垂直平分线（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册专项突破

专题1.18垂直平分线（直通中考）

【知识回顾】

1、线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线的性质定理:线段的垂直平分线上的到这条

线段两个端点的距离相等。

2、线段垂直平分线判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分

线上.

C.14D.15

2.（2019•湖南郴州•统考中考真题）如图，分别以线段AB的两端点A,B为圆心，大于^AB长为半径

画孤，在线段AB的两侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点0.在直线EF上任取一点P（不与0重合），

)

C.11D.13

4.（2015•四川遂宁•统考中考真题）如图，在0ABC中，AC=4cm,线段AB的垂直平分线交AC于点N,0BCN

的周长是7cm,则BC的长为（）

5.（2015•福建三明•中考真题）如图，在财4C中，0ACB=9O°,分别以点A和3为圆心，以用同的长（大

于,44）为半径作弧，两弧相交于点M和M作直线MN交48于点。，交BC于点E,连接CQ,下列结

论错误的是（）

A.AD=BDB.BD=CDC.^A^BEDD.BECD=^EDC

6.（2012•湖北荆门•中考真题）如图，团ABC是等边三角形，P是0ABe的平分线BD上一点，PE0AB于点

E.线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为（）

8.（2023•广东深圳•校联考二模）卜.列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（）

9.（2023•山东临沂•统考二模）如图，锐角回ABC中，BC>AB>AC,求作一点P,使得回BPC与回A互补,

甲、乙两人作法分别如下:

甲：以B为圆心，AB长为半径画弧交AC于P点，则P即为所求.

乙：作BC的垂直平分线和E1BAC的平分线，两线交于P点，则P即为所求.

对于甲、乙两人的作法，下列叙述正确的是（）

A.两人皆正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.两人皆错误

10.（2023•河南南阳•模拟预测）如图，在西8。中，13c=50。，团8=35。，分别以点A,3为圆心，大于^44

的长为半径画弧，两弧相交于点历，N,直线MN交8c于点。，连接AD.则团D4C的度数为（）

A.85°B.70°C.60°D.25°

二、填空题

11.（2019•江苏南京・统考中考真题）如图，在团ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD平分（3ACB.若

AD=2,BD=3,则AC的长为.

A

12.（2013•江苏泰州•中考真题）如图，0ABe中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线/与AC相交于点D,则

0ABD的周长为—cm.

A//B

三、解答题

20.(2017•江苏连云港•中考真题)如图，已知等腰三角形43C中，=点。，上分别在边W5、

dC上，且疝)j狂，连接立、CD,交于点尸.

(1)判断乙0E与N48的数量关系，并说明理由；

(2)求证：过点X、尸的直线垂直平分线段3C.

(2)求/比＞的长.

23.（2011•广东汕头•统考中考模拟）如图所示,在RtmABC中，0C=9O\G3A=3O\

（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线I（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在己作的图形中，若I分别交AB、AC及BC的延长线于点D、E、F,连接BE.求证：EF=2DE.

B

24.（2019•河北•模拟预测）课本例题

理由是：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

所以4。垂直平分EF.

理由是："到线段两个端点距啕相等的点在这条线段的垂直平分线上〃.

老师观点

老师说：小明的做法是错误的！

请你解决

⑴指出小明做法的错误；

⑵正确、完整的解决这道题.

参考答案

1.B

故选B.

【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.

2.C

【分析】依据分别以线段AB的两端点A,B为圆心，大「JAB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别

交于点E,F,作直线EF交AB于点0,即可得到EF垂直平分AB,进而得出结论.

解：•••由作图可知，EF垂直平分AB,

故选C.

【点拨】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，

利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题.

3.A

【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB,利用线段垂直平分线的定义得到DA=DB,然后利用等线

段代换得到4BDC的周长=AC+BC.

解：由作法得MN垂直平分AB,

0DA=DB,

□3BDC的冏长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.

故选A.

【点拨】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已

知角：作已知线段的垂直平分线；作己知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了线段垂直平

分线的性质.

4.C

【分析】利用线段垂直平分线的性质证得AN=BN即可求解.

解：(2M/V是线段的垂直平分线，

(3AN=BN,

008CN的周长是7cm,

①BN+NC+BC=7(cm),

SAN+NC+BC=7(cm),

^AN+NC=AC,

@AC+BC=7(cm),

X(MC=4cm,

08C=7-4=3(cm).

