高考数学复习重难点题型专练：阿基米德三角形与焦点三角形内切圆（解析版）

专题2・6阿基米德三角形与焦点三角形内切圆

题型•归纳

目录

知识点梳理.................................................................................2

阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）...........................................2

阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）.......................................3

阿基米德焦点三角形.................................................................5

2023届•黄冈中学5月二模・T6...............................................5

2023届•武汉市武昌区五月质检T16..........................................6

山东省济南市2022届高三二模.......................................................6

2023届成都七中高三月考................................................................9

2024届嘉兴市九月统考T15..........................................................................................................................10

12

安徽省2023届高三A10联盟二模....................................................12

2024届•广东省四校第一次联考...........................................................13

2023届•黑龙江哈师大附中校考...........................................................15

2023•深圳市二模........................................................................16

广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题......................................18

双曲线焦点三角形的内切圆.........................................................21

湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考（二）........................................21

安徽省（九师联盟）2023届二模.........................................................25

山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评...................................26

长沙市雅礼中学2022-2023高三月考.....................................................26

湖北省八市2023届高三下学期3月联考数学试题..........................................30

里圆双曲线焦的两个焦点三角形与两个内切圆.........................................32

重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题...................................32

2023•安徽淮北•一模.....................................................................34

2023•长沙周南中学三模.................................................................37

椭圆的焦点三角形的内切圆.....................................................45

2023届•浙江省重点中学拔尖学生培养联盟6月适应性考试.................................46

2023•长郡中学押题卷...................................................................48

2023•汕头金山中学三模.................................................................52

2023•湖北襄阳五中5月模拟.............................................................53

|知识点•梳理］

知识点梳理

阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）

性质1:MF±AB

性质2：MA±MB

性质3:MN〃工轴

性质4：SAABM最小值为p2

对于点A,B:

①抛物线焦点弦与抛物线的交点

②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点

对于点M

③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点

④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点

满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”

阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）

［性质I］阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴.

【性质2】若阿基米德三角形的底边印弦AB过定点抛物线内部的定点C（毛,%）,则点P的轨迹为直线

=“（X+X。）

记A（X|,y）,B（x2,y2）,CM为弦48的中点，点C为抛物线内部的定点

半代人得出切线次PB的方程,再得出则V部,“—,则），°），=PO下略

【性质3】若P点轨迹为直线办-切+c=0,且该直线与抛物线没有公共点，则定点C

设P点坐标，半代人得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标

【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为01.

8p

【性质5】ZPFA=NPFB,PF2=AFxBF

2023届•黄冈中学5月二模・T6

1.设抛物线C：/=6x的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线4,/2,若

4与交于点P,且满足川=26，则|AB|二()

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【详解】

法一：因为弦AB过焦点，故点P在准线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知NPFO=30°,

48=口-=9=8

又•,・NPFB=90°,故NFBP=60°,由焦点弦公式可得siM®3.

丁=6X,2〃=6,，=T，/./[•|，°)，设直线AB的方程为,显然m是存在的,

设人(演,)[),3(工2，丁2)，显然y-o,y2Ho,求事A(r)=(6x),,/,y=-,

y

333%y；3y厂、

L

在A点处的切线方程/[为y-y]=—(x-x,),.,.y==—x——+y,TM，，y=——x+U...①,

yYM6%2

311,

同理可得在B点处的切线方程4为：)'=-x+'):

