江苏省盐城市五校2024-2025学年高一年级下册5月期中联考数学试题（含答案解析）

江苏省盐城市五校2024-2025学年高一下学期5月期中联考数

学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.BC-AD+AB等于（）

A.DCB.DBC.~ADD.AB

2.若复数z满足二=月（i为虚数单位），则z的虚部为（）

1+311-1

A.-3+iB.iC.-3D.I

3.在V43C中，角4民C的对边分别是c,若8=3,2〃cosC+2ccos/l=3”，则。=（）

49

A.2B.3C.-D.-

32

4.下列说法正确的是（）

A.三点确定一个平面

B.和两条异面直线都相交的两条直线必定是异面直线

C.水平放置的矩形的直观图是平行四边形

D.以直角三角形的--边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

5.已知sin(a一4)=一,tana=2tan/?,贝iJsin(a+〃)=()

5

\23

A.—B.—C.-D.

5555

C所对边分别为。、氏c若2sin2?=』，

6.在V/18C中，角4、B、则该三角形一定是

2a

()

A.正三角形B.史角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

r、&1”6.-A2tanl2°/l-cos50°^（、

7.设q=-cos70----sin7°>b=------7—»c=J--------,则mi有I（）

22l+tan-12°y2

A.c<b<aB.a<c<bC.b<c<aD.a<b<c

8.如图，“六芒星”是由两个边长为6正三角形组成，中心重合于点。且三组对边分别平行,

点A,8是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点。在“六芒星”上（内部以及边界），则万.亦

的取值范围是（）

试卷第1页，共4页

Ao

图i六芒星图2

A.[-8,8]B.[-6,6]C.166,6网D.

二、多选题

9.已知非零复数4,其共扼复数分别为I，则下列选项正确的是（）

同

A.4+4eRB.z”2C.zx+z2=zx+z2D.k丁2卜同匕I

10.已知口冈=|网=2,两与丽夹角为不若间=2且而=靖普+＞，丽"20,玲0）,

则下列说法正确的是（）

A.当P=。时，而在丽上的投影向量为赵而B.当工=，时，OPMN=0

2

C.当x=?时，了=恒二1

D.屈•丽的最大值为0

24

11.在锐角V48c中，角力，B,C所对边分别为mb,c,且c+b=2〃cos8.则下列说法正

确的是()

A.A=2B

B.角B的范围是（0G

3114

C.若/8X。的平分线交4c于。，AD=2,sin8==，则丁+-==

5bc5

fV2

D.上的取值范围是

a2，

三、填空题

12.已知向量而=（1,2）,元=（3冏），通二（-1,2小），若A,C,。三点共线,则〃?=

13.已知aw（。，万），夕w（0,兀），且tan（a-尸）=g,cos/?=-

10

(1)tan<7=：（2）2。一万=

试卷第2页，共4页

14.如图，在四边形力4C。中，48C=120。，NC4O=30。，BC【CD,DC=2由(：NABC,

"CO的面积分别为E，5，则”=，

A

四、解答题

15.(1)已知meR,若2=(加+i)(-2+疝)为纯虚数,求机的值.

(2)设复数Z1=2-H(a€R),4=l+i.若Hz?是实数，求五；

(3)已知复数z满足z+p|=8+4i,求z.

16.已知三棱锥/一48。满足PC="=84=8C=4c=2,VB=

(1)证明：直线力8与直线KC是异面直线：

(2)若E为摩的中点，F为BC的中点,求异面直线48与E厂所成角的余弦值.

17.在直角梯形力4CO中，ABUCD,NDAB=900,48=2AO=2QC=4,点F是6c边

(1)若点E满足诙=2反，且加=4万+〃而，求6%-〃的值；

(2)若点P是线段4尸上的动点(含端点)，求"•方的取值范围.

