辽宁省重点中学协作校2024-2025学年高一年级下册期末考试数学试卷（解析版）

2024-2025学年度下学期期末考试高一试题

数学试卷

考试时间：120分钟满分：150分

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求）

1.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，△。为'夕是等腰直角三角形且⑦4'=4®,其中

斜边二百，则这个平面图形的面积是（）

D-I

【答案】B

【解析】

【分析】依据题意得到O'A,然后还原原图形计算即可.

【详解】由图可知：0'3'=百，则OW=OEcos45=半，原图形如下图:

所以OB=G,OA=〃，则面积为［•03・。4二』・百・6=逑

222

故选：B

2.若复数z=/一。-6+（。-3）i（awR）为纯虚数，则〃的值为（）

A.a=3B.a=—2C.a=—2或。=3D.。工3且a。一2

【答案】B

U耕斤】

【分析】根据纯虚数的概念列方程，求解即得答案.

【详解】复数2=〃2-4-6+（。-3讯4£咫为纯虚数,

a2-a-6=0

,解得a=-2,

故选:B

3.设/,小，〃表示不同的直线，a,/?,y表示不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若〃?//a,mHn»则〃//a

B.若a_1_4，/JL「，则

C.若机_L〃，mLa0,则aJL/

D.若a0=1,y=n,且满足/〃"7,则〃〃z〃

【答案】D

【解析】

【分析】对丁ABC,由特例法即可判断：对丁D,由线面平行的判定定理、性质定理即可得证.

【详解】对于A,若加//a,miln,则〃//。或〃ua,故A错误；

对于B,若。_14，丫10,则a〃y或相交，故B错误；

对于C,若〃?_L〃，mVa＞则〃〃。或〃ua,又〃///,则。//力或a,夕相交，故C错误;

对于D,因为/,相，〃表示不同的直线，a,B，7表示不同的平面，///机，y=m,

所以〃hn,laa,mua,

所以///a,同理可证〃力,

又3Cy=n,lu0,

所以///〃，

又因为/〃机，所以加〃〃，故D正确.

故选：D.

4.已知sin。-cos。=一，则cos49=（）

【答案】A

【解

|Q

【分析】将sine-cos£=一两边平方，可求得sin26=—,再利用二倍角公式，即可求得答案.

39

【详解】因为sin6-cose=g,所以（sine-cose『=J,

即得l-sin26=」,则sin26=-,

99

6447

故cos46=l-24/28=1-2x——二——，

8181

故选:A

5.已知向量。=（一3,〃），。=（一4,2）,若与力垂直，贝山〃|=（）

A.3B.3A/2C.5D.572

【答案】C

【解析】

【分析】由向量垂直，数量积为0求得参数。，然后由模的坐标表示计算.

【详解】因为向量〃=（一3,〃），A=（-4,2）,所以〃一〃=（一3,〃）一（-4,2）=（1,〃一2）,

因为。一方与方垂直，所以•人=-4+2（。-2）=°，解得〃=4，

所以。=（-3,4）,所以，（-3『+42=5.

故选：C.

6.•个圆锥被平行于底面的平面所截，上下两个几何体的侧面积之比为1:2,则上下两个几何体的体积之

比为（）

A.1:9B.1：V3C.1:373D.1:（36一1）

【答案】D

【解析】

【分析】利用扇形的面积公式得到相似比，再根据相似几何体的体积之比等于相似比的立方可推出小圆锥

与原圆锥的体积比，从而求得上下两个几何体的体积之比.

【详解】一个圆锥被平行于底面的平面所截得到两个几何体：圆锥与圆台，如图，

设大圆锥侧面展开扇形的圆心角为。，大圆锥的侧面积与体枳分别为S、V,

所以在AABD中，由余弦定理得AB1=AD2+BD2-2AD-BD,cosZADB

=1202+（120底尸-2x120x12072xcos135°=1202x5，

贝AB=120后，即A,8两点间的距离为120石.

故选：D.

8.袒胞原理：“鼎势既同，则积不容异”这里的“幕”指水平截面的面枳，“势”指高.这句话的意思是：两个等

高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体枳相等.利用祖胞原理可以将半球的

体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差.如图，是一“四脚帐篷”形状的几何体的示意图，其中曲

线AOC和8。。均是以3人为半径的半圆，平面4OC和平面均垂直于平面A8CQ,用任意平行于底

面A8CO的平面截该儿何体，所得截面四边形均为正方形，请利用祖咂原理试求该几何体的体积是（）

（提示：可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱）

A.36\/2B.7272C.367tD.72兀

【答案】B

【解析】

【分析】作正四棱柱正四棱柱的边长与帐篷底面正方形A2CO边长相等，在正四

棱柱MNGH—MNGH',作四棱锥Q-MN'GTT,作一平行截面，先证明等高处的水平截面截两个几

何体的截面的面积相等，由祖咂原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，计算即可.

