2026年中考数学一轮复习：锐角三角函数（含解析）

2026年中考数学一轮复习锐角三角函数

一.选择题（共io小题）

1.（2025•港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，

支持力F\的方向与斜面垂直，摩擦力尸2的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25°,则摩擦力

产2与重力G方向的夹角p的度数为（）

A.155°C.115°D.65°

2.（2025♦安庆二模）如图,在正方形网格中.的位置如图，其中点A、B、。分别在格点卜.

则taM的值是（）

3.（2025•旬邑县校级模拟）如图，在AABC中，NB=45°,BC=3,£cmC=1则中线AO的长

为（）

A.V5

4.（2025•莆田模拟）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射

率n=察（》为入射角，，.为折射角）.如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃

透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出.若i=30°,AB=20cm,BC=Scm,则该玻璃透镜

的折射率〃为（）

法线

A.2B.1.6C.1.5D.1.4

5.（2025•南关区模拟）如图，小明在点。处测得树的顶端4仰角为a,同时测得8c=15，〃，则树

的高度A6为（）

1515

A.15tanamB.-------mC.15sinamD.——m

tanasina

6.（2025•鲁山县一模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角N3AC=130°,

点。在伞柄AP上，AE=AF=DE=DF=m,则AO的长度可表示为（）

A.wsin65°B.ZHCOS65°C.2??zsin65"D.2〃2cos65°

7.（2025•长春模拟）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可

以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截

面如图，48的长为50米，AB与AC的夹角为24°,则高3c是（）

A.50sin24w米B.50cos24“米

5050

c.米D.米

sin24°cos240

8.（2025•南关区校级三模）如图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当

位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位;

当车位锁上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车

位.图2是其示意图经测量，钢条AB=AC=a厘米，ZABC=Q.则车位锁的底盒长BC为（）

C.2acos0厘米D.2asin0厘米

9.（2025•朝阳区校级二模）如图所示的是一段索道的示意图.已知4、8两点间的距离为500米,

NB4C=a,则缆车从A点到B点上升的高度（即线段的长）为（）

500.

C.——米D.500cosa米

cosa

10.（2025•上蔡县三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方

面.如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座ABCO的高为2a”，上部

显示屏石尸的长度为605?，侧面支架EC的长度为130CM,ZECD=80°,N”EC=I3Q°,则该

机器人的最高点尸距地面的高度为（）

B.(50+130cos800)cm

C.（30旧+啜）。）所

D.(50+130sin80°)cm

还能与多种设冲风格相融合.如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽

象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2,则该置物架所占用墙面的长度d的值

为

图1

三.解答题（共5小题）

16.（2025•天河区校级四模）人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛.使

用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”a为20°（望向屏幕上边缘

的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”0为

100°,如图①所示.

图①图②图③

（I）如图②，当水平视线与屏幕垂直，“视线角”a为20。，8C=24c〃z时，求眼睛与屏

幕的距离A&（结果保留一位小数）

（2）如图③，肩膀到水平地面的距离。G=100cm,大博。E=30CM,小臂水平放在桌面E尸上，

若要保证坐姿正确，即“手肘角”0为100°时，求当桌面E尸到地面的距离FH为多少？（结果

保留一位小数）

参考数据：sin200多0.34,cos20aM）.94,tan200~0.36,sin800弋0.98,cos80°^0.17,tan800

心5.67

17.（2025•永寿县校级模拟）“生命之树”（如图①）是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，

用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观.如图②，由于“生命之树”主体底部不可直

接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点。处

竖直上升100m到达点C处，在点C处测得“生命之树”主体48的顶点A处的俯角为22°,然

后操控无人机向主体A8的方向水平飞行65”?至点E处，在点£处测得顶点A处的俯角为45°,

点、B,。在同一水平线上，AB1BD,图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体的高

度.（结果保留整数,参考数据；sin22°%0.37,cos22°〜0.93,tan220=*0.40）

DB

图①图②

18.（2025•广东模拟）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种

工作状态下的侧面结构示意图（MN是基座的高，何。是主臂，PQ是伸展臂，EM//QN）.已知

基座高度为1加，主臂MP长为5/〃，测得主臂伸展角./PME=37°.（参考数据：sin37°«1,

344

、彳，）

lan37°45sin53°7m3tan53°«-

（1）求点尸到地面的高度；

（2）若挖掘机能挖的最远处点Q,此时NQPM=90°,求。点到N点的距离.

