复数及其应用（知识清单）解析版-2026年高考数学一轮复习

专题02复数及其应用

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系.

02盘•基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分.

【知能解读01】复数的概念

【知能解读02】复数的四则运算

【知能解读03】复数的三角表示式

03破•重点难点：突破重难点，冲刺高分.重难

【重难点突破01】对复数概念的理解

【重难点突破02】利用复数相等求解

【重难点突破03】利用复数的几何意义解题

【重难点突破04】复数模的求解

【重难点突破05】复数的四则运算

【重难点突破06】in(n£R)的周期性及其应用

【重难点突破07】关于共奥复数的几个常用结论

【重难点突破08】|Z-Zo|(z,z°£C)的几何意义

【重难点突破09】n个复数乘法的三角表示(棣莫弗定理)(拓展)

04辨♦易混：辨析易混知识点，夯实基础.

【易混001】虚部概念混淆

【易混002】复数的分类及辨析

【易混003】复数的坐标表示

【易混004】判断复数对应的点所在的象限

【易混005】已知复数的类型求参数

05点•方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类

【方法技巧01】复数加减法的代数运算

【方法技巧02】复数代数形式的乘法运算

【方法技巧03】复数的乘方

【方法技巧04】复数的除法运算

【方法技巧05】复数范围内方程的根

【方法技巧06】根据相等条件求参数

【方法技巧07】在各象限内点对应复数的特征

【方法技巧08】根据复数的坐标写出对应的复数

【方法技巧09】与复数模相关的轨迹（图形）问题

思嵬*吩

复数的柢念

I西M&fMJ♦4/・()'*5・死。

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数(a+biKc+di)=ac+bci+adi+bdi'=«ac-&八十(ad+bc)i)

及［桑除法

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童数的四则运算,,一、.八ibc-<ui.

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应

<1>中ANOrt,方修专科个簧幡*:土正三花

用

在复数苑围内2a

女.系数一元二

次方程的根（2）OAvON.方豆育同个虞41=二^£立竺当［小凡逞马个重收银互为

2a

任何一个复敷：-0+”（a.MR）都可以It示成*os"+，3m。）依形式］

复效森法运it的三角表示及

其几何意义

复数的三角表示式

复数除法运算的三角表示及

其几何意义

基础如京

知健斛校（：01复数的概念

1.复数的引入

为了解决Y+1=O这样的方程在实数系中无解的问题，引入一个新数，，规定：i2=-i,即，是方程

d+i=o的根.

2.复数的相关概念

贝|J"=.

【答案】-2

【知识点】已知复数的类型求参数

【分析】根据题意，结合复数的定义，列出方程组，即可求解.

【详解】由复数z=(/-4)+(a-2)i是纯虚数，可得广~;，解得〃=—2.

故答案为：-2.

4.复数的几何意义

(1)复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，)，轴叫做虚轴.实轴上的

点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

(2)复数与复平面内点的关系：每一个复数在复平面内有唯一的一个点和它对应，反之，复平面内的每一

个点有唯一的一个灾数和它对应，因此史数2=,“友(。euR)与复平面内的点Z(4〃)是一一对应的

关系.

(3)复数与向量的关系：复平面内的点Z(〃,b)与以原点。为起点、Z(&»为终点的向量也一一对应,

所以复数z=a+〃(a,Z?£R)与复平面内的向量旗是一一对应的关系.

5.复数的模

(1)概念：复数Z=4+仇(O/ER)对应的向量为被，则02的模叫做复数Z=4+仇的模或绝对值，

记作|z|或|。十从|,即Iz|=|a+历|=+从如果4=0,那么Z是实数。，它的模就等于|。|(即〃的

绝对值).

(2)几何意义：|z|=|3Z|即点Z(c*)与原点。的距离.一般地，Iz-Zzl即为复平面内点Z1与Z?之间

的距离.

【真题演练1】(2025•广西南宁•模拟预测)在复平面内，复数z对应的点为(-2,1),则|z|=()

A.0B.1C.73D.J5

【答案】D

【知识点】复数的坐标表示、求复数的模

【分析】首先根据更数的坐标写出更数z的表达式，然后求复:数的模即可.

