第4章 相似三角形（单元测试·基础卷）-2023-2024学年九年级数学上册

第4章相似三角形(单元测试•基础卷)

【要点回顾】

【知识点1】比例线段定义：

【知识点2】比例线段的性质

【知识点3】平行线分线段成比例定理

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示,

【知识点4】平行线分线段成比例推论

推论：平行于三角形一边的宜线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

【知识点5】分割

।_________।______।

ACB

【知识点6】相似多边形的性质

(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

(2)相似多边形的周长的比等于相似比，面枳的比等于相似比的平方.

【知识点7】相似多边形的判定

(I)两角对应相等的两个三角形相似.

(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.

(3)三边对应成比例的两个三角形相似.

(4)满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.

【知识点8】相似三角形的性质

(1)对应角相等，对应边成比例.

(2)周K之比等丁相似比，面积之比等丁相似比的平方.

(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.

【知识点9】相似三角形的应用

测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜子.

【知识点10］相似三角形的常见模型

仝i“

射能定S1援刑

一成二吉一线三等角

^BAE=^DCE=^BED=90°

【知识点11】位似图形的定义性质与画法

1.定义如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同•个点，那么这样的两个

图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.

2.位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.

3.位似图形的画法：

（1）确定位似中心；

（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；

（3）描出新图形.

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

A.2B.3C.6D.27

2.（2U19秋・广东佛山•九年级西樵中学校考阶段练习）如图，有三个矩形，其中是相似矩形的是（）

A.甲与乙B.卬与丙C.乙与丙D.以上都不对

A.一定相似B.一定不相似

C.不一定相似D.无法判定是否相似

c

255

C.D.

T7

12

D.2

c.T

32

c.D.

55

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

DEB

23.（10分）（2022春・全国•九年级专题练习）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型:

②当点尸为8c中点时，求CD的长；

24.（12分）（2023春•湖北•九年级专题练习）感知:如图①,在四边形ABCD中,AB//CD,05=90°,

点P在BC边上，当财产。=90。时，bABP与"CD是否相似？_（填"是"或"否"）.

探究：如图②，在四边形ABCD中，点P在BC边上,当鼬蛾。=西PQ时，求证：“BmiPCD.

拓展：如图③，在A/WC中，点P是边BC的中点，点D,E分别在边AB.AC上.若贴=回。=跑"345。,

图①图②图③

参考答案

1.B

解：己知a,b,c,d是成比洌线段，

故选：B.

2.B

【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可.

3

解；矩形甲长与宽比为

回所以甲和丙的长与宽的比相等，故这两个矩形相似，

故选:B.

【点拨】本题考查了相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等，对应边成比例的多边形是相

似多边形这一-知识点.

3.A

【分析】求出三组对应边的比，观察是否相等即可作出判断.

故选:A.

【点拨】本题考查相似三角形的判定条件，熟练掌握对应边长度成比例的三角形相似是本题的解题关

键.

4.A

【分析】三角形相似的判定方法:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相

似;两角对应相等的两个三角形相似;根据三角形相似的判定方法容易得出结论.

若0ADEWB,又•••0AM3A,

.1.0ADE-0ABC,正确；

所以选A.

【点拨】本题考查相似三角形的判定方法;熟练掌握三角形相似的判定方法是解决问题的关键.

5.C

故选：C.

【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质以及相似三角形面积

比与相似比之间的关系是解题的关键.

6.C

【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.

故选:c.

【点拨】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心,

相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于4或-h

7.B

故选：B.

【点拨】本题考查了三角形相似的性质，掌握“相似三角形对应边成比例”是解题的关键.

8.B

故选：B.

【点拨】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，正确理解和掌握平行线

分线段成比例定理、相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

9.B

【分析】利用相似二角形的性质解决问题即可.

故选13B.

【点拨】本题考查作图基本作图，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

10.B

ROE的长最小时，EG的长最小,

故选：B.

11.4:5

【分析】根据相似三角形的性质求解即可.

故答案为：4:5.

【点拨】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似

比的平方是解题的关键.

13.8

【分析】根据平行线分线段成比例求出AC，减去AE可得结果.

故答案为：8.

【点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是能根据平行线得出正确的比例式.

【分析】再添加一组角可以利用有两组角对应相等的两个三角形相似来进行判定.

【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的几个判定定理是解题的关键.

12

15.——

5

【分析】根据对应边成比例的两个三角形互为相似三角形可以求解.

解：v@ACB=90°,AC=4,BC=3,

故答案为:1?2

【点拨】本题考杳相似三角形的判定定理,关键是知道对应边成比例两个三角形互为相似三角形.

16.1

故答案为：1

17.5

故答案为：5.

【点拨】此题考查相似三角形的性质的应用，关键是正确利用勾股定理.易错点：如果学生没有发现

相似三角形就无从入手解题了，或相似三角形对应边的比找不对.

18.-

4

解：延长8Q,交石产的延长线于点M,

【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握知

识点，并添加适当的辅助线是解题的关键.

19.（1）见分析；（2）EF=2.

【分析】（1）根据4碗。C,可得团B=（3。，再由AB=2OC,BE=2DF,可得A&DC=BE：DF=2,

即可证得;

解：（1）证明：财施DC,

\SAB=2DC,BE=2DF,

IMB：DC=BE：DF=2,

m\BE^CDFx

（2）解：⑦BE=2DF,DF=2t

[38。=8,

^EF=BD-DF-BE=2.

【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似

是解题的关键.

20.（1）详见分析；（2）16.

【点拨】此题考查的是成比例的线段的证法，掌握平行线分线段成比例定理是解决此题的关键.

21.树高A4约是7m.

【分析】根据镜面反射的性质求出财8瓦水力已再根据其相似比解答.

解得：AB=7m,

答：树高A8约是7m.

【点拨】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解.

（1）解：同意.理由如下：

【点拨】此题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质等知识，掌握其性质定理

是解决此题的关键.

23.感知：（1）嘿；应用：（2）①见分析；②3.6；拓展：（3）2或；

.5

【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解；

（2）①根据等腰三角形的性质得至胆尻团C,根据三角形的外角性质得至幅84PWCPO,即可求证；

②根据相似三角形的性质计算，即可求解；

（3）分附=PQ、AP=AD.D4=。P三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解.

解：感知：（1）mUABC^DAE,

故答案为：发；

DE

应用：（2）①豳4尸。=朋+团朋P,^APC=^APD-^CPD,^APD=^B,

^BAP=^CPD,

^AB=AC,

00B=0C,

(31MBH30PCD：

②BC=12,点P为AC中点，

(38P=PC=6,

^ABP^PCD,

解得：CD=3.6：

拓展：(3)当以=PD时，^ABP^PCD,

回PC=A8=10,

□5P=BCPC=1210=2：

当APS。时，MDP=SAP。，

00APD=0B=0C,

004DP=0C,不合题意，

财P“。；

当04=DP时，0D4P=a4PD=0B,

E@C=@C,

^BCA^ACP,

【点拨】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三

角形