19.（2025•武安市二模）淇淇家位于学校正东方向200〃？处，周末她和同学约好去学校附近的体育

馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西53°方向，距离学校500/〃.

（1）请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图；

（2）求体育馆到淇淇家的直线距离；

（3）若淇淇步行从家出发，先以50m/min的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球，

于是立即以60〃而而的速度原路返回家中.取到篮球后，为了赶时间，她以80〃?/〃而的速度从家

直接走到体育馆，求洪淇全程所用的时长.（计算结果保留整数.参考数据：sin53°=0.8,cos53。*

0.6,V5«2.2）

20.（2025•凌河区校级三模）如图I,某款线上教学设备由底座、支撑臂A8、连杆BC、悬臂CO

和安装在。处的摄像头组成.如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图.已知支撑臂AB±l,

AB=lSan,CD=44cm,固定NA8C=148°,可通过调试悬臂CO与连杆8C的夹角来提高拍摄

效果.悬臂端点。到桌面/的距离约为52a”.

（1）8C的长度为多少？

（2）已知摄像头点D到桌面1的距离为30c/n时拍摄效果较好，那么此时悬臂CD与连杆BC的夹

角N6CO的度数约为多少？（参考数据：sin58°^0.85,cos58°—.53,tan58°F.60）

ct）----------------A-----------1

图1图2

2026年中考数学一轮复习锐角三角函数

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题）

1.（2025•港北区三模）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，

支持力Fi的方向与斜面垂直，摩擦力尸2的方向与斜面平行.若斜面的坡角a=25°,则摩擦力

尸2与重力G方向的夹角0的度数为（）

A.155°R.125°C.115°D.65°

【考点】解直角三角形的应用・坡度坡角问题.

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.

【答案】C

【分析】根据题意结合图形可知p是重力G与斜面形成的三角形的外角，从而可求得p的度数.

【解答】解：•・•重力G的方向竖直向下，

・•・重力G与水平方向夹角为90°,

由题意可得：

故选：C.

【点评】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，正确进行计算是解题关键.

2.（2025•安庆二模）如图，在正方形网格中，△4BC的位置如图，其中点A、B、。分别在格点上,

则taiiA的值是（)

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】取格点连接CO,设每个小正方形的边长为I,由勾股定理结合勾股定理逆定理可得

△ACO为直角三角形，且/4OC=90°,再由正切的定义计算即可得解.

【解答】解：如图所示：取格点。，连接CD,

设每个小正方形的边长为1,由勾股定理可得：

CD=Vl2+I2=V2,AD=V32+32=3V2,AC=V22+42=2通,

122

：.AC=AD+CDt

•••△ACO为RtZ\,且NAQC=90°,

・•&1

"=荻=可

故选:B.

【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、求角的正切值，熟练掌握以上知识点是关键.

3.（2025•旬邑县校级模拟）如图，在△44C中，N4=45",BC=3,tanC=L则中线A。的长

为（）

L3V5

A.VSB.2C.-D.

22

【考点】解直角三角形.

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.

【答案】。

【分析】过点A作AE_LBC于点E,设分别在和Rtz^AEC中，利用锐角三角函

数的定义求出8£和C£的长，从而列出关于x的方程，进而求出8c的长，再利用三角形的中线

定义求出3。的长，从而求出的长，最后在RtZXAQE中，利用勾股定理进行计算即可解答.

【解答】解：过点A作AEJ_/3C于点E,

设AE=xf

在RtZSABE中，NB=45：

••・8E=4E・tan450=x,

在RtAAEC中，tanC=1

AE1

•■•■1-9

CE2

：，CE=2AE=2x,

：.BC=BE+CE,

；・x+2x=3,

解得：x=\,

,AE=BE=1,

•・・AQ是BC边上的中线，

:.BD=CD=i«C=I.5,

乙

：,DE=BD-BE=\.5-1=0.5,

在RtAADE中，AD=y/AE2+DE2=空，

故选：D.

