空间点 直线 平面之间的位置关系（五类核心考点讲义）解析版-2026年高考数学一轮复习重难点突破（新高考）

专题7.2空间点、直线、平面之间的位置关系

目录

目录......................................................1

一、5年高考•真题感悟.....................................2

二、课程标准・考情分析...................................10

【课程标准】.....................................................10

【考情分析】.....................................................10

【2026考向预测】.................................................11

三、知识点•逐点夯实.....................................11

知识点一、直线与直线的位置关系...................................11

知识点二、直线与平面的位置关系...................................11

知识点三、平面与平面的位置关系...................................11

知识点四、等角定理...............................................12

四、重点难点・分类突破...................................12

考点1证明“点共面”“线共面”“点共线”“线共点”............12

考点2截面问题..................................................25

考点3异面直线的判定............................................29

考点4异面直线所成的角..........................................33

考点5平面的基本性质............................................38

五、必考题型・分层训练...................................45

A、基础保分........................................................45

B、综合提升........................................................53

一、5年高考•真题感悟

1.（2025•天津•高考真题）若小为直线，。,夕为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若,则〃?〃〃B.若〃?_La,/〃_!_/?,则。_1_/

C.若m"a,m工P，则a_L/?D.若mua,a：则〃?_1_/

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断

【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.

【详解】对于A,若mllamua,则以〃可平行或异面，故A错误；

对于B,若m_La,〃7_L/7,则a//£,故B错误；

对于C若mHa,则存在直线aua,a!Im,

所以由帆_1_尸可得a_L），故a_L〃，故C止确；

对干D,/〃ua，al〃，则6与£可平行或相交或机u/,故D错误；

故选：C.

2.（2024•全国甲卷•高考真题）设。、〃为两个平面，加、〃为两条直线，且aCl/=切.下述四个命题：

①若加〃〃，则〃//。或〃〃夕②若〃?_!_〃，则〃_La或〃，尸

③若〃〃。月.〃/R,则〃?〃〃④若〃与所成的角相等,贝iJmJL”

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【难度】0.65

【知识点】线面关系有关命题的判断

【分析】根据线面平:行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.

【详解】对①，当〃ua,因为mu0,则〃///，

当〃u£,因为〃〃/〃，机ua,则〃〃。，

当“既不在a也不在£内,因为〃"/〃，mua,mup,则〃〃a且鹿//,故①正确：

对②，若/〃」〃，则〃与明尸不一定垂直，故②错误；

对③，过直线〃分别作两平面与心户分别相交于直线$和直线人

因为〃"a,过直线〃的平面与平面。的交线为直线L则根据线面平行的性质定理知〃

同理可得〃〃f,则s/〃，因为sex平面夕，，u平面夕，则s〃平面夕，

因为SU平面a,a（\p=mt则”/〃?，又因为〃〃$,则就/〃，故③正确;

对④，若ac〃=,〃/与a和夕所成的角相等，如果〃//a,〃〃尸，则〃〃/〃，故④错误；

综上只有①③正确，

故选：A.

3.（2024•天津•高考真题）已知明〃是两条宜线，a是一个平面，下列命题正确的是（）

A.若m±n,则〃_LaB.若〃?/_L而，则〃_La

C.若机〃则"?_L〃D.若〃i~La,〃上a,则相_L〃

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】线面关系有关命题的判断

【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解.

【详解】对于A,若“〃a,mln,则〃,。平行或相交，不•定垂直，故A错误.

对于B,若〃?则〃〃C或"「a,故B错误.

对于C,而/a,〃工a,过小作平面以使得尸

因为故m〃s,而sua,故〃_Ls,故〃zJ_〃，故C正确.

对于D,若〃?_L_La,则加〃,故D错误.

故选：C.

4.（2023•北京•高考真题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒

出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面

是全等的等腰三角形.若A8=25n3C=AO=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平

面ABC力的夹角的正切值均为巫，则该五面体的所有棱长之和为（）

5

AB

A.102mB.H2m

C.117mD.125m

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离

【分析】先根据线面角的定义求得【anN£MO=tanNEGO=半，从而依次求月O,EG,EB,EF,再把所

有棱长相加即可得解.

