2026年高考数学一轮复习：概率（含解析）

高考数学一轮复习概率

一.选择题（共8小题）

1.（2025春•绍兴期末）从小a,i,h,e这五个字母中随机选择一个,则选中元音字母。或e的

概率为（）

1124

A.一B.-C.—D.

10555

2.（2025春•清远期末）某班级有42名学生，其中男生、女生的人数及是否喜爱篮球的人数如表所

示，从这42名学生中随机选择1人作为体育课代表，若选到的学生喜爱“篮球”，则该学生是女

生的概率为（）

喜爱“篮球”不喜爱“篮球”合计

男生15722

女生101020

合计251742

3215

A—B.—C.-D.一

.55221

3.（2025春•广西期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下

列各对事件中互斥而不对立的是（）

A.至少有1名男生与全是男生

B.至少有1名男生与全是女生

C.恰有1名男生与恰有2名男生

D.至少有1名男生与至少有1名女生

4.（2025•天津）下列说法中错误的是（）

A.若X诙(n，o2),则P(XWp・o)=P(X2|i+。)

B.若X7V(1,22),y7V(2,22),则p（xvi）<p（r<2）

C.|r|越接近1,相关性越弱

D.m越接近o,相关性越弱

5.（2025春•龙岩期末）现有6张卡片,分别写上数字1,2,3,4,5,6.从这6张卡片中随机抽

取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为彳，则尸鳍=4）=（)

1111

A.一B.—C.—D.一

120602010

6.（2025春•郑州期末）一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1

分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量X,则P（X26）为（）

7.(2025春•徐汇区期末)如果事件4与事件B独立，且P(A),P(B)6(0,\),A,后分别是

A、8的对立事件，那么以下等式一定成立的是()

A.P(AUB)=P(A)P(B)B.P(APB)=P(A)+P(B)

C.P(An万)=PQ4)P(耳)D.PQ4U^)=P(A)+1-P(8)

8.(2025春•湖州期末)已知随机变量X服从正态分布N(2,a2),且P(2<XW2.5)=0.1,则

P(XV2.5)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025春•杭州校级月考)已知随机事件A,8相互独立,且P(4)=看，P(8|4)=1则

()

44

11--

A.2(8)=可B.尸(48)=而C.P(A\B)5D.5

(多选)10.(2025春•丽水期末)甲乙两个质地均匀的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A

为“两个骰子朝上一面的点数之和为奇数”，事件B为“甲骰子朝上一面的点数为奇数”，事件

C为“乙骰子朝上一面的点数为偶数”，下列选项正确的是()

A.事件3、C是互斥事件

B.P(A)=P(B)=P(C)

C.事件A、B是相互独立事件

D.P(ABQ

(多选)11.(2()25春•新洲区期末)小宇连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面

向上的点数之和为奇数”，事件8表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则()

A.事件A与事件B互斥

B.事件A与事件8不相互独立

3

C-

4

2

D.

(多选)12.(2025春•杭州期末)若PQIB)=1P(彳)=P(B)=则事件4与8的关系是()

7。。

A.事件A与B不互斥

B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立

D.事件A与3既互斥又独立

三.填空题（共4小题）

13.（2025春•浦东新区校级期末）有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,从中不放回地随机

取两次，事件人表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件8表示“两次取出的球的数字之和

是偶数，则P（用人）=.

14.（2025春•龙岩期末）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次

投篮投中的概率为0.4,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率

为.

15.（2025春•闵行区校级期末）某中学高一、高二、高三的学生人数比例为4：3：3,假设该中学

高一、高二、高三的学生反读完《红楼梦》的概率分别为0.5,0.7,0.9,若从该中学三个年级的

学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率.

16.（2025•浦东新区校级模拟）某测试由8道四选一的单选题组成.学生小胡有把握答对其中4道

题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全小会.若小胡答对每道有思路的题

的概率为点答对每道不会的题的概率为:则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率

为■

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•松江区校级月考）在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听

说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近•个

月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷

调查，将他们的使用次数按照[0,10）,[10,20）,[20,30）,[30,40）,[40,50],五个区间

进行分组，所得样本数据如下表：

使用次数分组区间[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]

初中生43848246

高中生31938173

（1）从上面参与问卷调查且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机

抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布和数学期望；

（2）若将自主练习次数不少于20次称为积极，试完成下2X2列联表，并根据a=0.05判断“学

2

段”与“自主练习的积极性”是否有关•附：段=g+b）器戕2）（b+dyP（X223.84I）=0.05

练习不积极练习积极合计

初中生

高考数学一轮复习概率

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2025春•绍兴期末）从小，a,i,h,e这五个字母中随机选择一个，则选中元音字母。或。的

概率为（）

1124

A.——B.-C.-D.-

10555

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据古典概型的概率计算公式求解即可.