【点评】本题考杳了解直隹三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

4.（2025•莆田模拟）小媛在物理实验课上研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射

率"=舞（，为入射角，厂为折射角）.如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的硫系玻璃

透镜斜面，经折射后沿垂宜.4。边的方向射出.若i=30°,AB=2Qcm,BC=5cm,则该玻璃透镜

的折射率〃为（）

法线

B

A.2B.1.6C.1.5D.1.4

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用.

【答案】4

【分析】由题意得0+NA=9O°,r4-p=9O°,则/=NA,所以sinr=sinA=器=/=*,然后

通过折射率n=鬻=曙即可求解•

【解答】解：如图,

法线

•・•折射光线沿垂直AC边的方向射出B+NA=90°,

•・•法线垂直于4氏

/.;-+p=90°,

**•r—NA,

BC_5_1

sinr=sinA

~AB~20~4f

1

-

2

-=

:折射率"券=嚅12,

4

故选：A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键.

5.（2025•南关区模拟）如图，小明在点。处测得树的顶端A仰角为a,同时测得8C=15/〃，则树

的高度43为（）

1515

A.15tanamB.-----mC.15sinamD.—：—m

tanasina

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用：应用意识.

【答案】4

【分析】由锐角三角函数定义得tana=赛，即可得出答案.

【解答】解：在RtZ\A8C中，BC=15〃?，NACB=a,lana=整，

/.AB=BC*tana=15tana（m）.

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题及坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数

的定义是解答本题的关键.

6.（2025•鲁山县一模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角/BAC=I3O°,

点D在伞柄A尸上，AE=AF=DE=DF=m,则A。的长度可表示为（）

A./??sin65oB.，wcos65°C.2"isin65'D.2???cos65°

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】。

【分析】连接七厂交A。于点O,根据已知易得：四边形49产是菱形，从而利用菱形的性质可得

OA=OD=^AD,NAO〃=90°,ZFAD=65°,然后在R【ZkAOF中，利用锐角三角函数的定义求

出月。的长，从而求出4。的长，即可解答.

P

'：AE=AF=DE=DF=m,

・•・四边形AED尸是菱形，

：,OA=OD=^AD,NAO"=90°,^FAD=^ZEAF=65°,

在RtZXAO/中，A0=AF・8S65°=〃?COS650,

：.AD=2AO=2mcos65°,

A。的长度可表示为2mcos65,

故选：D.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是

解题的关键.

7.（2025•长春模拟）许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可

以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）.上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截

面如图，的长为50米，AB与AC的夹角为24°,则高8c是（）

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力.

【答案】A

【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出3c的值.

【解答】解：VZBC4=90°,AB=50m,NA=24°,

..ABCBC

•凡必=而=历，

.*.BC=50siiiA=50sin24o［米），

故选：A.

【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.（2025•南关区校级三模）如图1是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当

位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中（底盒固定在地面下），此时汽车可以进入车位;

当车位债上锁后，钢条按图1的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位债高度的汽车进入车

位.图2是其示意图经测量，钢条AB=AC=a厘米，ZABC=Q.则车位锁的底盒长BC为（）

C.2〃cos。厘米D.2。sin。厘米

【考点】解直角三角形的应用；等腰三角形的性质.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】C

【分析】根据题意.结合图形,在RtAAOA中利用二角函数得到结合等腰二角形的件质得

到结果.

【解答】解：过A点作AQJ_4C于。点，

图2

•：AB=AC,△/WC是等腰三角形，

；・BD=DC,

•・•在中，NAOB=90°,ZABD=G,48=a厘米，

/.BD=AB•cosZABD=crcosQ（厘米），

.•・BC=2a・cos8（厘米），

故选：C.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键.

