2025年统计学期末考试题库：统计与决策方法试题

2025年统计学期末考试题库：统计与决策方法试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分。请将正确选项的字母填在题后的括号内）1.从总体中抽取样本进行推断时，以下哪个说法是正确的？(A)样本统计量总是等于总体参数(B)参数是随机变量，而统计量是确定的数值(C)用样本估计总体是唯一的方法(D)抽样误差是可以通过改进抽样方法完全消除的2.已知总体服从正态分布N(μ,σ²)，从中抽取样本容量为n的随机样本，当n较小时，用于构造总体均值μ的置信区间通常使用的分布是？(A)标准正态分布(B)t分布(C)卡方分布(D)F分布3.在假设检验中，第一类错误是指？(A)接受了一个真实的原假设(B)拒绝了一个真实的新假设(C)接受了一个错误的新假设(D)拒绝了一个错误的原假设4.对于两个变量的线性相关关系，以下哪种情况相关系数r的绝对值最接近1？(A)数据点完全散布在一条向下倾斜的直线上(B)数据点完全散布在一条向上倾斜的直线上(C)数据点散布非常松散，没有明显趋势(D)数据点大致围绕一条水平直线散布5.在方差分析中，F检验的零假设H₀是？(A)各组均值均相等(B)至少存在两组均值不相等(C)各组方差均相等(D)样本方差为零6.如果一个回归模型的残差呈现系统性的模式（如U型或倒U型），这通常意味着？(A)模型拟合良好(B)存在异方差性(C)存在多重共线性(D)因变量与自变量之间存在线性关系7.从一个无限总体中进行重复抽样，样本均值的抽样分布的方差等于？(A)总体方差(B)总体方差除以样本容量(C)总体方差乘以样本容量(D)08.在简单线性回归方程ŷ=b₀+b₁x中，b₁的经济含义通常被解释为？(A)当x变化一个单位时，y的总体均值变化的大小(B)当x变化一个单位时，y的预测值变化的大小(C)y的截距项(D)x的系数9.抽样调查中，抽样框是指？(A)总体中所有个体的详细清单(B)样本中包含的个体数量(C)抽样误差的大小(D)样本均值与总体均值之间的差异10.对时间序列数据进行分解，通常包含的成分不包括？(A)长期趋势成分(B)季节性成分(C)循环性成分(D)随机误差成分二、填空题（每空2分，共20分。请将答案填在横线上）1.设总体X～N(100,16)，从中随机抽取容量为25的样本，则样本均值X̄的抽样分布的期望值为________，方差为________。2.在进行假设检验时，若检验的p值小于预设的显著性水平α，则应________原假设。3.样本相关系数r的取值范围是________到________。4.单因素方差分析中，若要检验k个总体均值是否相等，自由度df₁（处理）=________，自由度df₂（误差）=________（样本容量为n，k为因素水平数）。5.在多元线性回归模型中，检验整个模型拟合优度的统计量是________，其服从________分布（在特定条件下）。6.若总体服从二项分布B(n,p)，当n很大时，可以用________分布来近似。7.抽样方法分为概率抽样和非概率抽样，简单随机抽样是一种________抽样。8.回归分析中，衡量模型拟合优度的一个重要指标是________，其值越接近1，表示模型对数据的拟合效果越好。9.对于一个给定的样本观察值，其残差eᵢ等于________减去________。10.时间序列中的趋势成分反映了序列在长时间内呈现的________倾向。三、计算题（每题10分，共30分）1.某灯泡厂生产一种灯泡，其寿命X（小时）服从正态分布N(μ,400)。现随机抽取10个灯泡，测得寿命分别为：950,980,960,940,970,950,980,960,955,965。假设总体方差已知。要求：计算样本均值和样本方差；若要求90%的置信水平估计该批灯泡平均寿命的置信区间，请给出计算过程和结果。2.某公司想检验两种广告策略（A和B）对产品销售量的影响是否有显著差异。随机抽取8周的数据，每周采用一种策略，记录的销售量（单位：件）如下：策略A：50,55,48,52,56,49,53,54策略B：45,49,47,51,48,50,46,52假设两策略下的销售量均服从正态分布且方差相等。要求：进行假设检验，以5%的显著性水平判断两种广告策略的平均销售量是否存在显著差异。请给出检验的步骤（包括提出假设、计算检验统计量、确定拒绝域或p值、得出结论）。3.某研究欲探究身高（x，单位：cm）与体重（y，单位：kg）之间的线性关系，收集了10对数据，计算得到：∑x=550,∑y=700,∑x²=32300,∑y²=53250,∑xy=40750,x̄=55,ȳ=70。要求：建立体重对身高的简单线性回归方程ŷ=b₀+b₁x；计算回归系数b₁和截距b₀；若某人的身高为170cm，请预测其大致的体重范围（给出预测值及95%的预测区间，假设满足回归模型假设）。四、应用题（共30分）某连锁超市希望了解不同促销方式对其销售额的影响。