2026湘教版高三数学一轮复习：球的切、接问题

培优课13球的切、接问题

球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现.一般围绕球与其

他几何体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心.

一、正方体、长方体外接球

1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

3.补成长方体

(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图①所示.

(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图②所示.

(3)正四面体P-A8C可以补形为正方体且正方体的棱长a与，如图③所示.

(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图④所示.

二、正四面体外接球

如图，设正四面体A8CD的棱长为小将其放入正方体中，则正方体的棱长为4小

显然正四面体和正方体有相同的外接球.正方体外接球半径为R=^a•"=乎0

224

即正四面体外接球半径为R#a.

4

三、对棱相等的三棱锥外接球

四面体A3CO中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=l,这种四面体叫做对

棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题.

(b2+c2=m2,

如图，设长方体的长、宽、高分别为小b,C,贝«小+。2=层，三式相加可得

222

(a+b=tf

222

标+加+c2=m+;+£,而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为

R,则々2+52+°2=4〃2,所以R=产+M+t2

四、直棱柱外接球

如图①，图②，图③，直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下

底面可以是任意三角形)

第一步：确定球心。的位置，。1是△ABC的外心，则00iJ_平面ABC；

学生用书第177页

第二步：算出小圆。的半径AO=r,OO\=\AAt==/?也是圆柱的

高)；

第三步：勾股定理：0A2=0i屋+OiO2=R2=/+G)2=R=Jr2+e)2,解出凡

五、正棱锥与侧棱相等模型

1.正棱锥外接球半径：尺=誓

2.侧棱相等模型：如图，尸的射影是△A8C的外心=三棱锥P-ASC的三条侧棱

相等=三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底二，顶点P点也是圆锥的顶点.

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取△ABC的外心。I,则P,O,Oi三点共线；

第二步:先算出小圆。的半径AOi=r,再算出棱锥的高POi=/?（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：0A2=OIA2+OIO2=R2=/+S—R）2,解出尺=口尤

2h

六、圆锥圆柱圆台模型

1.球内接圆锥：如图①，设圆锥的高为〃，底面圆半径为小球的半径为此通常

在AOCB中，由勾股定理建立方程来计算R如图②，当PCC8时，球心在圆锥

内部；如图③，当尸C<C3时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正棱推问

题情形相同，图②和图③两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.

由图②、图③可知，OC=h—R或R—h,故（〃一/?）2+产=小，所以〃二空匚

2.球内接圆柱：如图，圆柱的底面圆半径为小高为伍其外接球的半径为R,

三者之间满足C）2+/=R2.

（2）由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为|x=x3/J=3,|x

"x4百=4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为。，02,连接。0乂图

略），则0|。2=1,其外接球的球心0在直线OiQ上.设球。的半径为R,当球

心0在线段0。2上时，R2=32-^-OOl=42+（1-0。1）2,

解得。。1=4（舍去）；当球心。不在线段01。2上时,R2=4?+OO孑=32+（1+0。2）2,

解得0。2=3,所以R2=25,所以该球的表面积为4兀R2=IOO兀

综上，该球的表面积为100兀故选A.

■规律方法・

到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心,

找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求

解即可.

对点练1.（2025•四川宜宾模拟）已知直三棱柱ABC-AiBsCi的6个顶点都在球0

的球面上，若AB=3,AC=4,ABLAC,A4i=12,则球。的半径为（）

A.巫B.2V10

2

C.-D.3710

2

答案：C

解析：由题意作图如图.过球心O作平面A3C的垂线,，则垂足为的中点M.

因为A8=3,AC=4,ABLAC,所以BC=5,又AM=」BC=10M=-AA\=6,

222

所以球O的半径R=0A=Je）2+62=苫故选c.