【洋解】因为复数z对应的点为(-2,1),所以z=—2+i.

|z|=V4+1=5/5.

故选：D.

【真题演练2】(2025•广东佛山•三模)复平面上48两点对应的复数分别是l+3i,-2+i,向量而对应的复

数为z,则|z|=()

A.17B.V17C.13D.V13

【答案】D

【知识点】复数的坐标表示、求复数的模、复数的向量表示

【分析［根据复数的几何意义求出A8坐标即可得出复数z,进而求出模.

【详解】由题意可得，A(l,3),8(-2,1),则福=(-3,-2),

所以z=—3—2i,^.|z|=V9+4=x^3.

故选：D

6.共柜复数

(1)定义及表示：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共规复数.

虚部不等于0的两个共挽复数也叫做共规虚数.复数z的共规复数用z表示，即如果z=a+bi(a,bwR),

那么z=a—hi.

(2)几何意义：互为共桅更数的两个第数在更平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共桅

更数在爱平面内所对应的点重合，且在实轴上.

(3)共辗复数的性质：

①实数的共扼复数是它本身，即Z=ZOZGR.

②面二z.

③|z+|.

@z-z=|2|2.

【真题演练1】(2025•浙江宁波•模拟预测)若5=(l+i)(4-i),则2=()

A.5-3iB.5+3iC.3-3/D.3+3i

【答案】A

【知识点】复数代数形式的乘法运算、共规复数的概念及计算

【分析】先根据复数的乘法求复数彳，再根据共规复数的概念求Z.

【详解】因为5=（l+i）（4—i）=4-i+4i-i2=5+3i,

所以z=5-3i.

故选：A.

【真题演练2】（2025•湖北武汉•模拟预测）若复数z=3+i-2?，则忖=（）

A.75B.x/6C.V10D.3及

【答案】D

【知识点】求复数的模

【分析】化简式子，然后根据复:数的模公式计算即可.

【详解】由题可知：z=3+i-2『=3+3i，所以忖=出7万=3拉.

故选：D

【真题演练3】（2025•河南鹤壁•二模）已知复数z=l+i,二=-,则实数〃的值为（）

z+a5

A.-4B.2

C.3D.-4或2

【答案】D

【知识点】由复数模求参数

【分析】利用复数的运算即可求得结果.

【详解】—^―=2=7--4-=!，：.a=-4^a=2.

z+〃\z+a[（1+«）'+15

故选：D.

：02复数的四则运算

1.复数的加法

（1）加法法则：设4=。+〃，Z2=c+di（a,b,c,dwR）是任意两个复数，那么它们的和

(〃+Z?i)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.

（2）加法的运算律：对任意Z1,Z2，Z3£C,有

交换律：Z）+z2=z2+z,；

结合律：(Z]+Z2)+Z3=Z]+(Z2+Z3).

(3)复数加法的几何意义：设"，区分别与复数4+折，C+di(〃/,C,d£R)对应，且死，匹

不共线(如图)，以。4，0Z2为邻边画平行四边形0Z|ZZ2,则其对角线$0Z3所表示的向量场就是复数

(〃+c)+S+d)i对应的向量.因比，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义.

2.复数的减法

(1)减法法则：设Z]=a+bi,z?=c+di(a,b,c,dwR),则(a+沆)一(c+di)=(a—c)+(b—d)i.

(2)复数减法的几何意义：设鬲，OZ；分别与复数a十沆，c+diaR)对应，且鬲，

不共线(如图)，则。+〃一(。+山)与向量璃一反；(等于在)对应，因此，复数的减法可以按照向

量的减法来进行，这就是复数减法的儿何意义.

(3)两点间的距离公式：设Z]=玉+y\i,z2=x2+y2i(x],y},x2iy2eR)在复平面内对应的点分别为

ZjX，y),Zz6,%)，则

|92|=|Z|-Z2H(x,+yj)-(毛+巾)l=l(X-々)+(y-%)，l=-+(M-•

3.复数的乘法

(1)乘法法则：设4=。+乩，Z2=c+di(a,b,c,dwR)是任意两个复数，那么它们的积

(。4-bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.