【解答】解：从〃?，a,r,h,e五个字母中随机选择一个，

则样本空间。={，〃,a.t.h.e},n（Q）=5.

记事件A="选中元音字母。或e”，

则A={a,e],n（A）=2,

故P（4）=^J

故选：c.

【点评】本题考查占典概型求概率公式，属于基础题.

2.（2025春•清远期末）某班级有42名学生，其中男生、女生的人数及是否喜爱篮球的人数如表所

示，从这42名学生中随机选择1人作为体育课代表，若选到的学生喜爱“篮球”，则该学生是女

生的概率为（）

喜爱“篮球”不喜爱“篮球”合计

男生15722

女生1()1020

合计251742

【考点】古典概型及其概率计算公式；条件概率乘法公式及应用.

【专题】对应思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】记事件A：选到的学生喜爱“篮球”，事件8：选到的学生是女生，利用条件概率公式可

求出PCB\A）的值.

【解答】解；记事件A；选到的学生喜爱“篮球”，事件8；选到的学生是女士,

则n（4）=25,n（AB）=10,

所以「但力）=需=芸4

故选：B.

【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题.

3.（2025春•广西期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下

列各对事件中互斥而不对立的是（）

A.至少有I名男生与全是男生

B.至少有1名男生与全是女生

C.恰有1名男生与恰有2名男生

D.至少有1名男生与至少有1名女生

【考点】互斥事件与对立事件.

【专题】对应思想；综合法：概率与统计；逻辑思维.

【答案】C

【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，依次判断各选项即可.

【解答】解：对于4选项，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”两

种情况，故A选项错误；

对于8选项，事件“至少有1名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”两种情况，

与事件“全是女生”是互斥对立事件，故B选项错误；

对于C选项，事件“恰有1名男生”指“有1名男生和1名女生”，

与事件“恰有2名男生”是互斥事件，但不是对立事件，故C选项正确；

对于。选项，事件“至少有I名男生”包括：“恰有1名男生”和“全是男生”两种情况，

事件“至少有1名女生”包括：“恰有1名女生”和“全是女生”两种情况，

两个事件有交事件“恰有1名男生和1名女生”，故。选项错误.

故选：C.

【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概念，属于基础题.

4.（2025•天津）下列说法中错误的是（）

A.若X毋（口，。2）,则p。）=P（X2“+。）

B.若XW（1,22）,K-W（2,22）,则P（X<1）<P（K<2）

C.仍越接近1,相关性越强

D.3越接近0,相关性越弱

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；样本相关系数.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】由正态分布的性质判断4,3：由相关系数的性质判断C,Q.

【解答】解：对于4,由正态分布的性质可知，

当XTV(H，。2)时，则p(XWp・。)=P(x)u+。)，故A正确；

对于乐由正态分布的性质可知，

当XTV(1,22),yw(2,22)时，P(X<l)=1=P(y<2),故8正确；

对于C,D,由相关系数的性质可知，

力越接近1，相关性越强，W越接近0,相关性越弱，故C，。正确.

故选：B.

【点评】本题考查了正态分布的性质、相关系数的性质，属于基础题.

5.(2025春•龙岩期末)现有6张卡片，分别写上数字1,2,3,4,5,6.从这6张卡片中随机抽

取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为讲则夕解=4)=()

1111

A.-----B.-C.—D.—

120602010

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】结合组合数的应用，利用古典概型的概率公式求解即可.

【解答】解：从这6张卡片中随机抽取3张有/=20种情形，

事件W=4只包含4,5,6,这一种情况，

故P延=4)=*.

故选：C.

【点评】本题考查古典概型求概率公式，属于基础题.

6.(2025春•郑州期末)一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1

分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量X,则尸(X26)为()

11133

A.—B.-C.—D.一

214147

【考点】离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式.

【专题】对应思想：综合法：概率与统计：运算求解.

【答案】C

【分析】山题意可得P(X>6)=1-P(X=4),计算求解即可.

