第七章 复数（知识归纳+题型突破）（10题型清单）解析版-2024-2025学年高一数学（人教A版必修第二册）

第七章复数(10题型清单)

01思维导图

02知识速记

知识点1：复数的概念

(1)复数的概念

我们把形如a+bi,a,bGR的数叫做复数，其中，叫做虚数单位,满足尸=_].全体复数所构成的集

合C=｛a+bi\a,bcR｝叫做复数集.

复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi,a,b£火，其中的〃与8分别叫做复数z的实部与

虚部.

(2)复数相等

在复数集。=｛。+4|。乃£火｝中任取两个数。+从’，。+力，(a,b,c,deR),我们规定

[a-c

a+hi=c+di<=><.

b=d

\

知识点2：复数的分类

对于复数。+bi（a,bwR）,当且仅当〃=0时,它是实数；当且仅当〃=A=0时，它是实数0；当人工0时,

它叫做虚数；当。=0且8工。时，它叫做纯虚数.这样，复数

z=Q+6i（dbe火）可以分类如下:

实数（6=0）M教集

勤实教第

纯虚数（。=0）

虚数（力WO）＜

非纯虚数（awO）

知识点3：复数的几何意义

（1）复数的几何意义一一与点对应

复数的几何意义1：复数z=。+折（。力£R）［一一对应，复平面内的点Z（q力）

（2）复数的几何意义一一与向量对应

复数的几何意义2：复数z=a+bi（a、bwR）,一一对应，平面向量应=（。力）

知识点4：复数的模

向量应的模叫做复数z=〃+4・。/ER）的模，记为|z|或|"叫

公式：\z\=\a-¥bi\=yla2+b2»其中。力

复数模的几何意义：复数z=a+b/•在复平面上对应的点Z（〃力）到原点的距离；

特别的，力=0时，复数Z=Q+〃是一个实数，它的模就等于|。|（。的绝对值）.

知识点5：共朝复数

（1）定义

一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共挽复数；虚部不等于。的

两个共规复数也叫共扰虚数.

（2）表示方法

表示方法：复数z的共胡狂数用1表示，即如果z=a+初，则Z=

知识点6：复数代数形式的加法运算及其几何意义

（1）复数的加法法则

设4=Q+bi,Z2=C+di,（。力,。,"£火）是任意两个狂数，那么它们的和：

zx-z2=(〃+/)i)+(c+4i)=(〃+c)+(c+d)i

显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数

（2）复数加法的几何意义

如图，设在复平面内复数马二。+6，z?=c+di对应的向量分别为鬲，OZ2，以鬲,

区为邻边作平行四边形，则应=药+区=（。力）+（G"）=（a+gb+d）,即:

X

2

z=(a+c)+(b+d)i,即对角线OZ表示的向量应就是与复数(〃+c)+S+d)i对应的向量.所以:

复数的加法可以按照向量的加法来进行.

知识点7：复数代数形式的减法运算及其几何意义

(1)复数的减法法则

类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：

(c+di)+(x+yi)=a+bi的复数x+W叫做复数4减去复数c+力的差，记作(a+4)一(c+力)

实邺和或为实邮

I1I

(〃+份)-(C+力)=(4・力(〃-")/

虚邺和成为虚邮

注意：①两个复数的差是一个确定的复数；

②两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.

(2)复数减法的几何意义

组数z2—Z]<------------------向量Z|Z?

知识点8：|Z1-立21(4/2wC)的几何意义

在复平面内，设复数马二＜+〃，z?=c+di(a,b,c,dwA)对应的点分别是ZI(a,b),Z2(c,d),

则|24|="(。一。)2+3々尸.又复数z{-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.则

2

|ZI—z21=^(a-c)+(b—d)',故14Z?|=|z]-z2\,即|-z2|表示复数z,,z2在复平面内对应的点之

间的距离.

知识点9：复数代数形式的乘、除法运算

(1)复数的乘法法则

我们规定，复数乘法法则如下：设4=。+4，z?=c+力是任意两个复数，那么它们的乘积为

2

z{z2=(〃+bi)(c+力)=QC+adi+bci+hdi=(ac-hd)+(ad+bc)i,

即(〃+bi)(c+力)=(QC-bd)+(ad+bc)i

(2)复数的除法法则

,一、/...a+bi[a+bi)(c-di)(ac+bd)+(be-ad)iac+bdbe-ad.

