高中数学锐角三角函数题库

高中数学锐角三角函数题库锐角三角函数是高中数学的重要组成部分，它不仅是解决几何问题的有力工具，也为后续学习三角函数、解三角形等内容奠定了坚实基础。掌握锐角三角函数，关键在于深刻理解其定义，熟练运用基本关系，并能结合直角三角形的性质灵活解题。本题库旨在通过系统的知识梳理与典型例题解析，帮助同学们巩固基础，提升解题能力。一、三角函数的基本概念在直角三角形中，对于一个锐角，我们定义了正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）三种基本三角函数。设直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A为一锐角，其对边为a，邻边为b，斜边为c，则：*正弦函数：sinA=∠A的对边/斜边=a/c*余弦函数：cosA=∠A的邻边/斜边=b/c*正切函数：tanA=∠A的对边/∠A的邻边=a/b核心提示：三角函数值是一个比值，其大小仅与锐角的大小有关，与三角形的边长无关。例题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，求sinA、cosA和tanA的值。解析：首先，根据勾股定理求出斜边AB的长度。AB=√(AC²+BC²)=√(4²+3²)=5。然后，根据定义：sinA=BC/AB=3/5cosA=AC/AB=4/5tanA=BC/AC=3/4答案：sinA=3/5，cosA=4/5，tanA=3/4。二、特殊角的三角函数值30°、45°、60°是初中阶段学习的三个特殊锐角，它们的三角函数值是解决问题的常用工具，必须熟记。角度θsinθcosθtanθ-------------------------30°1/2√3/2√3/345°√2/2√2/2160°√3/21/2√3例题2：计算sin30°+cos60°-tan45°的值。解析：直接代入特殊角的三角函数值进行计算。sin30°=1/2，cos60°=1/2，tan45°=1。所以，原式=1/2+1/2-1=0。答案：0。三、同角三角函数的基本关系对于任意锐角A，有以下基本关系：1.平方关系：sin²A+cos²A=12.商数关系：tanA=sinA/cosA这些关系是进行三角函数式恒等变形和化简求值的重要依据。例题3：已知sinA=3/5，且A为锐角，求cosA和tanA的值。解析：由平方关系sin²A+cos²A=1可得：cos²A=1-sin²A=1-(3/5)²=1-9/25=16/25因为A为锐角，cosA为正值，所以cosA=4/5。再由商数关系tanA=sinA/cosA=(3/5)/(4/5)=3/4。答案：cosA=4/5，tanA=3/4。例题4：化简：(sinA-cosA)²+2sinAcosA。解析：先将平方展开：(sinA-cosA)²=sin²A-2sinAcosA+cos²A。所以原式=sin²A-2sinAcosA+cos²A+2sinAcosA=sin²A+cos²A=1。答案：1。四、互余两角的三角函数关系在直角三角形中，∠A+∠B=90°，则∠A与∠B互为余角。它们的三角函数值有如下关系：*sinA=cosB=cos(90°-A)*cosA=sinB=sin(90°-A)*tanA=cotB=cot(90°-A)（cot为余切，定义为邻边比对边，tanA*cotA=1）例题5：已知cos(30°-A)=sin40°，且A为锐角，求A的度数。解析：因为sin40°=cos(90°-40°)=cos50°，所以原式可化为cos(30°-A)=cos50°。由于A为锐角，30°-A的取值范围在-60°到30°之间，而余弦函数在0°到90°间是单调递减的，且cosα=cosβ（α、β为锐角时）意味着α=β或α=-β（但此处需考虑角度范围）。因此30°-A=50°或30°-A=-50°。解得A=-20°（舍去，因为A为锐角）或A=80°。答案：80°。五、解直角三角形及其应用解直角三角形是指已知直角三角形的一些元素（边或角），求出其余未知元素的过程。直角三角形的可解条件：已知除直角外的两个元素（至少有一个是边）。解题依据：1.两锐角互余：∠A+∠B=90°2.勾股定理：a²+b²=c²3.三角函数定义：sinA=a/c,cosA=b/c,tanA=a/b等例题6：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=5，解这个直角三角形。解析：已知∠A=30°，∠C=90°，则∠B=90°-∠A=60°。因为∠A=30°，所以BC（对边）是斜边AB的一半，即AB=2BC=10。再由勾股定理求AC：AC=√(AB²-BC²)=√(10²-5²)=√75=5√3。答案：∠B=60°，AB=10，AC=5√3。例题7：如图，为测量某建筑物的高度，在离建筑物底部水平距离为若干米的点D处，测得建筑物顶部A的仰角为α，已知tanα=3/4，点D到建筑物底部B的距离BD为12米，求建筑物AB的高度。（注：仰角是视线与水平线的夹角）解析：依题意，△ABD为直角三角形，∠ABD=90°，∠ADB=α，BD=12米。tanα=AB/BD，所以AB=BD*tanα=12*(3/4)=9米。答案：建筑物AB的高度为9米。解题策略与注意事项：1.明确已知与未知：仔细审题，确定直角三角形中的已知元素和待求元素。2.选择合适的三角函数：根据已知边和角，选择包含已知量和未知量的三角函数关系式。3.“复角”问题：对于较复杂的图形，注意是否需要通过作辅助线（如高）构造直角三角形。4.实际应用题：理解仰角、俯角、坡角、方位角等概念，将实际问题转化为数学模型（直角三角形）。5.精确度：根据题目要求，注意计算结果的精确度，通常会要求保留根号或精确到小数点后某位。例题8：一斜坡的坡度i=1:√3，求该斜坡的坡角α的度数。（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比）解析：坡度i=铅直高度/水平宽度=tanα=1/√3=√3/3。所以α=30°。答案：30°。总结与提升锐角三角函数的学习，核心在于对定义的深刻理解和灵活运用。同学们在练习时，应注重以下几点：1.夯实基础：熟练掌握特殊角的三角函数值、同角三角函数关系及互余角三角函数关系。2.数形结合：在解直角三角形时，要养成画图