【详解】如图，过后做即，平面A88,垂足为。，过E分别做EG_LAC,垂足分别为G,M,

连接0GoM,

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为NEMO和NEGO,

所以tan/EMO=tanNEGO=孚.

因为£。1平面ABC。，8Cu平面4AC。，所以E0_L8C,

因为EG_L8C,EOEGu平面EOG,EOcEG=E,

所以8C_L平面EOG,因为OGu平面EOG,所以8C_LOG,.

同理：OMLBM,又BM工BG,故四边形OMBG是矩形，

所以由BC=10得OM=5,所以EO=VR,所以OG=5,

所以在直角三角形卬G中，EG=JEO2+OG2=J（加丫+5?=x/39

在直角三角形EKG中,RC=CM=5,FR=JFG2+RG2=^（＞/39）?+52=8,

又因为EF=A8-5-5=25-5-5=15,

所有楂长之和为2x25+2x10+15+4x8=117m.

故选:C

5.（2025•全国一卷•高考真题）（多选题）在正三棱柱ABC-48c中，。为8c的中点，则（）

A.AD1A.CB.qG，平面44,。

c.ADUA\B\D.CCJ/平面A4,。

【答案】BD

【难度】0.65

【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、求平面的法向量

【分析】法一：对于A,利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断：对于B,利用线面垂直的判定与

性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断：对于C,利用反证法即可判断；法二：根

据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.

【详解】法一：对于A,在正三棱柱ABC-A瓦G中，人4,平面ABC,

又ADu平面ABC,则A4,_LAO,则45•而=0,

因为VA4C是正三角形，。为8C中点，则AO_Z4C,则而•通二0

又耐=A印+A力+C。'，

所以京.而=（存+而+函卜通=或.而+而?+①.而二而2H0,

则A。_L不成立，故A错误；

对于B,因为在正三棱柱ABC-4用£中，AAJ.平面A8C，

又B©u平面ABC，则例-LB£,

因为V44c是正三角形，。为8c中点，则AQ/4C,

又叫口从。=AAA，AOu平面AA,。，

所以•平面4A。，故B正确；

对于D,因为在正三棱柱A8C-ASC中，CCl//AAl

又AA|U平面AARCGU平面M。，所以CCJ/平面A4,。，投D正确:

对于C,因为在正三棱柱A8C-ABC中，A、B\/iAB,

假设4。〃%妫，则A0//M,这与ADcAB=A矛盾,

所以A/)〃A用不成立，故C错误；

故选:BD.

法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为2,高为力,

则D(O,O,O),A(G,O,O)，A(3O0,C(O,TO),£(O,—1J?),8(O,1,O"(O,1,/?),

对于A,而=(-6,0,0),卡=1石,-1,-/?),

贝IJ访而=(-⑹*卜@+0=300,

则AO_LA。不成立，故A错误；

对FBD,BC=(0,-2,0),CC,=(0,0,/?),A4,'=(0,0,h\AD=(->/3,0,0),

设平面外。的法向最为万=(M)，,z),

n=hz=0

则得x=z=0令)，=1,则为=(0,1,0),

g•万=一&=0

___.、UUU1

所以8。二(0,—2,0)=—2万，CG•刀=0,

则BC_L平面AA。，CG〃平面AAQ,故BD正确;

对于C,AD=(-73,0,0),=(-75,10),

则二显然人。〃44不成立，故C错误；

-V3I

故选：BD.

6.(2021•新高考全国闭卷•高考真题)(多选题)如图，在正方体中，。为底面的中心，〃为所仕校的中点,

M,N为正方体的顶点.则满足MVJLOP的是（）

【答案】BC

【难度】0.85

【知识点】求异面直线所成的角、证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直

【分析】根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.

