海南省海口市2024-2025学年高一年级下册期末 数学试题（含解析）

海南省海口市2024-2025学年高一下学期期末考试

数学试题

一、单选题

1.若集合人=卜,2<3bB={#)VXV2},则A|J4=()

A.卜0cxe阎B.{x-V5<x<G}

C.-\/3<x<2!D.卜［G<X<2}

2.4,b,c,dwR,且〃>〃，则“c>d”是“4+。>。+〃”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知向量日=(1,-2),/；=(4,/),若万则/=()

A.1B.2C.-2D.-8

flog2x+l,x>0

4.已知函数/("=1：八，则()

\—x~-x,x<0

12

A.1B.2C.3D.4

/\

5.已知角。终边过点〃(一2,1),则sin0--=()

<4J

AM3而「屈

A・-----DR・Mn3

10101010

6.已知四边形ABC。为矩形，A8=3,BC=：2,E是AO的中点，则人己4后=()

A.-7B.-3C.3D.7

7.若点A是两条相交直线。，〃外的任意一点，则过点A有且只有一条直线与直线。，人都()

A.平行B.相交C.异面D.垂直

8.m知定义在实数集R上的函数/(X)满足：VA-yeR,/(x+y)+/(x-)，)=2/(x)+2/()，)，且八1)=3.下

列结论正确的是()

A./(同是奇函数B./(x)在区间(0,2)上单调递减

C.〃力的周期为3D./(-3)=27

二、多选题

9.在一次对甲、乙两个工厂生产的相同数量的零件质量（单位：克）统计中，得到如下表:

工厂平均质量中位数众数方差

甲厂636361s：

乙厂636261

其中根据统计数据，下列结论中正确的是（）

A.甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂

B.甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂

C.甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同

D.甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂

10.已知函数/（x）=Asin（5+e）（A>0⑷>0,0〈夕〈兀）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）

C.函数/（X）的图象关于点卜夕。中心对称

D.将函数/"）的图象向右平移;个单位长度得到的函数g（x）为奇函数

11.已知函数则下列说法正确的是（）

A.函数/"）的定义域为（-3,3）

B.函数/（“是奇函数

C.函数/（力是增函数

D.若+则g<«<2

三、填空题

已知复数z=2+i,则目=

12.

13.某科研团队研究某种放射性物质的衰减规律，发现剩余质量例（，）（单位：克）随时间/（单位：天）

的变化规律满足M⑺=M°-27,其中%）为初始质量•若初始质量M）满足log2Mo=6,则U12时,

的值为.

14.已知四边形ABC。为矩形，AB=2瓜,8c=2,将△48沿AC折起，连接8。，得到三棱锥O—A8C,

则三楂锥O-A8c外接球的表面积为：当三榜锥。的体积最大时，其内切球的半径为

四、解答题

15.在V48C中，。，b,。分别为角A,B,。的对边，且加inC=GccosB.

（1）求角8；

⑵若VABC的面积为6，a=c+2,求边AC上的高B/）的长.

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BC。为菱形，E是PO的中点，PA=PC=AB=2,PB=PD,

45。=601

⑴求证：P3〃平面ACE；

（2）求三棱锥E-ACD的体积.

17.2025年海口市某中学举办校园诗词大赛，评委对参赛选手的表现进行打分.现随机抽取了40名选手的

成绩，并分成五组：第一组［50,60）,第二组［60,70）,第三组［70,80）,第四组［80,90）,第五组［90,100］,绘

制成如图所示频率分布直方图.

题号12345678910

答案CABCBADDABBCD

题号11

答案ABD

1.c

由集合的并集运算即可求解.

【详解】由合A=HX2<3}=卜卜GvxvG},4={x|0<x<2},

所以AuB=8=W—JJ<x<2},故C正确.

故选:C.

2.A

利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.

【详解】充分性：因为〃>人且C>d,由不等式的性质可得4+0。+“，充分性成立：

必要性：取a=3,b=2,c=\,”=1.5,则a+/成立，且但c>4”不成立，必要性不成立.

