2026中考数学考点复习：实数（学生版+详解版）

考点01.实数(精讲)

【命题趋势】

实数在中考数学中较为简单，每年考查3题左右，分值为8~12分，实数的分类及相关概念主要以选择

题或填空题形式考查，比较简单：科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种

形式，有时带“亿”“万”“丁万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题

形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三

函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性

质的运用、实数运算法则和顺序等。

【知识清单】

1：实数的分类

(1)正负数的概念：大于0的数叫做正数，正数前面加上符号的数叫百数负数前面的负号”「不

能省略。上既不是正数，也不是负数。正负数的意义：表示具有相反意义的量。

(2)整数和分数统称为有理数,无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称为包批。

(3)实数的分类：1)按定义分类:2)按性质分类。

2：实数的相关概念(☆☆☆)

(1)数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数一—对应。

(2)相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若〃、力互为相反数，则"/尸0。

(3)绝对值：在数轴上表示数〃的点到原点的距离叫做4的绝对值,记为同。

(4)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若。、〃互为倒数，则出下10

(5)算术平方根：若一个正数刀的平方等于〃，即那么这个正数x叫做。的算术平方根。

记为G，。叫做被开方数。

(6)平方根：若一个数的平方等于小那么这个数就叫做〃的平方根，即《=小那么工叫做〃的平方根。

(7)立方根：如果一个数的立方等于4,即那么X叫做。的立方根(或三次方根)。

3：实数的大小比较(☆☆)

(1)数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

（2）作差比较法：若a,b是任意两个实数，则：（l）a-b>O^a>b；（^）a-b=O<^a=b；③a<b。

（3）平方比较法：①对任意正实数小b,若〃2>〃20a>b；②对任意负实数。，b,若平Oa<b。

（4）倒数比较法：若">0,则a<b“

ab

（5）作商比较法：I）正实数a,〃，巴>10a>b,-<\^>g>b：2）负实数a,〃，3>10。<上，^<\<^a>b.

bbbb

4：实数的运算（☆☆☆）

（1）乘方：〃个相同的因数。相乘记作/,其中a为底数，一为指数，乘方的结果叫做星.

（2）运算顺序：1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减：有括号的先算括号里面的。2）

有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘

法结合律、乘法分配律。

5:科学记数法（☆☆）

（1）科学记数法：科学记数法的表示形式为ax10”的形式,其中以“IV10,〃为整数。

当原数绝对值大于10时，写成axio〃的形式，其中号同<10,〃等于原数的整数位数减1。

（2）近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到

哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（3）有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效