【详解】作正四棱柱—正四棱柱的边长与帐篷底面正方形ABCO边长相等，

在正四棱柱MNGH-MNGH'，作四楂锥«-MNGH',

0｝为底面正方形MN‘G'"'的中心，

作截面平行于帐篷底面43c。，与帐篷和正四棱柱与正四棱锥用截，

截面分别为四边形ABC'。，四边形4片。。|，四边形A层CzA，如图所示，

设截面与底面的距离为人设底面A4CO中心为。，

截面AB'C'D中心为O',则。。'=3a，。。'=辰万，

所以夕C=V2V18-/12，所以截面A'BCD'的面积为36-2h2.

设四棱柱底面MNGH中心。与截面中心。,之间的距离为0.0,=h,

在正四棱柱中，底面正方形边长为6,高为3人，

所以乙0«4=/6002=45。，所以/&℃2=90。，..42。。2为等腰直角三角形，

所以A2G=2力，所以四边形&B2G4边长为&/?，

所以四边形482czA的面枳为2h2，

所以图2中阴影部分的面积为名及/一S&&G小=36-2后，与截面AEC7）'面积相等，

由祖胞原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积，

即/逐二/四枝柱—乙四棱推=62x3>/2--X6,,x3>/2=72\/2.

故选：B.

二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分）

9.已知复数z=_1-且i，则下列结论正确的有（）

22

A.复数z?+l的虚部为且iB.-=z

2z

C.z2=|z|2D.复数卬满足Iw-z|=2,则间的最小值为1

【答案】BD

【解析】

【分析】利用复数的四则运算、乘方运算以及共扰复数的概念可判断A,B,C,利用复数的几何意义可求

得D正确.

【详解】对于A,Z2+1=（-L-走i]+1=,+且i,其虚部为立，即A错误；

[22）222

技可得L2.2(一1+后)2(一1+")_1自

对于B,由2=——T，P^z--l-^i_(-l-V3i)(-lV3i)-4-2+21；

2+

而彳二一,+也i，所以可得,二彳，即B正确；

22z

..21也.1136.1退.I|21>/3,.21HI1—rzn厂r-rrtr.

对于C,z~=--------i=------1---i=----1---i,z=--------i=1~=1»即可得C不正确;

22442221122

\/

对于D,设卬=/+M，x,ycR,则由|w-z|=2可得（x+g+y+=4,

1由、

所以复数库对应的点的轨迹是以-7，一=为圆心，半径为2的圆，

\22/

因此,N=52+）,2=|w-z+z\>\w-Z|-|z|，IM的最小值为2—1=1，即可得D正确;

故选：BD.

10.已知/（x）=6sin2x—cos2x,则下列选项正确的是（）

A.函数/（力的最小正周期为兀

A'TT7T

B.函数“X）的对称轴方程为x=一+—（k£Z）

23

C.函数/（X）在区间上单调递减

D.将函数/（力的图象向左平移g个单位，所得函数为偶函数

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，利用辅助角公式得到/（工）=2$m（2式一已），求出最小正周期；B选项，整体法求出函

_一2〈一一.

数对称轴方程；C选项，求出2工一二£—,因为y=2sinz在ze—上单调递增，C错

6|_22」\_22J

误；D选项，求出平移后的解析式为〃（x）=2cos2x,得到奇偶性.

【详解】A选项，/（x）=\/3sin2x-cos2x=2sin2x——，

所以的最小正周期为今=兀，A正确；

B选项，令2X-¥=£+E,%£Z,解得工=2十如MeZ,B正确;

6232

一「5兀4兀］,入兀「3兀5兀

C选项，xe—,—时，2x——s—,—,

63622

因为y=2sinz在z£三二手上单调递增,

所以/（X）在区间上单调递增，C错误:

D选项，函数/（X）的图象向左平移三个单位,

得到/?(x)=2sin|2x+—=2sinl2%+^-i=2cos2x,

\36

由于/?（—x）=2cos（—2x）=2cos2x=A（x）,

故人（戈）为偶函数，D正确.