学生用书第178页

技法2补形法

典例（1）（2025•山东德州模拟）在三棱锥A-8CQ中,侧棱A8,AC,A。两两垂

直，若△ABC,/XACD,/MOB的面积分别为当，与，弓，则三棱锥A-BCD的

外接球的体积为()

A.瓜TiB.2X/6TT

C.3遍兀D.4e兀

(2)已知在三棱锥尸-A8C中，AC=&,BC=l,AC,LBCS.PA=2PB,尸8_L平面

ABC,则其外接球体积为()

A.yB.4兀

C.—D.4V3n

3

答案：(1)A(2)A

(ab=\[2y(a=y[2,

解析：(1)设A8,AC,A0的长度分别为a，b，c，由题意得，解得(b=l,

Vca=V6,(c=、3

因为三条侧棱两两垂直，所以以mb,。为边长的长方体的休对角线长就是三棱

锥的外接球的直径长，所以/?=|V2+l+3=y,故所求外接球的体积为受

(乎)=述兀故选A.

(2)AB=y/AC2+设尸B=〃，则由%=2PB,可得A/3+九2=2力,解得

/i=l,可将三棱锥尸-ABC还原成如图所示的长方体，则三棱锥P-ABC的外接球

即为长方体的外接球，设外接球的半径为R,则2R=jl2+(V2)2+l2=2,R

=1,所以其外接球的体积R3=?.故选A.

oo

-规律方法・

1.补形法的解题策略

(1)侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到长方体或正

方体中去求解.

(2)直三棱锥可以补成三棱柱求解.

2.若长方体的共顶点的三条棱长分别为mb,c,外接球的半径为七则2R=

Va2+b2+c2.

对点练2.(1)已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的

体积为()

A.一兀B.——兀

84

C.-7TD.——TC

84

(2)如图，在多面体中，四边形A8CO为矩形，CE_L平面48c。，A8=2,BC=

CE=l,通过添加一个二棱锥可以将该多面体补成一个直二棱柱，那么添加的二

棱锥的体积为,补形后的直三棱柱的外接球的表面积为.

答案：(1)A(2)16兀

解析：(1)如图，将棱长为1的正四面体放入正方体ABCD-AiBG。］中，

且正方体的棱长为1Xcos450=*,所以正方体的体对角线AC\=

IC?)”+(¥?+(¥)”=当所以正方体外接球的直径2R=4G=曰,R=*

所以正方体外接球的体积为刎3=,乂(9)3="因为正四面体的外接球却为

正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为彳兀故选A.

(2)如图，添加的三棱锥为直三棱锥E-ADF,可以将该多面体补成一个直三棱柱

ADF-BCE,因为CEJL平面ABC。，所以CE_LOC,又。C_LCB,所以。C_L平面

BCE,故该三棱柱为直三棱柱.又A8=2,8C=CE=1,所以SSCE=：CExBC=

|x1x1=1,直三棱柱AQF-BCE的体积V=S△旌・AB=：X2=1,添加的三棱

锥的体积为="

33

DA

法一：如图，分别取4凡BE的中点M,N,连接MN,与AE交于点0,

因为四边形AEE8为矩形，所以。为AE,MN的中点，在直三棱柱AOF-BCE中，

CEJ_平面A8。。，所以尸。1.平面ABCQ,即NECB=NH）A=90°,所以上、下

底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点。,4。即为球的半径，

因为AM=9”=¥，M0=l,所以AO2=AA/2+wo2=g+I=|,所以外接球的

表面积为4兀♦AO2=6T:.

法二：因为CE,CB,CQ两两垂直，故可将直三棱柱AQ广BCE补成长方体（图

略），设外接球的半径为R,贝ij4R2=i2+r+22=6,所以外接球的表面积S=4兀2

=6兀.

技法3截面法

典例[3]⑴在直三棱柱ABC-A\B\C\中，AABC为等边三角形，AB=2®BB]

=2西，则三棱柱48C-A由C的外接球的表面积为（）

A.64兀B.36兀

C.27KD.16K

（2）（2025•河南三门峡模拟）四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，是

等边三角形，底面ABC。是矩形，平面％O_L平面4BCQ,若AB=2,BC=3,

则球。的表面积为.

