2025年统计学期末考试题库-抽样调查方法案例分析试题

2025年统计学期末考试题库——抽样调查方法案例分析试题考试时间：______分钟总分：______分姓名：______试题一某市宣传部希望了解市民对本市近期举办的一场大型文化活动的满意度，并希望根据调查结果对后续活动进行改进。活动结束后，宣传部门通过随机拨打电话的方式，对全市18岁及以上常住居民进行了抽样调查。请根据上述背景，回答以下问题：1.如果全市常住人口为800万人，宣传部门希望以95%的置信水平估计全市居民对本次文化活动满意度的比例，并要求估计误差不超过3%。在不考虑其他因素的情况下，试计算所需的最小样本量。若已知过去类似调查中，活动满意度比例的估计值约为50%，样本量应如何计算？请解释原因。2.假定宣传部门采用分层抽样方法进行调查。已知该市常住人口按年龄段可分为四个层次：18-30岁（占25%）、31-45岁（占40%）、46-60岁（占20%）、60岁以上（占15%）。若总样本量为2000人，请计算每个年龄层应抽取的样本量。如果18-30岁群体对本次活动特别关注，希望该层级的抽样比例提高10%，在不改变其他层级抽样比例和总样本量的前提下，应如何调整其他层级的样本量？请说明调整原则。3.调查中，宣传部门遇到了一些问题。部分被访者表示不了解活动信息，拒绝接受调查；部分被访者接听电话后因时间限制或兴趣不大而提前结束访问；还有部分被访者虽然完成了访问，但提供的满意度评价信息不完整。请分别分析这些情况可能引入哪种类型的非抽样误差，并提出相应的应对措施。4.假定调查顺利完成后，回收的有效问卷显示，在2000名受访者中，有1100人表示对本次文化活动“非常满意”或“比较满意”。请根据此样本信息，构建一个95%置信区间，用于估计全市居民对本次文化活动的总体满意度比例。请解释置信区间的含义。5.宣传部门还希望了解不同年龄段居民对活动的满意度是否存在显著差异。调查数据显示，18-30岁群体中，满意度比例为58%；31-45岁群体为52%；46-60岁群体为45%；60岁以上群体为40%。请简要说明在这种情况下，可以使用哪些统计方法来检验不同年龄段满意度比例的总体差异是否显著？并解释选择这些方法的基本原理。试题二某制药公司计划研发一种新型降压药物，并希望了解该药物在未来市场上的潜在接受度。公司市场研究部门决定通过抽样调查的方式，了解目标消费者（患有高血压且正在服用降压药的成年人）对该类药物的知晓度、购买意愿以及价格敏感度等信息。调查团队首先获取了一份包含全市所有社区姓名和地址的列表，该列表被认为是完整的抽样框。随后，他们采用整群抽样的方法，随机抽取了10个社区，并对这10个社区内所有符合条件的成年人（假设符合条件的成年人占社区总人口的15%）进行调查。在调查过程中，研究团队遇到了以下情况：1.调查问卷中关于药物价格接受度的提问方式不够清晰，部分受访者表示不理解。2.在10个被抽中的社区中，有2个社区的调查人员因故未能完成入户调查，导致这两个社区的数据缺失。3.样本回收过程中，有效问卷的回收率为80%。4.数据分析结果显示，样本中了解该新型降压药物的人数为180人，占总样本量的比例与总体中该药物知晓度的估计值一致。请就上述情况，回答以下问题：1.分析该公司市场研究部门在抽样设计阶段可能存在的潜在问题。特别是关于抽样框质量和整群抽样方法选择的问题。2.针对问卷中“价格接受度”提问方式不清晰的问题，简要提出改进建议。3.对于未能完成调查的2个社区，如果强行删除，可能会对调查结果产生什么影响？是否有更好的处理方法？4.假设总体中符合条件的成年人共有50万人。请根据样本信息（180人知晓），使用适当的方法估计该药物在全市符合条件的成年人中的总体知晓人数，并给出一个合理的估计区间。请解释所用方法的基本思路。5.调查结束后，公司管理层希望比较不同性别（男性和女性）的目标消费者在购买意愿上是否存在显著差异。请说明在这种情况下，应如何运用抽样调查获得的数据进行分析？需要考虑哪些统计分析的关键点？---试卷答案试题一1.最小样本量计算公式为：n=(Zα/2)^2*p*(1-p)/E^2。当p=0.5时，p*(1-p)取最大值0.25。Zα/2for95%confidenceisapproximately1.96。所以n=(1.96)^2*0.25/0.03^2≈1067。若考虑p≈0.5，样本量仍需至少1067人。计算结果不变，因为p=0.5时公式分母最大，导致所需样本量最大。理由是样本量计算公式中的p是总体比例的未知估计，当完全未知时，用0.5进行估算可以得到最保守（最大）的样本量估计，确保满足误差要求。