(a+bi)+(c+di)=-----=--------------=--------；——；-------=———什———3

c+di(c+力)(。一力)c~+d-c~+d~c~+d~

(c+diwO)

由此可见，两个复数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

知识点10：共扼复数的性质

设z=a+bi,~z=a-bi(a、bwR)zpz2,z3,---zrtGC

①(z)=z；②z=z。z为实数；③立=—Z且Z。0=Z为纯虚数

3

【知识点】已知复数的类型求参数、复数的基本概念

【分析】根据纯虚数定义列出关系式求解.

【详解】由z=(〃?2—2〃?)+"'+加-6］是纯虚数,

''m

ni2-2m=0

得6，解得〃?w0.

---------H0

m

即不存在实数〃?，使z=(〃/_2〃?)+",+〃?6j是纯虚数.

巩固训练

1.(24-25高一下•全国•单元测试)已知4=〃/-3〃?+〃击，z2=4+(5w+6)i,其中机为实数，i为虚数单

位，若4—Z2=0,则〃，的值为()

A.4B.-1C.6D.-1或6

【答案】B

【知识点】复数的相等

【分析［根据复数相等联立方程求得〃?的值.

【详解】由4一Z2=0得4=z2,即〃?2-3〃?+小‘i=4+(5/〃+6)i,

-=4

根据复数相等的充要条件可得12uJ解得〃1=-1.

故选：B.

2.(24-25高二上•上海•期中)已知复数z=(2sina-l)十i(i为虚数单位)，贝『'z为纯虚数,,是“a=己”的

().

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的基本概念

【分析】由复数N=(2sina-l)+i为纯虚数，求出a,判断即可.

【详解】复数z=(2sina-l)+i为纯虚数，则2sina-l=0,

解得。=四+2%兀,AeZ,或a=2+2E«wZ,

66

所以若z为纯虚数不一定得到夕,但是由a=£一定能得到z为纯虚数，

66

故"z为纯虚数”是“a=台的必要非充分条件，

6

5

故选：B

3.(24・25高一上•上海•随堂练习)已知复数z=—、+(/-中是实数，则实数。的值为.

【答案】-1

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】根据复数的类型求参即可.

【详解】因为Z=—1+(/_巾是实数，

所以/-1=0且”1=0式子有意义，

所以a=—1.

故答案为：-1.

题型二复数的相等

例题1:(24-25高三上•北京西城•期末)设i为虚数单位，a.heR,且a+历=2i(l+i),则”+力=()

A.-4B.0C.-4iD.4

【答案】B

【知识点】复数的相等

【分析】利用复数相等求解即可.

【详解】2i(l+i)=2i-2=a+风

又a,〃cR,根据复数的相等，

故a=-2,b=2.则a+b=0.

故选：B.

例题2：(23-24高一下•新疆阿克苏•期末)设i是虚数单位，XGR,且x+2i=-(l-正，则|x+2i|

【答案】2

【知识点】复数的相等、求复数的模

【分析】由x+2i=-(l-i)2=2i得x=0,然后按复数模计算即可.

【详解】由题意,x+2i=-(l-i)2=2i,

所以x=0.

所以|x+2i|=|2i|=2.

故答案为：2.

例题3：(23・24高一下,河南开封•期末)已知复数4:川+仔-/川〃”2,

z2=2cos+(2+2sin^)i(2,€R),且4=%，则入的取值范围是•

【答案】[-),6]

4

6

【知识点】复数的相等、求含sinx（型）的二次式的最值

【分析】利用复数相等建立关系，再消去，〃并结合二次函数求出范围即得.

m=2cos0

【详解】由4=22,

4+2sin9=4-〃?2

消去加并整理得力=4sin26>-zsin6>=4（sin6>--）2

24

显然一14sin0«l,当sin。=:时，2min=~t当sinO=-l时，Amax=6,

24

所以人的取值范围是

4

故答案为：［-6］

4

巩固训练

1.（2024高一•全国•专题练习）已知复数马二（a+2〃）+（4-〃）i,Z2=-4〃+（2a+l）i®/>£R）,当4=z2时,

a+b=（）

A.-1B.0

C.ID.2

【答案】A

【知识点】当数的相等

【分析】根据复数相等求解即可.

