安徽省蚌埠市2024-2025学年高一年级下册7月期末考 数学试题（含解析）

安徽省蚌埠市2024-2025学年高一下学期7月期末学业水平监测

数学试题

一、单选题

1.若兔数z满足Z-i=2-i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.下列函数中，最小正周期为兀的偶函数是（）

A.y=cosxB.y=sin2xC.>T=|sinx|D.y=tan|X

3.已知直线则是"〃//〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.要得到函数尸sij2x+g的图象,

可以将函数y=sin2x的图象（）

A.向左平移夕个单位长度而得到B.向右平移1个单位长度而得到

OO

C.向左平移1个单位长度而得到D.向右平移g个单位长度而得到

5.在平行四边形A8CO中，E为48的中点，产为CE的中点，若AF=/〃A8+〃AO，则〃?-〃=)

,（兀...sina-cosa/、

6.已知am-+a=2,则匚--------=（）

[4）sina+cosa

A.-2B.--C.!D.2

22

7.如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度MN,在地面上选择一个观测点C,在C

处测得A处的无人机和该建筑的最高点M的仰角分别为30:45・，无人机距地面的高度为20米，且在A处

无人机测得点M的仰角为15。，点8,C,N在同一条直线上，则该建筑的高度MN（单位：米）为（）

A.20x/JB.2573C.与石D.40

8.已知某圆锥侧面展开图是圆心角为容半径为2的扇豚则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（）

3百

A.B.6D.2

4

二、多选题

9.己知兔数2=-'+且i（i为虚数单位），则下面结论正确的是（）

22

2

A.z+z=0B.z=z

C.z-Z=z2D.|2+1|=|ZI

10.已知函数/（x）=sins-Gcoss•-2,0>0在区间（0,2上恰有两个零点，则口的可能取值为（）

A.-B.3C.4D.—~

26

11.在直三棱柱48C-A181G中，Z.ABC=90»KAB=/V\=>/2»BC=G,E,F分别是棱A。,AA的中点,

历为棱BC上的动点，则下列结论正确的是（）

A.AB.1A.M

B.lAM+iGM的最小值为2夜+1

C.当M是8c的中点时，BCJ/平面EFM

D.当M是8C的中点时，点C1和4到平面的距离之比是3:1

三、填空题

12.已知向量。=（2,l）,b=（l,/l）,且（〃+2与〃（2〃-»，则a=.

13.已知三棱锥S-ABC中，SA=SB=SC=2,AB=BC=CA=?叵，则该三棱锥的外接球表面积

为.

14.在VABC中，/1B=1,AC=Ji5,AB_LBC,aABC所在平面内的点M满足：AMLBM,ZAMC=,

6

则sin/MBC=.

四、解答题

15.已知平面向量。,力满足。=(2,4),|川=石,(20+〃)_1_(4-3〃).

(1)求向量〃与〃的夹角；

⑵求向量2〃+力的模.

16.在平面直角坐标系中，VA8C的顶点A,B的坐标分别为(4,1),(7,5).

⑴若顶点C的坐标为(2,0),求V48C的面积：

(2)若/。二三，求锐角VA3c周长的取值范围.

17.如图，是圆柱OQ的两条母线，AB,CO是圆。的直径，AA=A8=4,且CDJ_八民夕是母线

上的动点.

(1)求证：平面PCO_L平面人人/用；

⑵若。是线段的中点，求直线OQ与所成角的余弦值;

⑶若四面体。「PCO的体积为乂，圆柱oq的体积为匕，求K：匕的值.

18.已知/(x)=sin(2x+^)+sin2.r-^-2cos2x+\,

⑴求函数f(x)的单调递增区间；

⑵求函数/(x)在区间-展,V上的最大值和最小值以及相应的工的取值；

(3)若夕为锐角，/3-皋=(，求cos，.

19.欧拉公式e"=cosx+isinMx€R)，e是自然对数的底，i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余

弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来，即cosx=£l£l,sinx=吐口(xeR).

22i

欧拉公式将指数函数的定义域扩大到当数集，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.

当工=兀时，得到等式铲+1=0,数学里最重要的五个常数e,兀i.1,0被联系在一起，仿佛一句诗，道尽了数

学之美.

题号12345678910

答案CCBAABDDBDBCD

题号11

答案ABC

1.c

解方程求由复数N的具体形式z=-l-2i,确定实部和虚部的符号，从而确定对应点(L2)所在象限.