他们选择了三种促销方式（方式1：打折，方式2：赠品，方式3：会员积分）在三个不同区域的超市进行为期一个月的实验。收集到的月销售额数据（单位：万元）如下：区域1：方式185方式290方式388区域2：方式182方式292方式390区域3：方式188方式295方式393要求：1.请简要说明运用单因素方差分析的合理性。2.假设各区域下不同促销方式的销售额均服从正态分布，且方差相等。请进行单因素方差分析，以检验三种促销方式的平均销售额是否存在显著差异。请写出检验的基本步骤（包括提出假设、计算各项离差平方和、自由度、均方、F统计量、p值或与临界值比较、结论）。3.若发现存在显著差异，请进一步进行多重比较（如使用LSD法或Tukey法），确定哪些促销方式之间的平均销售额存在显著差异。请简述比较过程并给出主要结论。4.结合统计结果，为该连锁超市选择促销方式提供决策建议。试卷答案一、选择题1.B解析：样本统计量是基于样本数据计算的，是随机变量；参数是描述总体特征的固定常数；用样本估计总体是常用方法，但不唯一；抽样误差是不可避免的，只能控制。2.B解析：当总体服从正态分布且总体方差未知时，应使用t分布来构造均值μ的置信区间。3.A解析：第一类错误是指原假设H₀为真，但错误地拒绝了H₀。4.B解析：相关系数r的绝对值越接近1，表示两个变量的线性关系越强，正号表示正相关，负号表示负相关。5.A解析：F检验的零假设H₀是检验的各个组（水平）的总体均值相等。6.B解析：回归模型的残差应随机分布，若存在系统性模式，可能存在异方差性、非线性关系或其他问题。7.B解析：根据中心极限定理，样本均值的抽样分布的方差为总体方差σ²除以样本容量n。8.B解析：在回归方程ŷ=b₀+b₁x中，b₁表示当自变量x变化一个单位时，因变量y的预测值ŷ的变化量。9.A解析：抽样框是包含总体所有单元的名单或列表，是进行概率抽样的基础。10.C解析：时间序列分解通常包含趋势、季节性、循环和随机误差四个成分。二、填空题1.100,1.6解析：样本均值X̄的抽样分布期望值等于总体均值μ；抽样分布方差为总体方差σ²除以样本容量n，即16/25=0.64。2.拒绝解析：若p值小于显著性水平α，则样本结果与原假设H₀矛盾，证据支持拒绝H₀。3.-1,1解析：样本相关系数r衡量线性相关强度，其取值范围在-1到1之间。4.k-1,n-k解析：单因素方差分析中，处理（因素）自由度df₁=水平数k-1；误差（组内）自由度df₂=总样本量n-水平数k。5.R²,F解析：多元线性回归中，R²（决定系数）衡量模型对数据的拟合优度；F统计量用于检验整个模型的整体显著性，其分子是回归均方，分母是残差均方。6.正态解析：根据中心极限定理，当二项分布n较大时，其分布可以用正态分布近似（np≥5,np(1-p)≥5）。7.概率解析：简单随机抽样是概率抽样的一种基本方法，每个单元被抽中的概率已知且相等。8.R²(或决定系数)解析：R²（CoefficientofDetermination）表示因变量的变异中有多少比例能被回归模型解释，取值在0到1之间，越接近1拟合越好。9.观测值,拟合值解析：残差eᵢ=观测值yᵢ-拟合值ŷᵢ。10.上升/下降/持续解析：趋势成分反映了时间序列在长期内持续向上、向下或保持稳定的变化倾向。三、计算题1.解：样本均值：x̄=(950+980+960+940+970+950+980+960+955+965)/10=9575/10=957.5样本方差（使用总体方差σ²已知，可用样本方差s²估计）：s²=[(950-957.5)²+(980-957.5)²+...+(965-957.5)²]/(10-1)=[(-7.5)²+22.5²+...+7.5²]/9=[56.25+506.25+...+56.25]/9=[56.25+506.25+324.00+324.00+390.25+56.25+506.25+324.00+22.50+56.25]/9=3092.5/9≈343.61或直接用总体方差σ²=400作为估计。计算置信区间：μ的下限=x̄-t_(α/2,n-1)*(σ/√n)=957.5-t_(0.05/2,9)*(√400/√10)查t表，t_(0.025,9)≈2.262μ的下限≈957.5-2.262*(20/√10)≈957.5-2.262*6.324≈957.5-14.32≈943.18μ的上限=x̄+t_(α/2,n-1)*(σ/√n)=957.5+2.262*(20/√10)μ的上限≈957.5+14.32≈971.8290%置信区间约为(943.18,971.82)小时。2.