答案：⑴B（2）16兀

解析：（1）如图，取△ABC,△AiBiG的外接圆的圆心分别为M,N,连接MN,

取MN的中点。，

则0是三棱柱ABC-AiBiG的外接球的球心，设△A3C的外接圆的半径为r,三

棱柱ABC-48G的外接球的半径为R,由正弦定理得，因为学=有=2几

sinCsin60

所以r=2,即AM=2,又BB\=2娼,所以0〃=正，所以R=CM=J22+(若『

=3,所以外接球的表面积为4兀肥=4兀X32=36兀.故选B.

(2)如图，连接AC,BD,ACCBD=G,取A。的中点E,连接PE,EG.因为四边

形A8CQ为矩形，所以G为四边形ABCQ的外接圆圆心；在线段PE上取ME=

*因为△以。为等边三角形，所以M为△RW外接圆圆心，过G,M分别作

平面A3C。和平面以D的垂线，则两垂线的交点即为球。的球心O,连接0P,

因为△出。为等边三角形，所以PEA.AD,因为平面心。_1_平面ABCDf平面

必。n平面ABCO=A。，P£u平面附Q,所以PEJ_平面ABCQ,所以PE〃0G,

同理可得,0M〃EG,所以四边形0MEG为矩形，所以OM=EG=gA8=l,PM=

I9---V3,所以OP—^OM?+。”2—2,即球。的半径R—2,所

以球。的表面积S=4兀R2=16兀

对点练3.己知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，上、下

底面正方形的外接圆半径分别为1和2,圆台的两底面在球心的同侧，则此正四

棱台的体积为.

较宏.28\/2-1475

O

解析：由题知，正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为3的球面上，取正

四棱台上底面一点为4正方形中心为。1,下底面一点为&正方形中心为。2,

正四棱台外接球球心为。，连接AOi,OOi,BO?,OA,0B,如图所示，记正四

棱台高O|O2=",OOi=m,在Rtz^AOOi中，A0=3,AOi=l,0。=加，所以

有m2+1=9,解得m=20在Rtz^BOOz中，8。=3,BO?=2,002=加一力〉0,

所以有（〃?一/?）2+4=9,解得小一力=花，即〃=2池一花，因为四棱台上、下底

面正方形的外接圆半径分别为1和2,所以四棱台上、下底面正方形的边长分别

为企和2a，所以S上=2,S下=8,〃=2四一花，故正四棱台体积为V=》（S上

十5二.十环；=空底产.

■规律方法・

与球截面有关的解题策略

1.定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，

球心到顶点的距离相等且为半径.

2.作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.

题型二内切球

典例口⑴如图所示，直三棱柱ABC-AiBiCi是一块石材，测量得NA8C=90°,

A8=6,8C=8,4h=13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手

球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别

为（）

G

A..—32n，4.B.拳3

3

C.6兀，4D.争3

（2）在正四棱锥尸/BC0中，%=5,AB=6,则该四棱锥内切球的表面积是（)

A..——4兀B.早

7

心,36nc72n

c-VD-V

答案：(1)D(2)C

解析：(1)由题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体

积最大.易知AC=AMB2+BC2=10,设健身手球的半径为R,贝gx(6+8+l())

XR=：X6X8,解得A=2.则健身手球的最大直径为4.因为A4i=13,所以最多

可加工3个健身手球.于是一个健身手球的最大体积—，肥=女乂23=等.故选

D.

(2)过点尸作?OJ_平面A8C。，则。为正方形ABC。的中心，连接OA,如图，

因为A8=6,所以0A=3或,所以OP=6P/2一。/2=u25-18=77,则四棱

锥P-ABCD的体积V=|x62x夕=12夕，四棱锥P-ABCD的表面积S=6X6+

3X6x,25—9X4=84.设四棱锥P-ABCD内切球的半径为r,内切球的球心为

O',由V=VO'-ABP-^VO'.BCP~\~K℃P+VO'-ABCD,可得V=1sr,即12夜=

；><84,・，解得,=平，故四棱锥P-A6CD内切球的表面积是4儿/=学.故选C.

•规律方法・

“切”的处理

解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准

切点，通过作截面来解决.如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过

球心的对角面.