y2=6x

联立方程43,解得/一6〃厅一9二。,

△=36川+36>0,)'跖=-9,

x=my+—

3)\

y=—x+^~/、

23x(y-v.)1,

联立方程｛?y1解得2"+1()1-->?2)=°,,••xr,y-%wo，:"=¥=_.，

3,力耳)、2o2

y=—x+—.心

即P点在准线4=-1上，设?卜［,，|P尸|=办?+产=2瓜：.F=瓜［=土6,

考虑抛物线关于X轴对称，不妨取/=6,代入①得：6=—3X/-弓3、+卷t，解得y=3x/5豕义=7,

22

由图可知y=375,必=一75,再代入抛物线方程得看=?,工2=:，|^B|=y/(x,-x2)+(y,-y2)=8

2023届•武汉市武昌区五月质检T16

2.已知抛物线C：丁2=2*(〃>0)的焦点为尸，过点尸的直线与。交于A,B两点，C在A处

14

的切线与。的准线交于尸点，连接BP.若|PF|=3,则［亦+的下的最小值为_____

IAAIII

4

【答案】一

9

如图，则有PF_LAB,PA_LPB,==>1pp\1=\AF\-\BF|=9

所以看+看=W

当且仅当/|=2|Ab|时取等

山东省济南市2022届高三二模

3.(多选)过抛物线)3=4x焦点户的直线交抛物线于A,4两点(A在第一象限)，M为线段A3的中点.M

在抛物线的准线/上的射影为点N,则下列说法正确的是()

A.|74目的最小值为4B.NF1AB

C.AN48面积的最小值为6D.若直线A8的斜率为6，贝I」AF=3FB

【答案】ABD

【解析】

【分析】设直线AB方程为冲=X一1/8,%),8区，为)，根据弦长公式表示出|4回,可判断A;求出

点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得

12

22

S^AB=-\AB\-d=4(m+\),可判断C;直线AB的斜率为逐，结合y+%=4加,乂必二一4可求得

AF|y.|r

—=7ZL7=3.即可判断D.

BF\y2\

【详解】由题意知FQO）,设直线AB方程为阳=%-l,4不K）,8（电,必），

my=x-\.,

联立〈，可得y-4n?y-4=0,A=+1)>0,

y2—4x

故K+y2=4〃2,y%=_4,

则\AB\=J1十二•+=4（m"+1），

故当〃2=0时，|A卸的最小值为4,故A正确；

又止121=2〃？，即M点纵坐标为2m,故N（-1,26），

2

当〃2=0时，AB_Lx轴，NF在x轴上，此时八丁_LAB;

2/2?1

当加工0时，％NF=—=-m,k=—,故AT7,AB,

-2ABtn

综合可知.Nr_LA3.故B正确：

又点N到直线AB的距离为d=+",

Jl+罐2

12

故s«N1ZA1tiA=-|A3H/=4（团2+1）2,当机二0时，取最小值4,故C错误；

若直线AB的斜率为6，则直线AB方程为机＞二%一1,即），=G（x—l）,

4J3

则y+%=三"，凹）'2=_4,

由于A在第一象限，故解得X=26,%=一羊，

AF|y.|______________uuuuu

故转二「=3,由于4凡F6.同向，故人尸二？/7^，故D正确

B卜Iy21

4.已知动圆。过点（0,1）,且与直线/：），=-1相切，记动圆。的圆心轨道为「，过/上一动点。作曲线「的

两条切线，切点分别为AB,直线48与丁轴相交于点尸，下列说法不正确的是（）

A.「的方程为V=4y

B.直线过定点

C.NA08为钝角（。为坐标原点）

D.以AB为直径的圆与直线y=一相交

【答案】D

【详解】设动圆Q圆心为（乂丁）,4为,）\）,8（内,乂）,。（餐,一1）,

依题意得：,]x2+（y-i）2=|y+l|,即「的方程为/=4y,故A壬确;

Ayr=1-v,，切线D4的方程为：=-x(x-x),

由/=4y得，y=-x2ii

4乙乙

即？=gxM-gx；+y,又片=4/，Ay=^x}x-y},

同理可得切线04的方程为y=-A2x-y2,

乙

又切线DA,DB经过点/)(x0,-l),；.y=:xox1+1,y2=-xox2+1,

故直线A8的方程为y=；x0x+l,・••直线A8过定点尸（0,1）,故B正确;

+1消去)'整理得f—2/x—4=0,故苔+々=2%,苦巧=-4,

联立，

X2=4y

VI.

