2026届高三数学一轮复习讲义（基础版）复数

§5.4复数

【课标要求】1.通过方程的解，认识复数2理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义3

掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

।・落实主干知识・।

1.复数的有关概念

⑴复数的定义：形如a+6i(a,b£R)的数叫做复数，其中是复数的实部，是复数

的虚部，i为虚数单位.

⑵复数的分类：

复数z=a+6i(a,b£R)

’实数3_____0),

复数，

、虚数(b0)(当a0时为纯虚数).

⑶复数相等：

a+bi=c+d\<=>(a,h,c,d£R).

(4)共扼复数:

a+bi与c+di互为共轨复数o(a,b,c,d^R).

⑸复数的模：

向量应的模叫做复数z=a+切的模或绝对值，记作或,W\z\=\a+b\\=

(a,6£R).

2.复数的几何意义

---•对'应一

⑴复数z=a+〃(a,复平面内的点Z(a,b).

----对应__,

(2)复数z=a+bi(a,f^平面向量。Z.

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+/)i,Z2=c+d\{a,b,c,dWR),贝!]

①力口法：zi+Z2=(a+b\)+(c+di)=；

②减法：Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=；

③乘法：ziz=(a+bi)・(c+di)=；

④除法：幺二4二"如型=_________________________________(c+用气)).

z2c+di(c+di)(c-di)

⑵几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即应二,存

3自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“4”或“X”)

(1)复数z=〃+bi(a,b£R)中,虚部为历.()

⑵任意两个复数都不能比较大小.()

⑶已知z=a+bi(a,6金R),当。=0时，复数n为纯虚数.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()

2(2025・八省联考)|2-4i|等于()

A.2B.4C.2V5D.6

3.已知复数z=i3(l+i),则z在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.复数卷的共朝复数是.

回微点提醒

1.熟记与复数有关的常用结论

(l)(l1i)2=±2i；*=i；三二-i.

(2)i4n=1,i4,,+*1=i,i4n+2=-1,评+3=

(3>4〃+j4”+1+j4n+2+j4”+3=()(〃£N).

(4)复数z的方程在复平面内表示的图形

①〃W|z|W6表示以原点O为圆心，以。和6为半径的两圆所夹的圆环；

②|z-(a+bi)|=4/>0)表示以(a,b)为圆心,〃为半径的圆.

2.谨防两个易误点

⑴利用复数相等。+〃=c+di列方程时，注意叫b,c.d£R的前提条件.

(2)两个不全为实数的复数不能比较大小.

।•探究核心题型.

题型一复数的概念

例1(1)(2024・咸阳模拟)已知复数z=〃?2・76+6+(〃?2・36)i是纯虚数，则实数机的值为()

A.±6B.1或6

C.-6D.1

(2)(多选)(2。24•银川模拟)若复数z满足z(l-21)=10,则()

A.z=2-4i

B.z-2是纯虚数

C.复数z的虚部为4i

D.复数z在复平面内对应的点在第三象限

(3)(2024•晋中模拟)已知复数z=1・2i是方程双+b=0(a,(WR)的根,则历|等于()

A.V5B.4

C.VTlD.V29

思维升华解决复数概念问题的常用方法

(1)求一个复数的实吾屿虚部，只需将已知的复数化为代数形式”。+/川*%£R),则该复数的实部为处

虚部为b.

2

(2)复数是实数的条件：①N=o+bi七Ro，)=0(。，Z)eR)；(2)zGR<=>z=z；®Z^R^Z^0.

⑶复数是纯虚数的条件

①z=〃+6i是名屯虚数oa=0且6W0(a,6£R)；

®z是纯虚数<=>z+z=0(zWO)；®z是纯虚数=z2Vo.

除法的关键是分子分母同乘以分母的共血复数，解题中要注意把i的幕写成

复数的除法

最简形式，这里的分母实数化可类比分母含根式的分母有理化

跟踪训练2（1）（2024成都模拟）若复数2满足2（1+。=2-）则二等于（）

1,in1i

AA.-+-B.r--

2222

^1.3.p.13.

Ci卡?Di■?

（2）（2025・新乡模拟）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2,-I）,则言二.

⑶已知i为虚数单位，则i+i2+/+…+P025=

题型三复数的几何意义

例3（1）（2024・西宁模拟）已知复数z=（a-1）・2ai（a£R）,且z|=5,若z在复平面内对应的点位于第二

象限，则。等于（）

A.-2B.-若

C.2D.y

（2）（多选）设z为复数,则下列命题中正确的是（）

A.若复数6+5i与-3+4i分别对应向量力?与方，则向量瓦?对应的复数为9+i

B.若复数z满足|z-i|=|z+i|,则z在复平面内对应的点的轨迹为一条直线

C.若|z-i|=1,则团的最大值为我

D.若复数z满足1W|z|W/,则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为兀

思维升华复数的几何意义及应用

二一对应一

⑴复数z、复平面上的点Z及向量声相互联系、——对应，即2"+砥明正RfNa,

一一对•应

忖F.

