安徽省马鞍山市2024-2025学年高二年级下册期末考试 数学试题（含解析）

马鞍山市2024~2025学年第二学期期末教学质量监测

高二数学试题

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名、考号和班级填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,

务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无

效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.设集合“二0123},8={昨＜8},则4c5的元素个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】由8=1|2'＜8}={小＜3},/=也1,2,3},

则,4c8={0,1,2},有3个元素.

故迄C.

2.已知i是虚数单位，复数z满足（2-i）z=10+5i,则z的虚部为（）

A.3B.4C.3iD.4i

【答案】B

【详解】由(2—i)z=10+5i,

10-b5i_(10+5i)(24-i)_20+10i+10i4-5i2_15+20i

=3+4i,

2-i-(2-i)(2+i)4^?5

所以z的虚部为4.

故选：B.

3.如果x,y是实数,那么“|x-y|=|x|+|y|”是“孙〈0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当y=o时，满足|x-y|=|x|+|y|,而a二0；

当9Vo时，若xv0,y>0,则x-yvO,

所以|x_y|=_(x_y)=r+y,而|x|+|止-工+y,则1%一田二11|+|川：

若工>0,y<0,则x-y>0,

所以|x-y|=x-y,而|x|+|y|二x-y,贝iJ|x-y|=|x|+|y|.

所以a\x-y\=\x\+\y\ff是“xyvO”的必要不充分条件.

故选:B.

4.已知两个非零向量1与B的夹兔为。，我们把数量同忸卜访6叫作向量。与5的义乘2x5的模，记作

\axb\t即辰5卜同忖卜足。.若向量M=(0,1),[=(百J),则|』xj|=()

A.-1B.1C.0D.6

【答案】D

【详解】由G=(0,l),B=

八小B11

则皿丽KF

由。w[0,TI],所以，=§■，则sin8=，

所以不xB=同Bsin=1x^4x孝=.

故选：I).

5.等差数列｛%｝的前〃项和为S,,公差”<0,52024-S2025<0,则使4>0的〃的最大值为()

A.1012B.1013C.2024I).2025

【答案】A

【详解】由邑必53必宇3•迎翌芳娟=1012(/2+限)・2。25%<。，

则(“1012+^1013),^1013＜。，

因为等差数列｛q｝的公差d<0,所以。⑶2>卬013，

则“1012+。1013>0，%013V0，即《012>0，

所以数列｛为｝是前1012项为正数，从第1013项开始为负数的递减数列，

则使%>0的〃的最大值为1012.

故选：A.

6.圆锥的侧面积等广和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为()

I-,一71兀

A.V3TTB.2。3兀C.-I).-

【答案】A

【详解】由题意,设圆锥和圆柱的底面半径为，高为解

则圆锥的母线长为/=病工工，

则圆锥的侧面积为Tirl=兀尸.Jh，+尸?»

而圆柱的侧面积为2兀»则717*-yjh~+r~=271/77»

即r=y［3h，则/=J/—+厂2_2h，

则圆锥侧面展开图的圆心角为至=2K也h=百兀.

I2h

故选：A.

3

7.已知函数/'(x)=sinx+/sin2x+2x+3在［-2兀,2兀］上的所有极值点从小到大依次记为％,x2,L,

J则之⑸=()

*=|

A.12B.15C.18I).24

【答案】D

3

【详解】由/(x)=sinx+—sin2x+2x+3,

则/'(x)=cosx+3cos2.r+2=cosx+3(2cos2x-1)+2

由点”在。的左支上，得(“一?二二二1,整理得加口二/一名？，

4a24

由|。闻二阿闻，得(等与十(%2整理得c2/+2皿=3。2,

消去a得(L—4：广+,2_4匠=3c2,解得c=4a,所以双曲线。的离心率£=4.

4a2a

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法中正确的有()

A.两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数，•就越接近1

B.已知随机变量X~N(O,1),若P(X>l)=p,则P(—1<矛<0)='-〃

C.数据3,4,6,7,8,9,10,11的第75百分位数为9

D.若事件A,3满足P(⑷P(5)w0,P(A|B)=P(A),则P(8|4)=P(B)

【答案】BD

【详解】对于A,两个随机变量的线性相关性越强，

则样本相关系数〃的绝对值就越接近1,故A错误：

对于B,由X〜N(0,l),则〃=0,因为尸(X>l)=p,

所以P(Xv—1)=〃，则尸(—l<X40)=P(X«0)-P(¥<—l)=L—p,故B正确；

2

对于C,由8x75%=6,则第75百分位数为2孚=9.5,故C错误：

2

P（AB\.、/、/、

对于D,由P（*8）=充/=「（力）,则尸（45）=P（/）P（B）,

P（AB）

所以P（例4）=T77d=尸（4）,故D正确.