【详解】设正方体的棱长为2,

对于A,如图（1）所示，连接4C,则MV//AC,

故/POC（或其补角）为异面直线ORMN所成的角，

1

在直角三角形OPC,OC=叵,CP=\,故tanZ.POC=V2=T

AB

图⑴

对于B,如图(2)所示，取AT的中点为Q,连接PQ,OQ,则OQLNT,PQ1MN,

由正方体SBCM-NADT可得SN1.平面ANDT,而OQu平面ANDT,

故SN1OQ,而SNf)MN=N,故OQ_L平面SN7M,

又WNu平面SN7M,OQ1MN,而OQn「Q=Q，

所以MN_L平面OPQ,而POu平面OPQ,故MN1OP,故B正确.

对干C,如图(3),连接8。，则BD//MN,由B的判断可得0P_L8£),

故0PtMN,故C正确.

对干D,如图(4),取A。的中点Q，A8的中点K,连接ACPQ,OQ,PK,OK,

贝I」AC//MN.

因为。尸=PC,故PQ//AC,故PQ/1MN,

所以NQPO或其补角为异面直线PQMN所成的角，

图（4）

因为正方体的棱长为2,故PQ=；AC=&,OQ=^AO2+AQ2=x/i+2=V3»

PO=y]PK2+OK2=>/4+l=V5*QO2<PQ2+OP2,故NQP0不是直角，

故P。,MN不垂直，故D错误.

故诜：BC.

7.（2022•新高考全国团卷•高考真题）（多选题）已知正方体ABCO-AACR，则（）

A.直线8。与。％所成的角为90。B.直线BQ与CA所成的角为90。

C.直线8a与平面B8Q。所成的角为45。D.直线BQ与平面ABC。所成的角为45。

【答案】ABD

【难度】0.85

【知识点】求异面直线所成的角、求线面角

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接耳c、BG，因为。A//BC，所以直线BG与6c所成的角即为直线8G与。4所成的

角，

因为四边形8BCC为正方形，则qc_LBG，故直线8G与所成的角为90。，A正确;

连接AC，因为A^_L平面叫C0,BGu平面叫GC,则44_LBG，

因为4C_L8C，ABQBC"所以BC|_L平面Age,

又ACu平面A8C，所以BG_LCA，故B正确：

连接AG，设AGnqA=。，连接BO,

因为BB11平面AA£0,C0u平面AeGQ,则GO，48,

因为GO~LB|R,=所以C]O_1•平面BBQI。，

所以NC、BO为直线8G与平面BB，。所成的角，

设正方体棱长为1,则C0=q,BC】=y/i,SinZC,ZJO=52=p

所以，直线8G与平面所成的角为30",故C错误；

因为G。，平面A8CO,所以NG3C为直线8cl与平面A3CO用成的角，易得NC；8C=45L故D正确.

故选:ABD

二、课程标准・考情分析

【课程标准】

（1）借助K方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的

位置关系的定义.

（2）了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题.

【5年考情分析】

5年考情分析

考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）

2023年上海卷第15题，5分立体几何简单

2022年上海卷第15题，5分

立体几何简单

2022年I卷第9题，5分

立体几何简单

2021年乙卷笫10题，5分立体几何简单

【2026考向预测】

本节内容是高考命题的热点，重点关注异面直线的判定和成角问题、空间点线面的位置关系问题.对

于空间几何体的点、线、面的位置关系，除了题目难度逐步提升，还增加了截面问题，对考生的空间想象

能力要求有所提升，需要考生有更强大的逻辑推理能力.

三、知识点•逐点夯实

知识点一.直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形/X7一金

符号a//b4r|a=

公共点个数1。0

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平两条异面直线不同在如

面何一个平面内

知识点二.直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况.

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

/V//

符七lual[}a=P1〃a

公共点个数无数个10

知识点三.平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况.

