大学统计学期末考试：2025年统计与决策理论解析试题型

大学统计学期末考试：2025年统计与决策理论解析试题型考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、1.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,...,Xn是来自该总体的简单随机样本。求样本均值$\overline{X}$的期望和方差。2.设总体X的均值$\mu$未知，方差$\sigma^2$已知。从该总体抽取容量为n的样本，样本均值为$\overline{X}$。为检验H0:$\mu=\mu_0$vsH1:$\mu\neq\mu_0$，选用$\overline{X}$构造的检验统计量是什么？请说明其分布（在H0成立时）。3.解释置信区间（1-α）%的含义。4.在方差分析中，完全随机设计（单因素方差分析）的基本假设有哪些？二、1.设一组样本数据来自正态分布N(μ,σ^2)，其中μ未知，σ^2未知。若要检验H0:$\mu\leq\mu_0$vsH1:$\mu>\mu_0$，应选用什么检验统计量？请说明其分布（在H0成立时）。2.在简单线性回归模型Y=β0+β1X+ε中，假设误差项ε服从N(0,σ^2)。解释回归系数β1的估计量$b_1$的抽样分布。3.写出样本方差$s^2$的公式，并说明其与总体方差$\sigma^2$的关系。4.解释什么是贝叶斯决策理论。它与古典决策理论有何根本区别？三、1.设总体X的密度函数为$f(x;θ)=\frac{1}{2θ}e^{-(x-θ)}$，其中$x>θ$,θ为未知参数。从该总体抽取容量为n的样本X1,X2,...,Xn。证明样本极小值$X_{(1)}=\min(X1,X2,...,Xn)$是θ的无偏估计量。2.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，θ>0未知。从该总体抽取容量为n的样本X1,X2,...,Xn。证明$\frac{n+1}{n}X_{(n)}$是θ的无偏估计量，其中$X_{(n)}=\max(X1,X2,...,Xn)$。3.在单因素方差分析中，总离差平方和SSTotal可以分解为哪些部分？请写出分解公式。4.解释决策规则“最小期望损失”（MinimaxRegret）的原理。四、1.设总体X服从正态分布N(μ,16)。从该总体抽取容量为25的样本，样本均值为$\overline{X}=50$。求μ的95%置信区间。2.设总体X的均值μ未知，方差$\sigma^2=9$。为检验H0:$\mu=20$vsH1:$\mu\neq20$，自由度为20的t分布的临界值是多少（α=0.05）？请说明拒绝域。3.从两个正态总体N($\mu_1$,4)和N($\mu_2$,9)中分别抽取容量为n1=16和n2=25的独立样本，样本均值分别为$\overline{X1}=10$和$\overline{X2}=12$。求$\mu_1-\mu_2$的95%置信区间。4.一项研究比较两种教学方法的效果。随机选取10名学生接受方法A，10名学生接受方法B，考试成绩如下（数据已省略，假设成绩服从正态分布，且两组方差相等）。请写出进行单因素方差分析的检验统计量F的计算公式，并说明其原假设和备择假设。五、1.在简单线性回归模型Y=β0+β1X+ε中，解释样本决定系数$R^2$的含义。2.设有一个二元决策问题，损失矩阵为：||决策a1|决策a2||---------|---------------|---------------||状态s1|L(1,a1)|L(1,a2)||状态s2|L(2,a1)|L(2,a2)|（具体损失值已省略）。若决策者采用期望损失最小化原则，且状态s1和s2发生的先验概率相等，请写出选择决策a1的期望损失表达式，并解释该原则的含义。3.解释什么是贝叶斯风险，它与期望损失有何关系？4.在多因素方差分析中，如何判断因素A的主效应？请简述分析方法。试卷答案一、1.E($\overline{X}$)=λ,Var($\overline{X}$)=$\frac{\sigma^2}{n}$=$\frac{\lambda}{n}$。解析思路：样本均值$\overline{X}$是总体均值$\mu$的无偏估计。对于泊松分布，E(X)=λ,Var(X)=λ。利用样本均值的期望和方差性质：E($\overline{X}$)=E(X)，Var($\overline{X}$)=$\frac{1}{n}Var(X)$。2.检验统计量$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$。分布：t分布，自由度df=n-1（在H0成立时）。解析思路：这是单样本均值检验的Z检验形式。由于总体方差$\sigma^2$已知，故使用Z统计量。检验统计量是样本均值$\overline{X}$减去原假设下的均值$\mu_0$，再除以标准误差$\sigma/\sqrt{n}$。当H0为真时，该统计量服从自由度为n-1的t分布。3.在重复独立试验中，有（1-α）%的概率使得由该方法计算的置信区间包含真实的总体参数μ。解析思路：置信区间（1-α）%表达了区间估计的可靠性。它描述了构造置信区间的方法：如果重复抽样多次，每次都按该方法计算一个置信区间，那么平均有（1-α）%的区间会包含真实的总体参数。4.各总体（处理）服从正态分布；各总体的方差相等（σ1^2=σ2^2=...=σk^2=σ^2）；样本之间相互独立；观测值是随机抽取的。解析思路：这是单因素完全随机设计方差分析（ANOVA）的三个基本假设。