^\OAOB不工2+）'|必=%七+15/耳+13%占+1

(1]1

=I1+-xj1%^2+-x0(x,+x2)+1=-3<0,.'./AOA为钝角，故C正确;

4

由于直线AB恒过抛物线焦点尸（0,1）,设A8中点为M,过人朋,8向直线），=-1作垂线,

垂足分别为A、M'、夕，连接AM'、BM'

由抛物线定义|A4l=|AF|,忸叫=|网,

・・・河同（|必+|网）=3（网+网）=如网,

・••以A6为直径为圆与直线，-一1相切，故D错误

5.已知点仞（1,0）,从抛物线/=4），的准线/上一点尸引抛物线的两条切线总,PB,且A,B为切点，则

点M到直线A8的距离的最大值是（）

A.72B.75C.2D.3

【答案】A

【分析】设出点P,AB的坐标，利用导数的几何意义求出切线。的方程，进而抽象出直线A4的方程，

即可推理作答.

【详解】抛物线3=4）,的准线为设点4大,%）,对函数/=求导得/=J*,

于是直线的方程为y—y=3王（上一为），即y-y二^^入一3X；，亦即y=gxiX-y,

Iq\tx.-2y.+2=0

同理，直线棚的方程为而点/'为直线24、尸8的公共点，则｛___,

2[tx2-2y2+2=0

因此点A,8的坐标都满足方程田-2y+2=0,即直线A8的方程为fx-2y+2=0,从而直线A3恒过定点

（0」），

所以点加到直线AB的距离的最大值d=>/（1-0）2+（0-1）2=V2.

2023届成都七中高三月考

6.过点M（—1,〃?）作抛物线。：），2=2*,（〃>°）的两条切线，切点分别为4（4，）1）和8（孙为），又直线A3经

过抛物线。的焦点尸，那么牛一

^MAKMB

【答案】4

【分析】方法一：设出过M与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则△=（）,可得方程

2公+2切?-〃=0,根据题意，结合韦达定理，可得褊/=-，同样的思%设出过焦点的直线A4,

联立方程，结合韦达定理，可得）；必=-〃2,故可得第一种所求代数式的表示；

方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得七「凡仍=上一，结合方法一中为％=-〃2,可得第二种

所求代数式的表示；

综上建立方程，求得〃的值，进而求得答案.

【详解】由题意，显然过点作抛物线C：,，2=2px的切浅的斜率存在，设该斜率为左，

则该切线方程为y-m=k[x+\）,即），=履+々+〃?，

y=itv+k+〃？

联立《,2,消去）'可得二+2+（222+24〃一2〃）x+*2+2必?+加2=。，

由于切线与抛物线只有唯一交点，则A=（2&2+26〃—2〃丫-4公]公+2万”+〃?2）=（）,

整理可得2k?+2加一〃=0,

由题意，可知％小右,,为方程2公+2切?-〃=0的两个根，则火山勺旭=一^

由题意，设直线的方程为1二世+5,

\=.fiy+—

联立可得・2,消去工可得/一2〃〃了一.2=0,由题意可知凹,y2为该方程的两个根，则%%=一〃

y2=2px

3^_=ZA=2p

故…标_P

2

由抛物线方程y2=2px,（〃>0）,可得函数y=J语与函数），=一/诉，则）''二展^^二〃：房彳与

y=--•J——-2p=--/=

242Px42Px

不妨设A（N，y）在第一象限，则x>O,y>。，即y=也期,且除伏==,

由设A（X，yJ在第一象限，则见%,为）在第四象限，即W>°，为<°,可得％==/2/%，且"皿=-/

yjzpx2y2

2

古攵2Ml.{"8=

>1>2

一乃二）1乃二（一）'2）2-2vv

由纶2=-〃）则k4人仍一P2一P?，综上可得2〃=〃2,解得p=2,故］『二4

*-----KMA•KM8

X）’2

2024届嘉兴市九月统考T15

7.已知产是抛物线C：V=8x的焦点，点?（-2,2）,过点尸的直线/与C交于A,B两点、,M是线段A8的

中点.若MM=2|/W|,则直线/的斜率人.