9.（2025•朝阳区校级二模）如图所示的是一段索道的示意图.已知A、5两点间的距离为500米,

NMC=a，则缆车从4点到B点上升的高度（即线段的长）为（)

B

500500,

A.--米B.5(X)sina米C.——米D.5(X)cosa米

sinacosa

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】B

【分析】根据题意可得：BCLAC,然后在RIZS4BC中，利用锐角三角函数的定义求出8c的长,

即可解答.

【解答】解：由题意得：BCVAC,

在RtZ\A8C中，ZBAC=a,A8=500米，

.•.4C=AB・sina=500sina（米）,

・•・缆车从4点到B点上升的高度为5（X）sina米，

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键.

10.（2025•上蔡县三模）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方

面.如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座ABC。的高BC为20cm,上部

显示屏E厂的长度为6（kw,侧面支架£C的长度为130cm,Z£CD=80°,ZFEC=130°,则该

机器人的最高点“距地面的高度为（）

A.(30+130sin800)cmB.(50+130cos800)cm

ion

C.(30V34-^^3)c7nD.(50+130sin800)cm

Ov140xz

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】D

【分析】过点E,尸分别作E〃_LC£>,FN工CD,垂足分别为〃，N,过点E作EM_LRV,垂足为

M,可得四边形EMNH为矩形，即得MN=E"，再分别解Rtz^E/ZC和Rt△产EM,求出£”、FM

即可求解.

【解答】解：过点£尸分别作E〃_LCD,FNA.CD,垂足分别为H,N,过点七作EM_LFN,垂

足为M，则四边形EWN"为矩形，

*.*sinZ-ECH=林,

：.EH=CE^\nZECH=130sin80°(cm),

.•・MN=130sin80°(cw),

VZEHC=90°,

：,ZCEH=90°-80°=10°,

：.ZFEM=ZFEC-ZMEH-ZCEH=\30°-90°・10°=30°,

：.FM=^EF=30(cm),

・•・点尸距地面AB的高度为BW+MN+BC=30+130sin8(T+20=(50+130sin80°)an,

故选：。.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确进行计算是解题关犍.

二.填空题(共5小题)

11.(2025•武汉)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离，具体过程如下：如图，

将无人机垂直上升至距水面120〃?的P处，测得A处的俯角为45°,8处的俯角为22°,则A,B

之间的距掰是180m.(tan22°取0.4)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】180.

【分析】根据题意可得：PD//CB,从而可得/B4C=N。以=45°,NDPB=NPBC=22。，然

后分别在RlZiMC和RtZXPBC中，利用锐角三角函数的定义求出AC和8C的长，从而进行计算

即可解答.

【解答】解：如图：

：.ZPAC=ZDPA=45°,ZDPB=ZPBC=22°，

在中，PC=120w.

・.・心p儡c3=12°(W,

在RtaPBC中，ZPBC=22°，

•••8°=岳、舒=3。。。〃），

：.AB=BC-AC=300-120=180(in),

B之间的距离约是是加,

故答案为：18（）.

【点评】本题考查了解直弁三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形进行

分析添加适当的辅助线是解题的关键.

12

12.（2025•广州）如图，在Rt△人8C中，NAC«=90°,人。平分/。人以已知co$/C4D=g，AB

=26,则点8到A。的距离为10.

【考点】解直角三角形；角平分线的性质.

【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.

【答案】10.

【分析】过点D作DH_LAB于点H.可以假设AC=\2k,AD=\3k,则CD=5k,证明DH=CD

=5k,利用面积法求解.

【解答】解：过点D作_L/W于点H.

Ar19

VZC=90°,cosNCAD=^=若,

・••可以假设4C=12匕AD=\3k,则CD=5匕

「A。平分NC4B,DCA.AC,DH上AB,

；・DH=DC=5k,

11

设点B到AD的距离为力，则有三x13kxg.x26X5k,

解得人=10.

故答案为：10.

【点评】本题考查解直角三角形，角平分线的性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问

题.

13.（2025•椒江区校级模拟）如图，四边形48CO中，若N3+ND=180°,BC=CD=3,AC=8,

A4=x,AD=y.则xy=55.