数字。

注意：清单中的☆号表示该考点在各地中考的考查频率。

【易错点归纳】

1、带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数。（如："就是有理数）。

2、对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。

3、含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取

近似值。

4、用科学记数法表示的近似数的有效数字时•，只看乘号前面的数字。（如：4.0x104的有效数字是4,0）。

5、有时候题F1会故意没有把右去根号，这时候就要注意千万不要把《的平方根当作。的平方根，要先把

右的算出（去根号），再求平方根。（如：4的平方根是拉，而不是2）。

【核心考点】

核心考点1.实数的分类与正负数

例1:（2025•江苏盐城•统考中考真题）下列数中，属于负数的是（）

A.2025B.-2023C.—D.0

2023

变式1.（2025•湖北荆州•统考中考真题）在实数T,G，千，3.14中，无理数是（）

A.-1B.GC.D.3.14

变式2.（2025•江西•统考中考真题）下列各数中，无擎数是（）

A.3B.2.1C.0D.-2

例2：（2025・成都市•中考一模）何小虎是航天科技六院西安航天发动机有限公司的数控车工、高级技师，他

的绝活是在亦精密环境中实现产品精密加工.在长二乙火筋发动机喷注器架的生产中，需要加工几项基本

尺寸为3.5〃〃〃的深小轴（3.5±0。08）〃〃〃范围内的尺寸均为合格品，则下列深小轴的尺寸中合格的是（）

A.3.592〃加？B.3.429〃w?C.3.501"〃〃D.3.4""〃

变式1.（2025•浙江•中考二模）如图所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种.古人

变式2.（2025・湖南永州•统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得

失相反，要令正负以名之"、如：粮库把运进30吨粮食记为“+30〃，则“-30”表示（）

A.运出30吨粮食B.亏损30吨粮食C.卖掉30吨粮食D.吃掉30吨粮食

核心考点2.实数的相关概念

例1：（2024・湖北•校考模拟预测）下列说法正确的个数是（）

①一2024的相反数是2024；②一2024的绝对值是2024：③二工的倒数是2024.

20/4

A.3B.2C.1D.0

核心考点3.实数的大小比较

例6.（2025・浙江衢州•统考中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单

位：dBm）,则下列信号最强的是（）

A.-50B.-60C.-70D.-80

变式1.（2025・江苏•统考中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（）

A.-2023B.0C.-------D.2023

2023

变式2.（2025•安徽宿州♦统考模抵预测）下列四个数中，绝对值最大的数是（）

A.2B.--C.-4D.0

3

变式3.（2025・四川资阳市•中考真题）若〃="，b=6C=2,则。，b,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

例7：（2025•江苏徐州•统考中考真题）同方的值介于（）

A.25与30之间B.30与35之间C.35与40之间D.40与45之间

变式1.（2025•江苏南通•统考中考真题）如图，数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,

5,则表示数所的点应在（）

ABCDE

।।।।।।»

012345

A.线段A8上B.线段8。上C.线段CQ上D.线段OE上

变式2.（2025・湖北武汉・统考中考真题）写出一个小于4的正无理数是

核心考点4.实数的运算

例8：（2025•湖南湘西•统考中考真题）计算：（兀+2023）°+2疝45。-9）+|72-2

变式1.（2025•山东・统考中考真题）计算：|6-2|+2$足60。-2023°=

变式（•北京♦统考中考真题）计算：

2.20254sin60°+^+|-2|-V12.

例9：（2025•山东烟台•中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则是：从一副扑克牌（去掉"大王”"小

王”）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于

24.小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式.

变式1.（2025•浙江•一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字

路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量南北走向直行与左转车辆分别约占

,•,45

总流量上4.因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、

••,105

左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期

时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（）

A.12秒B.16秒C.18秒D.24秒

例10:（2025年山东省河泽市中考数学真题）“4。的三边长4,九6?满足（4-〃）2+/7丁三+|6-3&|=0,

则丛8。是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰直角三角形

变式1.（2025•湖北荆州•统考中考真题）若k-1|+（狂3尸=0,则、G=

例11:（2025年湖南省娄底市中考数学真题）从〃个不同元素中取出，〃（"旧〃）个元素的所有组合的个数,

叫做从〃个不同元素中取出，〃个元素的组合数，用符号C；表示，C：=」~~八（<\-------^n>m,

〃、机为正整数）；例如：优=职，C=答匕，则c；+c；=（）

2x13x2x1

A.C；B.品C.%D.C；°

变式1.（2025•山东枣庄•统考一模）定义运算：若/=〃，则1%”加3>0）,例如23=8,则1吗8=3.运

用以上定义,计算：log512570g,81=（）

A.-IB.2C.1D.4

变式2.（2025・福建•中考模拟）一般地，如果父=。（。之0）,则称X为。的四次方根，一个正数〃的四次

方根有两个.它们互为相反数，记为士右，若爪7=10,则桁二.

