广东省江门市2024-2025学年高一年级下册7月期末调研（二）数学试题（含解析）

广东省江门市202年2025学年高一下学期调研测试（二）

数学试题

一、单选题

1.若g=2-i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.棱长为2的正方体的内切球的表面积为().

A.27rB.4兀C.6兀D.8n

3.在VA4c中，角A,伉。的对边分别为小b,c.已知A=7>a=6,，b=2,则8=（）.

A兀口兀t2工冗D.三或2

A.—B.一或一C.—

333444

4.已知———=2,则ian(a+[=().

cosa-sinaI47

A.-3B.2C.3D.5

5.如图，在VA8c中，AO=：A8,点E是CO的中点.设,

CA=a^CB=b，则A£?=（）•

C

ADR

212.1•

A.B.—dH—b

3636

〃12尸1.2,

C.-a—bD.——a+—b

6363

6.设，〃，〃是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面.一卜.列命题中正确的是（）.

A.若a",mua,nu/3,则

B.若a〃£,mua,〃u，，则〃流〃

C.若〃?J.a,〃_!_/7,m//n,则a〃/?

D.若〃7//a,nlip,m±n»则aiB

7.己知闷=4,W=2,向量方在向量a上的投影向量为;a.，则卜-*（）.

A.12B.4C.2石D.2a

8.某船在海面上航行至A处，测得山顶尸位于其正西方向，且仰角为45，该船继续沿南偏东30"的方向航

行600米至5处，测得山顶尸的仰角为30"，则该山顶高于海面（）

A.300米B.400米C.500米D.600米

二、多选题

9.已知函数/（x）=Asin（公<4>0,3>0,|同的部分图象如图所示，贝（）.

A.函数〃力的最小正周期是兀

函数,“X）的解析式为/（x）=sin（2x+M

B.

函数小）的单调递减区间是,兀+［履+期（AeZ）

C.

_oO

将函数〃力的图象向右平移.个单位长度得到函数），=如1•十目的图象

D.

10.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，则（）.

B.ABVEF

C.E/与所成的角为60。D.AW_L平面3M

H.数学家威廉・邓纳姆认为“终极优雅”是“无言的证明”，即通过一个直观、精巧的图示就能完整传达数学

定理的证明.如图，A8CD为矩形，则（）.

A.AO=sin2xB.DE=cos2x

^^=tan2

C.CE=cos2xD.

S^ABF

三、填空题

12.已知复:数z=l—i(i为虚数单位)，则|3z-司=.

13.若圆锥、圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则圆锥、圆柱、球的体积比为.

14.十七世纪法国数学家皮埃尔・德・费马提出一个几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三

角形的三个顶点的距离之和最小.”它的答案是：当三角形的三个角均小于120。时，所求的点为三角形的正

等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成120。角：当三角形有一内角大于或等于120。时，所求

点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中，所求的点称为费马点.在VA8C中，角A,8,C的对边分别

为〃，〃，c.已知"一e_京=3,ianA+ianB=—^J.若点P为VABC的费马点，则

acos8

PA-PB+PBPC+PAPC=.

四、解答题

15.已知40,6),B(-2,y),C(4,2>/3),ABIIBC0为坐标原点.

(1)求向量0A与08的夹角；

(2)求△QA8的面积.

16.如图，在三棱锥P—A5C中，ZACT=90°,R4_L底面48C,V,N分别是尸3,PC的中点.

⑴求证：〃平面A8C：

(2)求证：平面尸AC_L平面P8C.

17.在VABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知〃十。?一/=26〃以皿8.

⑴求角A：

题号12345678910

答案ABDDBCCDACBCD

题号11

答案ABD

1.A

化简求出复数z,即可判断复数z在复平面内对应的点所在象限.

【详解】由，=2—i可得：2=工=a=^+3，

z2-1555

所以z对应的点传,Q在第一象限.

故选:A.