因此，“c>d”是“a+c>b+d”的充分不必要条件.

故选：A.

3.B

由—15得44=0,根据平面向量数量积坐标运算即可求解.

(详解】由题意有〃•/；=lx4+(-2)xi=0=/=2,

故选:B.

4.C

根据分段函数先求/(-2),进而即可求〃/(-2)).

【详解】由题意有〃—2)=gx(—2『一(—2)=4,所以/(/(一2))=/(4)=唾24+1=2+1=3,

故选:C.

5.B

利用三角函数的定义求出sin。、cos。的值，再利用两角差的正弦公式可求得sin,一的值.

2

【详解】由三角函数的定义可得8s®=-sin蚱,।3

&-2)2+15,

由两角差的正弦公式可得sin,一：)=sin。8s工网的/立史/-毡］."=亚.

44525210

故选:B.

6.A

建立平面直角坐标系，再利用坐标表示向量的数量枳，从而可求解.

【详解】由题，以点A为坐标原点，分别以AB,A。所在直线为MJ轴建立平面直角坐标系,

则A(0,0),8(3,0),C(3,2),E(0J),

则/=(3,2),BE=(-3,1),则而•萌=3x(-3)+2xl=-7,故A正确:

故选:A.

7.D

由题可知两条相交直线。，匕可唯一确定一平面，再利用平面垂线知识即可求解.

【详解】由题意可知两条相交直线〃可唯一确定一平面a,因点A是两条相交直线。，b外的任意一点,

则可得过点A与平面a垂直的垂线只有一条，从而可得只有一条直线与直线。，b都垂直，故D正确.

故选：D.

8.D

根据给定条件，利用赋值法逐项分析判断.

【详解】对于A,令x=y=0,得/(0)+/(())=4/(0),则/(0)=0.

令」=0,得/(—)，)=/()，)，函数“X)是偶函数，A错误;

对于B,令x=y=g,得/(；)=：,而/⑴=3,则函数/*)在(0,2)上不是单调递减函数，B错误；

对于C,令x=)，=l,得〃2)+/(0)="⑴，则"2)=12,

令工=2,y=l,得〃3)+/(1)=2〃2)+2〃1),则〃3)=27,/(0)^/(3),C错误;

对于D,由f(x)为偶函数,得〃-3)=〃3)=27,D正确.

故选：D

9.AB

根据平均数，中位数，众数和方差的定义逐一验证即可求解.

【详解】根据表格有所以甲厂生产的零件质量稳定性优于乙厂，故A正确;

根据平均数，中位数和众数不能判断极差，而所以甲厂生产零件质量的极差可能小于乙厂，故B

正确；

根据众数的定义可知，众数是出现次数最多的，不能判断甲、乙两厂生产的零件中61克出现的次数相同，

故C错误；

由于甲乙两厂的平均质量为63克，不能判断甲厂生产的零件中质量大于63克的数量多于乙厂，故D错误.

故选:AB.

10.BCD

/\

根据图像先求A7,进而得以夕即可判断AB,计算/唉是否为。即可判断C,根据图像的变换得g")

即可判断D.

【详解】由图可知4=2,^=y|-^=^=>7'=H,所以。号=g=2,故A错误：

由2x^+0=g+2E,keZ,由。<e<兀，解得0=^，故B正冽；

14J

所以/(x)=2sin(2x+]｝又/卜

=2sin0=0故C正确;

将函数仆)的图象向右平移煮个单位长度得到的函数《)=小一弓)=2•2卜4)+m=2sin2.r,又

g㈤=2sin2x为奇函数,故D正确.

故选:BCD.

11.ABD

对于A求=>()即可判断，对于B根据函数的奇偶性即可判断，对于C利用复合函数的单调性即可判断,

对于D利用奇偶性和单调性即可求解.