正态性假设保证样本均值和样本方差的分布性质良好；方差齐性假设是F检验有效的前提；独立性和随机性保证样本的代表性。二、1.检验统计量$t=\frac{\overline{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$。分布：t分布，自由度df=n-1（在H0成立时）。解析思路：这是单样本均值检验的t检验形式。由于总体方差$\sigma^2$未知，需用样本方差$s^2$进行估计。标准误差变为样本标准差$s/\sqrt{n}$。检验统计量形式与Z检验类似，但使用t分布。当H0为真时，统计量服从自由度为n-1的t分布。2.$b_1\simN(\beta_1,\frac{\sigma^2}{SXX})$，其中SXX=$\sum(X_i-\overline{X})(X_i-\overline{X})$。解析思路：在线性回归模型中，回归系数$\beta_1$的估计量$b_1$是样本数据点的线性组合。根据中心极限定理和正态分布的性质，如果误差项ε服从正态分布，则$b_1$也服从正态分布。其期望为真实的回归系数$\beta_1$，方差为$\frac{\sigma^2}{SXX}$，其中SXX衡量了X数据的分散程度。3.$s^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline{X})^2$。样本方差$s^2$是总体方差$\sigma^2$的无偏估计量。解析思路：样本方差$s^2$是利用样本数据估计总体方差$\sigma^2$的常用公式。公式中分子是样本数据的离差平方和，分母是自由度n-1，以保证$s^2$是$\sigma^2$的无偏估计。它比使用n作分母的均值平方和更合理。4.贝叶斯决策理论基于贝叶斯公式的决策分析框架。它先对未知参数（或状态）θ或状态s赋予一个先验分布，然后根据观测到的样本数据获得后验分布，并结合损失函数计算期望损失或期望后悔值，选择使期望损失最小的决策行动。与古典决策理论（如最大似然估计或频率派方法）的根本区别在于它承认并利用了参数或状态的不确定性（通过先验分布），而古典理论通常忽略这种不确定性或采用频率解释。解析思路：贝叶斯决策的核心是后验推理，即利用贝叶斯公式结合先验信息（先验分布）和样本信息（似然函数）得到后验分布。决策依据是后验期望损失或后验期望后悔值。古典决策理论（如频率派）通常基于样本信息本身（如最大似然估计），不考虑先验信息，且对参数的概率解释不同（参数被视为固定但未知的常数，而非随机变量）。三、1.E($X_{(1)})$=E(min(X1,X2,...,Xn))=θ+$\frac{1}{n+1}$。因为E($\overline{X})$=λ=θ+$\frac{1}{n+1}$（利用泊松分布期望性质），而E($\overline{X})$=$\frac{1}{n}\sumE(X_i)$=$\frac{1}{n}\cdotnE(X)$=E(X)。所以E($X_{(1)})$=E($\overline{X})$=θ+$\frac{1}{n+1}$。因此E($\frac{n+1}{n}X_{(1)})$=$\frac{n+1}{n}E(X_{(1)})$=θ+$\frac{1}{n+1}$=θ。故$\frac{n+1}{n}X_{(1)}$是θ的无偏估计量。解析思路：证明无偏性即证明E(估计量)=参数。对于极小值$X_{(1)}$，其期望可以通过它与样本均值$\overline{X}$的期望关系来求得。已知泊松分布样本均值的期望为θ+1/(n+1)。由于简单随机样本的线性组合的期望等于期望的线性组合，故E($\overline{X})$=E(X)。因此E($X_{(1)})$=E($\overline{X})$=θ+1/(n+1)。最后乘以系数$\frac{n+1}{n}$即可得到期望为θ，证明其为无偏估计量。2.E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=E($\frac{n+1}{n}\max(X1,X2,...,Xn))$=E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=θ。因为E($\overline{X})$=λ=θ+$\frac{1}{n+1}$。由上一题思路，E($X_{(n)})$=E($\overline{X})$=θ+$\frac{1}{n+1}$。故E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=$\frac{n+1}{n}E(X_{(n)})$=θ+$\frac{1}{n+1}$=θ。所以$\frac{n+1}{n}X_{(n)}$是θ的无偏估计量。解析思路：证明无偏性。思路与第一题类似。利用均匀分布U(0,θ)的性质，其样本均值的期望E($\overline{X})$=θ+1/(n+1)。对于极大值$X_{(n)}$，其期望E($X_{(n)})$也等于E($\overline{X})$。因此E($\frac{n+1}{n}X_{(n)})$=$\frac{n+1}{n}E(X_{(n)})$=$\frac{n+1}{n}E(\overline{X})$=θ+1/(n+1)=θ。证明其为无偏估计量。3.SSTotal=SSBetween+SSWithin。其中，SSBetween=$\sum_{i=1}^kn_i(\overline{X}_i-\overline{X})^2$，SSWithin=$\sum_{i=1}^k(n_i-1)s_i^2$，$\overline{X}_i$是第i组的样本均值，$s_i^2$是第i组的样本方差，$n_i$是第i组的样本容量，$\overline{X}$是所有样本的总均值。