2025年吉林省中考数学试卷二套附答案

2025年吉林省中考数学试卷一、选择题（下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意．每小题3分，共18分）1（3分AA3A（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．423）A．我 B．中 C．国 D．3（3分计223的结为）A．2a5 B．2a6 C．8a5 4（3分﹣32）A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣153）绕着它的中心旋转角αα）A．90° B．120° C．150° D．180°6（3）C＝4（）BA于点N（2，NBNNC3（）A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC二、填空题（每小题3分，共15分）7（3分因分2ab＝ ．8（3分计＝ ．9（3分孙算记载这一题今三人车二空二共车若每3同一最终剩余2辆空车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有x辆车 ．103）图正形BE边，C的延线点 13分如，平直角标中过点O的直与比数，B两，别点A，画半为1AB当⊙B分与x轴切接 果保留π）三、解答题（本题共11小题，共87分）126）化，值，中a202．13（603225B，C146的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元．某游客购买了甲、乙两种商品共10盒157）ADE，ABE≌△DCF．AB＝12，DF＝13BE16（7分②6×6BCA，B，C①点DCDD＝AB．②EAEC，使∠AEC+∠ABC＝180°．177）10被抽检粽子的质量（单位：克）分布甲组144146147148150152152152154155乙组146147147150150151153154155被抽检粽子质量的平均数和众数（单位：克）统计参赛小组平均数众数甲组150152乙组150147根据以上信息，回答下列问题：18（8D3D3D3D项目告表 时：2025年5月29日项目分析活动目标测量该城市规划展览馆的实际高度并换算其3D打印模型的高度测量工具测角仪、皮尺灰⁢实施任务一测量数据以下是测得的相关数据，并画出了如图所示的测量草图．CD＝1.4m．AACE＝61°．CDDABBDB＝42m．任务二计算实际高度B（结1m）（任务三换算模型高度AB3D打模的度为 m（果到1m）项目结果为社团制作城市规划展览馆的3D打印模型提供数据请结合上表中的测量草图和相关数据，帮助该社团完成任务二和任务三．198）图在AC，B，∠A＝4°．点P从点A出沿边C每秒1CPDBACP＞DEAC．AC．yxxAPDEBx20（0实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关20cm）总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力＝G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力＝G重力﹣F浮力．A，BFx（cm）②【解决问题】10cmAB6≤x≤10AFxA8mNN（，n21（0分60【探究发现】如图①，在▱ABCD中，∠A＝60°，E为边AD的中点，点F在边DC上，连接EF，将△DEF沿EF翻折得到△GEF，请判断该四边形的形状，不需要说明理由．BCNABBMNMNHMN，点B的对称点为点H，GN，如图②【探提图中四形GFHN否成对称形如能直写如不明理由．22（12分O2b12﹣1PmPOQPxQy△PQMy当△PQMMQQPQMyxm题号123456答案BCDABDa（﹣b【答解＝故答为：．9（2＝6+9．3（x﹣4）＝2x+9．ABCDE，∵∠ABC+∠FBC＝180°，∠BCD+∠BCF＝180°，∴∠FBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣108°＝72°，∠BCF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣108°＝72°，在△BCF中，∠F+∠FBC+∠BCF＝180°，∴∠F＝180°﹣∠FBC﹣∠BCF＝180°﹣72°﹣72°＝108°﹣72°＝36°．故答案为：36．⊙A，⊙Bx∴AC⊥x轴，BD⊥x轴，∵半径为1，∴AC＝BD＝1，∴A点的纵坐标为2，把y＝1入，得x＝ ，∴，1，AC＝1，＝ ，∴∠OAC＝60°，∴第象中影积S8＝ 同理第象中影面积S2＝ ，∴S阴影．故答为】：式•＝a+1，当a＝2025时，原式＝a+1＝2025+8＝2026．共有9种等可能的结果，其中小刚和小利被分配到同一组的结果有3种，∴小和利分到一组概．解】：游买甲品x，买种品y根据意： ，解得 ，答：游客购买甲种商品5盒，购买乙种商品6盒．