【答案】2

【解答】因为AM=BM=PM,所以/APB=90°,故P在准线上，且PM_L准线，PF_L_LAB

故k-kpF=—In2=2

【常规法分析】方法一：设直线，：x=my+2t设A（%,yJ,B（毛,％）,联立直线/与抛物线的方程求出

）1一月，）'/）’2,由|AB|=2|PM|可得丽.丽=（）,将韦达定理代入化简即可得出答案：方法二：设A,B,M

在准线上的射影分别是A,B、，N,由题意可得出PM//X轴，设A（XQ，J,仪4,g）,/：x=my+2f

联立直线/与抛物线的方程可得y.+泗=4,解方程即可得出答案.

【常规法详解】方法一：由题意外2,0）,ZHO,设直线/：x=my+2,其中〃]=',

k

x=my+2,.

2;消去x得F—8/”-16=0,△>（）,

{>'■=8-r,

16

设4（西,凹），«（%%）,则升+必=.,y,y2=-,

又|A8|二2|PM|,则即中丽=0,

而24=（演+2,乂-2）,尸月=（七十2,），2—2）,

则（内+2）（七+2）+（y-2）（%-2）=0,

即（S+2）（酎2+2）+（X-2）（%-2）=0,

即+]）x乃+（4加-2）（x+必）+20=0,

所以一16（〃7?+1）+8"?（4"7-2）+20=0,解得〃?=■,所

2

以上」=2.

m

方法二：如下图，由题意，”（2,0）,点p在准线4=一2上，

设A,B,"在准线上的射影分别是A,B-N,

则|A.=卜丹+忸同=|/L4j+忸4|=2|MN|=2|PM|，

所以PM//X轴，

设A（%，x）,8（孙力），/：x=my+2t

X=my+2,.

2o消去X得），2-8/町-16=0,

{y=8x,

所以％+）1=4=Sin=>tn=—,所以k=工=2,

'.一2m

8.（多选）已知抛物线「r=2p.y（p>o）,过其准线上的点作的两条切线，切点分别为A,B,

下列说法正确的是（）

A.〃=2B.当f=l时，TALTB

C.当f=l时，直线/W的斜率为2D.面积的最小值为4

【答案】ABD

【详解】对A,易知准线方程为J=-l,・・・〃=2,C:x2=4.y,故选项A正确.

22

对B,设直线)，+l=A(x—l),代入了=?，得5-公+々+1=0,当直线与C相切时，有△=().即二一女—1=0,

设LA,7B斜率分别为勺，k2,易知人，心是上述方程两根，故秘2=一】，故Z4_L7B.故选项B正确.

222

对C,设小方)，8(孙必)，其中X吟』吟则爪y-%,(11)，即y=，x-y•代入点(41)，

得看―2x+2=0,同理可得/―2%+2=0,

故A3:A-2y+2=0,故氏AB=；,故选项C不正确.

对D,同C,切线方程7X:y=^rx-y\：TB:y=-^-x-y2,代入点a-1)有-l=+"x,-l=y^-y2,故

直线A8的方程为一1=，一y,即y=gx+l,联立V=4)，有f一2a—4=0,则X+占=2/,4占二一4,故

A2

|x)-x2\=yj(x}+;2)-4xrr2=2\Jr+4,又(^-1)到tx-2y+2=0的距离d=-j====>lr+4,故

1+?阮72|，/=；(产+4向故当f=0时△:的面积小值为gx4：=4,故D正确

^QATAB一-1

题理S常规型阿基米德焦点三角形

安徽省2023届高三A10联盟二模

9.(多选)已知抛物线C：f=2胡(〃>0)的焦点尸到准线的距离为4,直线/与C交于八。两点，旦

PQ=2PR,R(4,6),若过点/，、。分别作。的两条切线交于点A,则下列各选项正确的是()