试卷第3页，共4页

《江苏省盐城市五校2024-2025学年高一下学期5月期中联考数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ADACDBDBACDBCD

题号11

答案ACD

1.A

【分析】根据向量的加i成♦法,可得答案.

【详解】BC-AD+AB=AB+BC-AD=AC-Ab=DC-

故选：A.

2.D

【分析】根据复数代数形式,的乘法、除法运算化简z,即可判断.

【详解】因为看=日=7r"M=i'

l+3il-i(1-i)(1+i)

所以z=i(l+3i)=—3+i,所以z的虚部为］.

故选：D

3.A

【分析】根据题意，由正弦定理化简得到2sin(Z+C)=3sin4进而得到根in5=3sin4,

再由正弦定理，得到乃=3。，即可求得。的值.

【详解】因为2acosC+2ccosA=3a,

由正弦定理，可得2sin/cosC+2sinCcos4=3sinA,所以2sin(4+0=3sin4,

又因为4+C=兀一8,所以sin(4+C)=sin5,所以2sin8=3sin4,

2

又由正弦定理，可得26=3。，即

因为6=3,所以“=2.

故选:A.

4.C

【分析】根据公理判定A；根据异面直线的定义判断B；根据斜二测画法的规则判断C；根

据圆锥的概念判断D.

【详解】对于A：共线的三点不能确定一个平面，故A错误；

对于B：和两条异面直线都相交的两直线是异面直线或相交直线，故B错误；

对于C：由斜二测画法规则知，水平放置的矩形的直观图是平行四边形，故C正确；

答案第1页，共14页

对于D：以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故D错误.

故选：C

5.D

【分析】运用两角和与差的正弦公式，结合已知条件即可求解.

【详解】Vsin(a-^)=1,

/.sinacosp-cosasin6=

5

•/tana=2tan0、

sinasin8

------=22-----,即sinacos4=2cosasin[3、

cosacosp

/.cosasinl,sinacos/?=p

/.sin(a+/?)=sinacos£+cosasin£=(

故选：D.

6.B

【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到〃2=02+，，即可得

【详解】由2sin2O=l—cos8=9±,则cos8=l-巴==£,

2aaa

所以+°一一”=£,可得/=从+。2,不能确定b=c是否成立，

2aca

所以VABC一定是直•角三角形.

故选：B

7.D

【分析】利用两角和的余弦公式及诱导公式化简a=s加23。，将切化弦，再由二倍角公式化

简人=而24。，利用二倍角公式化简c=sin25。，结合正弦函数的性质判断即可.

【详解】因为

a=~cos70-^y-sin70=cos60°cos70-sin60°sin7°=cos67c=cos^0°-23°芋sin23,

2sinl202sinl202sinl20

,2tan12°cos12°cos12°

=邛2。=2sinl2tos120支in24°,

1+tan212°,sin212°cos212°+sin212°

cos212°cos21?cos"12°

答案第2页，共14页

因为y=sinx在上单调递增，所以sin23。＜sin24。＜sin25。，所以。＜6＜c.

故选：D

8.B

【分析】如图，以。为原点，。民。力分别为XJ轴建立平面直角坐标系，则由题意求出点力潭

的坐标，设尸（》/）,然后表示出丽.而，再根据x的取值范围可求得结果.

【详解】如图，以。为原点，。①分别为X，）’轴建立平面直角坐标系，

因为“六芒星”是由两个边长为6正三角形组成，中心重合于点。且三组对边分别平行，

所以六边形BCDEFG为边长为2的正六边形，0A=2^3，

所以08=2,

所以/（0,-2石），5（2,0）

设尸（x,y）,则万=[,尸2万），砺=（2,0）

所以丽,万=2x，

因为动点P在“六芒星”上（内部以及边界），

所以-3WxW3,所以—6＜2xV6»

所以-6W耐和W6，即幅布的取值范围是卜6,6].

故选：B.

9.ACD

【分析】利用共挽复数的定义及其运算，模长的求法依次判断各项的正误.