故选C.

【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键.

5.D

【分析】根据题目描述的作图方法，可知MN垂直平分44由垂直平分线的性质可进行判断.

解：I3MN为A6的垂直平分线，

^BDE=90°,故AE确，

幽4c8=90°,

^CD=BD,故B正确，

故C正确，

034*60°,ACM。，

^ECtED,

^ECD^EDC.故D错误，

故选D.

【点拨】本题考查垂直平分线的性质，熟悉尺规作图，根据题目描述判断MN为A8的垂直平分线是关

键.

6.C

解：解析：鸵1ABC是等边三角形P是13ABC的平分线，

00EBP=0QBF=3O0,

0BF=2,FQ0BP,

0BQ=BF*cos3O0=2x蛇=6,

2

团FQ是BP的垂直平分线，

回BP=2BQ=2Q,

在Rt0BEF中，

加1EBP=3。"，

0PE=^BP=V3.

故选C.

7.B

团点O是线段8c中垂线与AB的交点，

故选B

【点拨】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.

8.D

【分析】根据角平分线和线段中垂线的尺规作图及其性质即可得出答案.

解：A.由此作图可知CA=CP,不符合题意；

B.由此作图可知84=8尸，不符合题意；

C.由此作图可知a4BP=E]rBP.不符合题意：

D.由此作图可知附=尸(7,符合题意.

故选D.

【点拨】本题考查了基本作图的方法.熟悉基本几何图形的性质，并掌握基本几何作图是解题的关键.

9.A

【分析】甲：根据作图可得AB=BP,利用等边对等角得：0BAP=EAPB,由平角的定义可知：0BPC+0APB

=180•，根据等量代换可作判断；

乙：利用角平分线的性质，作辅助线，证明RSBPG®RSCPH(HL),可得由BAC+国BPC=180。，作判断即

可.

解：甲：如图1,0AB=BP,

00BAP=HAPB,

E0BPC+3APB=18O°

a?lBPC+aBAP=180o,

回甲正确；

乙：如图2,过P作PGMB于G,作PH团AC于H,

0Ap平分回BAC,

0PG=PH.

但PD是BC的垂直平分线,

0PB=PC,

BRtABPGERtACPH(HL),

0QBPG=0CPH,

歪BPC=[UGPH,

E0AGP=0AHP=9O0,

屋BAC+团GPH=180°,

胴BAC+回BPC=180°,

团乙正确：

故选A.

【点拨】本题考查了作图■复杂作图，解题的关键是掌握角平分线的性质、线段垂直平分线的性质及

基本作图.

10.C

【分析】根据内角和定理求得配AC=95。，由中垂线性质知DA=DB,BP0DAB=0B=35°,从而得出答案.

解：在mABC中，00B=35°,0C=5O°,

盟BAC=180°(3B团C=95°,

由作图可知MN为AB的中垂线，

0DA=DB,

E0DAB=mB=35°,

屋CAD=mBACWAB=6(r,

故选C.

【点拨】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键.

11.历

【分析】证出团ACD=(3DCB=iaB,证明团ACD砒ABC,得出AC:AB=AD:AC,即可得出结果.

解：团BC的垂直平分线MN交AB于点D,

@CD=BD=3,

E0B=0DCB,AB=AD+BD=5,

(3CD平分团ACB,

(30ACD=0DCB=0B,

E0A=0A,

(30ACD00ABC,

0AC：AB=AD：AC,

0AC2=ADXAB=2X5=1O,

0AC=>/i()

故答案为：Vio.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识；证

明三角形相似是解题的关健.

12.6

解：解团直线/垂直平分BC,

@DB=DC.

回团ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6cm,

故答案为：6cm

13.24

【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.

解：山。石是AC的垂直平分线，

^EA=EC,

团£4。=团C,

@(21MC=aME+[aEAC=19o+0EAC,

0A尸平分区BAG

在aABC中4B+回C+团8AC=180°所以7O°+0C+20MC=18O%

田70°+®KAC+2K(190+回D4C)_18O°,

00C=(3EAC=24O,

故本题正确答案为24.

【点拨】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及

其计算.

14.m+n.

解：(2AB的垂直平分线MN交AC于点D,0A=4O°,0AD=BD,0A=0ABD=4O°.

00DBC=3O°,E@ABC=40o+30o=70o,0C=18O°-40°-40°-30°=70°.