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形a

\

:/£17LU

符号a//pan£=/aIp,a\\p=l

公共点个数0无数个公共点且都无数个公共点且都在

在唯一的一条直线上唯一的一条直线上

知识点四.等角定理，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

四、重点难点・分类突破

考点1证明“点共面”“线共面”“点共线”“线共点”

例1、（2025•福建龙岩•二模）如图，在四棱锥P-ABCZ）中，尸AJ_平面ABC。，BCLCD,AB/[DC,

BC=CD=2,A8=4,M,N分别为心，PC的中点.

（1）设两=/l而，且”，A,M，N四点共面，求实数％的值;

⑵若平面AMN和平面尸CD所成年的余弦值为巫，求三棱锥C—AMN的体积.

5

2

【答案】（1"=j

（2）t

【难度】0.65

【知识点】锥体体积的有关计算、空间中的点（线）共面问题、空间向量共面求参数、已知面面角求其他

量

【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，利用共面向量基本定理建立方程

组求解即可；

方法二：建立空间直角坐标系，求出点的坐标及向量坐标，求出平面AAW的法向量，然后利用万.而=0建

立方程求解即可；

方法三：延长N"交CO于S,连接SA,利用线面平行判定定理证明〃平面A8CO,然后利用线面平行

的性质定理得四边形A8CS是平行四边形，利用比例相等求解即可；

（2）求出平面CQ尸的法向量，然后利用向量法表示二面角的平面角，求解R4=2,

方法一：利用向量法求三棱锥C-AMN的高，然后求出手，利用锥体体积求解即可；

方法二：先利用线面平行的性质定理得8c〃平面AMN,然后利用等体积法，转化为求解匕jsc即可.

【详解】（1）方法一：坐标法（利用共面向量基本定理）

在平面人BCD内作4s以A为原点，AB,AS,AP所在直线分别为“轴，y轴，z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

设％=〃，BC=CD=2,44=4,BC1CD,

..8(4,0,0),C(4,2,0),尸(0,0,2”)，。(2,2,0),而=(2,2,-2公，

又YM,N分别为PB,PC的中点,

.•.而=(2,0,0),丽=(2,l,a),

\-AH=A?+2PD=(0A2d)+2(2,2,-2^)=(2A,22,2(l-2)a)f

vAH»丽，福共面，，存在实数叫）'，使得南=xRV+y版，

即(24,22,2(1-即a)=x(2,0,a)+y(2,1,a)=(2x+2y,y,ax+ay),

2/1=2x4-2y

2

24=y,解得4=(；

2(\-A)a=ax+ay

方法二：坐标法（利用法向量）

在平面ABC。内作4S_LA6,以A为原点，AB,AS,”所在直线分别为不轴，y轴，z轴，建立如图所

示的空间直角坐标系，

设E4=2n,vAB//DC,BC=CD=2,AB=4,BCA.CD,

.•.3(4,0,0),C(4,2,0),P(0,0,2a),D(2,2,0),而=(2,2,-2a),

\'AH=AP+APl5=(0A2a)+2(22,-2〃)=(2/1,22,2(1-，

又yM,N分别为PB,PC的中点,

/.AM=(2,0,«)>AN=(2,1,a)>

设平面4MN的法向量为万=(x,y,z),

n-AM=2x+az=0

J_,y=°,令z=2得x=-〃，

n♦AN=2x+y+az=0

/.力=(-“,(),2),

乂，,汨7，AM»AN共面,

___2

n-AH=-2aA+4(1-A)a=0，解得％=3：

方法三：几何法：延长N"交CQ于S,连接胡,

N分别为PB,PC的中点，・•.MV〃6C,

MNNT-面ABCD,BCu平面ABCD.