（1）ABCD，AB＝CD，在△ABEDCF，∴AE△FAS（2）解：由（1）知：△ABE≌△DCF，∴AE＝DF＝13，∵AB＝12，＝3．）①D；（2②E．）147147，且147＝150﹣3；（2）乙参赛小组能获得奖励，理由如下：甲组秀数为2＝13（个，乙组秀数为0＝14（个∵依题意，四边形EBDC为矩形，∴CE＝DB＝42m，EB＝CD＝1.4m，∵在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∴EC•aAE4×an6°≈5.m∴BA+B75.+1＝77AB设3D打即模型的高度为xm，∵x：77＝1：400，解得x＝6.1925，∴3D打即模型的高度为0.1925m，∵7.1925m＝19.25cm≈19cm，∴3D打即模型的高度约为19cm，故答案为：19．）当，D∵∠BAC＝45°，以AP为边作正方形APDE，∴△APD是等直三形，AP＝BP，2，P＝3，∵BC＝7，∠DPC＝90°，∴，∴AC＝AP+PC＝3+3＝7，故答案为：7；当D线段B动时，（＜4DABPPCAP＝x，PP＝x﹣3，CP＝4，∵FP′BP，∴∠CFP＝∠CBP，∠CPF＝∠CPB，∴△CFP∽△CBP，∴ ，∴ ，解得，∴＝APS梯形PP′F＝2×（﹣）﹣8+1.5（3＜≤）′∴ ；APDEB，∴AP＝DP，AP2+DP2＝AD6，即2AP2＝72，解得：AP＝2，∴x＝6．）0mA2.．3≤x≤10AF拉力xF拉力＝kx+b（k、b为常数，（6，4）和（10拉力＝kx+b，得解得得解得，∴当≤10AF拉力xF拉力﹣5.3+5.7（6≤x≤10当x＝4F＝﹣0.3×8+5.8＝7.4，4﹣7.0.N∴m＝0.6，当7≤x≤10时，设弹簧测力计B的示数F拉力关于x的函数解析式为F拉力＝k1x+b1（k7、b1为常数，且18将坐（6，4）和（10拉力得 ，解得 ，∴当6≤10B的示数F拉力关于x的函数解析式为F＝4.375+62（≤10当﹣8.375x+6.25＝3.5解得x＝7.6，4.6﹣2.（m∴n＝1.8．DEGF∵将△DEF沿EF翻折得到△GEF，∴DE＝GE，DF＝GF，∵DF＝DE，∴GE＝DE＝DF＝GF，∴四边形DEGF是菱形；【探究证明】证明：如图：∵将△BMN沿MN翻折得到△HMN，∴BN＝HN，BM＝HM，∵BN＝BM，∴HN＝BN＝BM＝HM，∴四边形BMHN是菱形，∴NH∥BC，∵E为边AD的中点，M为边BC的中点，∴DE＝ADBC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BM，AD∥NH，∵四边形DEGF是菱形，∴DE＝FG，FG∥AD，∴FG＝DE＝BM＝HN，FG∥NH，∴四边形GFHN是平行四边形；【探究提升】解：四边形GFHN能成为轴对称图形，理由如下：GFHNGFHNGFHNGGK⊥AB∵∠A＝60°，∴∠AET＝30°，AE，设AT＝x，则AE＝2x，x＝GK，∵E为AD中点，∴AD＝2AE＝7x，DE＝AE＝2x，∵四边形DEGF是菱形，∴EG＝DE＝2x＝TK，∵四边形GFHN是矩形，∴∠GNH＝90°，∴∠GNK＝180°﹣∠GNH﹣∠HNB＝180°﹣90°﹣60°＝30°，，∵BN＝BM＝BC＝，∴AB＝AT+TK+KN+BN＝x+2x+3x+3x＝8x，；当四边形GFHN是菱形时，延长FG交AB于W设AD＝y，则DE＝DF＝EG＝GF＝BN＝BM＝HM＝NH＝y，∵四边形GFHN是菱形，y，∵EG∥CD∥AB，GF∥AD，∴四边形AEGW是平行四边形，∠GWN＝∠A＝60°，y，∴GW＝GN，∴△GWN是等边三角形，y，y，＝ ；综上述四形GFHN为轴称形．22）2，﹣）＝7+得，1＝+b﹣，b＝﹣2，∴抛物线的解析式为y＝x7﹣2x﹣1；根据题意可得，∠M＝∠ODQ＝90°，∴△QOD∽△QPM，，∴ ，则 ；该抛物线的顶点横坐标为，QM该抛物线的顶点横坐标为，纵坐为 ，，﹣2∵∠PNO＝∠ODQ＝90°，∠NPO＝∠DOQ，∴△PON∽△OQD，似比为 ，，，解，①时此时，点Q在第四象限，故；②如图所示，时此点P第限，时故；综上，或；①PQTTTE⊥x由∠PNO＝∠TEO＝90°，∠PON＝∠TOE得，∴ ，即 ，得m1舍，∴当点P向左运动时，满足题意，∴m≤﹣1；②如图所示，当点Q在抛物线上时，交x轴于点E，解得（舍或，此时，当P点向下一直移动，都符合题意，当x2﹣2x﹣1＝5时，解得，∴当时符题；③图所示，当点Q在抛物线上时，点P在第四象限，思路同②，此时Q[﹣2m，代入抛物线解析式得2﹣2m﹣1）＝（﹣5m）2+4m﹣6，解得 （舍或此时，当P点向右一直移动，都符合题意，∴当 时，合意；综上当m≤﹣3或 或 2025年吉林省长春市中考数学试卷8324分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（3分）m记作﹣m，那么水位上升3m记作（）A．﹣3mB．+3mC．﹣5mD．+5m23）面何中圆的（ ）A．B．C．D．33）列算定确是（ ）A．2＝3a ．•aa2 ．