P⑷

故选：BD.

10.已知（2.1—1）2025=%+4产+。”丫2+・..+〃2025.12025,贝“（）

B.a=-2202,a

A.a}=202520232

C.%+a+•••+«2025=2

2o…-三

【答案】BCD

【详解】对于AB,（2x-1）2°25展开式的通项公式为

225r

“C；o25-（2x）°--（-I/=C；025.（-iy.2—,v—

r=0,1,2,•••,2025,

令2025-厂=1,得/=2024,

所以4=C歌（-1）畋44=4050,故A错误,

令2025=2023,得/・=2,

所以限=1”・（-/22°23=C短・22°23

令2025-1=2,得厂=2023,

所以。2=《；第（一1户”"=—C短",

贝1」。2。23=-22°2%2,故B正确;

22025

对于C,由（2x—If。"=4+qx+a2x+…+t72O25x

令J=0,得（T严5=%=—1

令工=1,得1""=%+q+%+…+。2025=1，

则4+出+…+。2025=1一%=2,故C正确;

2＜，25

对于D,令丁=-1,得（_3125f+4--------«2025=-3

由C得%+q+。2+…+。2025=1，

两式相减得，2（《+%+。5+…+。2025）=1+3””,

2025

1+3

所以％+%+。5+…+。2025=——-——，故D正确.

故选：BCD.

11.已知平面直角坐标系中，动点P（x,y）到点。（0.0）和4（2,2）的距离的乘积为2,点尸的轨迹。如图所

A.。过点（1,1）

B.c关于直线x+y=2和直线y=x均对称

c.P到原点。（0,0）距离的最大值为2+J5

D.直线y=-x+5与。相切

【答案】ABC

［详解］由题意，“十/小一2）2+（尸2）2=2,

化简得点P（%J）的轨迹C的方程为（炉+/）.［（》-2）2+3-2）2］=4.

对于A,将点0,1）代入方程得（12+12）.［（1一2『+（1-2）［=4,

则。过点（1,1）,故A正确；

对于B,将（2-y,2-x）代入方程得［（2-»）+（2-x）j-（2-y-2）+（2-x-2）］

=12+力｛（1_2）2+（尸2）］二4,

将（13代入方程得（/+打［（k2）2+（》-2）［='+打/-2）2+（尸2）［=4,

所以复关于直线x+y=2和直线y=x均对称，故B正确;

对于C,由B知，。关于直线x+y=2和直线歹=X均对称，

则。的中心点为(1,1),

结合图象可知，当P在直线歹=工上，且在右上角时.，

P到原点。(0,0)距离最大，设P(M1>1，

此时p到原点0(0,0)距离为向，p到4(2,2)距离为-2|,

由题意得，V2/-V2|/-2|=2,解得r=l+后(其它值舍去)，

则P到原点。(0,0)距离的最大值为应(1+啦)=2+正，故C正确；

对于I),由BC知，。的中心点为(1,1),且在右上角处的点为(i+J5/+J5),

则。在点(1+&』+夜)出的切线方程为y=—x+2+2应，

由干2+2Ji<5，且直线y=-X+5与直线y=-x+2-¥2>/2平行，

所以直线V=-x+5与。不相切，故D错误.

故选:ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置.

12.已知)<1，且则实数。的取值范围是_____.

【答案】(0,；)

【详解】分析々3<1，

即后<1，根号下的数需非负：a>0,

两边平方：,

结合对数函数的底数要求得：0<Q<L

分析log”gv1,

当〃>1时，对数函数单调递增，此时log〃；vl可转化为log“；vlog",

因为函数递增，真数的大小关系与对数的大小关系一致，即：!<〃，

2

结合前提。>1,此情况的解为：

当0<4<1时，函数单调递减，此时，log。；<1可转化为log,,；clog“。,

因为函数单调递减，真数关系与对数关系相反，即：!〉。，

2

结合前提此情况的解为：Ovav?；

2

综合以上信息可知当0<。1时，同时满足两个不等式.