二.MTV〃平面4AC。，

又Ab=平面AMNH0平面AUCL),

:.MN〃SA、，BC〃SA,XvAB//CD,

••・四边形ABCS是平行四边形，

:.AB=CS,;.CD=DS,

过N作NT〃CD交PD于T,PT=TD，

HTNTNT1.PH2

又•---=---=---——，••A=------=一；

HDDSCD2PD3

(2)方法■:由(1)得无=(一〃,0,2),

又•.•觉=(2,0,0),罚=(-2,-2,2。)，

设平面COP的法向量为周=(x,乂z),

fh-DC=2x=0

,解得x=0,令z=l得产。,

m-DP=-2x-2y+2az=0

:.ni=(0,a,1),

设平•面AMN和平面CDP所成的角为。，

...8S*3=二叵,

\n\\m\y]a2+4\la2+]5

整理得/+/-6=0,

d>0,."=1,即P4=2；

方法一：利用向量法求三棱锥C-的高,

••・平而AMN的法向量为斤二(-1,0,2),AC=(4,2,0),

设点C到平面AMN的距离为d,=区型=延

1«15

丁PA_L平面ABC。，又3Cu平面ABC。，:.PA±BC,

又,：BC1CD,K4cE4=A,BA.PAu平面"?，

.•・8。_1平面/$2，

又,.•M，N分别为/归，PC的中点，

:.MN〃BC、MN=-BC=\,

2

，附，平面ABP,乂•.，AMu平面APB,•・・的V_L/W,

又,,RI_LAB,AB=4,PA=2AM=BM=—BP=y/5,

2

则Swz=gAM-MN=¥，

斫Ldi/1c,14x/5752

）斤以VC-AMN~TSAAMN°-Q•-7-----Z--T;

方法二：几何法：•••”，N分别为相，PC的中点，「.8C〃脑V,

•••MNu平面AMN,3CU平面AMV,••.4C〃平面AMN,

•••SMBc=gx2x4=4,E4_L平面48C，PA=2,

「11，r2

•'•VC-AAW=-X-X4X2=-.

例2、（2025•山西•二模）VABC中，AB^AC,AB±AC,BC=4,。是8C的中点，E是八B的中点，F

是BO的中点.如图，将△8£尸和小。£＞分别沿EF、AD向平面AZ）/芯的同侧翻折至4ADN的位置,

且使得DN//MF.

⑵若MN=（,求三棱锥A-O0V的体积；

⑶求平面DEM与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值.

【答案】（1）证明见解析

⑶5

【难度】0.65

【知识点】锥体体积的有关计算、空间中的点（线）共面问题、面面角的向量求法

【分析】（1）取的中点G,A。的中点77,连接MG、GH、HE,证明出四边形QGA/、DFEH.MGHE

为平行四边形，可得由ME//G”，由此得出ME〃AN,即可证得结论成立；

（2）过点N在平面MNDF内作NP_L£>/，垂足为点〃，证明出尸N人平面ADE，可知NP为三棱锥N-ADE

的高，求出NP、S&ADE，利用锥体的体积公式可求得三棱锥4-OEN的体积；

（3）在平面DFMN中，过点尸作Q尸尸，交MN点、Q,以点b为坐标原点，M方、/Q的方向

分别为x、丁、z轴的正方向建立.空间直角坐标系，设NM）b=8（0<。<兀），利用空间向量法结合基本不等

式可求得平面DEM与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值.

【详解】（1）取ON的中点G,A。的中点H,连接MG、GH、HE,

因为G、H分别为DN、的中点，所以GH〃AN,GH=；AN,

翻折前，VA8c中，AB=AC,AB1AC,BC=4,

。是BC的中点，E是A8的中点.尸是的中点，

则3£>=C£>,BF=、BD=>CD,EF//AD,EF=-AD,ADIBC,

222

翻折后，则有=EF//AD,EF=-AD

22t

因为MF〃DN,G为的中点，所以MF〃DG,MF=DC,

所以，I四边形QGA"为平行四边形，所以MG//DF,MG=DF,

因为“为人。的中点，所以EF//DH,EF=DH,故四边形。尸田为平行四边形,

所以EH//DF,EH=DF,故MGHEH，MG=EH,

所以四边形以夕7£为平行四边形，所以ME//GH,所以ME//AN,

所以A、E、M.N共面.