核心考点5.科学记数法与近似数

例12：（2025・广东深圳•校考模拟预测）2025年1月，国家电影局统计数据显示截至1月31E18：00,今

年中国电影总票房已超100亿元人民币，创历年来1月票房最高纪录，将“100亿”用科学记数法表示为（）

A.1x10"B.0.1x10'C.1x10,°D.10x10°

变式1.（2025•海南•统考中考真题）共享开放机遇，共创美好生活.2025年4月10FI至15E,第三届中

国品博览会在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台〃为目标，进场观众超32万人次，数

据32（XXX）用科学记数法表示为（）

A.3.2xl（）4B.3.2x10$C.3.2xl（）6D.32xl（）4

变式2.（2025•湖北襄阳•统考中考真题）5月5口，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市

41家A级景区全部开放，共接待游客约，70000人次.数据，7000。用科学记数法表示为一.

例13：（2025•山东潍坊•统考一模）下列关于近似数的说法中正确的是（）

A.近似数2020精确到百位B.近似数5.78万精确到百分位

C.近似数3.51X105精确到千位D.近似数5.1890精确到千分位

变式1.（2025•湖南长沙•统考二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一,

位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元.其中数据53.278亿元精确到哪位？（）

A.万位B.十万位C.百万位D.亿位

变式2.（2025•湖南衡阳•校考模拟项测）截止6月10日，上海世博会累计入园人数已达1231.54万.将1231.54

万人用科学记数法（四舍五入保存3个有效数字）表示约为（）

A.12.3xl06AB.1.23x11）7人c.1.23xl06AD.0.123x10*人

考点01.实数(精讲)

【命题趋势】

实数在中考数学中较为简单，每年考查3题左右，分值为8~12分，实数的分类及相关概念主要以选择

题或填空题形式考查，比较简单：科学记数法、近似数多以选择题或填空题形式考查，有大数和小数两种

形式，有时带“亿”“万”“丁万”等单位，做题时要仔细审题，切忽略单位；实数的大小比较常以选择题

形式出现，常与数轴结合考查；实数的运算考查形式多样，多数以解答题形式出现，结合绝对值、锐角三

函数、二次根式、平方根、立方根等知识考查。对于实数的复习，需要学生熟练掌握实数相关概念及其性

质的运用、实数运算法则和顺序等。

【知识清单】

1：实数的分类

(1)正负数的概念：大于0的数叫做正数，正数前面加上符号的数叫百数负数前面的负号”「不

能省略。上既不是正数，也不是负数。正负数的意义：表示具有相反意义的量。

(2)整数和分数统称为有理数,无限不循环小数叫做无理数,有理数和无理数统称为包批。

(3)实数的分类：1)按定义分类:2)按性质分类。

2：实数的相关概念(☆☆☆)

(1)数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。数轴上所有的点与全体实数一—对应。

(2)相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数。若〃、力互为相反数，则"/尸0。

(3)绝对值：在数轴上表示数〃的点到原点的距离叫做4的绝对值,记为同。

(4)倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数。若。、〃互为倒数，则出下10

(5)算术平方根：若一个正数刀的平方等于〃，即那么这个正数x叫做。的算术平方根。

记为G，。叫做被开方数。

(6)平方根：若一个数的平方等于小那么这个数就叫做〃的平方根，即《=小那么工叫做〃的平方根。

(7)立方根：如果一个数的立方等于4,即那么X叫做。的立方根(或三次方根)。

3：实数的大小比较(☆☆)

(1)数轴比较法：将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

（2）作差比较法：若a,b是任意两个实数，则：（l）a-b>O^a>b；（^）a-b=O<^a=b；③a<b。

（3）平方比较法：①对任意正实数小b,若〃2>〃20a>b；②对任意负实数。，b,若平Oa<b。

（4）倒数比较法：若">0,则a<b“

ab

（5）作商比较法：I）正实数a,〃，巴>10a>b,-<\^>g>b：2）负实数a,〃，3>10。<上，^<\<^a>b.

bbbb

4：实数的运算（☆☆☆）

（1）乘方：〃个相同的因数。相乘记作/,其中a为底数，一为指数，乘方的结果叫做星.