【解答】解：由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6,

所以P(X>6)=1-P(X=4)=1=TZ-

C8

故选：c.

【点评】本题考查离散型随机变量的概率，结合超几何分布求概率等知识点解题，属于基础题.

7.(2025春•徐汇区期末)如果事件A与事件8独立，且P(A),P(B)£(0,1),彳、后分别是

A、8的对立事件，那么以下等式一定成立的是()

A.P(AUB)=P(A)P(B)B.P(AQB)=P(A)+P(B)

C.PG4n与)=P(4)P(耳)D.尸(4U耳)=P(4)+1—P(B)

【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式；对立事件的概率关系及计算.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式判断.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于4因为事件A与事件B是相互独立事件，则事件4与事件后也是相互独立事件，

故P(AUB)=P(A)+P(/?)-P(A)P(B)，A错误；

对于8,事件4与事件8是相互独立事件，P(AA8)=P(A)P(8),故B错误：

对于C，事件A与事件瓦也是相互独立事件，则产(AO豆)=P(A)P(5),C正确：

对于。，P(AU互)=P(X)+P(B)-P(AB)=P(A)+1-P(B)-P(A)[1-P(B)],D

错误.

故选：C.

【点评】本题考行相互独立事件的概率，涉及互斥事件的概率计算，属于基础题.

8.(2025春•湖州期末)已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),且尸(2VXW2.5)=0.1,则

P(XV2.5)=()

A.0.2B.0.4C.0.6D,0.8

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据正态分布的对称性即可求解.

【解答】解：已知随机变星X〜N(2,。2),其均信口=2,

根据正态分布的对称性，P(XW2)=0.5,

又因为『(2VXW2.5)=0.1,对于连续型随机变量，单点概率为0,tipP(2<X<2,5)=0.1,

因此，P(XV2.5)=P(XW2)+P(2VXV2.5)=0.5+0.1=0.6.

故选：C.

【点评】本题考查了正态分布的对称性，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025春•杭州校级月考)已知随机事件A,4相互独立，且P(4)=2,P(BM)=1,则

()

A.P(B)=寺B.P(AB)=4C.P(A\B)=1D.P(A+万)=[

【考点】概率的应用；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】BCD

【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断AAC再根据PQ4+后)=P(4)+P(百)-

PQ4万)即可判断。，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于8,P(4B)=P(A)P(B|A)=克,8正确；

对于A,P(AB)=P(A)P(8)=配(B)=芸，变形可得P⑻=1,故A错误；

1

41-4

一

X-P.的5

一

川--

于C,尸(718)=尸54C15故C正硼;

4-

3134

-X-=故

--一

对于D,P(A+耳)=P(A)+P⑥-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=1+454£)

5T

正确.

故选：BCD.

【点评】本题考查概率的乘法公式、条件概率的计算，涉及概率的性质和应用，属F基础题.

(多选)10.(2025春•丽水期末)甲乙两个质地均匀的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件A

为“两个骰子朝上一面的点数之和为奇数”，事件8为“甲骰子朝上一面的点数为奇数”，事件

C为“乙骰子朝上一面的点数为偶数”，下列选项正确的是()

A.事件8、。是互斥事件

B.P(A)=P(B)=P(C)

C.事件A、8是相互独立寻件

1

D.P(ABC)8一

【考点】概率的应用；相互独立事件和相互独立事件的概空乘法公式；互斥事件的概率加法公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】BC

【分析】由互斥事件的定义分析A,由古典概型公式分析3、。，由相互独立事件的定义分析C,

综合可得答案.

【解答】解：根据题意,则。={(1,I),(I,2),(1,3),(I,4),(1,5),(1,6),

(2,)(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(36),

(3,)(3,2),(3,3),(3,4),5),(36),

(4,)(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,)(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),

(6,)(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

依次分析选项:

对十人，事件仄C可以同时发生,小是互斥事件,A错误;

对于B,A={(1,2),(I,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,

4),(3,6),

(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,

5)},有18个基本事件,

/«、2x3x3

则P(A)=-6^6-

B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),1),(3,2),

(3,3),

4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,

6)},有18个基本事件,

P(/?)=1,

C-{(1,2),(2,2),2),(4,2),(5,2),<6,2),

(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),

(1,6),(26),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6)},

则有P(A)=P(8)=P(C),8正确;

对于C,AB={(1,2),­1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),(5,

4),(5,6)},有9个基本事件,

则户(48)=磊=/，则P(A3)=P(A)P(B),事件A、6是相互独立事件，C正确;

对于D,ABC={<1,2),(1,4),(1,6),(3,2),(3,4),(3,6),(5,2),

(5,4),(5,6)},

则P(ABC)=^=|,。错误.