（2）过点N在平面MN。/内作刖"L。/"垂足为点

翻折前，因为AO工8C,翻折后，则行">"LOb，AD工DN,

因为力N、。/u平面O/W,DNC\DF=D,所以AD_L平面。FN,

因为M>u平面DEV,所以A力J.NP,

因为PNJ.OF,ADcDF=D,AD.DFu平面AOE,所以小^平面人。£,

即NP是三棱锥N-4OE的高.

6

由（1）的图,

5

由余弦定理得

所以NP=DN-sin/NOP=2xJ=—，

2525

在VA8C中，AB=AC,A8J.AC,BC=4.力是8C的中点，

则AO=，8C=2,DF=-BD=-BC=\,

224

所以,S^DE=^ADDF=^X2X]=\

所以三棱锥A-QEN的体积为3=；xNPS5=；x£xi嘿.

(3)在平面。尸MN中，过点尸作。尸，。“，交MN于点Q,

因为ADJ_平面O/W.QF±DFt

以点尸为坐标原点，户方、力,、尸0的方向分别为x、.V、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系,

则。(1,0,0)、E(O,l,O),A(1,2,0),

设/NDF=<9(0<6<兀)，则M(-cos仇0,sin6),

所以历=(1,一1,0),诲=(1/,0),丽=(—cos〃,一l,sin0),

设平面。目0的一个法向量历=(xy,z),

rii-ED=x-y=0

则

m-EM=-xcos。一.y+zsin9=0

、0

।"2cos"__1+1।

令H=1,则y=l,z=l±£2^=_2=»所以沅=1J―g

sm®2s"cosgtan^

tan—

2222)

n-EA=a+b=0

设平面4EMN的一个法问信后=(“,〃,c),则・

n-EM=-acos0-b+cs\x\0=Q

n

2

.l-2sin--l0,所以五=j,7,Tang}

令4=1,则8=-1,c=，s；=------2.=-tan-

sme2W2

22

设平面DEM与平面AEMN的夹角为a,

|丽•司

cosa=-f-\=

网T同T

则

因为0＜。＜兀，所以0〈g〈三，Mtan-＞0,

222

当且仅当tang=l,即g=f时，即夕=1时，等号成立.

2242

所以平面。臼0与平面AEMN的夹角的余弦值的最大值为g.

【变式训练1】、(2025•广东揭阳•二模)如图，VABC,ADBC,△£：8c都是等边三角形，点。，£分别

在平面A8C的上方和下方，点。为3c中点.

一

（1）求证：A,D,O,^四点共面；

⑵若AD=AB=2g,求直线OE与平面人C。所成角的正弦值的最大值.

