2025年统计学期末考试题库：统计与决策应用题解析试卷

2025年统计学期末考试题库：统计与决策应用题解析试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、某公司人力资源部想要了解员工对其福利计划的整体满意度，并对不同年龄组（分组方式：25岁以下、25-40岁、40岁以上）员工的满意度是否存在显著差异进行研究。随机抽取了200名员工进行问卷调查，使用李克特量表（非常满意、满意、一般、不满意、非常不满意）测量满意度，数据整理后发现“非常满意”和“满意”为正向评价。1.在本研究中，研究者想了解的总体参数是什么？请分别说明。2.若采用假设检验方法研究不同年龄组员工满意度是否存在显著差异，请写出原假设和备择假设。3.假设选择了卡方检验，请说明进行该检验需要满足哪些基本条件。4.检验结果显示χ²计算值为18.5，P值为0.001。请解释这个检验结果的实际含义，并基于此结果对公司制定或调整福利计划提出至少两条建议。二、某快消品公司想要评估其新产品A在两个不同地区的市场接受度。随机从地区甲抽取了1500名消费者进行调查，其中有720名表示熟悉并喜欢该产品；随机从地区乙抽取了1200名消费者进行调查，其中有550名表示熟悉并喜欢该产品。1.为了比较两个地区消费者对产品A的喜欢程度是否存在显著差异，请计算两个地区样本比例的抽样标准误。2.请计算并解释检验统计量（如Z值）及其对应的P值。3.基于计算结果，该快消品公司能否得出两个地区消费者对产品A的喜欢程度存在显著差异的结论？请说明理由。4.如果结论是显著的，公司应考虑采取哪些针对性的市场策略？三、某银行想知道客户的月消费支出（单位：元）与其年龄（单位：岁）之间是否存在线性关系。随机抽取了50位客户的月消费支出和年龄数据，利用统计软件进行分析，得到以下部分结果：*回归方程：月消费支出=500+20*年龄*R²=0.45*标准误差（回归系数）=51.请解释回归方程中斜率系数（20）和截距系数（500）的实际含义。2.R²值为0.45说明了什么？3.假设某位客户年龄为35岁，请预测其大致的月消费支出，并说明该预测的置信区间（请说明构建置信区间所需的关键信息，无需具体计算）。4.如果银行计划针对月消费支出较高的客户推出一项贵宾服务，请基于以上回归分析结果，提出至少两条筛选目标客户或设计服务内容的建议。四、某连锁超市想要分析其某门店销售额（单位：万元）与广告投入（单位：万元）之间的关系，以优化广告预算。收集了连续12个月的销售额和广告投入数据，绘制散点图发现数据点大致呈线性趋势，且计算得到相关系数r=0.78。1.请解释相关系数r=0.78的含义。2.基于散点图呈线性趋势且|r|>0.7，请判断是否适合进行线性回归分析？为什么？3.若进行线性回归分析，请说明自变量和因变量分别是什么。4.分析完成后，超市管理者是否可以简单地认为广告投入越多，销售额就一定越高？请说明理由，并指出在利用回归模型进行决策时需要注意哪些潜在问题。五、某工厂生产某种零件，其重量理论上应服从正态分布N(50,2.5²)。质检部门定期抽取样本进行检验。某次抽检随机抽取了25个零件，测得样本平均重量为49.8克。1.请计算该样本平均重量的抽样标准误。2.假设检验的显著性水平α=0.05，请提出原假设和备择假设来检验当前生产的零件重量是否仍符合标准（μ=50克）。3.计算检验统计量（如t值）及其对应的P值（或直接说明拒绝域）。4.基于检验结果，质检部门能否得出当前生产的零件重量不符合标准的结论？请说明理由，并解释该结论的实际意义。试卷答案一、1.总体参数包括：所有该公司员工对福利计划的整体满意度平均值（或均值）；不同年龄组（25岁以下、25-40岁、40岁以上）员工对福利计划满意度的平均值（或均值）。2.H₀：三个年龄组员工对福利计划的满意度没有显著差异。H₁：至少有两个年龄组员工对福利计划的满意度存在显著差异。3.