【详解】已知z-i=2—i,则2=芋，分子分母同时乘以—i,

2=2-i=(2-i).(-i)=j1-2i=_i_2i

ii(-i)1

二复数z=-l-2i对应点(-1,-2),实部-1为负，虚部-2为负，所以该点位于第三象限.

故选:C.

2.C

对A,利用余弦函数的周期性判断；对B,由丁=$由2\是奇函数，可判断；对C,作出函数.y=|sinR的图

象可判断；对D,举反例说明周期不是兀.

【详解】对于A,、=cosx的最小正周期为2兀，不合题意，故A错误;

对于B,y=sin2x是奇函数，不合题意，故B错误；

对于C,作出函数)，=卜由乂的图象如下图所示:

由图可知，函数)，=卜由可是最小正周期为冗的偶函数，故C正确;

71Jt71,

对于D,设/(x)=tanW，因为/tan=tan—=1,

44

/337t兀

吟an=所以/R，

/匕尸~4

所以/(x)=la中|的周期不是几，故D错误.

故选：C.

3.B

利用充分、必要条件的定义，结合空间线线位置关系判断即得.

【详解】若力，，，则。力可能平行，相交，异面，所以不能推出a〃d

若皿a/",则bJJ,

所以。J_/是。/力的必要不充分条件.

故选:B.

4.A

根据正弦函数图象变换的性质，结合函数的解析式进行判断即可.

【详解】因为y=sin（2x+1）=sin2（x+。

所以将函数y=sin2x的图象向左平移已个单位长度而得），=sin21+^）=sin（2x+5

故选：A.

5.A

利用向量的线性运算结合已知条件把A/用A8,A。表示，再由立面向量基本定理可求得〃?，〃的值，从而可

求得答案.

I.I一、3-I—

【详解】如图，由题，AF=AE-^EF=-AB+-EC=-AB+-(EB+BC]=-AB+-AD,

2222、742

所以〃一?二!.

4

故选：A.

由两角和的正切公式可得黑=2,再将所求式子弦化切得解.

71

tan—+tana.

【详解】因为tan；=2,所以__4-------筌，即上上畛=2,

14）1-tan'ana

4

1-tancr_I

1+tanez2

a-a

-s-in-t-z---c-o-s-a=-t-a-n---1=1-tan=一一1.

sina+cosatancr+1-----1+tana------2

故选：B.

7.D

在RlZXABC中，求出4C,4AMe中，由正弦定理求出MC,R3MNC中,求出MN.

【详解】在RtZ\A8C中，ZACB=30°,AB=20,则AC=2A3=40,

由图，可知NM4C=45°,ZMCA=180°-45°-30°=105°»

则ZCMA=180°-450-105"=30"•

A「40x—

在，AMC中，由正弦定理.二二.二…得MC=-3=406，

sinZ.AMCsinZCAM_[

o—

在RtZXMNC中，MN=MCsin450=4072x—=40.

2

故选：D.

8.D

利用展开图的圆心角和半径，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，求出底面半径，再用勾股定理求;H高，设

底面圆上弦A8的中点到圆心的距离为〃?，其面枳由底边长和顶点到底边的距离决定，即

S=g-2产=7•病工7,通过函数极值法，求导数确定，〃后求解.

【详解】扇形弧长为夕,="乂2=3兀，圆锥底面周长为2*故：2加厂=3兀=r=]

22

母线长/=2,根据勾股定理：

设底面圆上弦的中点到圆心的距离为〃?，则弦长=二/，顶点到人B的距离为灰方，则面

积：

S=；•2yjr2-in2-yjh2+nr=-zn2)(/?2+/«2)

rs_『9加2丫7।加2]=$•二皿1-4〃5)

代人力=立，/=。得3=4[^一'")[4+m)，「92丫72)函数仅在9病＞0时定义,即

222心叫匕+叼14

3

mv-.

2

1-4/zr=01

解S=0,即〈=>m=­

ni>02

此时号皿

故选:D.

9.BD

根据共枕复数，复数模的公式，复数运算逐一计算判断.

【详解】对于A,由z=」+且i,则口」一走"所以z+W=_l，故A错误;

2222

g工D2(1>/3.Y13G.175.2-班口工侬

对于B,z=——+——1=—————•=————1»z2=z，放B正确；

I22J44222

对干C,z-z=|z|2=-^-+^=1,.-.z,z^z2,故C错误；

1144

对干D,由z+l=g+多，则|z+>=£+；=1,F|=J；+：=1,

所以|z+l|二R,故D正确.

故选:BD.

10.BCD

利用辅助角公式化简函数解析式，再结合零点条件得出/的取值范围，验证选项即可.