【考点】解直角三角形.

【专题】三角形；解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力；推理能力.

【答案】55.

【分析】过点。作CELAB于点E,CFLAD,交AD延长线于点F,证明N〃=NCOF=a,解

得C£=3sina,BE=3cosa,则A£=x-3cosa,由勾股定理得斗戌七岳二人。2，则（尸

3cosa）2+（3sina）2=82,整理得/-6xcosa=55①，解RtZXC。/得C〃=3sina,DF=3cosa,则

4尸=y+3cosa,由勾股定理得A尸+C尸=人（72,则（y+3cosa）2+（3sina）2=82>整理得>2+6ycosa

=55②，由①②得，-6xcosa=）2+6.vcosa,由此得x-y=6cosa,则/+『-2x），=36cos%,再由

①+②得/+/=110+36cos2a,进而得110+36cos2a-2xy=36cos2a,由此即可得出xy的值.

【解答】解：过点。作CE_L48于点E,。产_LAO,交AZ）的延长线于点尸，如图所示:

•••N8+NADC=180°，ZCDF+ZADC=\SOa,

:,乙B=^CDF,

设NB=NCO/=a,

在RtZ\8CE中，/B=a,BC=3,

..CEBE

.・sina=阮，cosa=阮，

/.CE=BC・sina=3sina,BE=BC*cosa=3cosa,

•••A8=x,

*.AE=AB-BE=x-3cosci,

在RtZkACE中，AC=8,

由勾股定理得：AE1+CE1=AC2,

:.(x-3cosa)2+(3sina)2=82,

整理得：x2-6xcosa+9(sin2a+cos2a)=64,

*/sin2a+cos2a=I，

/..x*2-6xcosa=55①，

在RlZ\CO『中，ZCDF=a,CD=3,

..CFDF

..sina=①,cosa=①,

CF=CD*sina=3sina,DF=CD*cosa=3cosa,

•：AD=yt

/.AF—AD+DF—y+^cosa,

在RtZ\ACF中，AC=8,

由勾股定理得：A产+C/2=AC2,

:.(y+3cosa)2+Osina)2=82,

整理得：y2+6.ycosa+9(sin2a+cos2a)=64,

Vsin2a+cos2a=1,

:.)?+6ycosa=55@,

由①②得：x2-6xcosa=)2+6)cosa,

(xiy)(x-y)=6(xiy)cosa,

•・•卢)，WO,

Ax-y=6cosa,

（x-y）2=（6cosa）2,

/.A2+y2-2A）'=36cos?a,

由①+②得：x2-6.rcosa+>f2+6j,cosa=110,

.*.x2+）r2=110+6（x-y）cosa=110+6X6cosaXcosa,

.*.x2+>f2=110+36cos2a,

/.110+36cos2a-2x）?=36cos2a,

•55.

故答案为：55.

【点评】此题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，勾股定理，完全平方公

式的结构特征是解决问题的关键.

14.（2025•金凤区模拟）如图，小明在大楼30米高（即尸〃=30米）的窗口2处进行观测，测得山

坡上A处的俯角为15°,山脚B处的俯角为60°,已知该山坡的坡度i（即lan/ABC）为1：遮，

点P,H,B,C,4在同一个平面上，点”、8、C在同一条直线上，且PH_L"C.

（1）山坡坡角（EPZABC）的度数等于30度；

（2）求4、8两点间的距离等于34.6（结果精确到0.1米，参考数据：V3«L732）.

HBC

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）根据俯角以及坡度的定义即可求解.；

（2）在直角中，根据三角函数即可求得P8的长，然后在直角△P/弘中利用三角函数即可

求解.

【解答】解：（1）VtanZA«C=l：V3,

••・NABC=30°：

(2)由题意得：ZPBH=60°,

VZABC=30°,

AZABP=9(f,又N4PB=45°，

・•・△以8为等腰直角三角形，

在直角△尸〃8中，PB=z黑砂=警=2。百.

SLTl^ruti，3

T

在直角△P84中，A8=P8=20，5434.6米.

故答案为30,34.6.

