第21章一元二次方程阅读与思考-黄金分割数（教学设计）-人教版数学九年级上册第

第21章一元二次方程阅读与思考——黄金分割数（教学设计）-人教版数学九年级上册第主备人备课成员设计思路本节课以人教版数学九年级上册第21章一元二次方程阅读与思考——黄金分割数为主题，紧密结合课本内容，引导学生通过阅读思考，探究黄金分割数的概念、性质和应用。课程设计注重启发学生思维，培养学生的数学素养，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力。核心素养目标分析学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在学习本节课之前，已经学习了实数、一元一次方程、一元二次方程等基础知识，具备了一定的代数运算能力。此外，学生还应该对黄金分割的概念有所了解，能够识别和应用黄金分割在生活中的实例。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：学生对数学学科普遍具有好奇心，尤其对与生活实际相关的数学知识兴趣浓厚。学生的能力方面，部分学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够快速理解新概念。学习风格上，学生以视觉和听觉为主，偏好通过实例和图形来理解和记忆知识。

3.学生可能遇到的困难和挑战：部分学生在理解黄金分割的数学定义时可能会感到困难，因为需要建立新的数学概念。在解决应用题时，学生可能会遇到如何将实际问题转化为数学模型的问题。此外，学生可能难以将黄金分割的概念与日常生活联系起来，从而影响他们对知识的应用能力。学具准备Xxx课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过讲解黄金分割的定义、性质和应用，帮助学生建立清晰的概念框架。