（2）运算顺序：1）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减：有括号的先算括号里面的。2）

有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律、加法交换律、乘法交换律、乘

法结合律、乘法分配律。

5:科学记数法（☆☆）

（1）科学记数法：科学记数法的表示形式为ax10”的形式,其中以“IV10,〃为整数。

当原数绝对值大于10时，写成axio〃的形式，其中号同<10,〃等于原数的整数位数减1。

（2）近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五入到

哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

（3）有效数字：一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效

数字。

注意：清单中的☆号表示该考点在各地中考的考查频率。

【易错点归纳】

1、带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数。（如："就是有理数）。

2、对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0。

3、含有万、亿等单位的数，用科学记数法表示时，要先还原成原数，再用科学记数法表示，最后按要求取

近似值。

4、用科学记数法表示的近似数的有效数字时•，只看乘号前面的数字。（如：4.0x104的有效数字是4,0）。

5、有时候题F1会故意没有把右去根号，这时候就要注意千万不要把《的平方根当作。的平方根，要先把

右的算出（去根号），再求平方根。（如：4的平方根是拉，而不是2）。

【核心考点】

核心考点1.实数的分类与正负数

例1:（2025•江苏盐城•统考中考真题）下列数中，属于负数的是（）

A.2025B.-2023C.—D.0

2023

【答案】B

【分析】根据小于0的数即为负数解答可得.

【详解】-2023是负数，2023和』是正数，。既不是正数也不是负数故选：B.

2023

【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键.

变式1.（2025・湖北荆州•统考中考真题）在实数-I,6g314中，无理数是（）

A.-1B.73C.；D.3.14

【答案】B

【分析】根据无理数的特征，即可解答.

【详解】解：在实数-1,任,3，314中，无理数是G，故选：B.

【点睛】本题考查了无理数的特征，即为无限不循环小数，熟知该概念是解题的关键.

变式2.（2025・江西•统考中考真题）下列各数中，.擎算是（）

A.3B.2.1C.0D.-2

【答案】A

【分析】根据有理数的分类即可求解.

【详解】解：3是正整数，2.1是小数，不是整数，0不是正数，-2不是正数，故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键.

例2：（2025.成都市.中考一模）何小虎是航天科技六院西安航天发动机有限公司的数控车工、高级技师，他

的绝活是在非精密环境中实现产品精密加工.在长三乙火箭发动机喷注器架的生产中，需要加工几项基本

尺寸为3.5"〃〃的深小轴（3.5±0.008）〃〃〃范围内的尺寸均为合格品，则下列深小轴的尺寸中合格的是（）

A.3.592〃?mB.3.429〃w?C.3.501/wnD.3.4〃"〃

【答案】C

【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件求得合格品的范围是解题的关键.

根据正数和负数的实际意义求得合格品的范围，然后进行判断即可.

【详解】解：由题意可得合格品的范围是3.492〃3.508〃"〃，

则A,B,D均不符合题意，故选：C.

变式1.（2025・浙江・中考二模）如图所示，算筹是我国占代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种.古人

【答案】D

【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系.根据题干描

述的算筹计数法计数即可.

【详解】根据算筹计数法，||丁、表示的数是：-262.故选；D.

变式2.（2025・湖南永州•统考中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得

失相反，要令正负以名之"、如：粮库把运进30吨粮食记为“+30",则"-反"表示（）

A.运出30吨粮食B.亏损30吨粮食C.卖掉30吨粮食D.吃掉30吨粮食

【答案】A

【分析】根据题意明确"正"和"负”所表示的意义，再根据题意即可求解•.

【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“+30”,则"-30〃表示运出30吨粮食.故选:A

【点睛】本题考杳了正负数的意义，理解"正"和"负"分别表示相反意义的量是解题关键.

核心考点2.实数的相关概念

例1：（2024•湖北•校考模拟预测）下列说法正确的个数是（）

①一2024的相反数是2024；②—2024的绝对值是2024；③不二的倒数是2024.

20/4

A.3B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义逐个判断即可.

