垂径定理-2023学年九年级数学核心考点与测试（沪教版）原卷版

第02讲垂径定理

目录

考点一：垂径定理

考点二：垂径定理的应用

©【基础知识】

一.垂径定理

（D垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并旦平分弦所对的两条弧.

推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.

推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

二.垂径定理的应用

垂径定理的应用很广泛，常见的有：

（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决订算弦长、半径、弦心距等问题.

这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.

.【考点剖析】

一.垂径定理（共16小题）

1.（2021春•徐汇区月考）过。。内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则OM的长为cm.

2.（2022•浦东新区校级模拟）在半径为的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为24cm，另一条弦

长为\0crn,则这两条弦之间的距离为cm.

3.（2022•杨浦区三模）已知是。0的弦，如果。。的半径长为5,45长为4,那么圆心。到弦AB的

走离是.

4.（2022春•徐汇区期中）已知正三角形A8C的弦心距为小那么aABC的周长是.（用含"的式

子表示）.

5.（2021春•徐汇区校级月考）在00中，弦AB的长为8,它所对应的弦心距为4,那么半径OA=

6.（2022春•长宁区校级期中）如图，已知在。0中，半径OC垂直于弦A8,垂足为点。.如果。。=4,

AB=16,那么OC=.

D

C

7.（2022•浦东新区校级模拟）如图，△ABC中，NA=50°,截△ABC的三条边所截得弦长相等，则

ZBOC=（）

A.110°B.115°C.120°D.125°

8.（2022春•徐汇区校级期中）如图，A8是。。的弦，。为半径04的中点，过。作CQ_LOA交弦A8于

点E,且CE=CB,若BE=2AE,CD=5,那么。。的半径为.

9.（2022•徐汇区校级模拟）如图，点。是），轴正半轴上一点，以。为圆心的圆与x轴、y轴分别交于点4、

B、C、D.己知点A的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,I）,则点。的坐标为.

10.（2022•松江区校级模拟）如图，已知A8是。。的直径，咳CD交AB于点、E,ZCEA=30a,OFV

CD,垂足为点凡DE=5,OF=\,那么

11.（2022春•浦东新区校级期中）如图，点A、B、C在圆。上，弦AC与半径08互相平分，那么N4OC

12.（2022春•浦东新区校级期中）如图，圆。经过平行四边形A8CD的三个顶点A、B、。，且圆心。在

平行四边形ABC。的外部，tanNOAB=』，。为弧AB的中点，。0的半径为5,求平行四边形的面积.

2

CE=2,£0=6,求OO的半径长.

16.（2022•嘉定区校级模拟）如图，点C、。分别在扇形AO8的半径OA、04的延长线上，且0A=3,

4c=2,CO平行于/W,并与弧48相交于点M、N.

（I）求线段0。的长；

（2）若lanNC=_l,求弦的长.

2

二.垂径定理的应用（共5小题）

17.（2019秋•肯浦区校级月考）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦A4是水底，弦CD表示水面，EF

过圆心。且EF_LA8,E/=/W=24米，CD//AB.

（1）当水深G尸为19米时，求此时水面CQ的宽;

（2）若水面下降，当水面。。的宽为12巡米时，求此时水深.

E

18.（2022春•松江区校级期中）铲车轮胎在建筑工地的泥地上留下圆弧形凹坑如图所示，量得凹坑跨度

AB为80（7〃，凹坑最大深度CD为20cm,由此可算得铲车轮胎半径为.

19.（2022•上海）如图所示，小区内有个圆形花坛。，点。在弦48上，4c=11,4c=21,OC=13,则

这个花坛的面积为.（结果保留TI）

20.（2019•浦东新区校级自主招生）有一块正方形田地，中间有一圆池，池与田间间隙有13.75亩，方田

四边到圆的最近距离都是20步，求边长，直径，（240步2=1亩，n=3）

21.（2022•徐汇区模拟）如图所示，该小组发现8米高旗杆。E的影子E尸落在了包含一圆孤型小桥在内

的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动.小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测

得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧G”的中点到弦G”的距离，即的长）为2米,

求小桥所在圆的半径.

9【过关检测】

1.下列命题中不正确的是（）

A.平分弦的半径垂直于弦；B.垂直平分弦的直线必经过圆心；

C.垂直与弦的直径垂直平分这条弦对应的弧；D.平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.

2.如图，在5义5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在的圆的圆心为图中的（）

A.MB.PC.QD.R

4.（2020♦上海市民办文绮中学九年级期中）下列关「圆的说法中，错误是（）

A.等圆中，相等的弦所对的弧也相等

B.过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦

C.经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线

D.相交两圆的圆心距一定垂直平分两圆的公共弦

二、填空题

5.如图，已知AB是。0的直径，弦CD交AB于点E,ZCEA=30°,0F1CI）,垂足为点F,DE=5,0F=l,

那么CD=_

7.（2021•上海青浦•二模）如图，在半径为2的。。中，弦的与弦切相交于点机如果4?=切=26,

ZXjr=120°,那么〃V的长为

8.（2018•上海•九年级期末）如图，在5X5正方形网格中，一条圆弧经过A,B,C三点，已知点A的

坐标是（2,3）,点C的坐标是U,2）,那么这条圆弧所在圆的圆心坐标是.

9.（2017•上海浦东新•九年级期木）若。O的一条弦长为24,弦心距为5,则。O的直径长为—

13.(2021•上海徐汇•二模)如图，在梯形加⑦中，CD//AB,AB=\0,以脑为直径的经过点GD,

且点a〃三等分弧AB.

(1)求少的长；

(2)已知点£是劣弧优’的中点，联结能交边切于点E求用的长.

14.(2021•上海松江•二模)如图，已知比中，/月〃=90°,cot/BAC=2,BC=3以边力。上

一点。为圆心，窗为半径的。。经过点反

(1)求。。的半径；

(2)点〃是劣弧A8的中点，求tanN砌4的值.

15.（2021•上海金山•二模）如图，是一个地下排水管的横截面图，已知。0的半径创等于50M，水的

深度等于25cm（水的深度指A8的中点到弦/出的距离）.

求：（1）水面的宽度月8.

（2）横截面浸没在水中的A8的长（结果保留八）.

16.（2021•上海杨浦•三模）如图，已知在。。中，ODLAB,垂足为点〃，〃。的延长线与。。相交于点C,

点9在弦A9的延长线上，应与CO相交于点凡AB=O）=8,tan6?=l

（1）求。。的半径长；

（2）求三CF的值.

17.（2021•上海浦东新•模拟预测）已知：如图，圆。是等腰△，仍「的外接圆，/5=AB=iO,CD=^BC,

2、

tanZ?=—.求:

3

（1）线段犯的长;

（2）圆。的半径.

18.（2021•上海奉贤•三模）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点儿从

（1）请完成如下操作：

①以点