2.按比例分配：18-30岁2000*25%=500人；31-45岁2000*40%=800人；46-60岁2000*20%=400人；60岁以上2000*15%=300人。提高10%比例后，总比例调整为18-30岁35%，31-45岁40%，46-60岁20%，60岁以上5%。调整后样本量：18-30岁2000*35%=700人；31-45岁2000*40%=800人；46-60岁2000*20%=400人；60岁以上2000*5%=100人。调整原则是保持总样本量不变，将未调整层级的样本量按新的比例重新分配，即按新的比例从总样本量中分配名额。3.不了解活动信息拒绝调查：引入无回答误差（抽样框未覆盖到目标人群或目标人群不配合）。应对措施：改进抽样框、提前进行宣传预热、提供小礼品提高参与意愿、多次呼叫。接听后因时间/兴趣结束访问：引入无回答误差（完成率低）。应对措施：优化问卷长度和措辞、选择合适的时间进行访问、培训访问员提高沟通技巧。提供不完整信息：引入测量误差（受访者理解偏差、记忆错误）或无回答误差（针对特定问题未回答）。应对措施：问卷设计清晰明确、问题简洁易懂、访问员及时澄清、采用跳过问句设计。4.满意度比例p̂=1100/2000=0.55。置信区间公式为：p̂±Zα/2*sqrt(p̂*(1-p̂)/n)。Zα/2for95%confidenceis1.96。区间=0.55±1.96*sqrt(0.55*0.45/2000)≈0.55±1.96*sqrt(0.2475/2000)≈0.55±1.96*sqrt(0.00012375)≈0.55±1.96*0.01111≈0.55±0.0218。置信区间为[0.5282,0.5718]。置信区间的含义是，如果进行无数次类似的抽样调查并每次都计算一个95%置信区间，那么大约有95%的区间会包含真实的总体满意度比例。5.可以使用卡方检验（Chi-squaredtestforindependence）或进行多个独立样本比例的z检验。卡方检验的基本原理是检验列联表中两个分类变量之间是否独立，即不同年龄段的满意度比例是否相等。如果检验结果拒绝原假设（各年龄段比例相等），则说明存在显著差异。多个样本比例z检验的基本原理是分别计算每个样本比例的抽样分布，并检验各样本比例的均值（即总体比例）是否相等，通常通过比较合并后的标准误差与观察到的比例差异来判断是否存在显著差异。试题二1.抽样框潜在问题：列表可能未包含所有常住人口（如租房者、无固定地址者、新迁入/迁出者），导致抽样框不完整，存在框偏差。整群抽样问题：若社区内部居民特征同质性高（例如，某些社区以老年人为主），而不同社区间差异大，则整群抽样可能导致样本代表性不足，估计误差较大。此外，随机抽取10个社区可能样本量偏小，难以充分反映全市的多样性。2.改进建议：使用更清晰、具体的语言描述价格选项，避免模糊表述；可以提供价格范围示例或使用“价格可接受”等更中性的词语；将问题与消费者的支付能力或现有药物费用进行对比；进行小范围预测试，收集反馈并修改措辞。3.强行删除缺失社区的dữliệu可能导致结果偏差：若这两个社区的目标消费者特征与已完成调查的社区显著不同（例如，高血压患病率、收入水平等），则删除会引入选择偏差，使得最终结果不能代表全市情况。更好的处理方法：在报告中明确说明缺失情况，并尽可能使用统计方法（如多重插补）进行补救，或在分析时进行敏感性分析，评估缺失数据对结果的影响。4.估计知晓人数：样本知晓比例p̂=180/2000=0.09。总体知晓人数估计值=p̂*总体符合条件的成年人=0.09*500,000=45,000人。估计区间：区间=p̂±Zα/2*sqrt(p̂*(1-p̂)/n)*总体符合条件的成年人。区间=0.09±1.96*sqrt(0.09*0.91/2000)*500,000≈0.09±1.96*sqrt(0.0819/2000)*500,000≈0.09±1.96*sqrt(0.00004095)*500,000≈0.09±1.96*0.006348*500,000≈0.09±0.006348*500,000≈0.09±3174。估计区间约为[43,826,46,174]人。基本思路是先用样本比例估计总体比例，再乘以目标总体规模得到人数估计；然后用抽样误差公式计算比例估计的置信区间，并将该区间乘以总体规模得到人数估计的置信区间。5.分析方法：应使用卡方检验（Fisher精确检验在小样本时更优）来检验性别与购买意愿之间的独