(2)复数乘法的运算律：对于任意Z1,Z2，Z3£C,有

交换律：ztz2=z2zt;

结合律：(Z|Z2)Z3=zt(z2z3)：

分配律：z^z2+z3)=z]z2+z]z3.

【真题演练】(2025・湖南•三模)若复数Z满足iz=l-i,则Z的实部为()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【知识点】根据复数乘法运算结果求复数的特征

【分析】首先根据已知条件求出复数z,然后根据复数的概念识别该复数的实部.

【详解】由已知条件知:iz=l-i.

所以Z=lzi=空工区=一1.

ii--1

所以该发数的实部为-1.

故选：A.

4.复数的除法

a

复数除法的运算法则：(。+bi)+(c+di)=；*",Judj(a,b,c,deR,c+diwO).在进行复数

c+dc+d-

除法运算时，通常先把m+〃)+(c+力)写成空"的形式，再把分子与分母都乘分母的共扰复数c-di,

c+di

使分母“实数化”.

【真题演练】(2025•广东东莞•模拟预测)已知复数z满足(l+2i/=4+3i,则复数z在复平面对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象浪C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【知识点】复数的除法运算、共轨复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限

【分析】先利用复数除法和共较复数的概念求出z,再根据复数对应复平面内点的坐标判断象限即可.

【详解】由题意可得三4+3i_(4+3i)(J2i)2.

l+2i-(l+2i)(l-2i)-T，

所以z=2+i在复平面对应点(2,1),在第一象限,

故选：A

5.在复数范围内实系数一元二次方程的根

在复数范围内，实系数一元二次方程依2+云+。=0(arO)的求根公式为:

(1)当ANO时，方程有两个实艰.二一"二工"-

2a

(2)当△<()时，方程有两个虚艰E=』±y]_(*4ac)-且这两个虚数根互为共躯复数.

2a

【真题演练】(2025•山东青岛•三模)若l+2i是关于x的实系数方程V+^+c=0的一个复数根，则/，，。的

值分别为()

A.。=-2,c=5B./?=2,c=5

C.b=-2,c=-5D.Z?=2,c=-5

【答案】A

【知识点】复数范围内方程的根

【分析】根据实系数方程的复数根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出〃、c的，直.

【详解】已知l+2i是实系数方程/+历；+。=0的一个复数根，根据实系数方程的复数根成对已现的性质，

可知方程的另一个根为l-2i.

对「方程/十五1-+0=0，由韦达定理可得两根之和X+々=一〃，其中X=l+2i,x2=l-2i,则

(1+2i)+(1—2i)=—b,即2=-b,解得。=—2.

由韦达定理可知两根之积入内=J则(l+2i)("2i)=c.

可得:(1+2i)(l-2i)=I2-(2i)2=1-4i2=5,即c=5.

〃的值为-2,。的值为5.

故选：A.

知健斛篌।【03复数的三角表示式

1.复数的三角表示式

复数的三角表示式

一般地，任何一个复数z=a+Z?j(R)都可以表示成「(8sO+isin。)的形式，其中，，•是复数z的

模，r7a?+b：cos6>=-,sin<9=-：。是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线(射线OZ)

rr

为终边的角，叫做复数z=a+切的辐角.Ncose+isin。)叫做复数2=。+切的三角表示式，简称三角形

式，该式的结构特征是模非负，角相同，余弦前，加号连.

辐角的主值

任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2%的整数倍.规定在v2乃范围内的辐角

0的值为辐角的主值.通常记作argz,即0Wargzv2乃.

三角形式下的复数相等

每一个不等于零的复数有唯一的模与幅角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定.因此，两个非零复

数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.

特殊复数的辐角

1.复数i的辐角是2+2左乃，kwZ,复数0的辐角是任意的.

2

乳3〃

2.arg1=0,argz=—,arg(-l)=TI,arg(-z)=.