（2）由于复数、点、向量之间建立了——对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

跟踪训练3（1）（2024・南充模拟）当1〈〃?v2时，复数/〃・1+（，〃・2）i在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

(2)已知复数二满足|z-2|=1,则|z-i|的最小值为()

A.lB.V5-1

C.V5+1D.3

答案精折

落实主干知识

1.(1)。b(2)=W=

(3)。=cS.b=d

(4)tz=c,b=-d

(5)忸\a+bi\卜+岳

3.(1)①(a+c)+3+d)\

②(a-c)+(b-d)'\

③(ac-bcl)+(ad+bc)i

4理+"bc-ad.

QD-------+--------1

c2+d2c2+d2

Q)西+两两■两

自主诊断

1.⑴X(2)X(3)X(4)V

2.C[|2-4i|=呼+42=2V5.]

3.D[z=ip+i)=-i(l+i)=l・i,z在复平面内对应的点为(1,7),位于第四象限J

4.-2+i

解析六=5(上)=.2・i,故其共辗复数是-2+i.

探究核心题型

例1(1)D[由题意可得加2-7〃?-6=0且利2-36#0,则m=L]

(2)AB[对于A,z二三=io(i+2"=2+4i,

1-21(l-2i)(l+2i)

Az=2-4if故A正确；

对于B,z-2=2+4i-2=4i,为纯虚数，故B正确；

对于C,z=2+4i,虚部为4,故C错误;

对于D,z=2+4i,其在复平面内对应的点为(2,4),在第一象限，故D错误.]

(3)D[由题意得，1+2i是方程x2+ax+〃=05，8£R)的一个根，

由根与系数的关系得l+2i+l-2i=-%(l+2i)(l-2i)=^,

故-2,b-\-4i2=1+4=5,

故|a+M|=|-2+5i|=』+25=V29.]

跟踪训练1(DC[虚数不能比大小，故A错误；对于复数z=〃+砥a,/>ER),但凡满足标+〃=1,其

模均为1,显然不仅四个，比如。弓，b二日时，团=1,故B错误；由共辗复数的定义可知C正确；原点

(0,0)也在虚轴上，但不表示纯虚数，故D错误.]

(2)D[设z=4+bi,a,6£R,

则(1-2i)(z-i)

=(1-2i)[a+(Z?-l)i]

=Q+S-l)i-2ai+2(6-1)=5,

(a+2(/?-1)=5,

所以

(b-1-2a=0,

(a=1,

解得

(b=3,

所以2=l+3i,|z|=Jl2+32

=V10.]

2+i(2+i)(a-i)2a+l+(a-2)i

(3)A[z=—=-------=----;-----,

a+i(a+i)(a—i)a2+1

因为复数2=巴的实部与虚部相等，

«+i

所以2。+1=。・2,解得。=-3,

故实数。的值为-3.]

例2(i)C[因为曰二审

=1+-^-=1+i,

所以Z=1+y=1-i.]

..l+2i_(l+2i)(2+i)

(2)C*2-i-5

r.z=i2025=i4X506*l=iJ

(3)5

解析因啃=2i,

所以z-3=2i(z-i)=2+2iz,

所以一5(1+2i)

(l-2i)(l+2i)

=1+2i,

所以2=1・2i,

贝!|z5=(l+2i)(l-2i)=5.

跟踪训练2(1)D[依题意,

,,2-i_(2-i)(l-i),l-3i

z---

1+i(l+i)(l-i)2

(2)2i

解析由题意得复数Z对应的点的坐标为(2,1),

故z=2・i,z=2+i,

故言二2+i+i2+2i

2-i-l1-i

2(1+02

(1-0(1+0

2(1+讲>

—:—=2i.

(3)i

解析i+i2+i3+i4=0,

则i+产+i?+…+F025

=506X0+i=i.

例3(1)A|由题意|z|

22

=J(a-l)+(-2a)=5f

得5a2・2a-24=0,

解得。=-2或4二5

因为Z在复平面内对应的点位于第二象限，

所以

故"0,故〃=-2.1

(2)ABD［对于A,因为复数6+5:与-3+4i分别表示向量万?与方，

所以表示向量瓦?的复数为6+5i-(-3+4i)=9+i,故A正确；

对于B,因为复数z满足|z・i|=|z+i|,设z=a+6i(a,b£R),则|a+(b・l)i|=|a+(b