故选:ABD

11.如图，在棱长为2的正方体八8CZ）-44G。中，点E,尸分别是棱BB,4G的中点，点G是棱

C。的中点，过线段AG作与平面4石/平行的平面，截正方体所得的截面，下列选项正确的是（）

A.截面图形是梯形

B.截面图形是五边形

9

C.截面的面枳为一

2

D.该截面所在平面截正方体A8CO-44GD的外接球所得截面的面积为T

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于AB,根据面面平行的判定定理找到截面，并进行证明，则得出截面为梯形；对于C,根据截

面等腰梯形的面积公式计算得到结果；对于D,先求的正方体的外接球半径，再利用等体积法计算球心到截

面的距离，进而计算截面圆半径，最后计算圆的面积：

【详解】

延长4B至点当使得q8=8%,取的中点H,K,连接人H,AR,GR,GH,AK,

因为点七”分别是棱48,4G的中点，点G是棱c；C’的中点,

所以所118GliGK||A0,在正方体中，AtFflAK,

因为"0平面AKGR,GKu平面AKGR,所以石/〃平面AKG。，

同理〃平面AKG。，

又EFCAE=EREF，AEU平面AtEFt所以平面\EF〃平面AKGD},

则过线段AG作与平面4石厂平行的平面为梯形AKGD「

对于AB,A正确，B错误；

对干C,正方体的棱长为2,所以AK=〃G=jAB，+8K2=J22+F=加,

=JAV+A。：=也+22=2五,GK=；AD、=&

计算等腰梯形的高为h=4!=乎

则截面梯形AKG"面积为s=1(2>/2+0)x逑=2,c正确；

222

对于D,正方体ABCD-ABCR的外接球球心在正方体体对角线4G的中点，

所以球的半径R=-X>/22+22+22=x/3,

2

在正方体中，设点G到平面4KG的距离为2d,则球心到平面4KG的距离为d,

ciG=5+尸典,

在LAKG中,4K=^AG=3,KG=VL

2xV5x5/210

所以sin/AKG=2叵，则二4KG面积为LxJ^x逐=2,

102102

XXXX

根据等体积分-AKG=^A-CyKG*-112=—X—X2J,解得d=~,

Q4D乙J

因此该截面所在平面截正方体ABCD-ABCR的外接球所得截面圆的半径

”忻7叫浮

所以面积为兀产=等，D正确；

故选：ACD.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）

12.已知向量〃，力满足|：”=1,山=2,且仅4+占卜（〃-3/?）=-5,则〃与力夹角的余弦为

【答案】—,##-0.5

2

【解析】

【分析】根据向量数量积的运算律化简可得〃/=-1，即可由夹角公式求解.

【详解】由（2。+与•（〃-3〃）=一5可得2/_5〃力_3力2=_5，

故2-5。•〃—3x4=—5，解得。乃二—1，

故网叫=前=总

故答案为：—1

2

13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为4=2,r2=4,则此圆台的内切球（与圆台的上、下底面及侧

面都相切的球叫圆台的内切球）的表面积为.

［解析】

【分析】根据几何图形相似求出内切球的半径，进而根据球的表面积公式可求出结果.

【详解】连接0404,如图所示.

根据题意可知，01A=AM=2,RB=BM=4,

所以/a0A=NA0M,N020B=NB0M,因为NQ0A+NAO历+/。2。6+N30M=兀.

所以NAOM+NBOM='.

2

因为。M_LA8,所以AOMA〜43Mo.

所以:77==7,所以。M=>MMxBW=2拒，

AM0M

所以圆台的内切球半径为2五，所以圆台的内切球的表面积为S=4兀xOM?=32兀.

故答案为：32兀.

14.已知锐角ZM/TC的角A,B,C所对边分别为〃，h,c,b=),sinA+asinA=26，O是三角形ABC

的外心，若A一C—AB—AO*+—AB—AC—A0=4m/（—A0\2],则实数加的最大值为________

ABAC'）

【答案】-##0.75

4

【解析】

he

【分析】首先利用数量积公式以及外心的条件，对所给的式子进行化简得到帆二］而『，再结合止弦定理

得到|A0|二^a，sinA=孝,9

再消去。得到〃，二：•2.八,最后利用不等式即可求得.