_6

{a+2b=-4b”一《

【详解】依题意，得］j/解得］J,

b=—

5

所以〃+/）=—幺+1=一1.

55

故选：A

2.（23-24高一下•安徽•阶段练习）已知工+（2》+7））=1-夕，其中》/£1<"为虚数单位.则实数》=,

y=.

【答案】1-1

【知识点】复数的相等

【分析】根据复数相等，列方程组，求解，即可得答案.

【详解】由题意x+（2x+7y）i=l—5i,得，一解得",

2x4-7^=-5=-1

故答案为：1;-1

3.（24-25高一上•上海•课堂例题）已知（3-ai）-S+4i）=2〃-瓦，求实数。力的值.

7

3

【答案】，

【知识点】复数的相等

【分析】利用复数相等的性质建立方程，求解参数即可.

【详解】由（3—叫—S+4i）=2a—〃i,

得3-b-（a+4）i=2"bi,

1

[3-b=2a1

所以H"4)…解得

3

题型三复数比较大小

例题1：（23-24高二下•山西太原•阶段练习）已知叫beR,若2（,•为虚数单位），

则〃的取值范围是（）

A.a>2或。<-1B.或。<-2C.-1<a<2D.-2<a<\

【答案】A

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】由题意，可判断/-5+（〃-Z））1•为实数，列出等量关系和不等关系求解即可

【详解】由题意，a2-b+（a-b）i>2

故『-b+（a-b）i为实数

a—h=O

"\a2-b>2

：.a2一〃-2>0.•.（4-2）（〃+1）>0

二a>2或"-1

故选：A

例题2：（2024高一•全国•专题练习）已知马=-4a+l+（2/+34）i,Z2=2a+（/+4）i,其中R,>z2,

则”的值为.

【答案】0

【知识点】已知复数的类型求参数、共辗复数的概念及计算

【分析】根据题意知复数为实数，建立关系求解即可.

2/+3。=0

【详解】由z/>Z2,得，/+〃=（）,

-4a+1>la

8

,3

a=。或。=——

2

即，4=0或4=-1

解得a=0.

1

a<—

6

故答案为：0

例题3：（24-25高一上•上海•课后作业）已知复数2=、+"（x/eR且ywO）,

w=x+是实数，K2<w<4,求z的实部的取值范围.

【答案】［1,V3）.

【知以点】根据相等条件求参数

【分析】利用已知复数的类型建U方程，结合给定条件求解参数范围即可.

【详解】因为卬为实数，所以歹一干—=0,

x+y

所以公十）/一3,y/0,所以卬一2%,

因为24w44,所以14x42.

因为寸+/=3,所以点（X,），）的轨迹是以（0,0）为圆心，石为半径的圆，

所以-x/J<x<x/J，可解得14工<百.

即z的实部的取值范围为［1,^）.

巩固训练

2

1.（23-24高二下•河南洛阳•阶段练习）口知句一二一4十伍一54十6）i,z2-3^+（A-5^+6）i（A-€R）.若4<z?,

则人的值为（）

A.2B.3C.2或3D.不存在

【答案】C

【知识点】复数的分类及辨析

【分析】根据两个实数才能比较大小进行求解即可.

【详解】因为4<Z2,

k2-4<3k

所以《解得*=2或A=3.

k2-5k+6=0

故选：C

2.（23・24高一下•青海西宁,期中）已知i为虚数单位，实数x满足x-l+（V-5工-6）泛0,则户

【答案】6

【知识点】复数的基本概念

【分析】根据复数为实数的条件，解不等式即可求解.

9

【详解】由题意忙5：6=0,即上6）（N）=0,解得.6

x-1>0[xNl

故答案为：6

3.（23-24高二上•贵州黔东南.期中）已知4=（加一3）+（〃/+机一2）i,z2=（2/n-4）+（z?r+〃?一2）i,且4>z2,

则实数m=.