【详解】/(x)=sin<wx-Gcos5-2=2—sins---cosd；.r-2=2sin

令f(x)=0,得2sin1的-4-2=0=>sin1<yx--=1,

\3J\3)

因为xw(O.Tt),所以一四<8一工<5-4，

因为函数/（X）在区间（0,兀）上恰有两个零点,

即$in（ox-W）=I在区间（°5）上恰有两个实根，

口--5花兀，9兀17,29

片I•以一<con——<—,n即n一<co<—,

23266

因517为17彳2529故A错误；BCD正确,

26666

故选：BCD.

11.ABC

对A,连接A8,4C，易证BCJ_平面48&A，得8C_L4优，AB.1A.B,可证Aq_L平面ABC,得解；对

B,沿8C将.、A8C与矩形8CG与铺平，当A，MC三点共线时，|AM+|GM|最小，运算得解；对C,证

明跖〃平面ABG，00〃平面4用G，可得平面EFM//平面ABG，由面面平行的性质得解；对D,由

BCJ/平面E*M,得点C1与点月到平面回加的距离相等，乂点A与点“到平面的距离相等，设

ARcEF=O,可得MO=3AO,所以点A与点片到平面厅加电离之比为1：3,得解.

【详解】对于A,连接A/，AC，因为444C=90",则3C_LAB,

又45_L平面ABC,8Cu平面48C,所以8q_L8C,

又平面A84A，AB?BB、B,所以8C平面A8&A,

因为AB|U平面A8耳4,所以8CJ.A同，

因为48=44，所以侧面ABB0是正方形，故4片，4万，

又ABBCu平面ABC,且ABIBC=8,

所以A81_L平面A/C,

又AMu平面46C,所以A4_LA,M,故A正确;

对FB,如图，沿8C将与矩形铺平，

由A,3C_L平面则8C_LA8,即乙4,8。二巴,

所以当A，M，G三点共线时,|AM|+|GM|最小，

又B£=g,A4=AB+BBI=2+72,

则AG=JW+SC『=j3+(2+可=J(2!+1『=2应+1,

所以|AM+|CM|的最小值为2夜十1，故B正确;

对于C,如图，连接EM,FM,Ba，因为反尸分别是人脱例的中点，

所以EFi/A、B,七产仁平面ABC1，平面,故律//平面,

同理，可证EM〃平面A/G，

又EM,EF是平面EFM内两条相交直线，所以平面E/必〃平面A,

又BGu平面A8G，故8CJ/平面EFM,故C正确；

对于D,由C,知BCJ/平面所以点C1与点8到平面EEM的距离相等，

乂E是A5的中点，故点A与点“到平面EFM的距离相等，

设A8ICM=。，因为£户分别是4民AA的中点，侧面A84A是正方形，

所以4。=3A0,所以点A与点8到平面EFM距离之比为1:3,

即点C1与点打到平面EFM距国之比为1:3,故D错误.

故选：ABC.

12.1/0.5

根据向量的线性运算的坐标表示求得〃+2424-人,再根据两向量平行的坐标关系运算得解.

【详解】a+2Z>=(2,l)+2(l,A)=(4,l+22),2»2(2,1)-(1/)=(3,2-4),

由(。+助)//(2。一力)，贝iJ4(2-4)=3(l+2/l),解得％=

故答案为：.

13.12K

根据勾股定理逆定理.，构造长方体，利用长方体的性质、球的表面积公式进行求解即可.

【详解】因为SA=S8=SC=2,A8=3C=C4=2&,

显然有S4+SB=AB?,SA2+SC2=AC2,SC2+SB2=CB\

因此SA,SB,SC两两互相垂直，补成长方体如图所示：

该长方体的对角线长为&+22+22=,

所以该三棱锥的外接球的半径为26X；=G,

因此该三棱锥的外接球表面积为4兀(6『=12兀,

故答案为：12兀

以点8为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，设由得+.V()」1)=O,在AMC中,

由余弦定理结合f+y(y-i)=o,可得点M的坐标，进而得解.