4。2一3。+9

【详解】如图所示：设N84O=。，ZCAO=a,由题意可得:

bc,

-c\AO\cosO+-b-\AO\cosa=4m\AO\~n〃cos8+ccosa=4/〃同0卜

b

由。是VA8C的外心可得，。是三边中垂线的交点，则cosecosa=­：----,

21Ao|'2\A0\r*

be

代入上式得：2儿二8训4。『，即机=A。为外接圆半径,

根据正弦定理可得：§皿4=水可，sinB=5|扁，sinC二

代入

，sinA+«sinB=2G

ab,又6=3,则|A0|二¥a，sinA=~~

得：2\AO\+2\AO\

7T9c

因为VA8C为锐角三角形，所以A=-,w=—,由余弦定理可知:

34。「

222

6f=9+c-2x3cxl=c-3c4-9,

2

9c91,913

m=—.------------=-----------w—・—・=-o

所以当且仅当=一即时取得最大值.

4C,2-3C+94C+9_3_44,cc=3

八zJc.JC

3

故答案沏

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15.如图，四棱锥P-48c。，P4_L平面ABCD,ABA.AD,AB//CD,CD=2AB,PA=AD,E是

PC的中点.

（1）求证：BE//平面PAD；

（2）求证：平面依平面PCD

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析；

【解析】

【分析】（1）取PO的中点/，连接AF,E7"证明8七〃"，根据线面平行的判定即可证得的〃平面

PADx

（2）由B4J_平面ABC。，根据线面垂直的性质及判定得到AB_LAF.结合P4=4O及尸是尸。的中

点，得到A"_L/D,再根据A6〃CD,BE〃AF,可得到BE6EJ_CD,证得平面

PCD,从而平面班尸_L平面尸。得证.

【小问1详解】

取中点尸，连接ARM,丁石是尸。的中点，

:・CD=2EF,EF〃CD,

VAB//CD,CD=2AB,

:・EF〃AB，石尸=AB，•••四边形AA砂是平行四边形.

：,BE〃AF

又.•5石仁平面PAD,Abu平面PAD,

.•.8石〃平面必。.

【小问2详解】

•・•B4JL平面A8CQ,CZ)u平面A8CD,・•・F4_LA8.

VABA.AD,PAr>AD=A,0AA。u平面尸AO，，AB_平面尸A。,

•••A/u平面PAO，AAB±AF.

-：AB//CD,：.CD±AF.

VPA=AD,尸是PO的中点，・・・Ab_LPZ）

由（1）知BE〃"，:・BE1PD,BELCD,

又/>。0。0=。,尸。,。。匚平面尸6,・・・班：_1平面尸6.

•・•BEu平面PBC,

・•・平面PBC_L平面PCD

16.已知函数/(x)=4sin(sx+0)4>0,3>0,|同<々剖分图象如图所示.

乙)

(1)求/(可解析式；

JTJT

(2)若函数y=/(x)+及在区间一^，不上恰好有二个零点，求实数〃的取值范围.

【答案】(1)”x)=sin(3x+：

⑵小与

I2」

【解析】

【分析】(1)根据图象确定A及/(X)的周期，从而求得3,再利用特殊点坐标代入/(力中，进而求出

①，即可得出/(X)的解析式；

7171

(2)将函数y=/(x)+人在区间一上恰好有二个零点，转化为>=sin，与y=一攵在区间

兀71

上恰好有二个交点，再根据正弦型函数的性质求/(X)的单调区间及对•应的值域，达而利用数形

结合即可求解.

【小问1详解】

由4>0,则根据图象可得A=1,

又《焉喑4g解得。=3,

所以/(x)=sin(3x+0),

Mfx»=1，

又fI⑵=sinI3

则3XE+°=^+2kn,kGZ,又|°l<二，得9=;,

1人乙乙r

故/3=3x+—.

sinI4j

【小问2详解】

兀71兀71，c兀兀3兀

由工£一二，:，贝V=

4466424

乂y=sinf在一多5)上单调递相对应的值域为

(3

y=sin/在上单调递减，对应的值域为

I24_

又函数)，=/(%)+%在区间一上恰好有二个零点,

兀兀

即y-sin，与)，=一人在区间一了,二上恰好有二个交点，如下图;

46

17.已知a=(sinx-cosx,2),/?=(l,sinxcosx),f^x)=abtxe

（1）求/（X）的值域;

(2)在△A8C中，a,b,c分别是角A,B,。所对的边，若g(x)=/(x)-sinx+cosx,

「2§,口As.nB

g(4)=-^，b=>/3»S'BC=2sin(A+8)，求内切圆半径，的值•

5

【答案】⑴1,-

14」

【解析】

【分析】（I）由向量数量积的坐标公式计算出/（A-）,令/=sin/-cosx=J^sin,算出，的范围,

再根据二次函数的性质计算出/（x）的值域;