A.\AF\=4x/2B.|PG|=12

C.PQ1AFD.以PQ为直径的圆过点A

【答案】ACD

【简证】第一步：由性质一可得AR〃y轴，故A点横坐标为4

第二步：由性质2可得:A点所在直线为4K=4()，+6)=>A(4,-2),故A正确

=2A/?=16,故B错：而A点在准线上，可得C对，D对

附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点。（天,阳），则点P的枕迹为直线

%y=〃（犬+工0）•若焦点在y轴上的抛物线d=2〃y,则就迹方程为玉）1=〃（），+%）

【详解】抛物线C的焦点广到准线的距离为〃=4,所以，抛物线C的方程为/=8y,

设P（XQJ、。（七,%），由河=2而可知/?为PQ的中点，

所以，用工%且X+&=8.y,+y2=12,

由二:“可得片-考=（百一修乂%+%）=8（%一/）=8（乂-%），

,A2一次

所以，直线/的斜率为&>Q=江上*=1,则直线/的方程为了-6=%-4,可得），=x+2,

斗一&

联立｛,可得/一81一16=0,所以，*々=-6,

x~=8y

对函数），=看求导可得y=9,

所以，切线AP的方程为y-y=才（x-xj,即）'=^再入—^工；+1'>=-，

同理可知，切线BP的方程为y=!x,x-!器，

48

11,A；4-X.

y=—x.x——X；x=———-2=4

-487

联立,I12可得”,即点4（4,一2）,

y=V2

4~8^8

易知抛物线C的焦点为尸（。,2）,所以，|叫=J（4-（）『+（-2-26=4日人对；

因为直线PQ：y=x+2过点尸，行以，|夕。=*+必+4=16,B错；

-9-0

因为女"二丁丁=-1，⑥Q=l,所以，Z"MQ=T,所以尸Q_LAf\故c正确：

因为|人用=8=JPQ|,且/?为尸Q的中点，所以，|A7?|=|PR|=|QR|,

因此，以PQ为直径的圆过点A,故D正确.

2024届•广东省四校第一次联考

10.过尸（以-2）向抛物线f=4y引两条切线PQ,PR,切点分别为凡Q,又点4（0,4）在直线QR上的射影为

H,则焦点/与〃连线的斜率取值范围是.

【答案】（-8,-6]36,+8）.

【简证】半代入得切点弦QR方程为m=2（），-2）,故QR过定点8（0,2）,所以点〃的轨迹为以48为直

径的圆

点、F”与圆相切时斜率取到最值

【常规法详解】设0和凹),/?(々，，2),不妨设芭＜。，々＞0,

由%2=4y,可得y=可得/=；x,则=

乙乙

可得切线尸。的方程为y-y=X,)

因为点P(HK-2)在直线PQ上，可得〃叫=2(＞',-2),

同理可得：〃%=2(必-2),

所以直线RQ的方程为〃氏=2()-2),可得直线AQ过定点4(0,2),

又因为A(0,4)在直线RQ上的射影为“，可得|AB|=4且W8”,

所以点，的就迹为以A3为直径的圆，其方程为0"：V+(),-3)2=1,

当F"与。”相切时,

由抛物线M=4),,可得F(O,1),设过点尸与圆。“相切的直线的斜率为攵，

1-3+11

1

可得切线方程为y=kx+\pi.l'=1解得k=上或&=-上,

所以实数Z的范围为(-8,-x/3J5后,+功.

11.(2023秋・海南•高三统考期末)已知P,。是抛物线C：Y=4)，上位于不同象限的两点，分别过P,。作

。的切线，两条切线相交于点兀F为C的焦点、,若|闭=2,|冈=5,则|口|=()

A.石B.VioC.2V3D.4

【答案】B

【简证】由阿基米德三角形性质可得=|FP|-|F0|=1O

【常规法详解】解：抛物线C:V=4y的焦点/(0,1),抛物线的准线方程为y=-1,

如图所示，根据抛物线对称性，不妨令P第二象限，。在第一象限，

根据抛物线的定义，可知忻1=力+1=2,忻Q|=)，Q+1=5

所以/，的纵坐标为1,。的纵坐标为4,则P(-2,l),0(4,4).

2

由产=4)，得/=工，得)；=土，所以抛物线在产，。两点处的切线斜率分别为-1和2,

42

y=-x-\fx=l/、

得到两条切线方程并联立{."，解得〈C，则7

y=2x-4[y=-2

所KZ|FT|-^12+(-2-1)2-Vio.