2.复数乘法运算的三角表示及其几何意义

复数乘法运算的三角表示

已知复数Zjz2的三角形式为4=q(cosa+isinq),z2=A；(cosft+zsinft),

则彳(cosq+isinq)•G(cos。?+/sin<92)=住[cos(q4-<92)+zsin(/9,+/92)],即两个复数相乘，积的模等于

各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

马马=4(cosq+isin〃)w(cos。2+zsin0.)=/^^[(cos^cosft-sin0xsin6^2)+/(sin0xcos%+cos31sin<9,)]

=化[cos(q+么)+，sin(q+2)].

复数乘法的几何意义

如图，复数4,Z2对应的向量分别为西，运，把向量西绕点0按逆时针方向旋转角2(如果2<0，

就要把西绕点0按顺时针方向旋转角|冬|),再把它的模变为原来的5倍，得到向量32,我表示的复

数就是积马马.

3.复数除法运算的三角表示及其几何意义

复数除法运算的三角表示

设Z=4(cos6]+，sin4),z2=r2(cos+isin,且z20。，

则五=生上乌士型粤=,[cos(用一仇)+西而(4一。2)]，即两个复数相除，商的模等于被除数的模除

z2r2(cos0,+zsin02)r2

以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

复数除法的几何意义

如图，复数4，z2对应的向量分别为西，区，把阻绕点。按顺时针方向旋转角a（如果a<°，

就要把鬲绕点O按逆时针方向旋转角1&1）,再把它的模变为原来的工，得到向量成，厉表示的复

r2

数就是商幺.

2

W方法总结

复数三角形式的乘除法公式记忆口诀

积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和，商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.

【真题演练1】（2025•江西萍乡•一模）已知复数马，马（Z^WO）在复平面内对应的向量分别为鬲，OZ；

（其中。为原点），则下列命题正确的是（）

A.若鬲运，则L+Z2|=|z「Z2|

B.若|。4|=5,则匕-2|的最小值为3

C.若（鬲+西）_1（西一尾），则4=4

D.若|可卜|阳，则马

【答案】AB

【知识点】与复数模相关的轨迹（图形）问题、复数的三角表示、三角表示下复数的几何意义

【分析】根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可判断A：设Z|=58se+5isine,eqo,2冗）,则

|z,-2|=V29-20cos<9,再根据cos。的范围可判断B；根据（璃+区）_1仅月-限）可得㈤=同|,再举反

例可判断C；两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小可判断D.

【详解】对于A,若鬲_L殂，则复平面内以有向线段区和密为邻边的平行四边形是矩形，

根据矩形的对角线相等和复数加减法的几何意义可知，选项A正确;

对于B,若|。乙|=5,则点Z1的轨迹是以0为圆心，以5为半径的圆，

设Zj=5cos5+5isine,6e[0,2加）,

则,_2|=J（5cosJ-2（+（5sin。）2=729-20cos6>,

因为TWcosOWl,可得忆-2『129-20=3,故B正确；

对于C,（西+%）_!_（西一区）=（西+困）•（西一区）二0。

/一鬲"oWI，取L=i,显然卜卜㈤，但Z尸Z2,故C错误;

对于D,两个复数当且仅当它们同为实数时，才能比较大小，故D错误.

故选：AB.

【真题演练2】（2025•海南•模拟预测）已知复数z=cosB+sin33为虚数单位），则Z、等于'：）

66

A.1B.-1C.iD.-i

【答案】C

【知识点】复数乘、除运算的三角表示

【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】因为复数2=8$1+5m3，

66

根据复数的运算法则,可得z3=（cosg+sinT）3=cosW+sinB=i.

6622

故选：C.

章睢茂突破01对复数概念的理解

处理复数的相关概存的问题时，首先要把"教化为2=。+沅（a,beR）的形式，进而确定复数的实部和

虚部，再根据复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件构造关系式求解.