故选：BC.

【点评】本题考查互斥事件、相互对立事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题.

(多选)11.(2025春•新洲区期末)小宁连续抛掷一枚骰子2次，记事件A表示“2次结果中正面

向上的点数之和为奇数”，事件8表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则()

A.事件A与事件B互斥

B.事件4与事件B不相互独立

3

C.PQ4B)=4

D.P(48)=(2

【考点】求解条件概率；事件的互斥(互小相容)及互斥事件；由两事件交事件的概率判断两事

件的相互独立性.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】BD

【分析】根据题意，由互斥密件的定义分析A,由相互独立事件的性质分析8,由古典概型公式分

析C,由条件概率公式分析Q,综合可得答案.

【解答】解：根据题意，P(A)=*P(8)=l-z$7=p

依次分析选项：

对于A,PCAB)=笑*=2，事件4、8可以同时发生，A、8不是互斥事件，A错误；

oxoZ

对于从易得P(A)P(BiWP(AB),事件4与事件3不相互独立，3正确；

对于C,PCAB)=1,。错误；

1

22

对于。，P(4|B)=号鬻---

33D正确.

-

4

故选：BD.

【点评】本题考查占典概型的计算，涉及互斥事件、相互独立事件的性质，属于基础题.

(多选)12.(2025春•杭州期末)若P(4B)=P(彳)=I，P(B)=则事件A与8的关系是()

3^OO

A.事件4与8不互斥

B.事件A与B对立

C.事件A与B相互独立

D.事件A与8既互斥又独立

【考点】互斥事件与对立事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性.

【专题】计算题：整体思想；综合法：概率与统计：运算求解•.

【答案】AC

【分析】根据概率即可依次判断.

【解答】解：因为P(45)=g,所以A与8能同时发生，不是互斥事件，故A正确，。错误:

2

所以P

因为PG4)因为P⑻=|,则户(A)+P(8)=J1,所以事件4与8不是互

3*

为对立事件，故3错误；

因为P(/18)=3=P(A)P(8),所以事件A与8相互独立，故C正确.

故选：AC.

【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，属F基础题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025春•浦东新区校级期末)有4个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,从中不放回地随机

取两次，事件A表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件8表示“两次取出的球论数字之和

是偶数，则P(W)=_1_.

【考点】求解条件概率.

【专题】对应思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】

【分析】先求出P(A),P(AB),然后结合条件概率公式即可得解.

【解答】解：由题意P(A)二义x女+义x义=

P(4B)+

故答案为：

【点评】本题考查条件概率公式，属于基础题.

14.(2025春•龙岩期末)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次

44

投篮投中的概率为0.4,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为—/0.352

―125------

【考点】相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】对应思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】—/0.352.

【分析】各次投篮是否投中相互独立，可以看成独立重复试验，利用独立事件概率求法计算得解.

【解答】解：由题各次投篮是否投中相互独立，该同学通过测试分为恰好投中两次或者恰好投中

三次，

所以其概率为第x(0.4)2x0.6+(0.4)3=黑/0.352.

44

故答案为：—/0.352.

«L乙D

【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，结合二项分布求解概率等知识点解题，属于基

础题.

15.(2025春•闵行区校级期末)某中学高一、高二、高三的学生人数比例为4：3：3,假设该中学

高一、高二、高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为0.5,0.7,0.9,若从该中学三个年级的

学生中随机选取I名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率0.68.

【考点】全概率公式.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】0.68.

【分析】根据全概率公式计算即可.

【解答】解：因为该中学高一、高二、高三的学生人数比例为4：3：3,

所以选取选手来自高一、高二、高三的概率分别为0.4,().3,0.3,

若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，

则这名学生阅读完《红楼梦》的概率为0.4X0.5+0.3X0.7+0.3X0.9=0.68.

故答案为:0.68.

【点评】本题考查全概率公式，属于基础题.

16.(2025•浦东新区校级模拟)某测试由8道四选一的单选题组成.学生小胡有把握答对其中4道

题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会.若小胡答对每道有思路的题

的概率为"答对每道不会的题的概率为士则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率

24

为—16—•

【考点】全概率公式.

