角平分线的性质 -2024浙教版八年级数学上册同步练习（含答案解析）

L7角平分线的性质浙教版（2024）初中数学八年级上册同步练习

分数：120分；考试时间：120分钟；；命题人：

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.如图，在△力BC中，AB=AC,力。是A4BC的角平分线，过点。分别作DEJL48,DFLAC,垂足分别

是E,尸，则下列结论错误的是（）

A.LADC=90°B.DE=DFC.AD=BCD.BD=CD

2.若a、b、c是直角三角形48c的三边长，Ka2+b2+c2+200=12a+16b+20c,则△4BC三条角平分

线的交点到一条边的距离为（）

A.1B.2C.3D.4

3.如图，直线a,b,c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相

C.3处D.4处

4.如图，在A/IBC中，AB=AC,4D平分，BAC,DELAB,DFLAC,垂足分别是E,F.给出下列四个结

论：①4D上任意一点到48,AC的距离相等；②4。上任意一点到8,C两点的距离相等；③4D18C且

BD=CD；④NBOE=4C0F.其中，正确的个数是（）

5.三条公路将力，B,C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使

集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）

A.三条高线的交点B,三条中线的交点

C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点

6.如图，在AABC中，P、Q分别是8C、AC上的点，过P作PR14B,PS1.AC,垂足分别为R、S,若

AQ=PQtPR=PS,贝ij

①力P平分乙B4C;

②/S=AR；

③QP〃4R;

©△BRPCSP

这四个结论中，正确的有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.在正方形网格中，NAOB的位置如图所示，到NAOB两边距离相等的点应是（）

A.点MB.点NC.点PD.点Q

8.如图，直线。、八c表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相

等，则可供选择的地址有（）

A.1处B.2处C.3处D.4处

9.如图，在RtZiABC中，△8=90。，以点力为圆心，适当长为半径画弧，分别交48、AC于点D,E,再分

别以点。、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点心作射线4尸交边8c于点G,若BG=1,AC=

4,则△4?G的面积是（）

A.2B.3C.4D.5

10.如图，在中，△8=90。，以点4为圆心，适当长为半径画弧，分别交48、AC于点D,E,再

分别以点。、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F,作射线A广交边8C于点G,若BG=1,AC=

13.如图，在44BC中，4D平分NE4C,0E14艮若4c=2,DE=1,贝！

14.如图，在△48C中，Z.C=90°,ZF=30°,40是乙84c的角平分线，DELAB,垂足为E,DE=1,则

BC=

15.如图，在％、y轴上分别截取OA、OB,使。力=。氏再分别以点力、8为圆心，大于的长为半径画

弧，两弧交于点。.若C的坐标为（3a,Q+10），则。=

力。平分2口力C,DELAB.^AC=2,DE=1,则

S△4CD=

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图所示（点M,N表示大学，力。，8。表示公路），现计划在

的内部修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等.你能确定

仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案.（要求尺规作图，保留作图痕迹）

18.(本小题8分)

如图，在△力8C中，力。是AABC的角平分线，DE1AB于点E,"在边AC上，月.8。=。尸.

图①图②

(1)如图①，若乙C=90。，求证：XFCD^BED；

(2)如图②，若NC<90。，试探究线段AB,AF,8E之间的数量关系，并给出证明.

19.(本小题8分)

下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.

已知：如图1,直线BC及直线BC外一点P.

图1图2

求作：直线PE,使得PE〃8C.

作法：如图2.

①在直线8c上取一点4连接24；

②作乙PAC的平分线力。；

③以点P为圆心，P力长为半径画弧，交射线4。于点E；

④蚱直线PE.

所以直线PE就是所求作的直线.根据小明设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：•••AD平分/P4C,

:./.PAD=Z.CAD.

vPA=PE,

:./.PAD—______,

Z.PEA=,

・•・PE//BC\_____）（填推理依据）.

20.（本小题8分）

如图，在口48CD中，乙4DC的平分线交力8于点E.

（1）尺规作图：作N4BC的平分线，交C。于点“保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）求证：四边形DE8F是平行四边形.

21.（本小题8分）

已知：如图，力。是A/WC的角平分线，DE1AB于点E,DF14C于点尸，BE=CF.求证:AD是BC的中垂

线.

22.（本小题8分）

如图，四边形中，AB=AC.^0=90°,5E1于点F,交CD于点、E,连接及4,EA平分匕DEF.

A

D

E

BC

（1）求证：AF=AD；

(2)若BF=7,DE=3,求CE的长.

23.（本小题8分）

如图，点M在，B/1C的48边上，用直尺与圆规分别按下列要求作图:

（2）在图②中作。。，使。。与小。相切，且与48相切f点M.（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）

24.（本小题8分）

如图，四边形力BC。中，CD=CB,4C平分乙。力氏。/_148于点?，CEJ.710的延长线于点E.

（2）若40=2,AB=7,请直接写出人厂的长.

25.（本小题8分）

如图，在△4BC中，。是418。，乙4cB的平分线的交点，。'是乙4凤:，乙4c8外角的平分线的交点.