【答案】-2

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】根据马>马可以判断马，z2均为实数得出〃?，再根据不等式限制〃?取值范围即可

【详解】由题意知4，.均为实数,Mm2+w-2=0»即m=1或用=-2.又4>Z2，则利-3>2初-4,

则〃?<1,故m=一2.

故答案为：一2

题型四复数分类

例题1：（23-24高二下•北京丰台・期末）已知复数N=x+yi（x,yeR）,则“x=0”是“复数z对应的

点在虚轴上”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【知识点】探求命题为真的充要条件、复数的分类及辨析

【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断.

【详解】工=0时2=",对应点在虚轴上，充分性成立，

当复数Z对应的点在虚轴上，一定有x=o,必要性成立，

“x=0”是“复数z对应的点在虚轴上”的充分必要条件.

故选：C.

例题2：（2024高三・全国•专题练习）已知。力cR,“更数z=（^竺是纯虚数，i为虚数单位“是％=-2”

2—41

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】已知复数的类型求参数、判断命题的必要不充分条件

【分析】根据纯虚数的概念及充分条件、必要条件的判断方法求解判断即可.

【详解】若。=-2,则2=泮=涪=1^=°；，=W=-i为纯虚数:

2-412+211+1（1+1）（1-1）2

10

若复数z=*=±M+-^yi为纯虚数，贝解得"±2,

所以“复数z=*是纯虚数，i为虚数单位”是“«=-2”的必要不充分条件.

2-a\

故选：B.

例题3：(23-24高一下•吉林长春•期中)已知复数z=2———―-+(m2+15)i,WGR

w+3''

(1)当z是虚数，求〃?的取值范围；

(2)当z是纯虚数,求〃?的取值.

【答案】(1)机工一5且，"3,且〃?工一3

(2)/w=-2

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】这两问都是根据复数的特征，列出关厂实部和虚部的方程或不等式，即可求解.

【详解】(1)若z是虚数，则/+2〃—5/0且〃?+3HO,

所以工一5且且〃?*-3；

nr7n-6=0

(2)若z是纯虚数，则＜〃?+3工()，

m~+2〃?一15工0

解得：/〃=一2.

例题4：(23-24高一下•广东江门•阶段练习)已知〃?wR,复数z='"'"+2)+®2+2〃-3)i,当用为何

m-\'7

值时；

(l)z是纯虚数;

(2)z=1-4i?

【答案】(1)〃?=0或〃?=-2

(2)〃1=-1

【知识点】已知复数的类型求参数、复数的相等

【分析】(1)根据实部为0,虚部不为零可求参数的值；

(2)利用复数相等的条件可得关于参数的方程组，求出其解后可得参数的值.

【详解】(1)・・・z是纯虚数，

in2+2”?一3二0

**•,m(ni+2)0，解得〃？=0或机=一2,

m-1

，当〃?=0或〃?=-2时，z是纯虚数.

II

m2+2m-3=-4

(2)Vz=--4i,*,•+2)I解得m=-l,

2

m-\2

:.故〃?=一1时，z=--4i.

2

巩固训练

1.（24-25高三上•湖北•期末）若复数z=cos住-e1+3i是纯虚数，则。的值可以为（）

14J

【答案】C

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】由纯虚数的特征，即可列式求解.

【详解】由题意可知,cos但"]=0,4-入Z,

得0=-5-E,4eZ,根据选项可知，只有个满足条件.

44

故选：C

2.（23-24高一下•福建福州,期末）若，―4）+，+3x+2）i是纯虚数，则实数x=（）

A.±2B.-2C.2D.-1

【答案】C

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】根据纯虚数的定义，列出方程组，求解即可.

—4=0

【详解】因为（丁一4）+（/+3戈+2）i是纯虚数，所以2,6八，解得：X=2,

x"+3x4-2*0

故选：C

3.（24・25高三上•江苏盐城•阶段练习）已知复数2=（/-5〃-6）+（〃/-3叫是纯虚数，则复数z的虚部

是.

【答案】2

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】根据纯虚数的定义即可求出.

【详解】若z是纯虚数，则/—5机+6=0且〃/-3加0,解得加=2.

故答案为：2.