进行卡方检验需要满足：①各分类变量的频数均大于1；②总样本量n足够大（通常n≥40）；③数据来自随机抽样；④计算期望频数时，没有期望频数小于5的单元格（或小于5的单元格不超过总单元格数的20%）。4.检验结果P值为0.001，远小于常用显著性水平（如α=0.05），因此拒绝原假设。说明有充分证据表明至少有两个年龄组员工对福利计划的满意度存在显著差异。建议：①进一步分析哪些年龄组之间存在显著差异；②结合不同年龄组员工的需求特点，针对性地调整或改进福利计划；③对满意度较低的年龄组进行深入调研，了解原因并改进。二、1.地区甲样本比例p₁=720/1500=0.48，地区乙样本比例p₂=550/1200=0.4583。抽样标准误（SE_Δp）=sqrt[(p₁(1-p₁)/n₁)+(p₂(1-p₂)/n₂)]=sqrt[(0.48*0.52/1500)+(0.4583*0.5417/1200)]≈sqrt(0.000168+0.000207)≈sqrt(0.000375)≈0.01936。2.检验统计量Z=(p₁-p₂)/SE_Δp=(0.48-0.4583)/0.01936≈0.4217/0.01936≈21.78。查找Z分布表或使用软件，P值（双尾检验）远小于0.001。3.由于P值远小于显著性水平（如α=0.05），因此拒绝原假设，可以得出两个地区消费者对产品A的喜欢程度存在显著差异的结论。4.公司应考虑：①对甲地区采取进一步加强宣传推广的措施；②对乙地区分析不喜欢的原因，是产品特点不符还是宣传不到位，并据此调整策略；③考虑在两地采取差异化的定价或促销策略。三、1.斜率系数（20）的含义是：在其他因素保持不变的情况下，客户年龄每增加1岁，其月消费支出平均增加20元。截距系数（500）的含义是：理论上，当客户年龄为0岁时，其月消费支出为500元（注意：实际解释截距需考虑年龄范围是否包含0，此处可能为理论值或模型设定值）。2.R²值为0.45，说明在月消费支出和年龄之间，年龄因素能够解释该变量变异性的45%。或者说，月消费支出有45%的变化可以用年龄的变化来解释。3.预测该35岁客户的月消费支出=500+20*35=500+700=1200元。构建置信区间需要：①确定所需的置信水平（如95%）；②计算自由度（df=n-2=50-2=48）；③查找对应的t分布临界值（t*）；④计算标准误差（StandardErroroftheEstimate），其公式涉及SSE、n和回归系数标准误等信息；⑤计算置信区间上下限（预测值±t**标准误差）。4.建议：①利用回归模型筛选年龄大于某个阈值的客户（如35岁以上，根据斜率和截距判断模型预测趋势），作为贵宾服务的主要目标群体；②分析高消费客户的其他特征（如果数据允许），结合年龄和消费支出进行综合评估和分层；③根据年龄和消费支出预测结果，设计差异化的产品推荐或优惠活动。四、1.相关系数r=0.78表示销售额与广告投入之间存在较强的正线性相关关系。即广告投入每增加一个单位，销售额大致倾向于增加0.78个单位，相关性程度较高。2.是。散点图呈线性趋势且|r|>0.7，表明两者之间存在显著的线性关系，符合进行线性回归分析的基本条件。3.自变量是广告投入（万元），因变量是销售额（万元）。4.不可以简单认为广告投入越多，销售额就一定越高。原因：①回归分析揭示的是统计相关性，不一定是因果关系；②可能存在其他影响销售额的重要因素未被包含在模型中（如季节性、竞争对手行为、产品质量等）；③存在回归系数的抽样误差；④对于超出样本观测范围的自变量值（广告投入过高或过低），模型的预测效果可能很差；⑤需要检验模型的拟合优度（R²）、显著性（F检验或回归系数t检验）和残差分析等，确保模型有效。五、1.样本平均重量的抽样标准误=σ/sqrt(n)=2.5/sqrt(25)=2.5/5=0.5。2.H₀：μ=50克。H₁：μ≠50克。3.检验统计量t=(样本均值-理论均值)/抽样标准误=(49.8-50)/0.5=-0.2/0.5=-0.4。自由度df=n-1=25-1=