(1)点。'在4/1的平分线上吗？为什么？

(2)求证：Z.BOC+Z-BO'C=180°.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：•••4B=4C，/D是△ABC的角平分线，

•••AD1.BC,BD=CD,乙B=乙。,

ALADC=900,

在48。£和仆COF中，

Z.B=乙C

乙BED=乙CFD,

BD=CD

：.^BDE^ACDF(AAS),

：.DE=DF,

故选:C.

由等腰三角形的性质可得40IBC,BD=CD,乙B=LC,由“A4S”可证△CD"，可得DE=

DF.

本胭考查了全等三角形的判定和性质，等腰「角形的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键.

2.【答案】B

【解析】a2+b2+c2+200=12a+16b+20c,•••a2-12a4-36+b2-16b+64+c2-20c+100=

0.•••(a-6)2+(b-8)2+(c-10)2=0.a-6=0,b—8=0,c—10=0.'•a=6,b=8,c=

10,.•.。2+匕2=62+82=100=。2..・.乙4。8=90°.如图，设G为△ABC的三条角平分线的交点，过G作

GDLAB,GF1BC,GH1AC,垂足分别为。、F、H,^]GD=GF=GH,而底.点=♦AC=gab=

24,又S&ABC=SAAGC+SHBGC+SMGB=\^^ABC'GD»•••1(6+8+10)-GD=24,•••GD=2.故选B.

3.【答案】D

【解析】【分析】

此地考查了角平分线的性质.注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用,

小心别漏解.

由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用

角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可

供选择的地址有4个.

【解答】

解：••・△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

••.△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，

过点P作PE1AB,PD1BC,PF1AC,

:.PE=PF,PF=PD,

PE=PF=PD,

.•.点「到^ABC的三边的距离相等，

.•.△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；

综上，到三条公路的距离相等的点有4个，

•••可供选择的地址有4个.

故选

4.【答案】D

【解析】略

5.【答案】C

【解析】【分析】

根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可。

【解答】

解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸

市场应建在N/1、乙B、”的角平分线的交点处。

故选Co

6.【答案】B

【解析】①148,PSLAC,PR=PS,

.・"P平分乙&4C,故①正确

②易证△力PR=^APS,

AS=AR,故②正确；

③如图，

vAQ=PQ,

Zl=Z.APQ,

:•乙PQS=41+乙4PQ=2Z1,

•••力。平分484。，

Z.BAC=2Z.1,

•••乙PQS=Z.BAC,

QP//AR,故③正确；

@vPR1AB,PS1AC,

.•.乙BRP=MSP,虽然PR=PS,但是48/?。与△CSP不一定全等（只具备一角一边分别相等的两个三角形

不一定全等），

故④不正确.

故选B.

7.【答案】A

【解析】【分析】

本地主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.角的平分线上的点到角的两

边的距离相等.

【解答】

解：观察图形可知点M在2A08的角平分线上，・••点M到乙4。8两边距离相等.

故选A

8.【答案】D

【解析】【分析】

此题考查了角平分线的性质.注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，注意数形结合思想的应用，

小心别漏解.

由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用

角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，可得可

供选择的地址有4•个.

【解答】

解：•・・△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，

••.△ABC内角平分线的交点满足条件；

如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点,

过点P作PE1AB,PD1BC,PF1AC,

APE=PF,PF=PD,

APE=PF=PD,

•••点「到^ABC的三边的距离相等,

.•.△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个;

综上，到三条公路的距离相等的点有4个,

•••可供选择的地址有4个.

故选。.

9.【答案】A

【解析1解：由作法得4G平分乙84C,

G点到力C的距离等于BG的长，即G点到力C的距离为1,

所以△ACG的面积=1x4x1=2.

故选：A.

利用基本作图得到AG平分48AC,利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1,然后根据三角形面枳公

式计算△ACG的面积.

本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知

线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是解题的关键.也考查了角平分线

的性质.

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知

线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了角平分线的性质.

利用基本作图得到AG平分，8/1C,利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1,然后根据三角形面积公

式计算△4CG的面积.

【解答】

解：由作法得/G平分乙8力C,

•••G点到4。的距离等于8G的长，即6点到力C的距离为1,

所以△ACG的面积=1x4x1=2.

故选：C.

11.【答案】C

【解析】解：

Z^/1C+ZC=1800,

••"何=180°—70°=110°,

由作法得力E平分4B4C,

A，BAE=Z.CAE=1x110°=55°,

•••£AED=4。+^CAE=700+55°=125°.

故选:C.

先根据平行线的性质得到NB4C=110。，再利用基本作图得到乙B4E=^CAE=55。，然后根据三角形外角

性质可计算出乙4ED的度数.

本题考查了平行线的性质，作一个角的平分线以及三角形外角的性质，掌握用尺规作图作一个角的平分线

的作法是解题的关键.

12.【答案】D

【解析】略

13.【答案】1

【解析】【分析】

本题考查角平分线的性质，通过伦辅助线求出三角形4CD中4c边的高是解题的关键.

作DF_LAC于点F,由角平分线的性质推出。尸=/)£1=1,再利用三角形面积公式求解即可.

