2025年统计学专业期末考试题库-抽样调查方法案例分析试题及解析

2025年统计学专业期末考试题库——抽样调查方法案例分析试题及解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、某市教育委员会想了解该市高中生对于在线学习的满意程度，并希望得到的结果能以95%的置信水平保证误差范围在5%以内。已知以往类似调查的满意度标准差约为0.3。假设该市共有高中生约10万人，学校分布相对均匀，但没有关于各学校学生满意度的历史数据。请设计一个抽样方案。二、在上述调查中，如果你负责抽样实施，遇到了以下几种情况，请分别说明应对策略：1.初步拟定的抽样框包含了全市所有公立和私立高中，但在抽样过程中发现部分私立学校拒绝配合，导致抽样框不完整。2.通过抽样抽到某中学后，发现该校学生在线学习的参与度差异很大，部分年级参与度高，部分年级参与度低。3.问卷发放后，有相当一部分学生选择了不回复。三、假设最终通过分层随机抽样（按学校类型分层：公立、私立）获得了有效样本数据。其中，从公立学校抽取了300名学生，满意度评分为4.5（满分5分）；从配合的私立学校抽取了150名学生，满意度评分为4.2。请计算该市高中生总体满意度的点估计值，并构造一个95%的置信区间。假设已知公立学校层内方差为0.16，私立学校层内方差为0.18，两层的样本量分别为300和150，总样本量为450。四、一家市场研究公司想了解某城市居民对一种新型环保产品的购买意愿。该市有50个社区，社区间居民收入水平和生活习惯差异较大。公司计划进行一项抽样调查，要求对样本结果的推断具有90%的置信水平，且希望估计总体比例的误差不超过8%。如果采用整群抽样，将社区作为群，需要抽取多少个社区？请说明理由，并简述与简单随机抽样相比，整群抽样可能带来的优势和劣势。五、某非营利组织想调查其服务的目标群体（低收入家庭）对服务的满意度。由于难以获得完整的低收入家庭名单（抽样框缺失），组织者决定采用方便抽样方法，在几个大型社区中心发放问卷进行调查。初步回收了200份有效问卷。请分析这种抽样方法可能存在的主要偏差（偏倚），并说明这种抽样结果是否能用来有效推断全市低收入家庭对服务的总体满意度。六、假设你正在进行一项关于农村地区互联网普及率的调查。已知该地区有100个行政村，人口分布不均。采用多阶段抽样方法：第一阶段：随机抽取10个行政村。第二阶段：在每个被抽中的行政村中，随机抽取50户家庭。第三阶段：在抽中的每户家庭中，随机抽取1名18岁以上的家庭成员进行访谈。请简述这个多阶段抽样设计的步骤，并说明它在覆盖广阔地理区域进行调查时的优势。如果在第二阶段发现某个行政村抽中的50户家庭中，有10户家庭完全不使用互联网，这对最终的互联网普及率估计会有什么影响？如何处理这种情况？试卷答案一、设计抽样方案如下：1.确定抽样方法：由于总体单位（学生）数量较多，采用概率抽样。考虑到学校分布相对均匀且无历史数据，可选择简单随机抽样或整群抽样。若以学校为单位抽样（整群抽样），需先对学校进行编号，然后使用随机数表或软件抽取一定数量的学校。若采用简单随机抽样，则需构建全市所有高中生的统一名单（理想抽样框），从中直接抽取学生。考虑到学校差异可能较大，整群抽样可能需要较大样本量，简单随机抽样（若有完整名单）更直接。此处假设能获得完整名单，采用分层随机抽样，按学校类型（公立、私立）分层，以保证两层代表性。2.确定样本量：使用公式n=(Zα/2²*σ²*N)/(Zα/2²*σ²+ε²*N)或n=(Zα/2²*p(1-p)*N)/(Zα/2²*p(1-p)+ε²*N)。因不知比例p，用最大方差p(1-p)=0.25估计。α=0.05，Zα/2=1.96，ε=0.05，N=100000。计算得到n≈384。为保证学校至少被抽中一个，需采用整群抽样计算或调整。此处按分层随机抽样所需最小样本量，每层至少抽取n/2=192人。若学校总数远大于192，可按比例分配，或直接抽取192名公立和192名私立学生。若学校总数较少，则需抽取所有学校，并在每个学校内按比例抽取学生，总样本量等于学校总数乘以每校抽样人数（需确保每校至少抽1人）。3.抽样实施：按设计的分层方法，从抽样框中抽取样本。对抽中的学生，发放问卷进行数据收集。二、应对策略如下：1.抽样框不完整：对于拒绝配合的私立学校，若数量不多，可尝试沟通说服；若数量较多或态度坚决，可考虑将其视为一个独立的层，单独进行估计，或将这些学校的学生从总体中剔除（需说明理由），或采用替代的抽样框（如教育局提供的私立学校名单）。重要的是在报告中披露抽样框的局限性及其对结果可能产生的影响。2.学校内部差异大：这种情况表明整群抽样的效率可能不高。