【典例1】（2025•湖北黄冈•模拟预测）已知4=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正确的是（）

A.2|>Z2B.21<Z2

c.2,-2；<22-Z2D.zt-zt>z2-z2

【答案】C

【知识点】复数的基本概念、共施复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算

【分析】由复数不能比较大小，即可判断A,B；求出马吃=34,z2-z2=4l,即可判断C,D.

【详解】解：因为虚数不能比较大小，故A,B错误；

因为当吃=（5+3i）（5—3i）=34,z2-z2=（5+4i）（5-4i）=41,

所以z/Z〈Z2・马，故C正确，D错误.

故选：C.

【典例2】（2025•河北秦皇岛•三模）下列关于复数的说法，正确的是（）

A.复数i的任何偶数次事都不小于零

B.若实数则z=a+（。+力）i是纯虚数

C.在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数

D.若复数2pzz满足4>大则卬z?均为实数

【答案】D

【知识点】已知复数的类型求参数、复数的基本概念、复数的坐标表示、判断复数对应的点所在的象限

【分析】根据兔数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.

【详解】对于A中，由虚数单位?二一1，可得A错误；

对于B中，若a=b=0,那么，Lb+（a+〃）i=OcR,所以B错误；

对于C中，虚轴上的点（0,。）对应复数z=0eR,所以C错误；

对于D中,若复数马「2满足4>马，虚数不能比较大小,则卬马均为实数，D正确.

故选:D.

【典例3】（2025・河北•模拟预测）已知zcC,N为z的共飘复数，则下列条件可判定zeR的是（）

222

A.亩=B.Z=3C.z=zD.2z>z

【答案】ABD

【知识点】复数的基本概念、共匏复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算

【分析】设z=a+〃（。乃cR）,代入选项中的各条件，判断人=0是否成立.

【详解】已知zeC,设2=。+历（a/eR）,则一加，

对于A，若百=各即—二苦，得加i,即…,

所以z=a,有zwR,正确；

对于B,若z?=3,则有a?+2新-〃=3，显然。工0,得/?=0,Wz=±^75eR>1E确；

对FC,若z'J,ERa2+2abi-b2=a2-2abi-b2,有4rt加=0,得ab=0,

其中当a=0,〃工。时，z任R,错误；

对于D,若2z>5,有2a+2Z?i>a-0i,两个复数能比较大小，则方=0,a>0,

有zeR,正确.

故选:ABD.

瑾雍曼突破02利用复数相等求解

时袤而事获萎薪不嬴前3廉]

D分别确定复数的实部与虚部；

2）利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程（组）求解；

3）写出结果.

【典例1】（2025•辽宁辽阳•一模）己知（l-2i）a+（3+4i）/>=2+6i,其中。/为实数，则（）

A.a=\,b=-\B.a=~\,b=\

C.a=-\,b=-\D.a=\,b=\

【答案】B

【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等

【分析】根据复数相等求参数的值.

【详解】因为（l-2i”+（3+4i）〃=2+6i,

所以（a+3〃）+（—勿+4/?）i=2+6i,

[«+3Z?=2

所以oa<，解得。=-"=1，

[-2a+4/?=6

故选:B.

【典例2】（2025・湖北•模拟预测）已知复数z满足z+2l=3+i，Wl-=（）

A.1—iB.1+iC.-3+—iD.-3—i

3

【答案】A

【知识点】复数的相等、共枕复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算

【分析】设2=々+勿，则4=4-折，代入已知条件，利用复数相等的条件即可求解.

【详解】设z=a+Z?i,a/wR,则-历,

因为z+2^=3+i，所以。+加+2卜/一〃）=3+「所以3。一加=3+i,

3。=3[«=1

所以《八一解得八J所以z=l-i.

故选：A.

【典例3】（2025•辽宁•模拟预测）已知复数z=a+研9eR）,若集合A=｛（aM-+2z+2=o｝,则A的子

集个数是（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】方法一：利用代入法，由复数相等的条件得到关于实数。力的方程组求解，得到集合A的元素；方

法二：直接利用求根公式解方程f+2z+2=0得到集合A的元素；方法三：利用判别式直接得到方程得根

的个数.最后根式集合A的元素个数，利用集合的子集个数计算公式得到答案.