解析思路：总离差平方和SSTotal衡量所有样本数据点与其总均值$\overline{X}$之间的总变异。它可以被分解为两部分：一部分是组间平方和SSBetween，它反映了不同组样本均值$\overline{X}_i$之间的差异；另一部分是组内平方和SSWithin（也常称为误差平方和SSE），它反映了每个组内样本数据点与其组内均值$\overline{X}_i$之间的变异。这种分解基于每个样本点的总离差可以表示为其组内离差和组间离差之和。4.最小期望损失原则是指决策者选择那个使其面对所有可能状态时，期望的损失（或后悔值）最小的决策行动$a^*$。即选择$a^*$使得minE[L(a,s)]=min$\sum_{s\inS}P(s|I)L(a,s)$，其中L(a,s)是采取行动a、实际状态为s时的损失，P(s|I)是在获得信息I后状态s的条件概率。解析思路：期望损失最小化原则是决策理论中风险决策的基本原则。决策者无法确切知道哪个状态会发生，因此需要考虑所有可能状态下的平均损失。给定一个决策行动a，计算其在所有状态s下的损失L(a,s)的加权平均（权重为状态发生的条件概率），这个加权平均值就是采取行动a的期望损失E[L(a,s)]。最小期望损失原则要求选择那个使这个期望损失最小的行动。四、1.95%置信区间为(50-1.96*4/sqrt(25),50+1.96*4/sqrt(25))=(50-1.96*0.8,50+1.96*0.8)=(48.032,51.968)。解析思路：这是单样本均值已知方差的置信区间计算。使用Z分布的α/2分位点（α=0.05时，α/2=0.025，Z0.025=1.96）。公式为：$\overline{X}\pmZ_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。将已知值代入计算即可。2.临界值分别为-t0.025,20和t0.025,20。即-2.086和2.086。拒绝域为t<-2.086或t>2.086。解析思路：这是单样本均值未知方差的假设检验。使用t分布的α/2分位点（α=0.05，双侧检验，df=n-1=20）。临界值是t分布表中自由度为20，显著性水平为0.025（或1-0.975）的值。拒绝域是包含这两个临界值的区域之外，即t统计量小于较小临界值或大于较大临界值时拒绝H0。3.95%置信区间为($\overline{X1}-\overline{X2}$)±2.064*sqrt(4/16+9/25)=(10-12)±2.064*sqrt(0.25+0.36)=-2±2.064*sqrt(0.61)=-2±2.064*0.781=(-2-1.614,-2+1.614)=(-3.614,-0.386)。解析思路：这是两独立样本均值差（已知方差）的置信区间计算。使用Z分布的α/2分位点（α=0.05，df≈无穷大时，Z0.025=1.96，这里用更精确的2.064）。公式为：$(\overline{X1}-\overline{X2})\pmZ_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n1}+\frac{\sigma_2^2}{n2}}$。将已知值代入计算即可。4.F=MSTR/MSE，其中MSTR=$\frac{1}{k-1}\sum_{i=1}^kn_i(\overline{X}_i-\overline{X})^2$，MSE=$\frac{SSE}{n_T-k}$，nT=$\sum_{i=1}^kn_i$，SSE=$\sum_{i=1}^k(n_i-1)s_i^2$。原假设H0:μ1=μ2=...=μk；备择假设H1:至少有两个μi不相等。解析思路：这是单因素方差分析的检验统计量F的公式。F统计量是组间均方（MSTR，衡量组间均值差异引起的变异）与组内均方（MSE，衡量组内数据自身变异）的比值。当原假设H0为真（各组均值相等）时，MSTR和MSE都估计总体方差$\sigma^2$，F值应接近1。若H0不真，MSTR会相对增大，F值会增大。检验的原假设是所有组均值相等，备择假设是至少有两个组均值不等。五、1.$R^2$=1-SSE/SSTotal=1-$\frac{\sume_i^2}{\sum(Y_i-\overline{Y})^2}$。它表示回归模型所能解释的因变量Y的总变异（SSTotal）的比例。解析思路：样本决定系数$R^2$衡量了回归模型对数据的拟合优度。其定义是回归平方和（SSTotal-SSE，即模型解释的变异）占总平方和（SSTotal，即总变异）的比例。$R^2$的取值范围在0到1之间。$R^2$越接近1，说明模型对数据的拟合程度越好，自变量X对因变量Y的解释能力越强。2.E[L(a1)]=P(s1|I)*L(1,a1)+P(s2|I)*L(2,a1)。期望损失最小化原则要求比较E[L(a1)]和E[L(a2)]，选择期望损失较小者。该原则的含义是决策者考虑了所有可能的状态及其发生的概率，并选择一个能在长期或平均意义上带来最小损失的决策。解析思路：根据期望损失最小化原则，对于决策a1，需要计算其在两种状态s1和s2下损失的加权平均，权重为两种状态发生的条件概率P(s1|I)和P(s2|I)。这个加权平均值就是采取行动a1的期望损失E[L(a1)]。决策者需要计算所有可能行动a的期望损失，然后选择其中最小的一个。这个原则体现了在面对不确定性时，决策者通过计算各