2.B

根据正方体内切球的性质，求出内切球半径，计算表面积；

【详解】易知正方体内切球的半径是正方体棱长的一半，所以内切球半径为1，则表面积为47Txi2=4兀;

故选:B.

3.D

根据题意利用正弦定理求解即可

【详解】由正弦定理号=名可得：~=解得sin8=',

sinAsin8sin-2

o

因为4=e，所以8£(0,系｝

所以8=］或学•

44

故选:D

4.D

2

弦化切，求出tana=§,再利用两角和的正切公式化简求值即可.

sina

【详解】因为由前二？，所以遣筵=2（cosa*0）,

cosa

,tana_.2

即Mr-------=2,解7得JZOtana=1，

1-tana3

n2

/xtana+tan———1

所以lana+?=----------^7=匕=5,

I4JLCTl-±

43

故选：D.

5.B

由向量的线性运算求解即可.

【详解】AE=AC+CE=-CA^-CD=-CA-^-(CA+AD\=--CA+-AD

22、722

I111I

=--CA+-/\B=--CA+-(/lC+CB)=--C/l+-CB=--6/+-/>.

2626、3636

故选：B.

6.C

根据面面平行与面面垂直的判断与性质以及直线的平行于垂直，逐选项判断即可.

【详解】对于A,若八S，mua,nup,机〃不一定垂直，可能平行或者异面，故A错误;

对于B,若。〃夕，加UQ,nu。,见〃不一定平行，也可能异面，故B错误；

对干C,若〃zJLa,m//nt则〃又因为〃则。〃尸，故C正确；

对干D,若m//a,〃〃在，加JL〃，则依/不一定垂直，也可能平行，故D错误，

故选：C.

7.C

根据数量积的定义，求出再根据向量模长和数量积的关系，求出向量的模长.

【详解】由数量积的定义可知。力=：。七=4J=4,

44

贝“”力卜叫2=4；-2ab+b,=716-2x4+4=2石；

故选：C.

8.D

设山顶高于海面的距离为狐利用余弦定理求解即可.

【详解】由题可得示意图：PCJ•平面48C,NB4C=45,NPBC=30,/C48=120,

设ill顶高于海面的距离为人

hh

由题意AC==h,BC==®i,

tan45(an30

在VAAC中，AB=600,NC4B=120,

由余弦定理得BC2=AC~+AB1-2AC-AB-cos120，

=必+6002-2x/zx6(X)xj-g),即Hr-600。一36(3000=0，

解得〃=600或0=-300(舍去)，

所以该山顶高于海面600米.

故选:D.

9.AC

根据图像，得出三角函数的最值，周期，和图像上的点坐标，求出函数解析式，根据三角函数性质，逐一

判断各选项正误.

【详解】由图可知，函数最大值为1,可得4=1,

可知5=2一（一弓1，解得了二兀,所以A正确;

4818J

丁27r

可知丁二网=兀，因为3＞（），解得”=2,

可得/(x)=sin(2x+0),函数图像过点，

/\

则f(J)=sinax**=1,可得2+e=g+2E,ZwZ,

o\o/42

z\

因为附＜5,所以0=%可得/")=sin2x+?；所以B错误;

函数单间区间为m+2版&2x+3S红十2k（kGZ,

242

解得S++所以C正确;

88

函数/（X）的图象向右平移g个单位长度得到/（x）=sin（21r-j]+R=sin（2x-3

6kko；4；V12

根据诱导公式可知sin（2x一卷）wsin（2x+号],所以D错误；

故选:AC.

10.BCD

根据给定的展开图，还原正方体，再结合线线垂直、平行及线面垂直判断即可.