4.（23-24高一下•全国•课堂例题）复数2=>-加+生二匚竺例wR）,当实数〃?取什么值时，

m

（l）Z是实数;

12

（2）z是虚数;

（3）z是纯虚数.

【答案】（1）〃?=4或机=一2

（2）加工4且m工一2且〃？H0

（3）=2

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】（1）根据复数z是实数，列出方程，解方程即可得解；

（2）根据复数z是虚数，列出方程，解方程即可得tH答案：

（3）根据复数n是纯虚数，列出方程，解方程即可得出答案.

【详解】⑴因为复数z为实数，所以疝一2〃?-8=0,即加=4或小=-2,

m

所以，〃=4或小=-2时，复数z为实数.

（2）因为z为虚数，则巴二网二工0,解得〃?工4且加工一2且〃?。0,

n\

所以〃?。4且小工-2且m工0时，复数Z为纯虚数.

〃/-26=0

（3）因为z为纯虚数,则加一27一8,解得机=2,

------M----工0

所以加=2时，复数z为纯虚数.

题型五复数的模

例题1：（24-25高三上•辽宁丹东•期中）已知复数z满足z2=_】，则片-z卜（）

A.1B.y/2C.V3D.V5

【答案】B

【知识点】求复数的模

【分析】由复数的模长公式及i2=—l即可求解：

【详解】由z2=-l可得z=±i,所以归-z|=|-l±i|=夜.

故选：B

43

例题2：（24-25高三上•安徽•阶段练习）已知z=「；7,则z-百二______________.

2+3113

【答案】1

【知识点】求复数的模

3

【分析】求出复数z,即可得出z-百.

【详解】由题意，

13

上中，Z=，-=上3_=上与上巴*

2+3i2+3i(2+3i)(2-3i)4-9i2131313

故答案为：1.

例题3：(2024•江西南昌•三模)已知复数|z-1+2i|=&，|z-3+4i|=g，那么z=

【答案】2-3i

【知识点】由复数模求参数

【分析】设出复数z的代数形式，利用复数模的意义列出方程组并求解即得.

【详解】i&z=x+yi,x,j，wR,则卜一+，即有[:二；)正,，

(x-3)2+(y+4)-=2[(x-3)，+(y+4)­=2

(x=2

解得《,，所以z=2-3i.

[y=-3

故答案为：2-3i

巩固训练

1.(24-25高三上•陕西咸阳•阶段练习)已知复数z满足|z-l+2i|=3,则|z+2-2i|的最大值为.

【答案】8

【知识点】求复数的模

【分析】根据复数的几何意义再由向量的三角不等式可得结果.

【详解】因为N+2—2i=z—l+2i+3—4i,所以

|z+2-2i|=|z-l+2i+3-4i|<|z-l+2i|+|3-4i|=3+732+(-4)2=8,

所以|z+2-2”的最大值为8.

故答案为：8

2.(24-25高一上•上海•随堂练习)己知复数z=4+ai(aeR),且|z|<6,则实数〃的取值范围是.

【答案】(—2石,2君)

【知识点】由复数模求参数

【分析】利用复数的模的几何意义求解不等式.

【详解】z=4+ai,则|2|=加”<6,解得(-2底2石).

故答案为：(-2百26).

3.(23-24高一下•海南海口•期末)复数z=l+ai(acR)在复平面上对应的点在第四象限，|z|=3,则

【答案】-272

14

【知识点】由复数模求参数、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】根据复数的几何意义得到再根据复数的模计算可得.

【详解】复数z=l+“i（awR）在复平面上对应的点在第四象限，

所以"0,又上|=庐二7=3,解得〃=2&（舍去）或。=-2夜.

故答案为：-2V2

题型六复数模的最值问题

例题1:（24-25高二上•湖北•阶段练习）若2=°3。+isinOQeR,i是虚数单位），贝1」上一1一4”的最人

值是（）

A.-x/l7B.x/T7C.V17-1D.717+1

【答案】D

【知识点】辅助角公式、求复数的模、利用平方关系求参数

【分析】由复数的模长，同角的三角函数，辅助角公式计算即可；

【详解】由题竟可得上一1一4i|=［cos。+isin。一1-4i|=|cos+（sin。-4）i卜^（cos6?-1）2+（$in^-4）~•

①

（cos^-1）'+（sin^-4）2=cos20-2cos+1+sin2-8sinZ?+16=18—2cos，-8sin0=18-\/68sin（夕+0）,

由一1<sin（^+^）<1,

所以①的最大值为J18+而=J（E+『=717+b

故选：D.