（n

故答案为：o,-.

2

13.若把满足/+〃=c2m<b<c）的正整数组（a],c）称为“勾股数组”，则在不大于14的正整数中,

随机选取3个不同的数.能组成，“勾股数组”的概率为

3

【答案】荻

【详解】由题意可知基本事件的总数为C\=364,

能组成“勾股数组”的有（3,4,5）,（6,8,10）,（5,12,13）,共3个,

3

故所求概率为777

364

故答案为：—

364

ci+4b—1

14.已知实数力满足3a+〃=2,则/,,的最大值为

7cr+&

cB

【答案】上

2

,a+4b-\_2a+Sb-2_2a+Sb-(3a+Z>)_-a+lb

【洋解】“2+/-2拈+/=2”2+庐一2后+b1

设向量刀=33,砺=(T7)，则为・丽=-4+7b<\OA^OB|=5>/2•，

；17。+48-1<

则下-a=+lb―c,n当且仅当。=一力=时取等号,5y/2

+力222y}a24-/>2-2

〃+4b-1

所以厂^的最大值为王.

Va2+b22

c5

故答案为：土

2

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写

在答题卡上的指定区域内.

15.已知V48c中，角A,B,。的对边分别为。，h,c.当x=4时，函数/"（x）=2jjsinxcosx-cos2x

取得最大值.

（1）求角A的大小；

（2）若边8c上中线/。=2,求V48C面积的最大值.

兀

【答案】（1）-

3

⑵逋

3

【小问1详解】

由/（x）=2百sinxcosx-cos2x=^3sin2x-cos2x=2sin（2x—已），

因为力£（0,兀），所以2X—*7w（-7二一，

6\66/

则即Y时，/*）取得最大值，则力=早

【小问2详解】

因为4。为BC边的中线，则而=；（而+*）,

则而2=（（彳月2+2而.就+充）,

22

M4=—(c2+2bc-cosA+c+b+/>cj>^(2hc+be)=be,

即从工苧，当且仅当/）二c=速时等号成立,

33

△展in.J幺2坦

所以ABC

22323

则V48c面积的最大值为述.

3

16.如图，在四棱锥。一力8c。中，底面48。。是边长为4的正方形.产力_L平面48C。，E,E分别是

（1）证明：平面平面片8CQ；

（2）若平面ZMQ与平面P8C夹角的余弦值为且，求点b到平面P8C的距离.

5

【答案】（1）证明见解析

（2）拽

5

【小问1详解】

连接4C交“。于点O,连接。后，

在正方形48CQ中，。为/。的中点，

因为E为PC的中点，所有OE//PA,

又P4人平面4BCQ,所有OE1平面力4C。，

又OEu平面EBD,所以平面E8Z）_L平面力8CZ）.

【小问2详解】

以A为原点，以月8,49,力产所在直线为xj,z轴建立空间直角坐标系,

设*Q>0,则0(0,0,a),8(4,0,0),C(4,4,0)/(0,2£

则丽=(4,0,-Q),前=(0,4,0),

设平面PBC的一个法向量为用=（x,%z）,

m-PB=4x-az=0/、

则<一，令x=a,得加=(々,0,4),

m-BC=4y=0

易得平面PAD的一个法向量为万=(1,0,0),

则10s(碗，斤I、"=4,解得Q;

1〃小l〃l+16x15

则加=(2,0,4),尸(0,2,1),即丽=(—4,2,1),

17.已知/(x)=/-a]nx,aeR.

（1）曲线y=/（x）与直线V=x相切，求。的值;

（2）若/（幻有两个零点，求实数。的取值范围.

【答案】（1）1（2）（2e,+e）

【小问1详解】

由«x)=M2一“inx,x>0,则/'(x)=2x-3,

x

设切点为(%,吃一〃In/),x0>0,

则r(Xo)=2x°—q=1,则2x：-Xo=a,

xo

又工:-々In%=%，所以x；一(2片一/In%=%，

则与一(2x()-l)ln%=1,即%-1-(27-l)lnXo=0,

设g(x)=x-l-(2x_l)lnx,x〉0,

则g'(x)=1-21nx-(2x-1),='_21nx-1,

XX

因为函数卜=」,、二一2足》在(0,+8)上单调递减，

X

所以函数g'(x)在(0,十力)上单调递减，又g'(l)=o

贝|JX£(O,1)时，g，(x)>o；X£(l,+8)时，g'(x)<o,

所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减,

因为g⑴=0，所以玉)=1，则a=2x；-Xo=L

【小问2详解】

由/'(x)=x2_Q]nx,x〉0,则/'(x)=2x_q=^^

XX

当“40时，r(x)>0,则/(x)在(0,+8)单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意;