【详解】方法一：由d+2z+2=0,复数z=a+/Ma,AeR）,

++2（a+hi）+2=O,BPa-//十2^十2十2Z?（〃十l）i=O,

a2-b'+2a+2=0人，=-l

»〃+i）=o*解得*=±「

所以z=—1土i，

所以集合4=｛（-1，-1），（T/）｝，含有两个元素，所以A的子集有2?=4个；

2

方法1：A-2-4X1X2-M.所以由求札《公式得z二—2±J4x」―2i=_l土"

2

所以集合4=｛（-1,-1）,（-1,1）｝,含有两个元素，所以A的子集有2?=4个；

方法三：因为△=22-4xlx2=-4，团Z2+2Z+2=0有且仅有2人虚数根，

所以A含有两个元素，所以A的子集有22=4个.

故选:C.

唾睢点突破03利用复数的几何意义解题

当遇到已知复数在复平面内的坐标，求复数中参数的问题时：

1.先对给定电数进行化简，利用复数的运算法则(如除法运算中分母实数化)，将其化为z=〃z+H

的标准形式.

2.再根据复数z=〃?+E与复平面内坐标(加,〃)的一一对应关系，结合已知坐标，列出关于参数的方程，

进而求解参数的值.

【典例1】(2025,山东日照•二模)已知复:数2=二^在复平面内对应的点的坐标为则实数〃=()

1

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】先化简复数，再由复数的几何意义即可得出答案.

【详解】因为z=占=鱼"=土包=1+H,

ii2-1

所以复数2=—在复平面内对应的点的坐标为(IM),

所以a=-2.

故选：D.

【典例2】(2025•北京石景山•一模)在复平面内，复数z=平对应的点坐标为(1,-2),则实数。=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【知识点】复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简z,再根据复数的几何意义判断即可.

【详解】因为z=j=/L=l+ai,则复数z在复平面内对应的点为(IM),

ii-

又复数z=—对应的点坐标为(1.-2),所以。=-2.

故选：D

【典例3】(2025・河南•模拟预测)已知z=f,i为虚数单位，«eR,2是z的共挽复数，则下列说法

1-1

正确的是()

A.若z为纯虚数，则〃=2

B.若z在复平面内所对应的点位于第一象限，则aw(-3,3)

C.|z|的最小值为2&

D.z5为定值

【答案】ABC

【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数的除法运算、根据复数对应坐标的特点求参数

【分析】根据复数运算化简可求得z,根据纯虚数定义可知A正确；根据复数对应点坐标可构造不等式求

得B正确；由复数模长运算和求得C正确：由共挽匆:数定义和复数乘法运算可求得D错误.

【详解】z=l^j^.=(：；2：)(：：；)=(2+m(1+i)=(2_a)+(a+2)i；

1-1II-1HI+

2-a=0

对于A,TZ为纯虚数，「.,〃+2=。,解得:a=2,A正确;

2—。＞0

对干B,TZ在复平面内对应的点位于第一象限，"2＞。'解得：一2＜。＜2,

即ae(2,2),所以3,3),B正确；

对干C,忖=J(2—炉+(〃+2『=12°2+852夜,C正确；

对于D,z5=[(2—a)+(a+2)i][12—a)—(a+2)i]=(2—4+(〃+2)2=2〃+8,不是定值，D错误.

故选：ABC.

章雍曼突破04复数模的求解

1.求解复苑薪;而嬴拓用方W

根据复数模的计算公式|々+4|="2+82(a,Z?eR)可把复数模的问题转化为实数问题解决.

根据复数模的几何意义，即复数z=a+〃(aS^R)的模就是复数z在复平面内对应的点Z(a,加到

坐标原点的距离，可以把复数模的问题转化为距离问题解决.

2.重要结论

复数z在复平面内对应的点为Z,r表示大于0的常数，则|z|=r(r＞0)表示点Z的轨迹是以原点为圆

心，广为半径的圆，|z|＜/表示圆的内部，|z|＞〃表示圆的外部.