【详解】由A8J.8C,则放?=，心-=26，

如图，建立平面直角坐标系，则4(0,1),(0,0),C(2>/3,0),

由AMJ_RVf,则AM〃4=()，即H十-1)=0,(*)

乂|^4『=/+(1-)，『=1一)，，|用叶=1一26『+>>2=|2+)，-475工，(结合*式化简)

在&4MC中，由余弦定理，AM2+MC2-AC~=2AM-MC-cosZAMC，

所以1一)+12+y-—IBuZjl-yxJlZ+y-d6xx--,

X/

所以4x-—yMJ12+y-4cx•**士°•

两边平方可得16%2=(1-)，)(12+)，-46)，结合/+)仆-1)=0,

得16)，(1-)，)=(1-力(12+)，-4底)，因为"1,

所以16丁=12+)，一4石％,即4后=12-15)，，

，+心-1)=0

联立J消去x得，91/-136y+48=0,

46-12-15,

解得y=,4或），哈I?，

当y=g时，因为工之（），得汇=矩，

77

当产标时，得x=空,即M［等26“(24612

,MC=

h2,3（12、24）31「「］、［i3lx**才人日石生

而-----x-----------x—,所以M4//MC，不口题息.

13113）1313

所以点M的坐标为半手.

\/

加以\BM\F74V77-

故答案为：空

15.（l）y

⑵病

（1）由题，结合向量数量积的运算律求得入〃=5,利用向量夹角公式求解;

（2）将向量的模长转化为向量的数量积运算得解.

【详解】（1）由题意|a|=2不,|〃|=石,（2。+〃）・（。-3〃）=0,

所以2〃2-54/-3/；=0,

即3〃~+5ab-2a=3x5+5^Z?-2x20=0，

:.ab=5-

ab_5_I

\a\-\b\~2x[5xj5~2

<£/,/?>G[0,兀],.•.〈〃,»=1.

⑵|2a+Z>|=J(2a+b『=\l4a-4ab+b2=780+4x5+5=7105.

16.(1)|

⑵]5+5届5]

(1)利用向量夹角公式求出cos〈AB,八C〉，结合平方关系求得sm〈AB,AC〉，由三角形面积公式得解;

(2)由正弦定理可得。+力=竽(sinA+sin/3),结合条件和三角恒等变换化简可得。+/1()"8+看

结合角8的范围求解，从而得到答案.

W__6_4_26

【详解】(1)由题意A8=(3,4),A)=(-2,T),.\CQS(AB,AC)=

\AB\-\AC\~5X45~~5~

.•(AB,ACye(0.7i)/.sin〈AB,AC);冬

.\^|/A7?IMC|sin<A^,AC>=1x5xx/5x-y=|,

所以V/WC的面积为1.

(2)设角AB.C所对的边分别分。也c,

.•c=|AB1=7(7-4)2+(5-l)2=5,NC=g,

abc5106

sinAsinB；n>/33»

oil!--

32

/.a+b=---(sinA+sinB)=

-sinB+—cosfi+sinB—sinfi+—cosB

2222

=lof^sinB+^cosB=10sin(8+1兀),

6

0<B<-

2

因为VMC是锐角三角形，，2NK，得

《<8+W，故式人,停1

r.a-l/?e(5>/3,10]r.a+bFce(545百,15],

即VABC周长的取值范围为（5+5、6,151.

17.（1）证明见解析

\f27\V-3

3

匕1

z3匕

\(=一

次

（I）由题可得8与_L平面AC。，WBB.1CD,结合条件a）J_43,可证8_L平面AB与A，由面面垂直

的判定定理得证：

（2）连接/"），易得NBPD为所求角,求出PD=26,得解；

（3）易知月片//平面可得尸到平面«CO的距离等于点〃到平面。18的距离，则

Vot-PCD=^P-OtCD=%-QCO=%-BCD»运算得解.

【详解】（1）由题意3隹_L平面AC。，又C£>u平面ACO,

/.g1CD,

又CO_L48,48c8玛=8,u平面，

\CD人平面A8&A，CQu平面/>C£>,

.・立面PCD，平面

（2）连接4。，因为BBJ/OQ,所以/3/N）为所求角，

依题意，OB1ODQB=OD=2,所以8。=2右，

又P为正方形AAB内的边用B的口点，所以心=2,

故2。=26.

所以3/8。。=必=近.

PD3

所以直线OQ与DP所成角的余弦值为正.

3

(3)vBBJIOO,,O。u平面QCD,BB、0平面O^CD

・•・他//平面0IC£),

p到平面O}CD的距离等于点8到平面O}CD的距离,

==

,,%-PC。=Vp-01sXB-O|CP%-*,/)，

114一

-x—x4x2x4.

1Z=——」

%兀x2-x43兀

18.(1)而一?,&兀+三(&eZ)

(2)当x=?时，f(x)nm=2,当一。时,

n12

⑶*

10

【详解】⑴/(x)=sin(2x+S)-sin(2x-S)-cos2x