【详解】将正方体的展开图还原，如图，

对于A,由CFHAN〃DB,CF=AN=DB,得，CD6产，

则C0//8/，而BF工MN,因此CDJ_MN,A错误；

对于B,由CA//FNUMB,CA=FN=MB,得.CABM,

则CM〃阴，而斯_LMC,因此b_LA5,B正确；

对干C,连接网，EA,因为NA"FC//ME、NA=FC=ME,得-NAEM,

则MN//E4,故EE与MN所成的角为NFE4,

设正方体边长为。，故EF=FA=EA=6a，所以/尸E4=60,

因此与MN所成的角为60。，C正确；

对干D,连接AM.3石，因为AN,平面8NfM,BFu平面BNFM,故,ANtBF,

又因为MN上BF,MN1AN=N,MNu平面AMN,ANu平面AMN,

故B/_L平面4WN,AMu平面八MN,故3£_LAA/,

同理可得所_LAM,因为所BF=F,EFu平面8EF、

BFu平面BE尸,故AW_L平面庞尸，D正确.

故选：BCD.

11.ABD

根据三角函数定义，诱导公式，余弦的二倍角公式，以及相似三角形的面积比，逐一证明各选项，判断正

确结果.

如图所示，ZDAE=--2x,

2

在VAOE中，空=3但一2x],由AE=1,可得AO=cos住-2x]=sin2%,所以A正确;

同理?^=sin佟-2x],得£)E=cos2.r,所以B正确；

八七(2)

ARA17

易知-77:==cosx,AB-cos2x»

AFAE

则CE=AB-DE=cos2-cos2x=cos2-(cos2x-sin2x)=sin2x,所以C错误；

易知八4阳△在:C,.•.2"=(二]=tan2x,所以D正确；

SABF\AF)

故选：ABD.

12.2加

由共挽复数的概念、复数减法以及模的计算公式求解即可.

【详解】已知复数z=l—i,则|3z—可=|3(17)-(1+胃=|2-4"=际花=2百.

故答案为:20.

13.1:3:2

根据几何体的体积公式，求出各几何体体积，求出结果.

【详解】设球的半径为R，

I2

则圆锥的体积为％批=§x兀配x2R=§球,

圆柱的体积为%1柱=成2乂2欠=2欣’,

4

球的体积为％=,兀尸，

74

圆锥、圆柱、球的体积比为铲肥2人A铲R*:3:2：

故答案为：1:3:2.

由余弦定理和两角和的余弦公式化简ianA+lanB=1^—可得A=E，be=3,再根据

')acosB3

▽/碇'等面积法即可求得伊斗|以什|"印伊。+|夕斗仍。=3,“费马点”定义可得该点与三角形的三个顶点的

连线两两成角120,从而求得答案.

sinAsinBsinAcosB+cosAsinBGsinCx/3c

(详解】由题意tanA+tan8=----+-----

cosAcosBcosAcosBsinAcosBacosB

sinAcosB+cosAsinB_sin(A+B)_sinCx/JsinC

cosAcosAsinA

而A,Ce(0,7i),所以snA=G，所以4=1,

由三角形内角和性质知：△ABC内角均小于120。，结合题设易知：P点一定在三角形的内部，

再由余弦定理知，8sA=〃1——=^-,Q«*2-(Z?-c)2=3,:.bc=3,

2bc2''

S\w=—|PA|•|sin—+—|Pi?||PC|sin—+—|PA|-1^018111—=—/jesinA=—x3xsin—=,

2323232234

.•.|必卜|?理+|期・|尸1+|刚-/。=3.

由闸•附+|明|PC|+|尸小四=3等号左右两边同时乘以cos与可得：

|PX|-|PB|cOSy4-|PB|-|PC|cOSy4-|PA|-|PC|cOSy=3xCOSy,

mruiruirumuiruiu27r3

PA-PB+PBPC+PA-PC=3xcos-=--.

32

⑵石

(1)首先求得y=。，然后由向量夹角的计算公式求解即可；

(2)计算出国=|。@=2,结合三角形面积公式即可求解.

【详解】(1)由题意人8=(-3,)，-6),8。=(6,26-力因为A8//4C，

所以6卜-6)=-3(26-)，)，解得y=0,

所以OA=(1,6),O4=(—2,0),

/八《八n\OA,OB—21

所以向量。4与OB的夹角的余弦值为cos(04°B片网悯=33=-/,

故向量OA与03的夹角为g：

(2)因为|。1卜1犯|=2,QA与0B的夹角为年，

所以△OAB的面积为阿卜inQ,OB)=：x2x2x，=G.