00ABC=0C.0AC=AB=m.

(30DBC的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n.

考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的判定；3.三角形内角和定理.

15.18

【分析】如图作AH团BC于H,连接AD,由EG垂直平分线段AC推出DA=DC,推出DF+DC=AD+DF,

可得当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长.

H

BC

E

0EG垂直平分线段AC,

0DA=DC,

0DF+DC=AD+DF,

但当A、D、F共线时DF+DC最小，最小值就是线段AF的长.

0AH=12

(3AB=AC,AH0BC,

0BH=CH=1O,

回BF=3FC,

回CF=FH=5,

0DF+DC的最小值为13

E0CDF的周长最短=13+5=18.

故答案为18.

【点拨】本题考查的知识点是轴对称最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题

关键是学会运用轴对称，解决最短问题.

16.30

解：分析：由已知条件，根据垂直平分线的性质，得到EA=EC,进而得到团EADWECD,利用等腰三角形

的性质和垂直平分线的性质解答.

解答：解：回ED是AC的垂直平分线，

0AE=CE,

02EAC=0C,

又00B=9O°,0BAE=3O°,

00AEB=6O°,

XE0AEB=0EAC+@C=20C,

00c=30".

故答案为30.

17.30

【分析】由尺规作图得到MN为AB的垂直平分线，然后利用垂直平分线性质和勾股定理得到BC=12,

所以S^BCE=—BCxCE=—^12^5=30,

22

解；由作图可知，例N垂直平分八氏

^AE=BE,

又a4C=18,EC=5,

^AE=BE=13,

又03c=90°,

^SBCE=—BCxCE=—xl2x5=30,

A22

故答案为30.

【点拨】本题考查直角三角形和尺规作图，能够知道MN是AB的垂直平分线是解题关键

18.108

【分析】连接OB、OC,根据角平分线的定义求出团BAO,根据等腰三角形两底角相等求出0ABC,再根

据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB,根据等边对等角可得0ABCH3BAO,再求出

0OBC,然后判断出点。是0ABe的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC,再根据等边对等角求出

@OCB=0OBC,根据翻折的性质可得OE=CE,然后根据等边对等隹求出团COE,再利用三角形的直角和定理列

式计算即可得解.

00BAC=54°,A0为团BAC的平分线，

团团BAO=；0BAC=1x540=27%

又HAB=AC,

团回ABC=g(18O00BAC)=yx(180°54°)=63°,

回DO是AB的垂直平分线，

BOA=OB,

00ABO=0BAO=27°,

E0OBC=0ABC0ABO=63°27O=36*,

MO为团BAC的平分线，AB=AC,

00AOB00AOC(SAS),

EOB=OC,

13点。在BC的垂直平分线上，

又回DO是AB的垂直平分线，

0点0是团ABC的外心，

00OCB=（?]OBC=36O,

。将13c沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，

□OE=CE,

团团COE=13OCB=36°,

在回OCE中，SOEC=18O°0COE（?OCB=18OO36<,36O=1O8O,

故答案为108.

【点拨】本题考杳了三角形综合题，涉及了角平分线的定义，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的

性质与判定，二角形的外心，全等二角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，

熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

19.（1）见分析;（2）0B=36°.

【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得到PA=PB,再由等腰三角形的性质得到回PAB=（3B,从而得到答

案；

（2）根据等腰三角形的性质得到如AQWBQA,设用B=x,由题意得到等式（MQCWB短BAQ=3x,即可得到

答案

解：（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，

所以PA=PB,

所以团PABR1B,

所以0ApeWPAB+mB=2团B.

（2）根据题意，得BQ=BA,

所以团BAQWBQA.

设由B=x,

所lU0AQC=0B+aBAQ=3x,

所以回BAQ=13BQA=2x,

在△ABQ中，x+2x+2x=180°,

解得x=36°,即®B=36°.

【点拨】本题考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质、等

腰三角形的性质.

20.（1）ZL4BE-ZACD（2）证明见分析

试题分析：（1）根据全等三角形的判定SAS可证明团ABE胴ACD,然后可得证：

（2）根据（1）的结论和等腰三角形的性质，可由线段垂直平分线的判定得证.

解：（1）/4BE=Z4CD.

因为慰二废7,N3AE=NCAD,AE=AD，所以及4比丝AKD

所以44BE=4CD.

⑵因为