<B)

(1)解不等式：2*(3x+l)>10;

(2)若y="(-2),

①求函数解析式，指出x取值范围：在坐标系中画出函数图象;

②写出函数)，="(-2)与y=x*(x-a)(a.O)的图象的交点个数.

【解答】解：(1)由题知，

当2..3.C+I,即工，,时，2*(3%+l)=2-(3x+l)=-3x+l.

3

又2*(3x+l)>10,即-3x+l>10,解得x<-3,

所以xv-3.

当2v3x+l,即时，2*(3工+1)=3X+1—2=31一1.

3

又2*(3x+l)>10,即3x-l>10,解得x>U.

3

所以x>U.

3

综上所述：

此不等式得解集为：xv—3或x>U.

3

(2)由题知，

当x…-2时，y=x-(-2)=x+2.

当xv-2时，y=-2-x=—x-2.

所以函数解析式为：），=「+2，..-21

②因为a.0,所以x..x-a,

贝Uy=1*(x-a)=x-(x-。)=a.

所以当4=0时，两个函数的图象交点个数为1,

当a>0时，两个图象的交点个数为2.

故4=0时，交点个数为1;4>0时，交点个数为2.

8.(2025春•淮安期末)定义一种新运算“a*b"：当口.〃时，a*b=a+3b;当av〃时，Q2例

如：3*(-4)=3+(-12)=-9,(-2)*5=-2-15=-17.

(1)填空：4*(-3)=_-5_,(Y)*3=;

(2)若(3%-4)*(工+6)=(3%-4)-3(工+6),则x的取值范围为;

(3)已知(3x-7)*4v-6,求x的取值范围.

【解答】解：(1)由题意得:4*(-3)=4+3x(-3)=4+(-9)=-5；

(-4)*3=-4-3x3=-4-9=-13;

故答案为：-5;-13;

(2),/(3x-4)*(x+6)=(3x-4)-3(.v+6),

.\3x-4<x+6,

3x-x<6+4»

2x<10,

x<5,

故答案为：xv5;

(3)分两种情况：

当版-7..4时，即x..U时，

3

v(3x-7)*4<-6,

/.3x-7+3x4<-6，

3x-7+12<-6,

3x<—+7—12,

3x<-119

x<-—(舍去)；

3

当3x—7v4时，即时,

3

v(3x-7)*4<-6,

「・3x—7-3x4v—6,

3x-7-12<-6,

3xv-6+7+129

3xvl3,

综上所述：X的取值范围为

3

9.（2025春•石林县期末）我们定义，关于同一个未知数的不等式A和8,如果两个不等式的解集相

同，则称不等式A与8为同解不等式.

（1）若关于x的不等式A:3-2x>0,不等式从竺卫<2是同解不等式，求。的值；

3

（2）若关于x的不等式C:x-2>〃〃?，不等式O:x-4>0是同解不等式，其中加，〃是整数，试求〃,，〃

的值.

【解答】解：（1）,.,3-2.r>0,

/.--2x>—3，

/.x<1.5»

2x-a_

<--------<2,

/.2x-<7<6>

.,.2x<6+a，

•.•不等式43-2>>°'不等式庆?<2是同解不等式,

解得：a=-31

的值为-3;

(2)x-2>mit

:.x>2+mn，

,.,x-4>0,

：.X>4r

,/不等式C:x-2>〃〃?,不等式O:x-4>0是同解不等式，

/.2+im=4t

：.nvi=2,

是整数，

=〃=2或"7=-1,〃=-2或〃?=2,〃=1或"7=-2,n=-\.

10.(2025春•常熟市期末)定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内，则称一元

一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”.如：一元一次方程x+l=2的解为x=l,而一元一次不等

式2x-3vx的解集为xv3,不难发现x=l在xv3范围内，则一元一次方程x+1=2是一元一次不等式

2工-3。的“伴随方程”.

(1)在①-3(x+l)=9,②2x+3=5,③8=2■，三个一元一次方程中，是一元一次不等式3(l+x)>x-4

42

的“伴随方程”的有②③(填序号)；

(2)若关于％的一元一次方程版-〃=2是关于x一元一次不等式3(o+x)..4a+x的“伴随方程”，且一元

一次方程上!十］=］不是关于x的一元一次不等式上的“伴随方程”.

223

①求，的取值范围；

②直接写出代数式|〃|+|。-3|的最大值.

【解答】解：(1)①一3(x+l)=9,

x+1=—39

②2x+3=5,

2x=5-3,

2x=2,

x=l;

③S=L

42

x+5=2，

x=2-5,

x=-3;

3(1+x)>x-4,

3+3x>x-4,

3x-x>-