16.(1)证明见解析

(2)证明见解析

(1)根据线面平行的判定定理，由三角形中位线得线线平行，再说明线面平行即可；

(2)根据线面垂直的判定定理，证得线面垂直，由面面垂直的判定定理说明面面垂直；

【详解】(1)因为M，N分别是尸8,尸。的中点，所以MN//BC,

因为MNZ平面ABC,8Cu平面ABC,

所以A/N〃平面A8C；

(2)因为NAC4=90。，所以AC_L6C,

因为「A_L底面A8C,所以PA_L8C,

QPA\AC=A,PAu平面汽4C,ACu平面PAC,

/.BC_L平面尸AC,

5Cu平面PBC,

・•・立面尸AC_L平面尸BC.

17.⑴]

6

⑵2+6

(1)根据余弦定理和正弦定理边角互化，求得lan<=^.得到答案：

3

(2)根据余弦定理/=从+,2一%(：854,借助重要不等式求出/”W8+4G，再根据面积公式求出最大值.

【详解】(1)因为/+/-/=2>/5acsin4,由余弦定理得2/?ccosA=2\/5acsin3,

所以Z?cosA=J5asinB,由正弦定理得sinBcosA=JJsinAsinB，

因为sin8Ho且COSAHO,所以tanA=正，

3

又因为Ac(Om),所以A=g

o

(2)若VA4c的外接圆的面积为4兀，设外接圆半径为R,则成2=4兀，解得R=2,

由正弦定理得〃=2RsinA=2,

又因为/=1，+c2-2Z>ccos/4»即4=Z?2+T-2bc-x/3bc,

所以。(W8+4G，当且仅当Z?=c=Ji+6时，等号成立,

=gbcsinA=W2+6,

所以VA4C面积的最大值为2+x/3.

18.（l）〃？=-g

it2TC

⑵了3~

⑴由三角恒等变换得卜*&R),根据函数最小值即可列方程求所

(2)由题意得当天«0,臼(〃>0)时，2X-^G,根据三角函数性质即可列不等式组求解〃的范

国;

(3)注意到6/2(x)—/(x)-2=0o/(x)=：或-；，故只需画出图形，通过数形结合、三角函数对称性即

可求解.

【详解】（1）/（x）=\/3sinxcosx+sin2x+m岑31-COS2x.兀）1/

-------+m-sm2x——+—+〃?（xeR）,

26J2

因为函数/(x)的最小值为一1,所以-l+g+〃[=-l,解得"2=-g；

(2)由(1)可知/(x)=sin(2xd

6)

当工£[0,〃]5>0)时，2,V-^G一看,2〃一£,

因为当x«0,袱〃>0)时，函数“X)的取值范围是-,

所以542〃—萼，解得

26633

所以刀的取值范围为py;

91

(3)因为6/(x)-/(力一2=0。/(x)=§或-5,

在同一平面直角坐标系中画出函数/(x)=sin(2x-e),%w[O,7r]、y=彳2以及y=-31的图象，如图所示,

令2x-U，可得x='令f(x)=sin(2x-/=-；,可得产0,当加.

623ko;23

所以当工40,可时，方程6.产(刈-小)-2=0所有实数根的和为32+兀+笄+0=圣

JJJ

19.(1)证明见解析

(2)2

cost?

(3)/,.

VI-sin2a

(1)先证明OC_L平面48M,nJ得OC'_LAM,再利用线面垂直即n」i止明求解；

(2)利用二面角知以且结合(1)可得NCNO即为二面角C-AM-8,从而可求解;

(3)利用等体积转换法可得匕一研•“，从而可求解.

【详解】(1)由(A8C为等腰直角三角形，且AC=8C,且。，“分别为AB,AM的中点，连接OC