【详解】A：若Z]=a+bi：a,bwR,则4=4一力i,故Z[+Z[=2awR,对;

B：若z?=i,则Zj=—i,故寸=一1="『=1，错；

C：若Z[=a+〃i,z2=c+t/i,a,b,c,dGR,则4=。-加，z2=c-d'\,

答案第3页，共14页

所以Z1+z2=(4+c)+(/?-d)i,z1+z2=(a+c)+(d-b)\=(a+c)+(b-ci)'\»

所以Z1+z?=Z[+Z2，对；

22222222

D：同C分析，卜।-z21=|(fl+hi)(c-d\)|=|(ac+bd)+(be-ad)i|=\lac+bd+bc+ad,

同员I=\la2+b2•\lc2+d2=y](a2+b2)(c2+d2)=y1a2c2+b2c2+a2d2-vb-d2,

所以品司=同匕2I，对.

故选：ACD

10.BCD

【分析】根据已知得AOMN是边长为2的等边三角形，且丽.丽=2,由投影向量的定义

及向量的线性关系判断A；由题设尸在△OWN中边MNE勺中线上，进而有OP_LMN判断B；

应用向量数量积的运算律及模长列方程求参数值判断C；化

-/W=[(1-x)OM-yON]-[(1-y)ON-xOM],进而得至lj丽•丽=6-6(x+y),结合

|赤卜2有孙+/=],即可得x+yNl判断D.

【详解】由题设，△OA/N是边长为2的等边三角形，且两.丽=2x2xcos6(T=2，

A：当y=0时，OP=xOM，又J西二|两卜2,即而必，故而在丽上的投影向量

为;而，错；

B：当x=V时，OP=x(OM+ON),即P在△O/WV中边MN的中线上，

nUULU1

又AOWN为等边三角形，故0PtMN,即OPMN=0,对；

C：当x时，OP=^OM+yON,贝ij|而|=而+y而产，

所以|丽|=两')，丽•丽+/前2=Jl+2y+4y2=2,

所以1+2J，+4/=4,即4/+2y—3=0,又yNO,故),=巫二1(负值舍)，对；

4

D：

~PM~PN=(两历).(丽-而)=[(I-x)两-yON][(\-y)ON-xOM]=

2(1-x)(l—y)+4x(x—1)+4y(y-1)+2xy-4x2+4y2-6x-6v+4xy+2,

由I而|=7^^+J丽尸=孙?+4q，+4/=2，x2+xy+y2=[®,

答案第4页，共14页

所以用7•丽=6-6(x+y),要使该值最大，只需x+y最小，

由①得(》+»-1=肛20,则x+yNl,所以丽・丽40,对.

故选：BCD

11.ACD

【分析】应用正弦边角关系及和差角正弦公式化简得sin8=sin(4-8),结合三角形内角的

性质判断A；由A结论及三角形内角和列不等式判断B；设夕二4月。=/。。=。，贝IJ

/4DC=2H,4。。=兀-36,进而得到1+1=9啤+丁J,应用三角恒等变换化简求

hc2s\n2O4cos0

值判断C：由£=苦=驾=28$4-丁，，结合B分析即可得范围判断D.

asin/1sin242cos8

【详解】由正弦边角关系有sinC+sinB=sin(4+8)+sin8=2sin『cos5,

所以sin8=sin/cos8-cos4sin8=sin(4-8),乂0<4+8<兀且()<44<4，

2

所以8=4-8=彳=28,A对；

0<B<-

2

7F

由上0<28〈二可得常吟B错;

2

0<7t-35<-

2

对于C,如下图示，设ZB=ZBAD=ZCAD=。，则/力。。=29,ZACD=n-30f

b222sin2。

由40=2,则c=48=2/DcosO=4cos。-----=---------=-----,则/）=

sin2。sin（兀-3。）sin3^--------------sin3。

所以

11sin301sinOcos20+cosOsin2。1

---1---=------------1----------=---------------------------------+---------

bc2sin2^4cos62sin2^4cos®

2cos2。-1cos。1..

