高考解答题专项突破（一）极值点偏移问题

第4课时极值点偏移问题

考点一对称构造法求极值点偏移问题

例1(2023•黑龙江牡丹江市第一高级中学高三热身考试(二))已知函数危尸/。1%/)，

为实数.

(1)求函数./U)的单调区间；

⑵若函数JCr)在工=e处取得极值,/(1)是函数的导函数.口/3)=/(工2)，x\<xi，讦明:

2<vi+x2<e.

解(1)函数八丫)=『(111%一,，的定义域为(0,+8),

/(x)=2i(hix-,〃)+x=x(2lnx—3«+1).

3a-1

令/(1)=。，得％=e2，

3。一13。-1

22

当x€(0,e)时，/(j)<Ci,当x€(e,+8)时，/(x)>0,

3a-13a-1

故函数火的的单调递减区间为(o,尸)，单调递增区间为(尸，+8).

3al

(2)证明：因为函数,小0在1=e处取得极值，所以x=e2=e,得。=1,

所以0)=fGnx—今，得/(x)=x(21nx-2)=2r(lnx—1)：

令g(x)=Rlnx—1)，因为g，(x)=2lnx,当0<x〈l时，g'(x)<0,当x>l时，g'(x)>0，

所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

且当xW(0,e)时，ga)=2«lnx—l)vO,当x€(e,+8)时,g(x)=2x(ln1)>0,

故0<xi<Y»2<e.

先证片+X2>2,需证X2>2—Al.

因为X2>1，2—X1>I,下面证明以X|)=g(X2)>g(2—X]).

设f(x)=g(2-x)-g(x),

,

则当081时，r(x)=-^'(2-A)-1g(x)=-2ln(2-x)-2lnx=-21n[(2-x)x]>0,

故《工)在(0,1)上为增函数，

故r(x)<z(1)=0,

所以/(xi)=g(2—xi)—gCn)<0,则g(2—xD<g(x2)，

所以2—为<%2，即得即+X2>2.

下面证明：x\+x2<e.

令g3)=g(X2)="?，当xW(O，1)时，g(x)一(―2x)=2HnxvO,所以g(x)v—2x成立，

所以一2x\>g(x\)=m,所以即v—

当xW(l,e)时，记"(x)=g(x)—(2r—2e)=2xlnx—4x+2e,

所以当工€(1,e)时，h\x)=2\nx—2<0,所以〃(x)为减函数，得/?(.r)>A(e)=2e—4e+2e=0,

所以m=g(X2)>2t2—2e,即得X2<^+e.

所以xi+x：<—y+y+e=e.

综上，2<x\4-xz<e.

方法总结

对称构造法主要用来解决与两个极值点之和(积)相关的不等式的证明问题.其解题要点如下：

(1)定函数(极值点为X0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值

点A'o.

(2)构造函数，即对结论XI+X2>2XO型，构造函数P(x)=Kr)一<2沏一人)或P(x)=/Uo+x)—/Uo

-X)；对结论W2>腐型，构造函数尸(%)=/^)一姆)，通过研究A(x)的单调性获得不等式.

(3)判断单调性，即利用导数讨论尸(%)的单调性.

(4)比较大小,即判断函数尸(%)在某段区间上的正负,并得出兀0与«兀一划的大小关系.

(5)转化，即利用函数/U)的单调性，将人幻与贝2m-x)的大小关系转化为工与2r0-x之间的

大小关系，进而得到所证或所求.

令⑥训练1.(2022.全国甲卷)已知函数段)=3-Inx+x-〃.

(1)若於)20,求a的取值范围;

(2)证明：若贝幻有两个零点箝，X2，则X1X2<1.

解(1VU)的定义域为(0,+-),

/a)=CTkT+1=如_报+(1_+哪弓+11

令/。)=0,得x=L

当x£(0,1)时，,(x)V0,«幻单调递减；

当xW(l,+8)时，/(的>0,/(x)单调递增.