例题2：（24-25高三上•上海闵行期中）若复数z满足|z-2|二|"2i|（i为虚数单位），则|z-l-3i|的取

值范围是.

【答案】［垃,+8）

【知识点】求复数的模

【分析】设z=x+yi,由已知等式模长关系得到x=再结合二次函数的性质计算即可；

【详解】设2=%+M，则卜-2+同二卜+（厂2川，

所以（x_2）2+_/=x2+（y_2）\解得x=JL

所以|zT—3i卜卜T+（厂3川=二也/_8彳+］0二加卜―21+23&,

所以|z-1-刈的取值范围是为［&,+00）.

故答案为：［起,一）.

例题3：（2024•江西景德镇•三模）设z为兔数，若|z-2i|=l,则恸的最大值为.

15

【答案】3

【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）问题

【分析】设z=〃+加，利用模的公式求出关系，利用。，力关系消元求解|z|的最大值.

【详解】设z=〃+6i（a,beR）,

则z-2i=a+（6-2）i,乂|z-2i|=l,

所以/+（/>-2）2=1,

所以（6-2『G,npi<z?<3

所以=1-伍-2『+/=46-344x3-3=9,

所以忖=yja2+b2<x/9=3.

故答案为：3.

巩固训练

1.（23-24高一下•山东青岛•期末）已知i为虚数单位，好数z满足|z+l|=|z—i|,则|z+i|的最小值为（）

A.—B.7C.D.0

223

【答案】A

【知识点】求复数的模

【分析】设2=。+砥。,6€心，代入|z+l|=|z-i|代简可得”=-6,^\z+i\=yl2b2+2h+\,然后利用二

次函数的性质可求出其最小值.

【详解】设Z=a+bi（。）eR）,则|z+l|=|z-i|,得

|a+/）i+1|=|a+Z?i-i|,

所以（a+I）?+〃=/+3一］）2,化简得a=-b,

所以z=-6+bi（6eR）,

所以|z+i|=H+（6+=+（，+i）2=，2万+26+1

=j2plpl>^,当人=-g时取等号，

所以|z+i|的最小值为孝.

故选：A

2.（23-24高一下•山东•期中）已知复数z=cos6+isin外i是虚数单位，夕eR）,则上-1|的最小值是（）

A.V2B.72-1C.72+1D.1

【答案】B

16

【知识点】辅助角公式、求复数的模、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、求含sinx(型)

函数的值域和最值

【分析】由系数的模长计算结合同角的三角函数和辅助角公式计算可得.

【详解】由已知可得z-l-i=3s0-l+(sin0—l)i,

lz-H______

=^(cos6^-l)2+(sin6^-1)'

3”=‘cos'，一2cos，+1+sirfI-2sind+1

所以________________，

=j3-2(sinO+cos0

=^3-272sin+

当sin(6+：)=l时，上式模长取得最小值,

最小值为,3—2拒=J(£)2_2X6x1+12=J(©_[j=

故选：B.

3.(2024・贡州遵义•一模)已知复数z=a-l+(a+3)i,aeR,则目的最小值为

【答案】2上

【知识点】求复数的模

【分析】由复数的模长公式结合二次函数的最值求出结果即可.

【详解】目=J(q_l)2+.+3)2=L2-24+1+/+6〃+9=^2(t/+l)2+8>272，

当。=-1时取等号，

所以忖的最小值为20.

故答案为：2页.

题型七复数的四则运算

例题1：(24-25高三上•河北承德•阶段练习)已知复数z满足l+iz=z-2i,则忖=()

A.B.gC.叵D.正

2222

【答案】C

【知识点】求复数的模、复数的除法运算

【分析】先根据条件，结合玛数的除法运算求出发数，再求模长即可.

ZIIl+2i(l+2i)(l+i)-l+3i

【详解】由1+iz=z-2i,1~-1-i=(l-i)(l+i)=2

所以IW=Y㈠e=半.