+＝a2 43）列等组解是（ ）A．B．C．D．5（3分如图已知山峰海拔度为m米一位山者达海高度为n米点A处则、B两点之间的距离为（ ）Amnsn米 ．米C（mncosα米 D米63分已点A（3y1、B3y2）同正例数y＝k（k＜）图上则列论确的是（ ）A．y1＝﹣y2 B．y1＝y2 C．y2＞0 D．y1＜073分直三形片∠＝9°如方折两再开列论误（ ）A．MN∥DE∥PQ B．BC＝2DE＝4MNC．AN＝BQ＝NQ D．83分功J定条下率Ws反例W与（P值以（ ）A．24 B．27 C．45 D．50二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。93）8立根是 ．103）出ab一同项 ．（3）知x2＝4则数式7x﹣x值为 ．123）形面是所圆面的这扇的心的小是 °．133）①一正二体它每面是五形图②其面开 ．14（3分）如图，在边长为4的正方形CD中，对角线C、D相交于点O．点E在线段OA上，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：①∠OCP＝∠OBE；②OE＝OP；③当CE＝CB时，BP＝EF；④点A与点F之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有 ．三、解答题：本题共10小题，共78分。156）化，求1x）﹣x其中．166A、B、C三个出口中随机选择一个或列表176）▱CDCDO，B5OB3▱CD18（7分）小吉和小林从同一地点出发路800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．19（7分）①、图②、图③均是4×3的顶点均在格点上．在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．20720名男生，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．20名男生的臂展与身高数据如表：编号12345678910身高/cm166169169171172173173173174174臂展/cm161162164166164165167169169170编号11121314151617181920身高/cm175176177177178179180180181183臂展/cm169167173170177174176185b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数身高/cm175m173臂展/cm170169nc.20名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成5组：160≤a＜165，165≤a＜170，170≤a＜175，175≤a＜180，180≤a≤185）名男生臂展与身高的散点图如图y（cm）x（cm）根据以上信息，回答下列问题：写出表中m、n的值：m＝ ，n＝ ；240170cm的男生人数；图②ll185cm男生的臂展长度．218分y件分钟）甲机器人停工保养的时间为 分钟，m＝ ；AB所在直线对应的函数表达式；若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟．229）（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）【探究一】线段的最小覆盖圆线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆．理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B．如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作O'O'与O不重合O′．在△O′B中，有OAO＞B（．∵O′A＝O′B，∴2O′A＞AB，即⊙O′的直径大于⊙O的直径．∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为 ．【探究二】直角三角形的最小覆盖圆如图②Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙OAB为直径的圆．C与⊙O的位置关系，并说明理由．又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以【拓展应用】矩形的最小覆盖圆如图③，在矩形ABCD中，AB＝1cm用圆规和无刻度的直尺在图③ABCD的最小覆盖圆；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm；若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为 cm．2310C中，∠＝9DCEBDE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF．线段AB的长为 ；EF∥ACAE的长；FBC上时，求证：△ADE≌△BEF；EBCFBC2AE的长．24（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x+bx经过点（3，3，点A、B是该抛mm（A关于点MCB关于点M的对称D求该抛物线所对应的函数表达式；A，BC的坐标；设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，当0＜m＜1时，求m的值；连结O、O，当∠OB∠OD∠OCm这里∠OB、∠OD、∠OBC均是大于0°且小于180°的角）题号12345678答案B．CABBADC93）8立根是2 ．【解答】解：∵23＝2，∴8的立方根是2，故答案为：5．【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．103）出ab一同项7a答不一） ．【解答】7ab．ab．（3）知x2＝4则数式7x﹣x值为3 ．【解答】解：∵x2+2x＝3，∴7﹣x2﹣5x＝7﹣（x2+8x）＝7﹣4＝7，故答案为：3．【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确地变形是解题的关键．123）形面是所圆面的这扇的心的小是240 °．【解答】解：∵扇形的面积是它所在圆的面积的，∴这个扇形的圆心角的大小是：360°×＝240°，故答案为：240．【点评】本题考查扇形的面积计算，解答本题的关键是明确题意，求出这个扇形的圆心角的大小．133）①一正二体它每面是五形图②其面开36 ．【解答】解：∵正五边形每个外角为：360°÷5＝72°，∴正五边形每个内角为180°﹣72°＝108°，∴∠α＝360°﹣3×108°＝360°﹣324°＝36°，故答案为：36．【点评】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的性质．14（3分）如图，在边长为4的正方形CD中，对角线C、D相交于点O．点E在线段OA上，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：①∠OCP＝∠OBE；②OE＝OP；③当CE＝CB时，BP＝EF；④点A与点F之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有①②④ 【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，OA＝OB＝OC＝OD，∵CF⊥BE，∴∠COP＝90°＝∠BFP，∵∠CPO＝∠BPF，∴∠OCP＝∠OBE，故①符合题意；∵∠COP＝90°＝∠BOE，OC＝OB，△OP△OE（S，∴OP＝OE，故②符合题意；当CE＝CB时，CF⊥BE，∴EF＝BF，∠BFP＝90°，∴BP＞BF＝EF，故③不符合题意；如图，取BC的中点R，RF，∵∠CFB＝90°，∴F在以R为圆心，BC为直径的圆上，当A，F，R共线时，∵AB＝BC＝4，∴RF＝RB＝2，∴，∴，∴点A与点F之间的距离的最小值为，故④符合题意；故答案为：①②④．15（6）化，求值1x）2x其．（1x22x＝1+2x+x4﹣2x＝x2+2．当时，原式＝（）5+1＝4．【点评】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是根据运算法则进行计算．166A、B、C三个出口中随机选择一个或列表【解答】解：列表如下：ABCA（A，A）（A，B）（A，C）B（B，A）（B，B）（B，C）C（C，A）（C，B）（C，C）共有9种等可能的结果，其中甲，∴甲、乙两辆车从同一出口驶出的概率为．176）▱CDCDO，B5OB3▱CD【解答】证明：∵AB＝5，OA＝4，∴AB5＝25＝9+16＝OA2+OB5，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定，勾股定理的逆定理，掌握菱形的判定方法是解题的关键．18（7分）小吉和小林从同一地点出发路800米，小吉的平均速度是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40秒到达终点．求小林跑步的平均速度．【解答】解：设小林跑步的平均速度为x米/秒，则小吉的平均速度为1.25x米/秒，由题意得：﹣解得：x＝3，经检验，x＝4是原方程的解，答：小林跑步的平均速度为4米/秒．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19（7分）①、图②、图③均是4×3的顶点均在格点上．在图①中，△ABC是面积最大的等腰三角形；在图②中，△ABC是面积最大的直角三角形；在图③中，△ABC是面积最大的等腰直角三角形．（1如图①中，△C如图②中，△ABC即为所求；如图③中，△ABC即为所求．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，正确作出图形．