【详解】①一2024的相反数是2024,故此说法正确；②—2024的绝对值是2024,故此说法正确：③另9

4UN-

的倒数是2024,故此说法正确；正确的个数共3个；故选:A.

【点睛】本题考查相反数、绝对值、倒数的含义，只有符号相反的两个数叫做互为相反数，数轴上一个数

所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，分子分母互换位置相乘等于1的两个数互为倒数，熟知定义

是解题的关键.

变式1.（2025・海南•统考中考真题）如图，数轴上点人表示的数的相反数是（）

A

-4-3-2-101234

A.1B.0C.-ID.-2

【答案】A

【分析】根据数轴可知点A表示的数是-1,再根据相反数的定义，即可得到答案.

【详解】解：由数轴可知，点4表示的数是-1,-1的相反数是1,故选：A.

【点睛】本题考查了数轴，相反数，掌握相反数的定义是解题关键.

变式2.（2025•山东・统考中考真题）面积为9的正方形，其边长等于（）

A.9的平方根B.9的算术平方根C.9的立方根D.5的算术平方根

【答案】B

【分析】根据算术平方根的定义解答即可.

【详解】解：团面枳等于边长的平方，田面积为9的正方形，其边长等于9的算术平方根.故选B.

【点睛】本题考查了算术平方根的意义，一般地，如果一个正数x的平方等于。，即/="，那么这个正数

工叫做。的算术平方根.

变式3.（2025年江苏中考一模）J比的平方根是.

【答案】±2

【详解】解：团屈=4回而的平方根是±2.故答案为±2.

例4：（2025•陕西西安•校考模拟预测）有理数〃、氏c在数轴上的位置如图所示，则向-3,+同+2卜-a|+4性+c|

可化简为-

—t-i------------3―►

【答案】—b—2cia

【分析】根据数轴上的点的位置，确定式子的符号，再进行绝对值的化简即可.

【详解】解：从图中“『以看出，b<a<0,c>0,\t\>\a\>\c\,自。+力<0,。一。>0,6+。<0,

团|a-3|6Z+Z?|+2|c-«|+4|Z?4-cj=-a+3a+3b+2c-2a-4b-4c=-b-2c.故答案为：-b-2c.

【点睛】本题考查化简绝对值，整式的加减运算.解题关键是根据数轴上的点的位置，确定式子的符号.

变式1.(2025•山东青岛•校考一模)设a,byc为有理数，则由(+"+匕+半构成的各种数值是_____.

|〃|\b\|c|\abc\

【答案】±4,0

【分析】此题要分类讨论m乩c与。的关系，然后根据绝对值的性质进行求解；

【详解】解：函,4c为有理数，

①若。>U,0>U,c>0,团六+磊+六+?^4=1+1+1+1=4；

\a\\b\\c\\abc\

②若小b,c中有两个负数，则曲c>0,用三+与+三+陪=(1-2)+1=。，

|a|\b\|c|\abc\

③若a,b,c中有一个负数，则向c<0,团占+[]+六+g^j=(2-l)+(-1)=。，

\a\\b\|c|\abc\

④若a,b,c中有三个负数，则glr—T++]+^C：=(-3)+(-l)=-4,故答案为：±4,0.

\a\|Z?||c|\abc\

【点睛】此题主要考查绝对值的性质，解题的关键是如何根据已知条件，去掉绝对值，还考查了分类讨论

的思想，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，。的绝对值是0.

变式2.(2025•河北沧州•统考模拟预测)若三条边长为，，c化简：\a-b-(]-\a+c-^.

【答案】2b-2a

【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得到cvO，c+dO,

再根据绝对值性质化简即可求解.

【详解】解：根据三角形的三边关系得：a-h-c<0.c+a-h>0.

\a-b-c]-\a+c-b\=-(a-b-c)-(a+c-b)=-a+b+c-a-c-i-b=2b-2a.故答案为：2b-2a.