=--------------+-------+---------=cos®，

4cos024co$0

而sinO=3,且=<夕〈二，则cosO=3,所以，+■!■二2,C对;

5645hcS

c_sinC_sin（兀-38）_sin38_sinBcosIB+cosBsin2B2cos2B-\

-ZZ3---------ZZ：----------------------------------+cosB

asinAsin28sin24sin232cos8

答案第5页，共14页

=2cosB-----------

2cos3

，且），=2/-上在fV2

而2=cos8e上单调递增，则值域为D对.

故选：ACD

⑵二

9

【分析】首先表示出衣，依题意而//充，根据向量共线的坐标表示计算可得.

【详解】因为而=（1,2）,元=（3盟）,^ID=（-1,2m）,

所以祝=刘+元=(l,2)+(3,m)=(4,2+〃?)，

又A,C,。三点共线，即而〃就,

2

所以4x2小=-1x(2+〃])，解得m=--.

2

故答案为：

【分析】根据条件可得《三传，力、tan/?=-；,利用差角正切公式求得tana=；,即有

再应用和角正切公式求得tan（2a-0=l,结合2。-夕€（-兀,0）求角.

【详解】因为〃«0,兀），cos〃二一陪，所以。《会兀卜故sm0={1—coC0=去,

所以⑶1£=

/…/c\tan(7-tanZ77tanor+1-X>解得tane=gvl,

所以tan(2)=,n嬴

所以ac（0,J故2ad（吟）

因为"C去兀），所以-匹卜兀,-，），故2a—/e（—7T,0）,

11

因为tan(2a-0)=lan[a+(a一8:1alia+tanjz-^=1,

LJl-tanatan(a-p)

6

所以2a一/=一下.

4

故答案为：~~Y.

34

答案第6页，共14页

【分析】设DC=2也BC=2拈，4B=〃】＞0,根据已知构建合适的直角坐标系，得

8(1,0),0(0,2。),4(1，若力E_Lx轴，DELAE,ZCAD=ZACB-ZADE,应用

差角正切公式列方程求得〃?=沿叵，再应用余弦定理、三角形面积公式得

2

3

s,嬴可,即可得.

m

【详解】设DC=2也BC=2后,48=〃7〉0,构建如下图示直角坐标系，其中C为原点,

若力E_Lx轴，DEL力E,如上图示,

易知力DFFEFDEFCB-4DE,则协。。=黑箱黑翁

6A1-266?T8

由tanZACB=2—=-^-,tanZADE=

―机2+m2+m

In--

2

0nV5〃?一4\/5

2+〃？2+m,整理得加°一5/〃-5=0,解得〃?=5+3”,

所以-

x/3wV3w-4x/3732

1+----X--------

2+〃？2+〃?

所以|)。|2=(1+?)2+-2V3)2=,M2-5W+13.|JC|2=(14-y)2+2=m'+/w+1.

由|40|2+|力。『一2|力。||/1。|8530。=(。02,Hp|ADIIAC|=2m-l.w4-2,

v3

S1=；|8C||B/l|sinl20o=4〃，邑=]|NQ|MC|sin300=g对"2,

S、=3m3_353乙£_

所以邑2〃/-痴+22(/„+1)_45+3石2、，18+6056.

m'F+5+疗4

答案第7页，共14页

故答案为：立

6

z,l-3i

15.(1)〃？=0；(2)—=—(3)z=3+4i

z22

【分析】(1)利用乘法运算并结合纯虚数定义得到方程，即可求出参数的值；

(2)由已知求得4,再由复数代数形式的乘除运算化简求得；

(3)依题意可设z=〃+4i,awR,由复数相等解方程可得结果.