17

故选：c.

例题2：(24-25高三上•云南•阶段练习)若复数z满足z2=-3+4i,则三=()

z

A.3+3厂34.n34.

BC.------1D.丁丁

55-KT55

【答案】B

【知识点】共枕复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算

【分析】设出复数，利用复数的乘力运算求出复数，再求出共枕复数，再计算除法即可.

、江z.n\n.i-/■。一加(a-bi)2a2-b2-2ab\

【详解】设zs+MMeR)，则2="纥=.=(〃+所),_历广77r

又(o+6i)2=-3+4i,得至l](〃2-/)+2abi=-3+4i,

所以/一〃二一3,加5=4,所以。=1/=2或。=一1,6=—2,得至1"+〃=5,

所以:=-3-4i

5

故选：B.

例题3：(2024•河南•模拟预测)若zi'=l-6"则因=()

A.1B.y/lC.x/6D.3

【答案】C

【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共桅复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析1将原式变形，由复数的除法运算可得z=^+i，再由复数的模的运算求解即可.

【详解】因为z『=l-6,

所以z=t画=上虫=(""小石，

所以目=J(6)+1=瓜.

故选：C.

3+；2)25

例题4：(24-25高三上•重庆•阶段练习)已知复数z=把一的共桅复数为Z,则团=

2-1

【答案】V2

【知识点】求复数的模、共视复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】根据共辄复数的性质及模的定义与性质运算得解.

3+i2025

【详解】|z|=|z|=

2-i12Tx/5石

故答案为：V2

18

巩固训练

21

1.（24-25高三上•山东泰安•阶段练习）已知复数z=二一+「一（i为虚数单位），则复数5在复平面上对

1-11+1

应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【知识点】判断复数对应的点所在的象限、共枕复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】根据爱数运算法则求z,再根据共视复数的定义求，，再根据复数的几何意义求结论.

【详解】因为2=三+一一，

1-11+1

212（l+i）1-i..1-i3i

所以即+（i+i）（i-i）=*+T=a+5,

31

所以彳/

所以复数彳在复平面上对应的点的坐标为（口,-；），

复数爹在复平面上对应的点位于第四象限.

故选：D.

2.（24-25高三上•安徽阜阳•期末）若复数n满足口-2-i,则彳=（）

z

A.-1+iB.-1-i

11.c11・

C.一+-1D.-----------1

2222

【答案】C

【知识质】共挽复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】首先将己知等式进行化简求出z,再求出z的共胡复数彳即可.

【详解】已知==2-i,等式两边同时乘以z得到z-l=z（2-i）.

z

1-1-i

将右边展开z—l=2z—iz,移项可得z（l-2+i）=l,即2=一一=

-1+1（-1+1）（-1-1）

且（_]+0（_]_1）=（_|）2+12=2.所以2=手=_；_；1.则彳=_；+；1

故选：C.

3.（24・25高二上•山东威海•期中）已知复数2=亡~”，则z的虚部为（）

1

A.—4B.—3iC.-3D.3

19

【答案】C

【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算

【分析】根据复数的除法运算化简Z,再根据虚部的概念求解即可.

【详解】由题意得，2=纪工=9坐=4=4~3"

11一1

的虚部为-3.

故选：C.

4.（24.25高三上•四川绵阳•阶段练习）-4=l+i,则”（）

Z—1

A.l+iB.1-iC.D.-l+i

【答案】A

【知识点】复数的除法运算、共粗复数的概念及计算

【分析】由比例性质得出2=7，再由复数除法得结论.

ii(iiX-i)_

【详解】由缶--------=--------z=1=i=1

(z-l)-zl-(l+i)ii(-i)

所以z=l+i>

故选：A.

题型八共挽复数

例题1：（24-25高三上•黑龙江期末）已知|z-3|=|z-3i|（zxO）,则在复平面内三-2所对应的点位于（）

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算、共挽复数的概

念及计算

【分析】先设复数，再根据模长公式或到两个点距离相等得出。=力，再应用除法计算即可得出复数即可

得点.

【详解】解法•：设z=4+矶a,〃eR）,则"3）2+b?=商+（f2