2.讨论法：组织学生围绕黄金分割的实际应用案例进行讨论，激发学生的思考和分析能力。

3.实验法：引导学生通过实验操作，如绘制黄金分割线，加深对概念的理解。

教学手段：

1.多媒体展示：利用PPT展示黄金分割的历史背景、数学推导过程和实际应用案例。

2.互动软件：使用数学软件进行动态演示，让学生直观感受黄金分割的变化规律。

3.网络资源：引入网络资源，如在线互动平台，拓展学生的学习空间和视野。教学过程1.导入（约5分钟）

-激发兴趣：以古希腊建筑中的黄金比例问题引入，提问学生是否知道黄金比例，以及它在建筑中的重要性。

-回顾旧知：简要回顾一元二次方程的解法，引导学生回忆方程的判别式和根的性质。

2.新课呈现（约15分钟）

-讲解新知：

-详细讲解黄金分割数的定义，介绍其数学表达式和几何意义。

-讲解黄金分割数的性质，如与一元二次方程的关系，以及其在几何图形中的应用。

-举例说明：

-通过具体的数学例子，展示黄金分割数在一元二次方程中的应用，如求解特定类型的方程。

-展示黄金分割在几何图形中的应用，如计算正五边形的边长与对角线的关系。

-互动探究：

-引导学生分组讨论，探讨黄金分割数在自然界和艺术作品中的出现。

-让学生尝试绘制黄金分割线，观察其特点，并尝试解释其美学价值。

3.巩固练习（约20分钟）

-学生活动：

-分发练习题，包括计算黄金分割数的值、应用黄金分割数解决实际问题等。

-学生独立完成练习，同时可以互相讨论，共同解决问题。

-教师指导：

-巡视教室，观察学生的练习情况，解答学生的疑问。

-针对共性问题，进行集体讲解和示范。

-鼓励学生提出自己的见解，激发学生的创造力和批判性思维。

4.课堂小结（约5分钟）

-回顾本节课的主要内容，强调黄金分割数的重要性和应用。

-总结学生在课堂上的表现，鼓励学生在课后继续探索黄金分割数的更多应用。

5.作业布置（约2分钟）

-布置课后作业，包括完成课堂练习题、查阅相关资料了解黄金分割数的历史和文化背景。

6.教学反思（约2分钟）

-教师反思教学过程中的得失，思考如何更好地激发学生的学习兴趣，提高教学效果。教学资源拓展1.拓展资源：

-黄金分割在数学史上的地位：介绍黄金分割在数学发展史上的重要地位，包括其发现、证明和应用的历史。

-黄金分割在艺术中的应用：展示一些著名艺术作品中黄金分割的应用实例，如达芬奇的《蒙娜丽莎》和帕台农神庙的设计。

-黄金分割在自然界中的体现：介绍黄金分割在自然界中的广泛存在，如植物生长、动物体型等。

-黄金分割在现代设计中的运用：探讨黄金分割在现代建筑设计、平面设计、服装设计等领域的应用。

2.拓展建议：

-阅读推荐书籍：《数学之美》等，了解黄金分割在数学发展中的地位和影响。

-观看教育视频：通过网络平台观看关于黄金分割的科普视频，增强对知识的直观理解。

-参与数学竞赛：鼓励学生参加数学竞赛，如数学建模竞赛，运用黄金分割解决实际问题。

-实践操作：引导学生进行黄金分割的实践活动，如绘制黄金分割图形、制作黄金分割模型等。

-研究论文：推荐学生阅读相关学术论文，了解黄金分割在科学研究中的应用。

-课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，分享对黄金分割的理解和看法，提高学生的表达和交流能力。

-校园活动：参与学校组织的数学文化节等活动，展示黄金分割在生活中的应用。

-家庭作业：布置与黄金分割相关的家庭作业，让学生在家庭环境中进一步探索和了解这一数学概念。板书设计①黄金分割数的定义：用符号φ表示，φ=(1+√5)/2，其倒数1/φ也是黄金分割数，用符号φ'表示，φ'=(1-√5)/2。

②黄金分割数的性质：φ²=φ+1，φ+φ'=1，φ'²=φ'+1。

③黄金分割数的几何意义：黄金分割线将一条线段分为两部分，较长部分与整体的比例等于较短部分与较长部分的比例。

④黄金分割数在一元二次方程中的应用：解一元二次方程ax²+bx+c=0时，判别式Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程有两个实根，且根与系数的关系满足黄金分割比例。

⑤黄金分割数的应用实例：展示黄金分割在艺术、建筑、设计等领域的应用案例，如达芬奇的《蒙娜丽莎》和帕台农神庙。

⑥黄金分割数的计算方法：介绍如何通过数学公式和几何方法计算黄金分割数的值。教学反思与总结今天上了关于黄金分割数的这一节课，我想和大家分享一下我的教学反思和总结。

首先，我觉得在导入环节，我通过展示一些艺术作品和建筑实例，成功地激发了学生的兴趣。他们对于黄金分割在生活中的应用表现出极大的好奇，这让我很高兴。不过，我也注意到有些学生对于黄金分割的定义和性质理解起来还是有些吃力，这说明我在讲解时可能需要更加注重逻辑性和清晰度。

在教学过程中，我尽量采用讲解和讨论相结合的方式，让学生参与到课堂中来。我发现，当学生有机会自己动手操作和讨论时，他们的学习效果会更好。例如，在讲解黄金分割数的几何意义时，我让学生亲自尝试绘制黄金分割线，这个活动让他们对概念有了更直观的理解。

在举例说明黄金分割数在一元二次方程中的应用时，我选择了几个贴近学生生活实际的例子，如设计一个黄金比例的房间布局。这样的例子不仅让学生感受到了数学的实用性，也提高了他们的学习兴趣。

在巩固练习环节，我设计了不同层次的题目，既满足了基础扎实的学生，也照顾到了那些需要额外帮助的学生。虽然我在课堂上给予了及时的指导，但课后我发现仍有部分学生对于黄金分割数的应用题掌握得不够熟练。这可能是因为我在讲解时没有充分考虑到不同学生的学习进度和风格。

在教学管理方面，我注意到课堂纪律总体良好，但有个别学生在课堂上注意力不集中。针对这一点，我决定在下节课前提醒学生课堂纪律的重要性，并适时给予那些注意力不集中的学生更多的关注。

然而，我也发现了一些不足之处。例如，部分学生对新知识的接受速度较慢，我在讲解时可能需要更加耐心和细致。此外，我在课堂上的提问和反馈还不够充分，有时候学生回答问题后，我没有及时给予足够的肯定或进一步的指导。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.对于理解较慢的学生，我将提前准备一些额外的辅导材料，并在课后进行个别辅导。