【解答】

解：如图，作。于点尸,

平分48AC,DE1AB,DFLAC,

•••DF=DE=1,

^S,ACD=^AC-DF=1x2xl=l.

故答案为：1.

14.【答案】3

【解析】【分析】

本题考查了角的平分线的性质，含30。角的直角三角形的性质，理解性质定理是关键.

根据角平分线的性质即可求得CD的长，然后在直角ABDE中，根据30。的锐角所对的直角边等于斜边的一

半，即可求得8。长，则BC即可求得.

【解答】

解：•••力。是△力8c的角平分线，DE1A8,LC=90°,

ACD=DE=1,

乂••・直角ABDE中,=30°,

:.BD=2DE=2,

；.BC=CD+BD=l+2=3.

15.【答案】5

【解析】由尺规作图可知，交点C是乙4。8的平分线上的一点,

•.•点C在第一象限，

•••点C的横坐标和纵坐标都是正数，且横坐标等于纵坐标，

.••3Q=Q+10,解得。=5.经检验，a=5符合题意.故填5.

16.【答案】1

【解析】解：过点。作1AC,垂足为广，

•••力0平分N8AC,DELAB,DFLAC,

DE=DF=1,

-AC=2,

1

:•S&ACD=2AC'DF

1

=2X2X1

=1»

故答案为：1.

过点。作D~14C,垂足为尸，根据角平分线的性质可得DE=DF=1,然后利用三角形的面积进行计算即

可解答.

本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的

关键.

17.【答案】解：点P即为所求.

【解析】见答案

18.【答案】【小题1】

解：证明：••TO是角平分线，DELAB."=90。，=在RM"。和RtZkBEO中，史£=?♦

ICD=ED,

Rt&FCDSBED(HL).

【小题2】

48-AF=2BE.证明如下：如图，过点。作DGJ.4C于点4)是角平分线，DELAB,DGLAC,•••

r)p—r)R

{二I-•*-Rt△FGD^Rt△BED(HL),：.FG=BE.在Rt△AGD

DU=L/c,

与RCA4E0中，ARtAAGD^Rt△AEDf<HL),：.AG=AE,：.AB-AF=AB-(AG-FG)=

AB-(AE-BE)=AB-AE+BE=BE+BE=2BE.故线段48,AF,8E之间的数量关系为48-AF=

2BE.

【解析】1.略

2.略

19.【答案】解：(1)如图所示：直线PE即为所求.

(2)"区4,Z.CAD,内错角相等，两直线平行.

【解析】解：(1)见答案；

(2)证明：rAD^^PAC,

•••/.PAD=Z.CAD.

PA=PE,

:./.PAD=Z.PEA,

AZ.PEA=/.CAD,

.•.PE〃8C.(内错角相等，两直线平行).

故答案为：乙PEA,Z.CAD,内错角相等，两直线平行.

(1)根据要求作图即可；

(2)根据等腰三角形的性质和平行线的判定及用平分线的定义求解可得.

本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握等腰三角形的性质和平行线的判定及角平分线的定义.

20.【答案】【小题1】

证明：•.•四边形力BCO是平行四边形，.••4A。。=CD//AB.：.乙CFB=CABFJ：DE,BF分别平分

Z/1DC,乙ABC,CDE=1z/IDC,iABF=g乙ABC.：.乙CDE=Z.ABF.：,乙CDE=Z.CFB.DE//BF.又•:

CD//AB,即尸D〃E8,.••四边形。EBF是平行四边形.

【解析】1.略

2.略

21.【答案】证明：因为4。是△48C的角平分线，DEA.AB,DF1AC,

所以。E=Dr,/-ADE=Z.ADF.

又因为BE=C/，Z-BED=A.CFD=90°,

所以△BED=^CFD(SAS).

所以8。=CO,乙BDE=cCDF.

所以iBDE+4ADE=乙CDF+Z.ADF,即心408=Z.ADC.

又因为4408+乙40。=180。，所以4408=90。，^AD1BC.

所以4D是8c的中垂线.

【解析】见答案

22.【答案】(1)证明：•••4。=90。，8£14。于点尸，

:.LD=Z.AFE=90°

•••E4平分NDEF,

:.Z.AED=Z.AEF

在hAFE和〉ADE中

乙D=^AFE=90°

/-AED=^AEF

AE=AE

.-.△/IFF三△ADEQ4AS),

:.AF=AD.

(2)解：•••BE_L4C于点产，

:./.AFB=90°.

在RCA/IFB和山△ADC中，

(AB=AC,

lAF=AD,

:.RtAAFB三RtAADC(HL).

•••BF=CD.

vBF=7,

CD=7.

vDE=3,

:.CE=CD-DE=7—3=4.

【解析】(1)运用角平分线的性质定理证明A4FE三△4DE,进而可得结论；

(2)先证明团三团ADC可得BF=CD,即CD=7,最后根据线段的和差即可解答.

本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点运用HL证得团?!尸B三口力DC是解题的

关键.

23.【答案】【小题1】

如图所示，。