注意：正四面体的外接球的半径R=理出内切球的半径一="4,其半径之比R：

412

r=3：1(。为该正四面沐的棱长).

对点练4.半球内放三个半径为8的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球

底面的大圆面也相切，则该半球的半径是()

A.1+V3B.V5+正

C.V54-V7D.V3+V7

答案：D

解析：三个小球的球心Ol,。2,。3构成边长为2K的正三角形，则其外接圆半

径为2.设半球的球心为O,小球。与半球底面便于点4.如图，经过点0,

A作半球的截面，则半圆。。的半径为OC,OCLOA,作。山_LOC于点3,则

22

QA=Oi8=2.设该半球的半径是R,在Rtz^QAOi中，由（R—b）=2?+（6）

可得R=V5+V7.故选D.

课时测评53球的切、接问题鬻益

用书P415

（时间：60分钟满分：100分）

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

◎基础排查练（每小题5分，共50分）

1.已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为（）

A.-^—7TB.4A/3TI

C.8兀D.127r

答案:B

解析：因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长为2,故该球

体的直径2R=V22+22+22=2百,所以故该球体的体积V=\R3=

A

4而次.故选B.

2.在三棱锥P-A5c中，M,PB,PC两两垂直，M=l,PB=2,PC=3,则该

三棱锥的外接球的表面积为（）

A.竺KB.56兀

4

厂56mC14

C.----itD.14H

3

答案：D

解析：如图，将三棱锥尸-ABC补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外

接球，设球的半径为R,则4R2=（2R）2=%2+PB2+PC2=]4,所以球的表面积为

S=4兀网=14兀.故选D.

3.已知圆台OiO2上底面圆。的半径为2,下底面圆02的半径为2或，圆台的

外接球的球心为。，半径为R且球心在圆台的轴。。2上，满足00=3002,

则圆台。1。2的外接球的表面积为（）

A.32兀B.347r

C.35KD.387r

答案：B

解析：由题意知09=7R2-22,。。2=/?2_（2鱼）2,且QO=3O。，得配

-4=9/?2-72,解得收=”，所以球O的表面积为4兀火2=34兀故选B.

4.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1,则圆锥的体积为

（）

A.nB.2兀

C.3兀D.4兀

答案：C

解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆。0i和外接圆。。2,且

两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得8c为正三角形，由题意得

O。的半径为r=1,所以△ABC的边长为2次，所以圆锥的底面半径为遮，高

为3,所以V=1X7i：X3X3=3兀故选C.

3

5.已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为?的球

体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（）

A.6V3B.12V3

C.18百D.24>/3

答案：C

解析：根据已知可得球的半径等于1,故三棱柱的高等于2,底面三角形内切圆

的半径等于1,即底面三角形的高等于3,边长等于2百，所以这个三棱柱的表

面积等于3X2，5x2+2x工X2次x3=18VG.故选C.

2

6.（数学文化）“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边

形围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图是以一正方体的各条棱的中点为

顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多

面体”，若该多面体的棱长为1,则该多面体外接球的体积为（）

872

—71

答案：A

解析：将该多面体放入正方体中，如图所示.由于多面体的棱长为1,所以正方

体的棱长为四,因为该多面体是由棱长为好的正方体连接各棱中点所得，所以

该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面

对角线长，即2R=J（河+而,所以R=l,所以该多面体外接球的体积V

=±兀R=±兀故选A.

33

7.（多选）（2025•河北承德模拟）在正四棱锥P/BCD中，若侧面与底面所成的角

为全底面正方形的边长为2,则下列说法正确的是（）

A.正四棱锥外接球的表面积是答

B.正四棱锥内切球的体积是噜

C.正四棱锥的体积为4次

D.正四棱锥外接球的半径/?与内切球的半径一之比为学

答案：BD

解析：如图，Oi为底面ABCZ）的中心，O为正四棱锥P-A5CQ的外接球的球心，

由正方形A8C。的边长为2,侧面与底面所成的角为,可知。0|=百，斜高力=

2,贝I00I=A/5-R,0、B=五,VP.ABCD=^x2x2xV3=故C错误；在

JO

□△OO归中，。。取+。0=05，即（J5—R『+2=R2,解得R=乎，则正四棱

2

锥外接球的表面积为S=4TTR2=4花x（誓）=§，故A错误；由Vp.人88=1X

（44-4xiX2x2）xr=竽，解得r=R,所以正四棱锥内切球的体积为丫="

=,乂停）3=空区，故B正确；由上知”|,故D正确.故选BD.