【典例1】(2025・山东烟台•一模)己知复数z=；丝，其中"R，则"|空1"是〃。＞1〃的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式、由复数模求参数

【分析】应用复数模的求法及忖>1得。>1或av-1,再由充分、必要性定义即可得答案.

【详解】由|2|=渭!=/^>1,则竽>1,可得或"T,

所以"|z|>I"是“。>1〃的必要不充分条件.

故选：B

【典例2】(2025・安徽•三模)已知兔数z满足|z-l|=|z-2|,则目()

A.有最小值2B.有最大值2C.有最小值:D.有最大值9

22

【答案】C

【知识点】求复数的模、与复数模相关的轨迹(图形)问题、由复数模求参数

【分析】设2=〃+切(a%CR),根据发数的模得到。=|,再计算忖，即可得解.

【详解】设2=々+砥4,〃€1<),由|Z-1|=|Z-2|,

贝1］卜一］+例=|〃―2+同，所以(“一I)?+力2=(々一2)2+82,

解得〃="|，所以回='|+加=1|^之'|，当且仅当匕=0时取等号，

a

所以忖有最小值7无最大值.

故选：c

【典例3】(2025•上海浦东新•二模)若关于X的方程f-x+,〃=o的一个虚根的模为2,则实数，〃的值

为.

【答案】4

【知识点】复数范围内方程的根、由发数模求参数

【分析】设关于x的方程的两根虚根为X，Z,则$&=，〃且玉=三,即可求出〃?的值,再代入检验.

【详解】设关于X的方程x2—X+〃?=0(〃2GR)的两根虚根为加”2，则中2=机且玉=E，

所以kl=|w|=2,又|不可=,值=同=4,所以加=±4,

当加二T时，△=(-1)2-4X1X(-4)>0,所以关于工的方程97+,〃=。有两个不相等实数根，不符合题意;

当加=4时，△=(-1)2-4X1X4<0,所以关于x的方程/7+机=0有两个虚根，符合题意；

所以〃2=4.

故答案为：4

章雍曼突破05复数的四则运算

获痴四则运算类似于多项式的盲而豆"至王赢阜的看成一类同类项，木含i的看成另一类同类面:

分别合并即可.

1.复数常见运算小结论

(1+Z)2=2/；­―=1+Z

1+Z

(l-02=-2f;j=l-i

\-i

22

(l+f)(l-/)=2：—=l-z；—=l+z

1+z1-Z

1+Z.1-/.

---=i；-------=-i

l-i1+z

2.常用公式

(a+bi)(a-bi)=a~+b2；

(a±bi)2=a2—b2±2abi：

(a±bi)3=/_3ab2±(3a2b-及)i(其中a,Z?£R)；

3.」±乌“

22

\/

4.常见结论：

在复平面内，4/2对应的点分别为A8,4+Z2对应的点为C,O为坐标原点(点0,4B不共线).

1)四边形OACB为平行四边形；

2)若[Z]+Z2|=『-Z2|,则四边招。4cB为矩形;

3)若㈤=同，则四边形OACB为菱形；

4)若㈤=%|且k+ZzITzi-il，则四边形04cB为正方形.

【典例1】(2025•黑龙江辽宁•模抵预测)已知复数Z满足z+2^=6+5i，则|z+2+i|=()

A.472B.3aC.而D.32

【答案】A

【知识点】复数加减法的代数运算、复数的相等、共挽复数的概念及计算、求复数的模

【分析】设2=。+方（〃为€1＜）,根据复数代数形式的加减运算化简z+2L再根据狂数相等的充要条件求出

〃、小的值，最后计算模即可.

【详解】设2=。+历（4人€咫，则1=〃一加，所以z+25=〃+bi+2（a-bi）=3，L/?i,

_3a=6（a=2

乂z+2z=6+5i，所以＜，解得，＜，所以z=2—5i,

-bA=5[b=-5

则z+2+i=4-4i,则|z+2+i|=/+（-4『=4&.

故选：A.