【详解】对于A：由F>0n(3f)(3+K)>0=-3<x<3,所以〃力的定义域为(—3,3),故A正确；

对干B：由A得/(力的定义域为(-3,3),又“_x)=lnL=-lnF-=-〃x),所以f(x)是奇函数，故

3—x3+x

B正确；

对于C：令/=E，所以/=E=T+喂，由在(T3)上单调递减，、=1M在(0,+8)单调递

增，

根据复合函数单调性得了(力在(T3)是减函数，故C错误；

对于D：由“力是奇函数且f(x)在(-3,3)是减函数,由/(〃)+/(%-1)<0得

/,)<一/伽一1)=/(1一切,

a>-

a>\-2a31

所以一3va<3=>-3<a<3=>-<a<2f故D正确.

-3<1-2«<3-\<a<2

故选：ABD.

12.G

5

根据复数的除法运算先求?，即可求R

【详解】由题意有一二4=0(：；；).、=¥=1—%,所以，=正,

z2+1(2+i)(2-i)555z丫⑸(5)5

故答案为：好.

5

13.6

由题意可得M(12)=M0-2-3,再结合对数的运算即可求解.

【详解】由题意可得当1=12时，M(12)=M0-2-3,

/\

所以叫企〔瑞茴卜1OgV22'=loga(应『=6.

故答案为：6.

14.16K2(46一瓯

3

空❷1：取AC中点。，由几何知识可得O4=O8=OC=OD,则。为外接球的球心，从而可求解；空*2：

过。作。E/AC于E,然后再利用等体积法即可求解.

【详解】空*1：取AC中点。，则O4=O3=OC=O。，所以。为外接球的球心，

\r

所以外接球的半径为R=会=2,由球的表面枳公式S=4兀叱=|6h.

（2）当三棱锥O-ABC的体积最大时，平面ADC垂直于平面A8C,用等体积的方法求该三棱锥内切球的

半径，

即过。作OEUAC于E,则OE一面ABC,

ADxDCl__________j__________

在RtAAS中可解。七=---=>/3,AEZtAD'-DE?=1，CE=y]CD2-DE2=3»

AC

在L.AEB中，由cosZ.BAE=4巨=，由余弦定理可得cosZ.BAE="+""—解得BE=J7>

AC22ABxAE2

在RtZ\£>E8中用勾股定理得.二1力炉+为炉=而，

因为S8=S&BCD=»S^ABC=S*ACD=26

代入公式VD-ABC=Q(Sj«c+S&ADC+S/M+S&DBC)，「

J

即;x26x6=；x、2+26、2卜，解得,_2卜石-.）

3

故答案为：16兀；2（4屈）

3

喈

（1）根据正弦定理边角互化即可求解,

（2）根据面积公式可得a=4,进而根据余弦定理可求解方=2衣，即可根据面积公式求解.

【详解】（1）由加inC=GccosB结合正弦定理可得sinBsinC=j3cosBsinC

因为仇Ce（O,兀）,则sinC>0

所以sinB=&usB>0.

则有tan8=&故8=—.

3

堂~=6得砒=4

（2）由S△48c=-acsinB=-acx

22

因〃=c'+2,所以〃-C'=2

由余弦定理尸=+c、2一2accos8得〃=（4一c）2+2ac-2accosB

所以〃2=4+2x4—2x4xg=8,解得b=2夜

所以we=；Z?-80=gx20xBD=x/5

BD=—.

2

16.（1）证明见解析

（1）连接K。交AC十0,且连接0E,即让。石〃/也利用线面平彳丁的判断定理即可求解;

（2）先求点E到平面ACZ）的距离，再求底面面积，根据三棱锥的体积公式即可求解.

【详解】（1）连接8。交4C于。，且连接0£,则。为AC的中点.