【详解】(1)因为2=(〃?一。(-2+疝)=-2"?+〃*—21+加2=-3/〃+(〃?2-21为纯虚数，

所以-3川=0且-2。0，解得机=0；

(2)因为4=2-4乂〃6R),z2=l+i,

所以Z1+Z2=3+(l—a)i,又,.•4+Z2是实数,

.,.l-a=0,即a=1,则Z]=2-i,

所以五=3二(2-)(1)=”.

所以Z21+i(l+i)(l-i)2,

(3)因为同eR,且z+p|=8+4i,因此可设z=a+4i,aeR,

则z=a-4i,aeR,

由题意可得。+4i+犷石F=8+4i，所以〃+J“2+I6=8,

解得a=3,即z=3+4i.

16.(1)证明见解析

⑵

【分析】(1)根据异面直线的定义，结合点Be平面S。，点力任平面IBC,即可判断：

(2)取/C的中点O,连接。，OE,根据平行关系可证明异面直线44与川所成角为

NEFO(或其补角)，结合余弦定理可得解.

【详解】(1)因为直线PCu平面跖C,点3c平面⑵。，

点8任PC,点力£平面防C,所以直线与直线PC是异面直线.

(2)如图：取力C的中点O,连接R?,OE,

因为E为a的中点，£为8C的中点，

所以力3//0产，VCI/EF,

答案第8页，共14页

所以异面直线/也与”所成角NEFO(或其补角)，

因为PC=%4=H4=BC=4C=2,所以。尸=1,EF=l,

在△PO8中，VO=y[i,OB==，则OE1VB,

2

所以密加卷)=后=后,即㈤嘴

222i+]

在HOP中由余弦定理得上EF+FO-()E-^13,

vOSZ—Ll-—=一

2EFOF2x1x132

因为异面直线所成角范围为(0微，所以异面直线48与EP所成角的余弦值为号.

17.(1)2；

⑵£，8].

【分析】(1)根据图形用刀，而表示出方，即可得参数值;

(2)令彳＞=且°&卜&1，进而得力尸=当月3十三力。，£＞尸=当/3十(三一1)/1。，再应

4242

------1,I

用向量数量级的运算律求得Z/P•。尸=10(1』台2-自，即可得范围.

【详解】(1)由

~EF=~EC-^CF=-~DC^-CB=-~AB+-(Cb^~DA+7B)=-7B^-C-~AB-Jb}

3262622

=9益」而，

122

又丽万+〃而，即＞1=',〃=一^,故62+〃=2：

(2)如下图，令"=丫万=丫(而+而)=M万+；册)且04141，

而/函+为而+L反人功+为，

22242

DP=DA+AP=v(^AB+-AD)-AD=^AB+(--\)AD,

所以

答案第9页，共14页

方.而=(生刘+匕湎也万+(J)西二叱褶+次(一])方.痛+々2_])万2=

424216422

9v2+y(y-2)=10(v-方4，

所以N・丽4一5,8].

18.(l)j

⑵0,4)

⑶「松

【分析】(1)利用两角和的正切公式及诱导公式求出tanC,即可得解；

(2)利用正弦定理转化为8的三角形函数，结合三角形为锐角三角形求出8的范围，最后

由正切函数的性质计算可得；

(3)根据数量积的运算律推导出。为V/AC的外心，则ZBOC=2ZBAC,ZAOC=2ZABC,

再转化为关于/历1C的三角函数，即可得解..

【详解】(1)因为(VJiarU-l)(\5tanb-1)=4,g[J3ian^tan)5->/3(tanJ+tan^)=3,

WFurmtaivl+tan5/r„„/,八\zr

整理可得;----------=-v3,即tan(/+8)=-4，

在VX8C中，tan(/1+B)=-tanC,故ianC=石，

又V48c为锐角三角形，故。=方.