【点睛】本题考查了绝对值的化简和三角形三条边的关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任

意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它

的相反数，是解答本题的关键.

例5：(2025•贵州黔东南•中考真题)在解决数学实际问题时，常常用到数形结合思想，比如：,+1|的几何

意义是数轴上表示数x的点与表示数T的点的距离，,-2|的几诃意义是数轴上表示数x的点与表示数2的

点的距离.当|工+1|+卜-2|取得最小值时，x的取值范围是()

A.x<-\B.x<-\^x>2C.-l<x<2D.x>2

【答案】B

【分析】由题意画出数轴，然后根据数轴上的两点距离可进行求解.

【详解】解：如图，由卜+1|+|X-2|=卜-（-1）|+W-2|可得：点A、B、尸分别表示数-1、2、x,AB=3.

APB

111I11.111II.

-5-4-3-2-10x12345

•••Ix+11+1x—21的几何意义是线段PA与PB的长度之和，

••・当点?在线段A6上时，PA+PB=3,当点尸在点A的左侧或点S的右侧时，PA+PB>3.

.•.|x+l|+|x-2|取得最小值时，x的取值范围是-1«工42；故选B.

【点睛】本题主要考查数轴上的两点距离，解题的关键是利用数形结合思想进行求解.

变式1.（2025・江苏•九年级校考期中）点A、3在数轴上分别表示有理数〃、b,则在数轴上A、B两点之

间的距离为利用数轴上两点间距离，可以得到卜+1卜|戈-3|的最大值是.

【答案】4

【分析】分x4T、-l<x<3、三种情况进行讨论求解，分别确定最大值即可得出结论.

【详解】解：根据题意，卜+1|-卜一3|表示工到1和3的距离之差，乂-1和3的距离为|一1-3|=4,则

当时，|x+l|-|x-3|=-x-l+x-3=-4；

当_]vx<3时，|x+l|-|x-3|=x+l+x-3=2x-2,则-4<卜+1|-卜_31V4,此时卜+1卜卜一3|无最大值；

当工23时，|x+l|-|x-3|=x+l-x+3=4,

综上，上+1|-卜-3|的最大值为4,故答案为：4.

【点睛】本题考查数轴和绝对值的意义，理解题意，利用分类诃论思想求解是解答的关键.

变式2.（2025秋•广东梅州•九年级期中）已知x是正实数，则|x—1|+|2x—1|+|3x—11+14%一1|十|5x-11

的最小值是（）

75

A.2B.-C.-D.0

43

【答案】B

【分析】将式子转化为按x值大小排序排列，观察发现，取元最中间的值就是式子的最小值，即可求出答案.

【详解】解：Ix-ll+I2x-l|+|3x-l|+|4x-l|+|5x-l|

=|x-l|+2|X--I+3|x--\+4|x-I+5|x--|

2345

当工一,=0时，有最小值.二.Ix-l|+2|x--\+3|x--\+4|x--|+5|x--\

42345

1117

l_l_ll-ll-i51-故选：B.

41+242+343+444+4544444

【点睛】本题考查了绝对值的化简计算，解题的关键在于明确绝对值的化简法和明确式子中要求取得最小

值的意思.

核心考点3.实数的大小比较

例6.（202S.浙江衢州•统考中考真题）手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单

位：dBm）,则下列信号最强的是（）

A.-50B.-60C.-70D.-80

【答案】A

【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答.

【详解】解：•.・[-50|<|-60|<|-70|<卜80],则信号最强的是-50,故选：A.

【点睛】本题考查有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键.

变式1.（2025•江苏•统考中考真题）下列实数中，其相反数比本身大的是（）

A.-2023B.0C.D.2023

2023

【答案】A

【分析】根据相反数的定义，逐项求出相反数，进行比较即可.