【点评】本题主要考查了俯角的问题以及坡度的定义，正确利用三角函数是解题的关键.

15.(2025•光泽县模拟)具有对称性且富有节奏感的正六边形，不仅为建筑和装饰增添了现代感，

还能与多种设计风格相融合.如图1是阅览室墙上设计的正六边形蜂窝状置物架，将该置物架抽

象成几何图形如图2所示，若每个正六边形的边长均为2,则该置物架所占用墙面的长度d的值为

19.

图1图2

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【答案】19.

【分析】根据题意可得：点4从C,D,E,F,G,H共线，连接A8并延长到点H,则A”_L

HM,根据题意可得：AB=CD=EF=4,BC=DE=FG=GM=2,然后在Rt/XGHM中，利用锐角

三角函数的定义求出G”的长，最后进行计算即可解答.

【解答】解：如图：由题意得：点A,B,C,D,E,F,G,"共线，连接AB并延长到点”，则

AHVHM,

由题意得：AB=CD=EF=4,BC=DE=FG=GM=2,

在RlZ\G”M中，NMG”=60°,

••・GH=GM・cos60°=2x1=l,

：,AH=AB\BC\CD\DE\EF\FG\GH=4I2I4I2I4I2H=19,

・•・该置物架所占用墙面的长度d的值为19,

故答案为：19.

【点评】本题考查了解宜隹三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添适当的辅助线是解

题的关键.

三.解答题（共5小题）

16.（2025•天河区校级四模）人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛.使

用电脑时一般正确的坐姿是：当眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”a为20°（望向屏幕上边缘

的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”0为

100°,如图①所示.

图①图②图③

（1）如图②，当水平视线八8与屏幕4c垂直，“视线角”a为20。，4C=24c〃?时，求眼睛与屏

幕的距离A8;（结果保留一位小数）

（2）如图③，肩膀到水平地面的距离。G=大博。E=30c〃?，小臂水平放在桌面E尸上，

若要保证坐姿正确，即“手肘角”0为100。时，求当桌面月产到地面的距离FH为多少？（结果

保留一位小数）

参考数据:sin200比0.3数cos20°^0.94,tan20°比0.36,sin80°比0.98,cos80°^0.17,tan80°

%5.67

【考点】解直角三角形的应用.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】（1）眼睛与屏幕的距离A8约为66.7cm；

（2）桌面EF到地面的距离FH约为70.6CM.

【分析】（1）根据8C的长及20°的正切值可得A8的长；

（2）易得NOEM=80°,根据OE的长和80°的正弦值可得MG的长，取QG的长，减去MG的

长即为桌面E尸到地面的距离.

【解答】解:（1）・・・A8_LBC,

・・・NB=90°,

Va=20°,BC=24cm,

..DBC24,、

•7-—«YToZ~O6.7(cm),

tana0.36

答：眼睛与屏幕的距离A8约为66.7cm；

(2)由题意得：四边形GMF"是矩形，/DME=90°,

图③

vp=ioo°,

：,/DEM=^°,

■:DE=30cm,

・・・£>M=OE・sin80°%30X0.98%29.4(on),

,：DG=l()()cm,

AGM=100-29.4=70.6(an),

:・FH=GM=70.6cm.

答；桌面EF到地面的距离FH约为70.6cm.

【点评】本题考查解直角三角形的应用.掌握锐角三角函数的性质是解决本题的关键.

17.(2025•永寿县校级模拟)“生命之树”(如图①)是以西安古观音禅寺的千年银杏树为原型，

用建筑和自然结合的方式打造的城市特色建筑景观.如图②，由于“生命之树”主体底部不可直

接测量，小兴计划利用无人机测量该“生命之树”主体的高度，他先用无人机从地面上的点。处

竖直上升100/〃到达点C处，在点C处测得“生命之树”主体48的顶点A处的俯角为22°,然

后操控无人机向主体AA的方向水平飞行65〃?至点石处，在点E处测得顶点A处的俯角为45°,

点B,Z)在同一水平线上，ABLBD,图中所有点均在同一平面内，求“生命之树”主体A8的高

度.(结果保留整数,参考数据：sin22°-0.37,cos22°^0.93,tan22°-0.40)

DB

图①图②

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.