令r(x)>。，解得x>R令/'&)<。，解得0cx<4,

故f(x)在上单调递减,上单调递增,

要使y=/G)有两个零点,

则lng>l=lne,解得〃〉2e,

2

而«1)=]>0,f(a)=a2-a\r\a=a(a-lna),

当a〉2e时，令力(。)二〃一比。，

则/(Q)=1-2=3匚>0,所以函数〃(幻在(2e,+8)上单调递增,

aa

故M。)>〃(2e)=2e-ln(2e)=lne2c-ln(2e)>0,则j\a)>0,

所以/‘⑴/招<°J

•/⑷<0

由零点存在性定理可知，/（X）在

综上所述，实数。的取值范围为（2e,+8）.

18.已知抛物线C:/=2勿（p>0）的焦点到椭圆L+J=i右焦点的距离等于椭圆长半轴长.

4

（1）求抛物线C方程；

（2）过点P（0,-4）作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B（A在A的右侧）.点。为线段上的动

点（不含端点），过。作抛物线。的另一条切线，切点为£,直线。£与旅交于点b.求证：»。|+忸可

为定值,并求定值.

【答案】⑴x2=4y

（2）证明见解析，定值为4后

【小问1详解】

抛物线C:x2=2py（p>0）的焦点为（0,与］,

由椭圆?+>2=1,则。=2,6=1,。=百，即右焦点为（石,（）），长半轴长为。=2,

由题意，得卜图=2,解得。=2,

则抛物线C方程为r=4y.

【小问2详解】

设过点尸（0,-4）与抛物线C相切的直线方程为y=kx-4,

"y=Ax-4

由"l'A，可得/-4米+16=0,

［厂=4y

则A=16%2—4x16=0,解得z=±2,

则，_L8X+16_0,解得X=±4,贝ij4(4,4),〃(一4,4),

则直线/尸：y=2x-4,直线4P：y=-2x-4,

设D（/,254）,lw（0,4）,设直线OR：y=〃7（XT）+2-4,加<0,

y=m（x-t]+2t-4,

由<2d，可得r一4mx+-8/+16=0，

x=4y

由A=（—4m）2—4（4m/—8/+16）=0,则（〃?-2）[加一。-2）]=0,

可得用=，-2或加二2（舍去），

则4"—2）X+4（—2）—8，+16=0,解得x=2（Z—2）,

则E（2。—2）,（"2『），直线D”：y=（/-2）x-（/-2）\

由b=DI"2『,解得匕:4即尸（―），

j=-2x-4[y=-2/+4

故»。|+忸曰=JTT屋（瓦一xj+k厂号|）=逐.（47+/）=4不为定值.

19.在某项趣味篮球游戏中，每个参与者投篮若干次，根据投篮情况获取相应积分，得分规则如下：第一次

投篮，投中得2分，未投中得1分；从第二次投篮开始，投中得上一次所得分数的2倍，未投中得1分.已

2

知甲每次投篮投中的概率均为一，且每次投篮结果互不影响.

3

（1）求甲投篮3次得分总和为4分的概率；

（2）记甲第〃次（〃eN*）投篮的得分为X”，甲投〃（〃£N*）次篮的得分总和为X.

（i）求E（XJ,£（占），后（*3），并写出人22（AwN，）时，仪占）与《（居_1）的关系式（不需证

明);

(in己知结论：x,y为两个随机变量，则£(x+y)=£(x)+&y).利用这个结论求£(x).

【答案】⑴|；

9

(2)(i)E(XX)=^E(X2)=-^,£,(y3)=——,E(Xk)=—E(Xk_1)+—,AwN，k>2\(ii)

£(%)=8(^4)n-/2-8.

【小问1详解】

甲投篮3次得分总和为4分的事件A,即为学生甲前三次投篮中仅投中一次的事件,

272

所以P(4)=C；X§X(l—§)2=§.

【小问2详解】

21215

(i)学生甲第1次投篮得2分、1分的概率分别为所以七(XJ=2x§+lX]=§；

22121

甲第2次投篮得4分、2分、1分的概率分别为三x7,-X-,所以