8.（多选）已知三棱锥P-A3C的四个顶点都在球。的表面上，出_L平面43C,PA

=6,ABLAC,AB=2,AC=2>/5,点。为AB的中点，过点。作球。的截面,

则截面的面积可以是（）

A.-B.兀

2

C.9兀D.137r

答案：BCD

解析：三棱锥P-A8C的外接球即为以A8,AC,AP为邻边的长方体的外接球，

所以2R=j62+22+(2/5)2=203所以/?=履，取BC的中点

所以01为△A8C的外接圆圆心，所以00i_L平面A8C,且。。=3,如图.当

2

OOJ_截面时，截面的面积最小，因为。力="弓+0避2=J32+（V3）=2V3,

此时截面圆的半径为「=跳匚*=1,所以截面面积为兀，=兀，当截面过球心

时，截面圆的面积最大为兀肥=13兀，故截面面积的取值范围是［兀，13兀］.故选BCD.

9.（2023•全国甲卷）在正方体ABCD-4BGQI中，A8=4,。为AG的中点，若

该正方体的棱与球。的球面有公共点，则球。的半径的取值范围是________.

答案：［2加，2V3］

解析：设球的半径为此当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，

所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包

含正方体，导致球面和棱没有交点，正方体的外接球直径2R为体对角线长AG

=、42+42+42=4b,即2^=473,^=2V3,故/?max=2V3；分别取侧棱AAi,

BBi,CC\,DDi的中点历，H,G,N,显然四边形"NG〃是边长为4的正方形，

且。为正方形"NGH的对角线交点，连接MG,则MG=4&,当球的一个大圆

恰好是四边形MNGH的外接圆时，球的半径达到最小，即R的最小值为2夜.综

上，/?e［2V2,2网.

10.（2023•全国乙卷）已知点S,A,B,。均在半径为2的球面上，△ABC是边

长为3的等边三角形，SAL平面则SA=.

答案:2

解析：如图，设△ABC的外接圆圆心为。】，半径为〃，

SK

则2-而%=全=2同可得一遮，设三棱锥S-A4的外接球球心为。,

连接OA,OOi,04则0A=2,OO\=^SAf因为00i_L0iA,所以。42=。0苫

+0凶2,即4=为42+3,解得”=2.

4

政综合运用练（每小题8分，共32分）

11.（2024•广西河池模拟）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱

锥称之为鳖席.若三棱锥尸-ABC为鳖膈，附_L平面ABC,PA=AB=2,AC=4,

三棱锥P-ABC的四个顶点都在球0的球面上，则球0的表面积为（）

A.8兀B.1271

C.20KD.24K

答案：C

解析：如图，由于三棱锥P-A8C的四个面都为直角三角形，则△A8C是直角三

角形，且NA8C=；,所以BC=7AC?一AB?=2聒.又平面A8C,且△R1C

是直角三角形，所以球。的直径为PC=2R=7PA2+4=2=痴=2遥,所以A

=瓜故球。的表面取为S=47IR2=20TI.故选C.

12.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为筹，

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3兀B.4兀

C.9兀D.12K

答案：B

解析：如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点。，设圆锥AO和圆锥3。的高

之比为3:1,即AQ=38D,设球的半径为R,则第=?，可得宠=2,所以AB

=AO+BQ=4BO=4,所以8/）=1,AO=3,所以。。=1,CD=®因此，这

两个圆锥的体积之和为［兀XC02・（/0+BD）=/X3X4=4兀故选B.

13.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为0,底面的四个顶点均在球。的球

面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

答案：C

解析：该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点。组成的圆锥体积最