【答案】（1）证明见解析

喈

【难度】0.4

【知识点】空间中的点（线）共面问撅、线面角的向最求法

【分析】（1）由已知，证得8c_L平面AOE,8CJ_平面AO£>,可得4,D,0,£四点共面；

（2）以0为坐标原点，以。4,05分别为x、y轴，以过点O且垂直于平面43c的直线空间直角坐标系,

利用线面角的向量表示sina,然后结合辅助角公式和三角函数的有界性求出最值即可

【详解】（1）连接。0、AO、E0,

因为VA4C,ADBC,△E8C都是等边三角形，

所以4OJ.AC,EOJ.BC,DOA.BC,

又AO,EO在平面AOE内交于点0,AO,。。在平面AOD内交于点O,

所以BC_L平面人犯，8C_L平面A。。，

因为过。只有•个平面与BC垂直，且平面AQE与平面人。。有公共点0,

所以平面AOE与平面A8是同一平面，

即A,D,0,E四点共面；

（2）连接。0、AO.EO,AD,

以CM,OB分别为x、y轴，

以过点O目垂直于平面ABC的直线空间直角坐标系,

则A（3,0,0）,C（0,-x/3,0）,^（0,73,0）,

因为△O8C是等边三角形，边长8C=AB=QC=2G，点。为BC中点,

所以3O=CO=J5，所以zxZDCZ—CO2=J12-3=3

乂2G

设D(x,)，,z),

AD=y](x-3)2+y2+z2=2a

BD=「+b―可+/=2G

x=\

所以CQ=卜+卜+可+z?=2x/3解得<y=0

z=2\/2

DO=y]x2+y2+z2=3

所以。(1,0,20),

因为△必C是等边三角形，边长BC=BE=26，息0为BC中点,

所以BO=CO=石，又EO=\IEC)-C。=:12-3=3,

设E(5,y,zJ,

BE=5+U一可+z：=2>/3

-CE=jx：+(y.+\/3)+z；=2\/3),

所以v3D1、,解得x：+z；=9,

EO=Jx：+),；+z：=3

由（1）得NAOE为二面角A-/C-E平面角,

设ZAOE=8,则点E（3cos0,0,-3sin0）,

故/=（3cose,0—3sine）,/=b3,—6,0）,AD=（—2,0,2加）,

设平面46的法向量为:=（x,,yrz2）,

夜

n-AC=O-3x2-V3y2=0=Z=——X,

则__=>2■

nAD=02X2+2>/2Z2=0

y=->/3x2

取与=近,得y2=-V6,z2=1,

所以万=（友,一后,1）,

设直线OE与平面人C。所成角为a,

piiJsina=|cos（DE,n）|=|g^|

卜及cos"sin,|3>/5cos（e+G）|x/5|cos（夕+°）|

993

其中COSQ=坐,sine：4,

当|cos（，+0）|=l时，sina取得最大值为乎，

所以直线OE与平面AC。所成角的正弦值的最大值且

3

【变式训练2】、（2025•广东惠州•模拟预测）如图，在棱长为2的正方体A4CO-A4G。中，M.E分

别是G。、AA的中点，尸是MC的中点.

⑴判断A、C、M、A四点是否共面（结论不要求证明）；

（2）证明：即〃平面A8CO：

⑶求异面直线八声与EF所成角的余弦值.

【答案】（1）A、C、M、A四点不共面

⑵证明见解析

喏

【难度】0.85

【知识点】平面的基本性质及辨析、证明线面平行、异面直线夹角的向量求法

【分析】（1）直接根据平面的基本事实判断；

（2）方法一：如图，以。为原点，D4，DC.分别为x,），，z轴，建立如图空间直角坐标系，求出

而与平面ABC。法向量垂直即可；

方法二：如图，取C。中点N,再取CN中点G,连接MN、阳和AG,通过证明）7/AG,可得证：

方法三：如图，取DR中点N,连接EN、FN,通过证明平面EFN〃平面A8CO,可得证；

（3）直接利用空间向量夹角公式求解.

【详解】（1）A、C、A三个不共线的点确定平面ACCM，显然M任平面ACCM，

（2）方法一：如图，以。为原点，DA,DC,。。分别为x,〉，，z轴，建立如图空间直角坐标系,

-2T°

又平面A8C。的法向量为n=（0,0.1）

所以丽・M=0，故乔_1_鼠

又即《平面ABC。，故EF〃平面ABCO.

方法二：

如图，取CO中点N,再取CN中点G,连接MN、尸G和AG.

由F为CM中点，则FG//MN,H./G=；MN.

在正方体A88-A8C2中，E为AA中点，

故AEIIDDJIMN,且AE=goA=gMN,

所以AG//AE且尸G=AE,

则四边形AEFG为平行四边形，故EF//AG,

又平面48C。，AGu平面A8C。，故EB7平面A8CD.

方法三：如图，取中点N,连接屈V、FN.

在梯形"MCO中，尸为CM中点，则FN//CD.

因为FNQ平面A3c。，CDu平面A4CO,所以硒〃平面/WCD.

在正方体A8CO-AgGR中，石为AA中点，则EM/4),

因为ENq!:平面A4CQ,AOu平面A4CQ,

所以EW〃平面A8co.

因为ENcFN=N,EN,FNu平面EFN,所以平面£7W〃平面/WC"

又E/u平面EFN,故所〃平面A8CD

又A(2,0,2),8(2,2,0),故人启=(0,2,-2),

（XB炉）--京.3_3.