【详附】解：A.-2023的相反数是一（—2023）=2023,贝ij2023>-2023,故该选项符合题意；

B.0的相反数是-（0）=0,则0=0,故该选项不符合题意；

c.焉的相反数是一焉’则一焉‘焉’故该选项不符合题意；

B.2023的相反数是-2023,则-2023<2023,故该选项不符合题意；故选：A.

【点睛】本题考查了相反数，比较有理数的大小，解题的关键是先求出相反数，再进行比较.

变式2.（2025•安徽宿州•统考模抵班测）下列四个数中，绝对值最大的数是（）

A.2B.--C.-4D.0

3

【答案】C

【分析】根据绝对值的性质分别计算比较即可.

【详解】解：.■.绝对值最大的数是Y.故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值的性质，绝对值表示在数轴上代表一个数的点到原点的距离.

变式3.（2025•四川资阳市•中考真题）若b=5C=2,则。，b,c的大小关系为（）

A.b<c<aB.b<a<cc.a<c<bD.a<b<c

【答案】c

【分析】根据无理数的估算进行大小比较.

【详解】解：・・・近<泥，又•・♦我=2，4=2・・・a<c<〃故选：C.

【点睛】本题考查求•个数的算术平方根，求一个数的立方根及无理数的估算，理解相关概念是解题关键.

例7：（2025•江苏徐州・统考中考真题）同方的值介于（）

A.25与30之间B.30与35之间C.35与40之间D.40与45之间

【答案】D

【分析】直接利用二次根式的性质得出而忘的取值范围进而得出答案.

【详解】1600<2023<2025.0<>/2^<720258P40<72023<45，

同5/i5元的值介于40与45之间.故选D.

【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估算无理数的取值范围是解题关键.

变式1.（2025•江苏南通•统考中考真题）如图，数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,

5,则表示数加的点应在（）

ABCDE

।।।।।।»

012345

A.线段人8上B.线段上C.线段CO上D.线段。E上

【答案】C

【分析】根据百<加<J正判断即可.

【详解】•••囱<而<痛，.•.3<而<4,

由于数轴上A,B,C,E五个点分别表示数1,2,3,4,5,••・质的点应在线段。上，故选：C.

【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关犍.

变式2.（2025・湖北武汉•统考中考真题）写出一个小于4的正无理数是.

【答案】41（答案不唯一）

【分析】根据无理数估算的方法求解即可.

【详解】解：⑦必历,团&<4.故答案为：&（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查了无理数的估算，准确计算是解题的关键.

核心考点4.实数的运算

例8：（2025•湖南湘西•统考中考真题）计算：（7r+2023）"+2sin45O—'g）+\42-2

【答案】1

【分析】先计算零次塞，特殊角的正弦值，负指数塞，求解绝对值，再合并即可.

【详解】解：(7i+2023)°+2sin45°-g)+|&-2

=1+2x—2+2—>/2

2

=1+72-2+2-72

【点睛】本题考查实数的运算，实数的相关运算法则是基础也是重要知识点，必须熟练掌握，同时考查了

特殊角的三角函数值，零次幕的含义，熟练掌握零次幕，特殊角的正弦值以及负指数幕的运算法则是解题

的关键.

变式1.（2025・山东•统考中考真题）计算：|6-2|+25皿60。-20230=.

【答案】1

【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数鼎，再进行加减计算即可.

【详解】解：|有一2+2sin6（r-2023°=2—G+2x立一1=1故答案为：1.

12

【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数基的运算是解题的关键.

变式2.（2025・北京•统考中考真题）计算：4sin60°+^+卜2卜店.

【答案】5

【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数累，绝对•值和二次根式的性质化简，然后计算即可.

【详解】解：原式=4x且+3+2-26

2

=26+3+2-2后

-5

【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数暴，绝对值和二次根

式的性质是解题的关键.

例9：（2025•山东烟台•中考真题）小明和同学们玩扑克牌游戏.游戏规则是：从一副扑克牌（去掉"大王""小

王〃）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌上的数字只能用一次），使得运算结果等于

24.小明抽到的牌如图所示，请帮小明列出一个结果等于24的算式.