【专题】计算题；方程思想：转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】见试题解答内容

【分析】设小胡从这8题中任选1题，且作对为事件A,选到能完整做对的4道题为事件选到

有思路的2道题为事件C,选到完全没有思路为事件D,利用全概率公式进行求解即可.

【解答】解；根据题意，设事件A=”小胡从这8题中任选1题，且能答对”，

B="选到能完整做对的4道题”，C=“选到有思路的2道题”，D="选到完全没有思路”，

则P(B)=\=\P(C)=|T，P(D)=於%

=玫*0=4，P(*D)=；,

1111111

则P(A)=P(4)P(八⑻+P(C)P(A\C)+P(O)P(川D)=1x1+广1+广本二苛.

故答案为：

16

【点评】本题考查全概率公式，涉及条件概率的计算，属于基础题.

四.解答题(共4小题)

17.(2025春•松江区校级月考)在探索数智技术赋能学科学习的过程中，某中学鼓励学生使用某听

说平台进行英语口语自主练习.该中学有初中生1200人，高中生800人.为了解全校学生近一个

月内使用此听说平台进行英语口语自主练习的次数，从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷

调查，将他们的使用次数按照[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50],五个区间

进行分组，所得样本数据如下表：

使用次数分组区间[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50]

初中生43848246

高中生31938173

(1)从上面参与问卷调行且使用此听说平台进行英语口语自主练习次数不足10次的学生中随机

抽取3人，记X为这3人中高中生的人数，求X的分布和数学期望；

(2)若将自主练习次数不少于20次称为积极，试完成下2义2列联表，并根据a=0.05判断“学

2

段”与“自主练习的积极性”是否有关.附：*2-…居笨P(X223.84I)=0.05

Iv€-।U}IVIvvJICvILJ(L/i14J

练习不积极练习积极合计

初中生

高中生

合计

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望)；独立性检验.

【专题】对应思想；分析法；概率与统计；运算求解.

9

-

【答案】(1)分布列见解析；E(X)7

(2)列联表见解析；无关.

【分析】(I)根据古典型概率公式求出对应的概率，列出分布列，结合数学期望的公式进行求解

即可;

（2）由题意完成表格，由卡方的计算判断可得.

【解答】解：（1）由题意可知，样本空间中，初中生有4人，高中生有3人.

故X的所有取值范围为0,1,2,3,

P（x=o）=3=SP（X=1）=警=弟

P（X=2）=誓=||,p（x=3）=警=9

得到X的分布列如下所示：

X0123

P_4_18121

35353535

将数据代入期望公式可得X的数学期望E（X）=^xo+芸xl+||x2+19

35X3=7;

（2）补全联表如下：

练习不积极练习积极合计

初中生4278120

高中生225880

合计64136200

零假设为Ho：“学段”与“自主练习的积极性”无关,

22

易版2=（Q+b）（幽）7愿）（b+d）=2喂黑膝胃歌=1.241<3.481,因此零假设成立，

所以根据a=0.05判断“学段”与“自主练习的枳极性”无关.

【点评】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望以及独立性检验，属于中档题.

18.（2025春•丹阳市期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动有甲、乙各

猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为；，乙每轮猜对的概率为三.在每轮活动中，甲和乙猜对与

否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动.

（1）求小队猜对3个谜题的概率；

（2）求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率.

【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；方程思想：转化思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】（1）7：

6

【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解(1〉(2).

【解答】解(1)根据题意，小队猜对3个谜题共有2种情况：

①甲队猜对2个，乙队猜对1个：②甲队猜对1个，乙队猜对2个，

故要求概率P=^x^x^x(l—^)x2+2x^x(l-^)x^x^=^.

(2)根据题意，甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有：

①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个；

故要求概率P=2x1X(1-1)x(1-1)2+|x1x2X|x(1-1)+1X1X(1-1)2=

【点评】本题考查互斥事件的概率计算，涉及相互独立事件的概率计算，属于基础题.

19.(2025春•南开区期末)八，B,C三所学校分别有6%,5%,4%的学生有“强基计划”报名资

格，这三个学校的人数比为3：4：3,现从这三个地区中任选一人.

(I)求这个人有“强基计划”报名资格的概率；

(H)如果此人有“播基计划”报名资格.求此人选自A学校的概率.

【考点】概率的应用；相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】(1)0.05；