2.在讲解新知识时，我会更加注重逻辑性和条理性，确保学生能够清晰地跟随我的思路。

3.增加课堂互动，通过提问、小组讨论等方式，让学生更多地参与到课堂中来。

4.在课后及时给予学生反馈，鼓励他们的进步，并对存在的问题进行针对性指导。作业布置与反馈作业布置：

1.完成课本课后练习题，特别是关于黄金分割数的定义、性质和应用的部分。

2.设计一个黄金分割比例的图形，如正方形或矩形，并解释其黄金分割线的绘制过程。

3.选择一个生活中常见的物品，如手机、电脑或书籍，测量其长度和宽度，并计算其黄金分割比例，分析这个比例在设计中的意义。

4.查阅资料，了解黄金分割数在历史和现代科技中的应用，撰写一篇短文，分享你的发现。

作业反馈：

1.作业批改：在学生提交作业后，我将及时进行批改，确保每个学生都能得到及时的反馈。

2.问题指出：在批改过程中，我将特别注意以下几点：

-学生对黄金分割数定义和性质的理解是否准确。

-学生在应用黄金分割比例设计图形时的准确性。

-学生对生活中物品黄金分割比例分析的能力。

-学生对黄金分割数在历史和现代科技中应用的理解深度。

3.改进建议：对于每个学生的作业，我将给出具体的改进建议，包括：

-对于概念理解不准确的学生，提供额外的解释和例子，帮助他们纠正错误。

-对于设计图形不准确的学生，指出具体错误并提供正确的绘制步骤。

-对于分析能力不足的学生，鼓励他们进一步查阅资料，深入理解黄金分割的应用。

-对于对应用理解较浅的学生，推荐相关的阅读材料，引导他们进行更深入的思考。

4.反馈方式：作业反馈将通过以下方式进行：

-课堂时间：在下一节课的开始，我会集中时间对作业进行反馈，让学生了解自己的进步和需要改进的地方。

-个别指导：对于需要额外帮助的学生，我将在课后提供个别指导，确保他们能够跟上学习进度。

-家长沟通：通过家长联系，告知家长学生的作业完成情况，共同关注学生的学习进步。典型例题讲解1.例题：已知一元二次方程x²-5x+6=0，求该方程的黄金分割根。

解：首先，计算判别式Δ=b²-4ac=(-5)²-4(1)(6)=25-24=1。因为Δ>0，所以方程有两个实根。根据一元二次方程的求根公式，根的计算公式为x=(-b±√Δ)/2a。代入a=1，b=-5，Δ=1，得到x=(5±1)/2，即x₁=3，x₂=2。由于φ=(1+√5)/2，我们可以通过比较x₁和x₂与φ的大小关系，确定哪个是黄金分割根。显然，x₁=3>φ，x₂=2<φ，因此x₂=2是方程的黄金分割根。

2.例题：在矩形的长和宽分别是5cm和3cm时，求矩形对角线与较长边的黄金分割比例。

解：首先，根据勾股定理，矩形对角线d的长度为d=√(5²+3²)=√(25+9)=√34cm。较长边为5cm，设对角线与较长边的黄金分割比例为k，则有k=d/5=√34/5。

3.例题：已知一元二次方程x²-8x+16=0，求该方程的黄金分割根，并解释其含义。

解：计算判别式Δ=b²-4ac=(-8)²-4(1)(16)=64-64=0。因为Δ=0，所以方程有两个相等的实根。根据一元二次方程的求根公式，根为x=-b/2a=8/2=4。由于方程的根是常数，即4，它是黄金分割数φ的整数倍，因此这个根可以看作是黄金分割根。

4.例题：在正五边形中，求对角线与边长的黄金分割比例。

解：正五边形的边长设为a，对角线长度设为d。根据正五边形的性质，对角线将五边形分为两个相等的三角形。在其中一个三角形中，应用勾股定理，得到d²=a²+(2a)²=5a²。因此