所以於)2/U)=e+l-a,

若7U)20,

则e+1—即aWe+1,

所以《的取值范围为(-8,e+1].

(2)证法一：由题意知，7U)的一个零点小于1,一个零点大于1.

不妨设0<Xl<l<X2，

要证X]X2<1»即证X\<~.

“2

因为xi,5€((),I),即证yui)>4£),

因为yUi)=/52),即证jix2)>y(~)，

e'1i

即证不人一Inx+x人—x1—I人nx—：>0,x€(1,+°°),

即证(牝jjlnxTT)

>0.

下面证明当x>l时，"一比*>0,Inx一芥一：)VO.

g-r-

设g(x)=--xex,

人

则/(x)=g「1T)1e1-=&-*」式]1-0=(1)，仁_,1、

设8(力=1

则当人>1时，“。)=&一3)^=*^>。，

所以(p(x)>(p(\)=e,而eA<e,

所以?一F>0,

所以当心>1时，gfa)>o,

所以g(X)在(1,+8)上单调递增,

即g(x)>g(l)=0.

所以,x」>0.

令/?(力=卜]一差一；),

则当心>1时，"。)=:一氐1+勾="毛一二」',)〈°，

所以/2(%)在(1,+8)上单调递减,

即/?(x)V〃(l)=0,所以Inx一芥一：)VO.

所以当x2」时，，(x)20,即以力在［1,+8)上单调递增,

所以r(x)2r(1)=2—。20,

所以当彳21时，尸。)=4万20,即尸(x)在［1,+8)上单调递增,

所以F(x)^F(\)=2~a^0

所以。的取值范围为(一8,2］.

(2)证明：由题意知，^(x)=lnx—ar,

不妨设Xl>X2>0，

lnxi=avi*In(x\X2)=a(xi±X2)'

由〈得，

InX2—CIX2'In-=cCvi—xi)，

M.Jn(A1X2)X14-X2X211X\,

则一21——-----=-----,令/=->1,

翅X1-X2XI_X2

X2X2

i.JnUiX2)/+!„n，+1

则］nt一有，即In(xiX2)--j-lnt.

要证xiX2>e2,只需证In(xX2)>2,

r-、j+lnr、T2(f—1)

只需证二Y】nt>2,即证Ini>什［(>1),

5y2(r-l)

即1证InL,+］>0(f>1),

/2(1)

令加⑺=lnf~~

(L1尸

因为加(1)=而二讲>0,

所以小⑺在(1,+8)上单调递增，又当/从右侧趋近于1时，阳⑺趋近于0,

所以当/€(1,+8)时，"6)>()，

即InL2；；；)>0成立，故xiX2>e2.

方法总结

比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后

利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的.设法用比值或差值(一般用

/表示)表示两个极值点，即，=?,化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于

/的函数问题求解.

钥》训练

2.已知函数段)=.rhix一会+戊-1(/€R)有两个极值点为,

X2(X\<X2).

(1)求/的取值范围:

4

(2)iiE明：xi+x2>=P2.

解(1)f(x)=\nx+1—胃+人

令ga)=/a)，

i2e—2Y

则=---=——(X>0),

人w

令g(t)=O,解得x=*

所以当x£(0,习时，C

当+8)时，/(幻<0,

所以g(x)在(0，9上单调递增，在0，+8)上单调递减，

所以g(%)max=g⑤=1一加2+乙

因为人工)有两个极值点，所以g(x)有两个变号零点，

所以ga)max>0，即l-ln2+»o,所以>ln2—I,即/的取值范围为(In2—1,+«>).

(2)证明：由题意，知In。一¥+/+1=。，hixi一争+―1=0，

CV/

所以InX2_Inxi=1(X2-xi)»

m1nx2-Inxi2

即1----------二工

X2-X\e

、4

要证X\-^X2>~X\X2,

只需证"H，

即证工+工>3二电3,

XIX2X2-X\

□nF、^2X2-X\X2-X\X2X\

即证21n—<-----+-----=———，

X\X)X2X\X2

设§=〃(〃>1),

X1

则只需证〃一721nM(M>1),

令A(U)=M-21nW(M>1).