【答案】（5-3+2）x6（答案不唯一）

【分析】根据有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则，进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：（5-3+2）x6=24,故答案为：（5-3+2）x6（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方运算法则是解题的关键.

变式1.（2025•浙江一模）十字路口红绿灯时长设置是根据路口的实际车流状况来分配的，据统计，某十字

路口每天的车流量中，东西走向直行与左转车辆分别约占总流量南北走向直行与左转车辆分别约占

,••45

总流量.因右转车辆不受红绿灯限制，所以在设置红绿灯时，按东西走向直行、左转，南北走向直行、

左转的次序依次亮起绿灯作为一个周期时间（当某方向绿灯亮起时，其他3个方向全为红灯），若一个周期

时间为2分钟，则应设置南北走向直行绿灯时长较为合理的是（）

A.12秒B.16秒C.18秒D.24秒

【答案】B

【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是重新计算比例，而非直接用木.先重新计算南北走向直

行流量占比，再用120乘以占比可得一个周期时间为2分钟南北走向直行绿灯时长.

【详解】解：•・•右转车辆不受红绿灯限制,

1

•••南北走向直行占题四种走向流量的比例为：।

o

・•・一个周期时间为2分钟，设置南北走向直行绿灯时长为120x^=16（s）,故选：B.

1J

例10：（2025年山东省前泽市中考数学真题）AABC的三边长小从。满足（4-6）2+757京5+|c-3应1=（）,

则小8。是（）

A.等腰三角形B.直角三侑形C.锐角三角形D,等腰直角三角形

【答案】D

【分析】由等式可分别得到关于。、b、c的等式，从而分别计算得到〃、rc的值，再由的关系,

可推导得到"IBC为直角三角形.

【详解】解E)(a-」)2+j2a-〃-3+|c-3>/i|=0

(«-/?)2>0

(a-Z?)'=0a-b=0。=3

又区〈,2〃—/?—3>0团.yj2a-b-3=0,中2々-〃-3=0解得《b=3

卜-3码=0c—3叵=0c=3\[2

01+从=。2,且〃=。，回”18。为等腰直角三角形，故选：D.

【点睛】本题考杳了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0,每一个非负

数均为0,和勾股定理逆定理.

变式1.（2025•湖北荆州•统考中考真题）若|a-1|+（%-3尸=0,则而石=.

【答案】2

【分析】根据绝对值的非负性，平方的非负性求得。的值进而求得。+力的算术平方根即可求解.

【详解】解：回。-1|+9-3)2=0,回〃-1=0力-3=0,解得：a=l,b=3,

I?1\[ct+~b=V1+3=2»故答案为：2.

【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，熟练掌握绝对值的非负性，平方的非负性求得。力的值是解题

的关键.

例11：（2025年湖南省娄底市中考数学真题）从〃个不同元素中取出〃?（机工〃）个元素的所有组合的个数，

叫做从〃个不同元素中取出机个元素的组合数，用符号C：表示，C；；=△-八（*\---------L（n>m,

皿〃—1）…1

〃、机为正整数）；例如：以=娑，。；=受半，则C；+C；=（）

2x13x2x1

A.C：B.C：。C.Cl0D.Co

【答案】c

【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解.

【详解】解：〃（〃一1）（〃一2）…（〃—一〃?+l2）

史史03+”出8=126+126=252,

'4x3x2xl5x4x3x2xl

a3Gk9x8x7x6x5x4,10x9x8x7…

Am项'C=MZE=8O14,B选项,%=而五斤=2%

C选项，%=臀箸牛=252,D选项，循=翳箸篝=210,故选C.

5x4x3x2xl6x5x4x3x2x1

【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值.正确理解新定义是解题的关键.

变式1.（2025•山东枣庄•统考一模）定义运算:若"”=〃，则1%〃=切（