2023届•黑龙江哈师大附中校考

12.已知抛物线G:V=4y,过点P(26,2)向抛物线G作两条切线，切点分别为A,B,则

k州所|=.

【答案】13

【简证】由阿基米德三角形性质可得「P「=|B41MM=13

【详解】设切线的斜率为左，可得切线方程为,，一2=k“一26)，即y=A(x—2。)+2,

联立方程组卜一2")+2,整理得_!_/-日+2尿-2=0,①

[x~=4y4

由△=(一幻2-4x!(2石k-2)=0,解得仁二#一1,&=6+1，

此时将4=J5-1代入①中，可得々=2，5-2,同理4=2，5+2,

所以M—2>/3,yl{-4+26,

又由抛物线的定义,可得\AF\\BF]=(yA+1)(%+1)=+(以+%)+1

=(4-275)(4+2>/3)+4-2>/3+4+2>/3+1=13.

2023•深圳市二模

13.（多选）设抛物线C），=/的焦点为F,过抛物线。上不同的两点4,B分别作。的切线，两条切线

的交点为P,A3的中点为Q，则（）

A.PQJL*轴B.PFA.AI3C.NPFA=NPFBD.\AF\+\BF\=2\PF\

【答案】AC

【简证】

由结论I可得A对，

因为AB一定不过焦点F,故B错，

由结论5可得C对，

由结论5可得14H•忸F|=|P尸「故D错

【详解】对于A选项：设人（21）,8（石,%）,?（与,%），。（"；*

y=x1,y，=2x,

过点A切线为：y-yi二25（工一方）①，

过点B切线为：y-y2=2占（x-x,）②，

①-②得y।-y2=2中-2”，

化简可得玉2-X-=2Mx-吃），

轴,A选项正确.

设A（0,0）,8（1,1）,《（）,；）

过A点的切线为y=O,过B点的切线为），-1=2（工一1）、交点为pf^-,0

“回去,一£|小”

则kFA，=_L,kpA=a,

玉p

显然%，・％二-I，，所以尸43PA,

又因为由抛物线定义，得|A4'|=|AF|,故知Q4是线段FA!的中垂线，得到伊鹏=归用则/孙力=/巴弘

同理可证：|PB'|=|PF|、NP®g=/巴田，

所以|「川=|户用=俨耳，即N%7r=NPH4-

所以ZPAfA=ZPAB1+90?=NPB'A'+^PB'B,即ZPFA=/PFB.

14.（多选）已知抛物线「：/=2〃），（〃>0）,过其准线上的点7&-1）作「的两条切线，切点分别为A、B,

下列说法正确的是（）

A.〃=4B.当/=1时，TA1TB

C.当/=1时，直线AB的斜率为2D.直线48过定点（0,1）

【答案】BD

【分析】根据7（0-1）为准线上的点列方程-弓=-1,解方程即可得到〃可判断A;利用导数的几何意义得

到过点4N，子,8卜亍）的切线斜率，可得到为，巧为方程f-3x-4=0的解，然后利用导数的几何

意义和韦达定理得到3,A7H=5.，=-1，即可判断B；利用韦达定理和斜率公式求3B即可判断C:联立

x；-2%-4=0和片=4匕得到2），「必一2二0,同理可得2%-%-2=0,即可得到直线人8的方程为

2y-u-2=0f可判断D.

【详解】因为7亿—1）为准线上的点，所以—日=—1,解得〃=2,故A错；

根据抛物线方程得到y=工，则)，'=土，设切点坐标为A,B与，学

42I4J14

_i_i

则____£=土，整理得父一2$-4=。，同理得只一2占一4=0,

1-x,一2

所以拓，々为方程/一2工一4=0的解，％占=-4,

所以&7八•号6=5-5=-1,则力417B,故B正确；

由B选项得百+工2=2,所以左_44_内+4_।,故C错;

AB

&-x242

由B选项得d―2氏一4=(),又1=4%,联立得2)【-3-2=0,

同理得2%-田2-2=0,所以直线A8的方程为2)，一次一2=。，恒过点(0,1),故D正确.