【答案】“生命之树”主体46的高度约为57/〃.

［分析］如图，过点A作AF±CE,交CE的延长线于点F,根据矩形的性质得到BF=CD=\O()m,

由题意知NAC产=22°,Z4EF=45°,CE=65m,求得EF=AF,设EF=AF=xm,则CF=CE+EF

=(65+x)，小解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：如图，过点A作AFA.CE,交CE的延长线于点尸,

图②

•・•点R.。在同一水平线卜，A/HBD,

・•・四边形CO8尸为矩形,

：,BF=CD=lOOm,

由题意知NAC产=22°,NAE尸=45°,C£=65〃z,

EF=AF,

设ET=A/=x/〃，贝IJCQ=CE+EF=(65+x)m,

Ap

在RtA^CF中，tanZ.ACF=

x

-----x0.40,

65+x

解得.G43.3,

.9.AF=43.3m,

：,AB=100-43.3=56.7=57(w),

答：“生命之树”主体A8的高度约为57m.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键.

18.(2025•广东模拟〉图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成.图2是某种

工作状态下的侧面结构示意图(MN是基座的高，MP是主臂，是伸展臂，EM//QN).已知

基座高度MN为1〃?,主臂MP长为5〃1，测得主臂伸展角./尸河£=37°.(参考数据：sin37°«1

444

tan37°®7,sin53°4己,tan53°«

453

(!)求点。到地面的高度;

（2）若挖掘机能挖的最远处点Q,此时“QPM=90°,求。点到N点的距离.

【考点】解宜角三角形的应用.

【专题】计算题；数形结合；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识.

【答案】（1）点尸到地面的高度约为4金

（2）。点到N点的距离约为7m.

【分析】（I）作PAIQN于点总延长ME交PR于点九易得四边形ARNM是矩形,那么AR

=MN,AM=8N,根据37c的正弦值和/>“的长可得出的长，力口上A8的长即为点尸到地面的

高度：

（2）根据勾股定理可得4M的长，也就是8V的长，根捱NQPM=90°,可得/QPB=37°,根

据37°的正切值和PB的长可得的长，加上BN的长即为。点到N点的距离.

【解答】解：（1）作PB_LQN于点B,延长ME交PB于点A.

图2

••・NP3Q=NP3N=90°.

EM//QN,

：.ZBAE=ZPAE=90°.

由题意得：MNLBN,

・・・NMNB=90°.

・•・四边形AHVM是矩形.

：.AB=MN=\（加）,AM=BN.

•:PM=5m,4PME=37°

PA=PM*sinZPME^5x1=3（m）.

APB=PA+AB=3+]=4（m）.

答：点P到地面的高度约为4〃i；

（2）•・•必=3〃?，PM=5m,/%M=90°,

・・.AM=4（加），NAP/W+/PME=90°.

:.BN=4（m）.

•；/QPM=90°,

・・・NQP8+NAPM=90°.

:・NQPB=NPME=370.

3

；.QB=PB・tanNQPB、4若=3（m）.

:・QN=QB+BN=1Cm）.

答：Q点到N点的距离约为Im.

【点评】本题考查解直角三角形的应用.把所给的线段和角整理到合适的直角三角形中是解决本

题的关键.

19.（2025•武安市二模）淇洪家位于学校正东方向200/H处，周末她和同学约好去学校附近的体育

馆打篮球，已知体育馆位于学校北偏西53°方向，距离学校500/〃.

（I）请根据描述画出淇淇家、学校和体育馆的方位示意图；

（2）求体育馆到淇淇家的直线距离；

（3）若淇淇步行从家出发，先以50〃?/〃?加的速度匀速走到学校，但到达学校后，发现忘带篮球,

于是立即以60血〃而的速度原路返回家中.取到篮球后，为了赶时间，她以80”?勿丽的速度从家

直接走到体育馆，求淇淇全程所用的时长.（计算结果保留整数.参考数据：sin530