It

22

MI.12w-2w+l(M-1)

则h'(u)=1+/—£=--------=u2>0,

所以/】(“)在(1,I8)上单调递增，又当〃从右侧趋近于1时，/](〃)趋近于0,

所以A(M)>0,即〃一^>21n

4

则A|+X2>-X|X2.

课时作业

1.(2024•福建福州格致中学高三上学期质检)已知函数人工)=吗土”

人

(I)讨论函数4人)的极值：

(2)若(exi>2=(ex2力(e是自然对数的底数),且可>0,及>0,小工及，证明：制+及>2.

解(1)函数火用的定义域为(0,+8),求导得八月=一中.

若4=0,则/(幻=0,函数./U)无极值;

若“W0,由/(x)=0,可得x=l；

若。<0,当0<v<l时，/(A)<0,则於)单调递减,当Q1时，/(1)>0,则危)单调递增,此时

函数有唯一极小值近1)=小无极大值；

若〃>0,当0W1时，/U)>o,则兀0单调递增,当心>1时，/(x)vo,则加)单调递减,此时

函数有唯一极大值yu)=〃，无极小值.

综上，当4=0时，函数/(X)无极值；

当〃<0时，函数yu)有极小值/U)=〃，无极大值;

当。>o时，函数yu)有极大值y(i)=a,无极小值.

Inxi+1InX2+I

(2)证明：由(exi)'2=(eA2户，两边取对数可得X2(lnXi+l)=xi(hiX2+l)，即

X1

,,Inx+1Inx

当4=1时，氏l)=-人--，J\x)=--人r

由(1)可知，函数/U)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以/(X)max=70)=1，

而0=o，当X>1时，人外>0恒成立，

因此当4=1时，存在X1,X2且0<盯<1<。，满足次汨)=./也)，

若X2W[2,4-°°),则XI+.0>%2N2成立；

若心€(1，2),则2—足10,1),

记g(x)=J[x}-J12-x),

则当x€(1,2)时，g3=/(x)+/(2-x)=-+-J)〉一¥-'n('已=-

lnr-(x-l)2+l]

--------------->0A,

即函数g(x)在(1,2)上单调递增，所以g(x)>g(l)=O,即£r)次2一3)，

于是正国)=412)刁(2—、2)，而126(1，2),2—X2€(0,1),X]€(0,1),

函数/U)在(0，1)上单调递增，因此X|>2—X2，即XI+%2>2.

综上，XI4-X2>2.

2.(2024.广东深圳中学高三阶段考试)设函数“¥)=。+4把，，已知直线>,=2x+1是曲线y=/(x)

的一条切线.

(1)求。的值，并讨论函数犬工)的单调性；

(2)若於1)=4及)，其中X1<X2，证明：》及>4.

解(1)设直线y=2r+l与曲线y=/U)相切于点5),黄耳))，

•・T(x)=(x+a+l)F，

•VCvo)=(xo+«+l)evo=2；

又风卬)=(的+4把%=210+1,

/.2-evo=2^>+1,即e"+2xo-1=0.

设g(x)=e'+2A-1,则gQ)=e*+2>0,

・・・g(x)在R上单调递增,

又g(O)=。，

・・・g*)有唯一零点x=0,

/•xo=O»

・'a+1=2,解得a=1,

，./U)=a+l)e,/(x)=a+2)e\

则当K£(—8,—2)时，/(x)<0；

当x€(-2,+8)时，/(x)>0.

・•・函数、/U)在(一8,—2)上单调递减，在(-2,+8)上单调递增.

(2)证明：由(1)知，7U)min=/(—2)=—。2<0,

当X<-1时，/U)vo；当x>-\时，Ax)>0,

/.X|<—2<V2<—1.