所以代到-阿司-％一。

故异面直线A8与EF所成角的余弦值为哈.

考点2截面问题

例3、（2025•海南•模拟预测）已知正四面体棱长为4,所有与它四个顶点距离相等的平面截这个四面体所

得的截面之和为（）

A.4B.A&C.12+46D.16+4有

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】由平面的基本性质作截面图形

【分析】分两类，由过同一顶点的三条侧棱的中点确定的截面，与一组对棱平行且过棱的中点的截面.

【洋解】如图1，E,F,G分别为正四面体棱的中点，此时它的四个顶点到截面EFG的距禽相等，

△EFG是边长为2的等边三角形，S/=6这样的截面有4个；

如图2,E,F,M,N分别为正四面体棱的中点，

此时它的四个顶点到截面EFMN的距离相等，

四边形EPMN是边长为2的正方形，5由=4,这样的截面有3个，

所以满足条件的截面的面积之和为：12+4石.

故选：C.

AA

图1图2

例4、（24-25高三下•甘肃白银•阶段练习）已知正方体ABCO-AB'C。的棱长为2,平面。截正方体所得

的图形为六边形，设该六边形的周长为。，且AC_La,则（）

A.c=3及B.c=6yflC.<?G[372,6]D.ce6,6a]

【答案】B

【难度】0.65

【知以点】判断止方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、证明线面垂直

【分析】根据正方体的几何性质，结合线面垂直的判定可得AC'J_平面C8'。，进而可得平面a〃平面CB7X,

即可求解.

【详解】连接C0,C*,力”，

由干CCJ"平面ABC。，3£>u平面A/3C。，故CCLBD,

又BZ）JLAC,CC^AC=C,CC,ACu平面ACC,故4。1平面ACC,

又AC'u平面ACC,故AC'IB。，877/8。则区为人AC?,

同理可得ACJ_S,

3c"=D\CD\3'。u平面CFD,故AC'_L平面CB"

由干4C'_L平面。，故平面a〃平面C&D,

平面a与平面DCCiy的交线为SM,平面CB'£>'与平面DCCD的交线为“C,

故D'C/5Ml.同理可得D'B'"MMi.CB'"NRD'C//RQ「D'B'//RQ-CB'//R5.

故丫面。如图阴影部分，=0OM+0MC=&DC=2血，

同理可得N/+RQ=QR+峪=2夜，故六边形周氏为定值6a，所以B正确.

故选：B

【变式训练3】、(2025•安徽合肥•三模)在长方体ABC。-ABC。中，BD=2AB=2.若

NA84+NACA+ZAD4=］,点M在长方体内且福=百祝，则平面ADM截长方体ABC。-AfCA的

截面面积为.

［答案］：+>

2

【难度】0.4

【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、判断正方体的截面形状、由平面的基本性质作截面图形、

空间向量的数乘运算

［分析］设AA=X，C£=y，由NABA+ZA,CA+ZA,DA=-可得tan(NA84+NA%)=tanjg-NADA］,用x

表示正切值，利用和角的正切公式求得产=6-1，再由福=石就求得丁二牛1,利用M〃CG构造

平面。，连接AM并延长交CG于点£,连接OE,过点、E作EF//BC,交8月于点尸，即可得矩形。曰％为

平面ADM截长方体ABCD-^C^得到的截面，求其面积即可.

【详解】已知2AB=2,则4£>=，g-4?2=3

设AA)=x,CE=y,tanNA,BA=x,tanZ/\C4=：,tan/.A^DA=力，

因为NAR4+幺C4+NA0A=］,

：.ZA.BA+ZA,CA=^-ZA.DAf

：.tan(Z.\BA+Z/\CA)=tanDA,

tanZA,BA+tanZAtCA_1

1—tanNABA-tan/人CAtanN,'DA'

人十不J3q2

所以一f=—，化简得士/=.（］_土），得/=6_1,

［上x22

2

即猛=6-1.

VCM12J3-1

又二=B=K贝不=xL=YL」

.vMA,\/3