20720名男生，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：a．20名男生的臂展与身高数据如表：编号12345678910身高/cm166169169171172173173173174174臂展/cm161162164166164165167169169170编号11121314151617181920身高/cm175176177177178179180180181183臂展/cm169167173170177174176185b.20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如表：平均数中位数众数身高/cm175m173臂展/cm170169nc.20名男生臂展的频数分布直方图如图①（将臂展数据分成5组：160≤a＜165，165≤a＜170，170≤a＜175，175≤a＜180，180≤a≤185）名男生臂展与身高的散点图如图y（cm）x（cm）根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m、n的值：m＝174.5 ，n＝169 ；240170cm的男生人数；图②ll185cm男生的臂展长度．解】解（1由格息得： ，n169cm，故答案为：174.5，169；（2）该校九年级有男生240人，估计臂展大于或等于170cm的男生人数为：；（3）∵y＝5.2x﹣40，当x＝185时，y＝1.3×185﹣40＝182，∴身高为185cm男生的臂展长度约为182cm．218分y件分钟）甲机器人停工保养的时间为20 分钟，m＝3800 ；AB所在直线对应的函数表达式；若该快递公司当天分拣快递的总数量为5450件，则乙机器人工作时间为分钟．（1A40220270604020分钟，220÷4＝5件，∴m27055×8060＝380件，故答案为：20，3800；AB所在直线对应的函数表达式为：y＝kx+b，（4，220，270，得解得：得解得：，∴y＝25x+1200；n分钟，54027055（n60，解得：n＝110，故答案为：110．229）（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）【探究一】线段的最小覆盖圆线段AB的覆盖圆有无数个，其中，以AB为直径的圆是其最小覆盖圆．理由如下：易知线段AB的最小覆盖圆一定经过点A、点B．如图①，以AB为直径作⊙O，再过A、B两点作O'O'与O不重合O′．在△O′B中，有OAO＞B（．∵O′A＝O′B，∴2O′A＞AB，即⊙O′的直径大于⊙O的直径．∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边； ．【探究二】直角三角形的最小覆盖圆如图②Rt△ABC中，∠ACB＝90°．⊙OAB为直径的圆．C与⊙O的位置关系，并说明理由．又由【探究一】可知，⊙O是Rt△ABC最长边AB的最小覆盖圆，所以【拓展应用】矩形的最小覆盖圆如图③，在矩形ABCD中，AB＝1cm用圆规和无刻度的直尺在图③ABCD的最小覆盖圆；（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）该矩形ABCD的最小覆盖圆的直径为 cm；若用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，则这样的两个等圆的最小直径为 cm．【解答】ABABAB为直径作OB⊙OO与O不重合，OBO+O＞B．∵OA＝OB，∴2OA＞AB，即⊙O的直径大于⊙O的直径．∴⊙O是线段AB的最小覆盖圆．“▲”处应填写的推理依据为三角形的任意两边之和大于第三边．故答案为：三角形的任意两边之和大于第三边；探究二：∵∠ACB＝90°，O为AB的中点，∴OC＝OA＝OB，∴C在⊙O上；1如图，⊙OCDABCD，AB＝1cm，∴∠ABC＝90°，∴，故答案为： ；ADLJADL，∴四边形ABJL，DCJL是两个全等的矩形，∴AL＝DL＝4＝BJ＝CJ，∵用两个等圆完全覆盖矩形ABCD，∴两圆一定过L，J，连接AJ，BL，DJ，K，同理可得：这样的两个等圆的最小直径为AJ或BL或CL或DJ，∴最小直径为如图，作AB的垂直平分线交AB，CD于V，W，同法作⊙Q，⊙K，此时不是直径最小的等圆；综上：用两个等圆完全覆盖矩形ABCD．则这样的两个等圆的最小直径为，故答案为：．2310C中，∠＝9DCEBDE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF．线段AB的长为4 ；EF∥ACAE的长；FBC上时，求证：△ADE≌△BEF；EBCFBC2AE的长．【解答】（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴，故答案为：4；解：如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∴∠A＝∠B＝45°，AD＝CD＝