广东省东莞市第四高级中学2023届高三三模数学试题

15.(多选)已知抛物线C：V=4x,。为坐标原点，点?为直线x=-2上一点，过点?作抛物线。的两条

切线，切点分别为A,8,贝J()

A.抛物线的准线方程为4-1B.直线4B一定过抛物线的焦点

C.线段长的最小值为4夜D.OP1AB

【答案】ACD

【分析】根据抛物线的焦点坐标和准线方程，结合一元二次方程根的判别式进行判断A、B、D；联立直线

与抛物线方程，根据韦达定理，结合弦长公式即可判断C.

【详解】由抛物线C:y2=4x可知，焦点坐标为21,0),准线方程为尸-1,故选项A正确：

设P(-2,m),显然直线P4存在斜率且不为零，设为占，方程为y-〃?=K(x+2),

与抛物线方程联立I，=4%,得4)，2-4)，+8占+4〃?=0,

y-/n=k,(x+2)

因为24是该抛物线的切线，所以△=(-4)2-4%(84+4〃?)=0,即21+4〃?-1=(),

-421

且A的纵坐标为：一歹二厂，代入抛物线方程中可得A的横坐标为：TT,

乙K、AC.Ki

设立线R4存在斜率且不为零，设为的，

,-421

同理可得：2k；+k2m-1=0,且ZJ的纵坐标为：一5二=丁，横坐标为77,

显然勺、k2是方程2尸+&〃7-1=0的两个不等实根，所以K+*2=—=一;,

221)

——丁__x2

因为kgk°p=$4,更=*,2=」,2=

ABOPJ____L-2h+k、-2-2

好一点一~2

所以OP/AQ,因此选项D正确，

2

由上可知：A3的斜率为一，

m

221

直线A3的方程为：＞'-y=—,即〃次：丁一2/欣।=2A：x-2,

勺"？K、

又2k：+ktm-\=0,所以k/n=1一2太；，

所以(&「24：)y-2(1-2k；)=2k；x-2,即(1-2k;)y=2K(x-2),

所以直线48一定过(2.0),显然该点不是抛物线的焦点，因此选项B不正确,

由题意知，直线A6的斜率不为0,设直线A6的方程为不二〃。十2,"(孙先)，

x=my+2、

由＜2/得V一4/股一8=°，所以凹+为=4机，,乃=一8，

y=4x

所以IAIi\=J(l+/叫［(*+/2)2_4＞处=J(l+叫(16加1+32)

=+3〃/+2=4J〃/+J)-；24&,当且仅当"1=0时等号成立，故选项C正确;

故选：ACD

16.已知抛物线C：V=8y,直线/:g+)」4=。与抛物线。相交于AI两点，过AB两点分别作抛物线C

的切线，两条切线相交于点P，求△?1放面积的最小值.

【答案】32企

【详解】如图所示，

犬二8v

设则工产修，联立方程组〈一,八整理得犬+8〃次-32=0,

;?tv+>,-4=0,

所以△:64〃产+128>0,且％+七=一8〃?,x)x2=-32,

所以IAB|=Jl+〃?2-J(X]-4g=8,(1+/叫(/“2+2).

由/=分，可得尸：，则>'=：,所以抛物线。的过点4的切线方程是y-y=a(.-%),

22

将M吟代入上式整理得丁吟x-今，

同理可得抛物线C的过点B的切线方程为yqx-今

y=­Xx——<

48々opX+X,

由,,解付工=七=，〉，二蟹所以x=-4m,y=-4,

巧%;2y

V=—X--

■48

|/nx(-4/z/)-4-4|4(/n2+2)

所以P(-4m,-4)到直线+)，-4=0的距离〃

\lm2+\\Jm2+1

所以尸的面积S=%B|d=L8j(l+也(62+2卜4，,+2

=16(〃/+2p,

2

22Vyjm4.]

当〃7=0时，Smin=3272,

所以△人AP面积的最小值为32叵.

17.已知C的方程为/=()，，过直线，=x-l上的动点。作C的两条切线44,切点分别为AB,证明：直

线A8恒过定点.

【详解】曲线C:/=：)