4

要证X1X2>4,只需证Xl<—<—2.

42

•・7U)在(一8,一2)上单调递减，

*,•只需证人X。习G)

又yUl)=Z(X2)，则只需证/i>2)习(£)对任意X26(—2,—1)恒成立.

设力a)=yu)-/(3,

4

,8(x4-2)~(x+2)evd,

，〃(x)=(x+2)eA+-L^~e'=~(A?e+8).

4

设p(x)=,e*+8,

则当一24<一1时，“。)=—箝+|)~+(vO,

・•・〃&)在(一2,—1)上单调递减，

/.p(x)<p(-2)=—8+8=0,

X

-,,(x+2)e”

又当一2<¥〈一1时，■AJ<0,

；・当一24<—1时，//(x)>0,

・・・/?(x)在(一2,—1)上单调递增，

：Ji(x)>h(~2)=0,

即yu)习停)在x£(—2，一1)时恒成立，

又2,1),

，凡切刁(9，原不等式得证•

3.(2023・湖北武汉华中师范大学第一附属中学高三下学期压轴卷(一))已知,仆)=21—5皿一也

Inx.

(1)当。=1时，讨论函数AD的极值点个数；

(2)若存在X],工2(07142)，使府1)=於2)，求证：X\X2<a.

解(1)当。=1时，y(x)=2x—sin.v-Inx,

则/(x)=2-COSA-5，

当时，/(x)21—cosx20,

故4E)在[1,+8)上单调递增，不存在极值点；

当0<x〈l时，令/?(x)=2—cosx一

则"(x)=sinr++>0恒成立，

人

故函数人(幻即了。)在(0,I)上单调递增，

且/⑴=1-cosl>0,/(；)=-cos/-2<0,

所以存在入•()€(｝，l)，使得了(xo)=O，

所以当O<rbo时，/(x)vO,./U)单调递减；当xo<x〈l时，/(A)>0,«v)单调递增，

故函数«r)在(0,1)上存在唯一极值点.

综上，当〃=】时，函数五》)的极值点有且仅有一个.

(2)证明：由y(xi)=/(x2)，知Zii—sinxi—Winxi=Zq—sin*—Win42，

整理，得2(X|—X2)—(sinxi—sirLV2)=*\/fl(lnxj—InX2)(*),

不妨令g(x)=x—sinMoO),则g，(x)=1—cosx20,故g(x)在(0,+8)上单调递增，

当0<Xi<X2时,有g(Xl)<g(l2)，

即Xi-sinxi<X2-sin%2，

那么Sill¥|—silLT2>Xi—X2，

因此⑺即转化为6>1寻云

接下来证明/大一｝—>7W2(O<.¥|<X2)，

等价于证明In中卷一看，

不妨令里=，(OV<1),

、X2

建构新函数3")=21nr-/+y(O<z<1),

?I(1—Ip

9")=^—1—廿<0,贝48⑺在(0，1)上单调递减，又当f从左侧趋近于1时，。⑺趋

近于0,

所以如)>0,故in,*一,叫]::「:;也W((—得证,

由不等式的传递性知，即X\X2<a.

4.(2023・湖南长沙实脸中学高三三模)已知函数h(x)=x-a\nx(aWR).

(1)若〃(x)有两个零点，求实数。的取值范围；

2

⑵若方程Xp—“(lnx+x)=0有两个实根X],X2,且汨力必，证明：evi

A1X2

解(1)函数人。)的定义域为(0,+8).

当。=0时，函数力(x)=x无零点，不符合题意，所以〃W0,

由//(x)=x—fllnx=0,

-T/口1Inx

可得一=——，

ax

构造函数人幻=呼，其中.。0,所以直线)，=：与函数人工)的图象有两个交点，

人€•

1—Inx,——一

f(x)=­@—,由/(x)=0可得％=e,列表如下：

X(0,e)C(e,+0°)

f(x)+0—

极大值:

火X）单调递增单调递减

且当x>l时，於)=乎>0，

由图可知，当0<聂，即心。时，直线)，=!与函数7U)的图象有两个交点,

故实数。的取值范围是9,+8).