因为七是P。的中点，所以OE为△P3O的中位线，所以OE〃/,8,

又因为P8S面ACE,OEu面AC£,所以P8//面AC£

（2）因为R4=PC,。为AC的中点，所以PO_LAC,

又因为依=叨，所以POJ.BD,

因为AC,3Du面ABCD,AC（｝BD=Of所以201面人ACO,

菱形ABC。中，ZABC=60°,AB=2,所以AC=2,所以。C=l,

因为七为P。的中点，所以点E到面A8CD的距离为,=）正斤=立

2222

又V=-ADCDsinZADC=-x2x2x

入a

A4CD22

所以匕ACD=-^,r'-PO=-X^X—=-

c~/icI)3D2322

所以三棱锥E-ACD的体积为;.

17.(1)4=0.035

⑵平均数为77,第95百分位数为95分

⑶？

(1)由各组的频率和为1列方程即可求解；

(2)根据平均数和百分位数的定义求解即可；

(3)先根据频率分布直方图求出第二组、第五组的频数，然后根据所给的平均值、方差公式求解即可.

【详解】(1)因为(0.005+0.02+4+0.03+0.01)x10=1,所以。=0.035；

(2)40名诜手成绩的平均数为55x0.05+65x0.2+75x().35+85x0.3+95x0.1=77,

因为前4组的频率和为0.05+0.2+0.35+0.3=0.9<0.95,

前5组的频率和为1>0.95,

所以第95百分位数位于［90,100］内，设其为巴

则0.9+0.01x(x—90)=0.95,解得％=95,

即第95百分位数为95分.

(3)设第二组、第五组选手成绩的平均数、方差分别为元=65,£=95,s；=30,s；=40,

且从第二组选取的人数为20x0.2=4,从第五组选取的人数为20x0.1=2,

则第二组和第五组所有选手的成绩平均数为…/才一二75,

第二组和第五组所有选手成绩的方差为

24，+羽+(石-可^附+侬.上扣0+(95-75))啜

s~=—s；+

61

7()()

所以第二组和第五组所有选手成绩的方差为詈.

18.(1)E++§(keZ)

63

⑵

(3)re(-oo,2)

(1)根据三角恒等变换先化简f(x),即可求/(力的单调减区间:

由T芸｝得2呜电用，作出函数图像,利用数形结合即可求解;

(2)

由得+；而，令=得/<〃?+',利用基本不等式即可求解.

(3)g(x)vl

【详解】(1)由题意有f(A)=x/3sin.vcosx+cos2x--=与sin21+"c；2x_

=sin(2x+\

若y=/W为单调递减函数，有2E+5W2X+FK2E+¥(ACZ),

262

kn+—<x<kit+—(kGZ),

63

所以〃x)=sin(2x+m］的减区间为E++4(AeZ),

I6/L63」

、.it兀n・t—兀兀57c

(2)因为“£—,所以2x+zw—,—

123J6L36

令f(力+。=()得/(工)=一〃，由图可知-aw4,1,所以7,一4

V23

1

-

2

U(X)+1房恒成立

(3)由g(x)<l得/v=/'")+

f(X)

令f(x)=/〃，得/<〃?+、，由(2)可知2x+%=葛时，〃力取最小值为:；合+2=5时，/'(X)取最大值

为I.所以加£g』.

因为m+=2,当且仅当〃1=，,即〃2=1时等号成立.

mVinm

所以/<2,即fe(y>,2).

19.(I)y=tan2■在R上单调递增，说明见解析，值域为(-覃)

(2)0

(3)cosh(siiu，)>sinh(COSA二)

一。-x2~

⑴根据题意有3面二二,化简得t—+E，由的单调性即可得y-的单

调性，进而分析得，=tanhx的值域;

cosh2x-cosh.r=2cosh-v--^,利用均值不等式求coshx的范围,

(2)先计算cosh2x,即可得g")=

I4j8

即可得g(x)的最小值;

(3)设秋x)=cosMsinx2)-sinh(co/),当xe[l,2]时，分析sin/与cosf的大小，进而得e'/与的

大小，即可得力(力与