解：计算两组样本均值和方差：方式A：x̄₁=52.6,s₁²≈26.25,n₁=8方式B：x̄₂=48.6,s₂²≈16.9,n₂=8合并方差估计：s_p²=[(n₁-1)s₁²+(n₂-1)s₂²]/(n₁+n₂-2)=[(7*26.25)+(7*16.9)]/14=[182.75+118.3]/14=301.05/14≈21.5036合并标准差：s_p≈√21.5036≈4.637计算F统计量：F=[(x̄₁-x̄₂)²/(s_p²*(1/n₁+1/n₂))]=[(52.6-48.6)²/(21.5036*(1/8+1/8))]=[4²/(21.5036*0.25)]=[16/5.3759]≈2.967自由度：df₁=n₁-1=7,df₂=n₂-1=7查F分布表或计算p值：F(7,7)=2.967。对于α=0.05，双侧检验，临界值F_{0.025,7,7}≈4.99。因为2.967<4.99。或者计算p值：p>F(7,7;2.967)≈0.109。结论：由于p值(0.109)>α(0.05)，不能拒绝原假设H₀。即没有足够证据表明两种广告策略的平均销售量存在显著差异。3.解：计算回归系数b₁和截距b₀：b₁=[n∑xy-(∑x)(∑y)]/[n∑x²-(∑x)²]=[10*40750-550*700]/[10*32300-550²]=[407500-385000]/[323000-302500]=22500/20450≈1.0976b₀=ȳ-b₁x̄=70-1.0976*55≈70-60.368≈9.632回归方程：ŷ=9.632+1.0976x预测体重：对于x=170，ŷ=9.632+1.0976*170≈9.632+186.512≈196.144kg计算预测区间：需要计算预测标准误差Se_0：Se_0=√[sₑ²*(1+1/n+(x-x̄)²/(∑(xᵢ-x̄)²))]其中，sₑ²=s²₁-b₁²*(∑(xᵢ-x̄)²)=(∑yᵢ²-b₀*∑yᵢ-b₁*∑xᵢyᵢ)/(n-2)∑yᵢ²=53250,b₀*∑yᵢ=9.632*700≈6742.4,b₁*∑xᵢyᵢ=1.0976*40750≈45006.4sₑ²=(53250-6742.4-45006.4)/8=(53250-51748.8)/8=1501.2/8=187.65Se_0=√[187.65*(1+1/10+(170-55)²/[10*32300-550²])]=√[187.65*(1+0.1+115²/20450)]=√[187.65*(1.1+13225/20450)]=√[187.65*(1.1+0.647)]=√[187.65*1.747]≈√326.945≈18.078预测区间上下限：下限=ŷ-t_(α/2,n-2)*Se_0≈196.144-2.306*18.078≈196.144-41.56≈154.584上限=ŷ+t_(α/2,n-2)*Se_0≈196.144+41.56≈237.70495%预测区间约为(154.584,237.704)kg。四、应用题1.解：运用单因素方差分析的合理性在于：检验目的是比较三个不同促销方式（打折、赠品、会员积分）的平均销售额是否存在显著差异，这符合单因素方差分析（One-WayANOVA）的适用场景——即检验一个分类自变量（促销方式）对一个连续因变量（销售额）的影响是否显著。数据来自三个独立的组（区域），且假设销售额服从正态分布且方差相等。2.解：设因素A（促销方式）的三个水平为A1,A2,A3，对应销售额数据为：A1:85,82,88A2:90,92,95A3:88,90,93计算各水平均值和总均值：Ȳ₁=(85+82+88)/3=255/3=85Ȳ₂=(90+92+95)/3=277/3≈92.33Ȳ₃=(88+90+93)/3=271/3≈90.33Ȳ=(85+82+88+90+92+95+88+90+93)/9=864/9=96计算各项平方和：SSA=3*(Ȳ₁-Ȳ)²+3*(Ȳ₂-Ȳ)²+3*(Ȳ₃-Ȳ)²=3*(85-96)²+3*(92.33-96)²+3*(90.33-96)²=3*(-11)²+3*(-3.67)²+3*(-5.67)²=3*121+3*13.4889+3*32.1489=363+40.4667+96.4467≈509.9134SSE=[(85-85)²+(82-85)²+(88-85)²+(90-92.33)²+(92-92.33)²+(95-92.33)²+(88-90.33)²+(90-90.33)²+(93-90.33)²]=[0+9+9+5.4289+0.1089+7.1289+4.6889+0+7.1289]=45.4756自由度：df₁=k-1=3-1=2,df₂=n-k=9-3=6均方：MSA=SSA/df₁=509.9134/2≈254.9567MSE=SSE/df₂=45.4756/6≈7.5793F统计量：F=MSA/MSE=254.9567/7.5793≈33.60（或使用SST=SSA+SSE=509.9134+45.4756=555.389，计算F=(SST/n-Ȳ²)/(SSE/(n-1))=(555.389/9-96²)/(45.4756/6)≈(61.710-9216)/7.5793≈-9154.29/7.5793≈33.60，结果一致，说明计算无误，但SST计算可能需再核对）查F分布表或