【典例2】（2025•山东济南•一模）设复数z满足兽=i（i为虚数单位），Rljz=（）

2-1

A.2iB.-2iC.-2+2iD.-2-2i

【答案】A

【知以点】受数代数形式的乘法运算、复数的除法运算

【分析】根据复数的乘除法运算即可得到答案.

【详解】z=i（2-i）-l=2i.

故选：A.

【典例3】（2024•新课标团卷•高考真题）若三=l+i,则2=（）

z-1

A.-1-iB.-HiC.1iD.1+i

【答案】C

【知识点】复数的乘方、复数的除法运算

【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.

【详解】因为三二三?=1+—1=l+i,所以z=l+』=l—i.

Z-Iz-12-11

故选：C.

2

【典例4】（2025・吉林长春•二模）复数2=三的共枕复数为（）

1+1

A.1-iB.1+iC.2-2iD.2+2i

【答案】B

【知识点】共规复数的概念及计算、复数的除法运算

【分析】根据复数的除法运算结合共桅复数的概念可得结果.

【详解】由题意得，z=）=

图z=l+i.

故选：B.

潼难克突破06i〃（n£K）的周期性及其应用

虚教单位i的寐的周期性：

1y〃+i；4〃+2产+3=一，（〃cN）.其中i°=l,广"=』（〃cN）

=1,I

i-i

【典例1】（2025•山东德州•三模）已知z=1」，则，+z2025=（）

14-1

A.-iB.2iC.0D.2

【答案】C

［知识点】虚数单位［及其性质、共扼显数的概念及计算、显数的除法运算

【分析】利用复数的除法运算求得z=-i，然后利用共扰复数的概念及乘方运算求解即可.

［详解］因为2=14=八。：,,\=1_2+炉=_"所以乞=i,

l+i(l+i)(l-i)2

所以彳+Z2O25=i+（T）2025=i-i2O25=i-i=0.

故选：C

【典例2】（2025•江西吉安•模拟预测）已知复数z=M（awR）为纯虚数，（i为虚数单位），则*25=（）

A.0B.-iC.-1D.i

【答案】B

【知识点】已知复数的类型求参数、虚数单位i及其性质、复数的除法运算

【分析】根据复数类型求出参数，再利用复数的乘方可求z20”.

【详解】.心=S_i）（l）="i+l）i,

l+i22

因为发数z=M（acR）为纯虚数，故4=1,

故z=-i,故z2025M-i/'T的xinT,

故选：B.

【典例3】（2025・河北石家庄•一模）已知i为虚数单位，以下选项正确的是（）

A.若，〃，〃亡R,贝h〃十而=2十i的充要条件是，〃一2,〃一1

B.若复数Z「Z2，Z3满足平2=2*3,则马=马

C.i+i2+i3+...+i2O25=i

D.若复数z满足忖=1,则|z-3+4i|的最大值为6

【答案】ACD

【知识点】虚数单位i及其性质、复数的相等、与复数模相关的轨迹(图形)问题、复数代数形式的乘法运

算

【分析】对于A,利用复数的相等易得；对于B,通过举反例排除即可；对于C,利用i的乘方的周期性计

算即得：对于D,利用复数的几何意义结合动点轨迹知设易得.

【详解】对于A,因〃则〃?+〃i=2+i等价于〃—?2+(〃—l)i=O,

等价于《।八，即，〃=2,〃=1,故A正确；

对于B,由2仔2=Z?Z3可得Z2(Z)-Z3)=O,

当4=0时，等式成立，但4与Z3不一定相等，故B错误；

对于C,因对于〃eN/，i4n+,=i,产+2=-l,i4M+3=-i,i4w=1,

则i4rt+,+i4d+2+i4rt+3+i4M=i-l-i+l=0,

于是i+i?+i3+…+120M=(+12+13+14)x5恻+1=i,故C正确;

对于D,由忖=1可理解为复平面内以原点为圆心的单位圆，

而上-3+倒可看成点(3,-4)到该圆上点的距离，

易得|z-3+4i|的最大值即J?+(7尸+1=6,故D正确.

故选：ACD.

专难曼突