(2)证明：因为Aex-fl(lnx+x)=O,则xev—«ln(xer)=O,

令f=xev>0,其中x>0,见有，一aln/=O,

z,=(x+l)ev>0,所以函数i=%e*在(0,+8)上单调递增，

因为方程xe^—d(lnx+.r)=0有两个实根工I,必，

令t\=X|CVI,/2=12寸2,

则关于f的方程/—Hnf=0也有两个实根h,f2，且A#/2,

要证e'f品即证即efiX2Cv2>e2，即证力t2>c2，即证In力+1nti>2,

（\=«lnt\»

由已知〈

J2=〃lnt2，

t\~t2=a（\n八一Inti）»

所以

fi+/2="（ln力+ln也），

力+介InZi+intz

整理可得,

t\~~t2In/i-Intz

不妨设心位。，即证hUi+ln-岩In方2,

2（4一，2）

即证

/1+/2

令s=%i,即证ms玉f其中s”,

构造函数g（s）=lns—2:+1"，其中s>l,

^，(5)=7-rT77=_TTT^>(b所以函数g($)在(1，+8)上单调递增，又当s从右侧趋近于1

时，g⑸趋近于0,

所以当S>1时，g(S)>0,故原不等式成立.

5.(2024•河北石家庄部分重点高中高三月考)已知函数«0=f]nx—«(a€R).

⑴求函数7U)的单调区间;

2

(2)若函数40有两个零点M，讦明：1<11+也<存.

解(1)因为1》)=$1114—03€阳的定义域为(0,4-00),

则/(x)=2xlnx+x=x(21nx+1)，

令/(x)>。，解得心力，

令/(工)<0，解得041方，

所以人制的单调递减区间为(o，a),单调递增区间为往，+8

(2)证明：不妨设X[<X2，由(1)知，必有0<A，|V已<X2.

、2

要证XI»即证X2<~i=­X\，

e

即证人切5XI,

又人X2)=贝箝)，即证贝即)一乂泉巾)<。・

令g(x)=J(x)-

则g'(x)=x(21nx+1)+/一工[21n(京一，+1],

M录r)+L—2=2ln~2~<0在x€(。

令力(x)=g'(x),贝4"(x)=2(lnx+l)+1—

一

恒成立,

(。功(0，古)上单调递减，所以g3>g'|

所以〃(x)在上单调递减，即g'(x)在

(。相上单调递增，所以g(xi)<g(U=。，

所以g(.r)在

2

即加)一,所乂制+也<^.

接下来证明X|+x2>l»

令则>1，又火M)=y(X2)，

即AT!Il.Vi=x21n4

所以InX]=]_产

要证1〈X|+X2，即证14l+g,

即证”+1)X1>1，

不等式(1+1口直1两边取对数，

即证Inxi+ln(r+l)>0»

即证普+ln(f+D>0，

0nr"+l)ln(/+I)t\nt

即证------?------

令〃(X)=^f，xW(l，+8),

(Inx+1)(x—1)—.Hnx

则“3=

(A-I)2

x-Inx-1

(A-I)2

令p(x)=x—In]一1,其中x€(l,+°°),

则“(x)=1-7=^—^>0,

人人

所以p(x)在(1,+8)上单调递增，又当X从右侧趋近于1时，pa)趋近于0,

所以当x€(l,+8)时，p(x)>0,

x-Inx-1

故当x€(l,+8)时，〃”)=_2->o,

(X1)

可得函数"(X)单调递增,可得〃。+I)>«(/),

(r+l)ln(r+1)rlnt.

即------；------所以笛

it—1+M>L

综上可知，1<X[+也<证.

6.(2021・新高考I卷)已知函数4