可以采用更细致的抽样方法，如在抽中的学校内部，根据学生年级或在线学习参与度等变量进行分层，然后进行整群内部抽样（如类聚抽样）或直接抽样（如PPS抽样，对参与度高的年级赋予更高概率）。也可以考虑增加对参与度差异大学校的样本量，以减少抽样误差。3.高无回答率：首先分析未回复原因。是问卷设计问题、发放方式不当、时间不便还是其他？针对原因采取措施：改进问卷设计使其更简洁、清晰、有趣；提供激励措施（如抽奖、小礼品）；选择更合适的发放和回收方式（如上门访谈、电话随访）；延长回收期限；对已回收问卷进行加权，以调整样本结构与总体结构的一致性。同时，在数据分析时需对有效样本进行加权，并披露无回答率及其可能带来的偏差。三、点估计值：θ̂=(N₁/N)*θ̂₁+(N₂/N)*θ̂₂其中N₁=300,N₂=150,N=450,θ̂₁=4.5,θ̂₂=4.2,N₁/N=300/450=2/3,N₂/N=150/450=1/3。θ̂=(2/3*4.5)+(1/3*4.2)=3+1.4=4.4总体满意度点估计值为4.4分。95%置信区间：使用分层抽样方差公式：V(θ̂)=(N₁/N)²*V(θ̂₁)+(N₂/N)²*V(θ̂₂)+(N₁/N)*(N₂/N)*Cov(θ̂₁,θ̂₂)其中V(θ̂₁)=σ₁²/n₁=0.16/300=0.00053,V(θ̂₂)=σ₂²/n₂=0.18/150=0.0012假设层间协方差Cov(θ̂₁,θ̂₂)≈0（若无理由假设相关，常忽略或假设为0）V(θ̂)≈(2/3)²*0.00053+(1/3)²*0.0012V(θ̂)≈4/9*0.00053+1/9*0.0012V(θ̂)≈0.000236+0.000133=0.000369标准误SE(θ̂)=√V(θ̂)=√0.000369≈0.0192置信区间=θ̂±Zα/2*SE(θ̂)=4.4±1.96*0.0192=4.4±0.0376置信区间约为(4.3624,4.4376)。95%的置信区间为(4.36,4.44)分。四、所需社区数（整群抽样）：通常使用类似简单随机抽样的公式估算，但需考虑群内方差。公式为：k=(Zα/2²*σ̂ₚ²*N)/(Zα/2²*σ̂ₚ²+ε²*N)其中α=0.1,Zα/2=1.64,ε=0.08,N=50。这里需要估计群内比例方差σ̂ₚ²。若无先验信息，可假设最大值（如0.25）或使用类似整群抽样样本量公式：k=(Zα/2²*M²*V̄ₚ)/(Zα/2²*V̄ₚ+ε²*N)或简化为k≈(Zα/2²*M²*σ̄²)/(ε²*N)，其中M为群数（50），V̄ₚ为群均值方差，σ̄²为群均值标准差的平方。若假设所有社区比例方差相同且未知，可用最大值0.25估计。计算：k≈(1.64²*50²*0.25)/(0.08²*50)=(2.6896*2500*0.25)/(0.0064*50)=1674/0.32=5231.25。此值过大，说明需用更精确公式或先验信息。更常用的是基于设计效应（Deff）的公式：k=n₀/Deff，其中n₀是简单随机抽样所需样本量。n₀=(Zα/2²*p(1-p)*N)/(Zα/2²*p(1-p)+ε²*N)≈(1.64²*0.25*50)/(1.64²*0.25+0.08²*50)=134/(2.6896+0.32)=134/3.0096≈44.5。假设设计效应Deff=1+(ρ*(M-1))，其中ρ为群内相关系数，若未知取0.1-0.3。取Deff=2(较保守)，则k=44.5/2=22.25，向上取整需23个社区。实际操作中，还需考虑群规模是否一致，以及每个群需抽取多少个元素（户或个人）。优势：覆盖范围广，地理上分散，成本较低，组织方便。劣势：若群内单位同质性高，群间异质性低，则抽样效率低（需要更大样本量）；结果代表性可能受群内同质性影响。五、方便抽样可能存在的主要偏差：1.选择偏差/无回答偏差：接触到的低收入家庭可能并非随机选择，例如，那些在家、有空闲时间、愿意参与活动的人更可能被访问到，而工作繁忙、不常出门或对调查不感兴趣的低收入家庭则被排除。2.抽样框偏差：社区中心是方便抽样框，它无法代表所有低收入家庭。经常光顾社区中心的人群可能在教育、职业、生活习惯等方面与整体低收入家庭有系统性差异。这些偏差会导致样本结果无法有效代表全市低收入家庭，推断总体结论时存在严重偏倚。六、多阶段抽样设计步骤：1.第一阶段：从100个行政村中随机抽取10个作为初级抽样单位（PSU）。2.第二阶段：在每个被抽中的行政村中，随机抽取50户家庭作为次级抽样单位（SSU）。3.第三阶段：在抽中的每户家庭中，随机抽取1名18岁以上的成年人为最终抽样单位（FSU），进行访谈。优势：多阶段抽样能以相对较低的成本和人力，对地理上广阔或异质性高的总体进行有效抽样覆盖。便于管理和实施，可以在不同阶段采用不同抽样技术（如第一阶段整群，后续阶段PPS或简单随机）。影响及处理：发现