/

(2)因为C=色，可得sin/=sin[”(4+C)]=sin(3+C)=sinB+-

，、3.

b2

由正弦定理1=。=2,即/7万M呜)，

S11L4sine

b.—2sinB=_____2_s_i_n_8______

则sin（8+：）1sinB+冬。sB，

/xb二4

又Be0,；，故sin8工0,则G；

',tan5

答案第10页，共14页

0<5<-

由VZ8C为锐角三角形可得：;，可得

八2兀»兀62

0<A=B<—

32

所以12118《字+8，则//^«0,3），则力41，4）.

（3）因为（况+砺）•荔=（砺+无）•於=（）,

所以（5+丽）•（砺_万卜”+近｝区一砺卜0,

所以方，丽2,OB=OC>叫次|=|历卜卢|,

所以O为VW8c的外心，

所以N8OC=2/44C,NAOC=2NABC,

所以sin2NBOC-cos2ZJOC=sin22ZBJC-cos22ZABC

=sin22ZBAC-cos22^-ZBAC>

=sin22Z^C-cos2y_2ZBJcl

=s\n~2/.BAC-\cos—cos2Z^C+sin-sin2Z.BAC

（33

=sin22Z5JC-|icos2N8/C为sin2/84C

122

=sin22ZBAC--cos22ZBAC+—sin2ZBACcos2ZBAC+-s\n22ZBAC

424

\

=-sin22ZBAC--cos22^BAC-sin24/1Ccos24.4C

442

=>-sin4Z5z4C--cosAZBAC

44

=---sin4ZBAC+-cos4ZBAC

21「2J

=--sin|4Z^C+-|,

2I6P

由（2）同理可得四</8/。<四，^-<4ZBAC+-<—,

62666

/\I

所以一14sin4ZBAC+-<

I6j2

答案第11页，共14页

所以si/NAOC-COS2ZAOCG

4,2

3

19.(1)-

(2)证明见解析

(3)i

CA1nj

【分析】(1)根据条件，可求得三=胃=2,即可求出结果；

CD1DD

(2)根据条件，将边长之比转化成面积之比，再结合题设定义，即可证明结果；

(3)方法一：根据条件得到工•警二：,再利用几何关系得到。8=百，设O4=x,OC=V，

CoDA2

利用有cos/48O+cosNCBO=0,再利用余弦定理和正弦定理，建立方程，即可求解；方

法二：设AB=DB=x,根据条件，得到x=2,再利用*3=9=2及余弦定理，建立方

程，即可求解.

CA1DA鼻

【详解】(1)由己知三=巳胃=2,所以("CD)==.

CD1Do2

(2)在△AOC,AAOD,ROC,ABOD中,

CASjOAOC^Z.AOC0力皿40。DAOAsinZAOD

—=—0c----------------=-----------,同理一=-------------

CBSNBOCJOB.0Csin/80c08sin㈤OCDBOBsinZ.BOD

2

CAO-sin/HOC

附、J(ARCD\=^-=OBsin^BOC-sin/.℃・sin

所以，C)-2A~OAsin^OD-sinZBOC.sinZAOD)

DBOBsin^BOD

又在△EOG,AEOH,&FOG,△尸OH中，

答案第12页，共14页

GES.FOG5°E°GsinNEOG0国EOGHEOEsinZEOH

——aEOG

==q----------------=-------------同理——=------------

inZFOGHF

GFS"1OFOGsinZFOG^OFsxn^FOH

2,

GEOEsin/EOG

sinZEOG-sinZFOH

fiirpl[(EFFGanH\]-GF_OFsinZ.FOG

^--HE-OE^ZEOHsinN/。G-sinNEO,

HFOFsin"0”

XzlEOG=zlAOC,乙FOH=^BOD、4FOG=zlBOC,zLEOH=ZAOD,

sinN/OCsin/8。。sinZEOG-sinZTO/7

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sinZBOC-sinZJODsin/FOGsin/E。"

(3)方法一:

CA

由⑻GH)g可得即资J，