⑵首先得出A=’再由S’…骡瑞得出"c,即说明三角形MC为等边三角形，最后利

用内切圆半径公式，・二一2s生”求解即可.

a-^-b+c

【小问1详解】

由题意可知：/(x)=sinx-cosx+2sinxcosx令，=sinx-cosx=0sinx—

4

因为xw»~J»所以，e(O,l),则*=1一2sinxcosxn2sinxcosx=l—/,

5

所以f^x)=-r+r+i=+一，由二次函数单调性可知：当/E（0,1）,

4

【小问2详解】

由g(4)=得sin2A=-^-，

由题意可知:(x)=2sinxcosx=sin2x,

因为人£但,5],所以24W但兀],故2A二竺，即A二二,

U2；U）33

_crsinAsinB_Z?csinAa~sinB.a~h.

=—------=be=>-----=bc=>a=c

"Re~2sin(A+B)-2~si:nCc

所以V48C为等边三角形，a=b=c=6故广=2S八“二=].

a-vb+c35/32

18.如图，长方体ABCO-AMGA中，AB=m,A。==2,点M是棱co的中点.

n.n.

（1）过3MA三点作出长方体4BCO-A与GQ的截面（不要求过程，作出即可）;

（2）是否存在实数机，使得直线4cl与平面3MA垂直？并说明理由;

满足毁=2

（3）设P是线段AC上的一点（不含端点）,,求入的值，使得三棱锥片-CAG与三棱锥

B-CQ/的体积相等.

【答案】（1）截面见解析：

（2）存在，/〃=2应，理由见解析；

2

（3）2=-,理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据面面平行得到线线平行，从而得到截面图形：

（2）当〃?=2a时，CM=6,所以RIVA3CSR、8CM,从而得到ACJ_8W,结合CC_L

BM,得到8WJ■平面ACG，所以3VJ_AG，同理可证RMJ.AC；,所以A&JL平面8"九

2m

（3）设AG与平面的斜足为。，等体积法求出%=谷-，大减小得到

匕-8用=4加一?二手，所以匕.6闽=2%_CM，故AO=2C0,又CQ=PO,则/，为40的中

JJ

CP22

点，即7匕二三，所以4二二.

C}A33

【小问1详解】

如图所示，平行四边形。M3N即为过3MA三点作出长方体的截面，理由如下:

因为平面A3CO与平面481GA平行,

所以平面BMD1与平面ABC。的交线和平面BMD、与平面ABC。的交线平行,

同理可得平面BMD］与平面ABB.A.的交线和平面BMD、与平面QCGR的交线平行,

故只有取4片的中点N,连接RN,BN,可以保证上述条件,

所以平行四边形QMBN即为过BMD、三点作出长方体ABCD-\B^D｛的截面;

【小问2详解】

存在实数加=2狡，使得直线AG与平面垂直，理由如下:

当机=20时，CM=6,

因为3c=2,所以任=区=3,所以RtVABCsRjBCM,

BCCM

则NC48=NM8C,所以NC4B+ACB=NM8C+4cB=90。，即AC_L8M,

又CG，平面43c。，8Mu平面A8CO,所以CG^BW,

因为ACnCG=C,AC,CC|U平面ACG，所以8W_L平面ACQ,

又AC|U平面ACG，所以8W_LAG，

同理可证RM_L4G，又BMI»M=M,BM,D】Mu平面BMD},

所以AGJ_平面3MA；

【小问3详解】

设AG与平面B.CD,的斜足为。，

因为%-。£）画=%-C|Ac=§S.G*=§乂5乂2根乂2=~^~,

又匕-CR瓦=!BCO-A/GR-V*-ABC-VR,-GCDI-^A-AiB}Dli%-ACD，

।]2/27

其中—Be=km=V：=％.ACC=丁5、2、2巾二g,

CCd48/7?4根

l匕zAST渴G2=2X2，〃=4〃"故匕_卬由=4/w—,

所以匕-S4=2%一卬4，故AO=2C0,

若5-CRG=VB,-CD)P,则=VP-CD,B,,故C]O=PO,

所以在线段AG上取一点P，使得三棱锥旦-CQG与三棱锥4的体积相等,

C.P22

则P为A。的中点，即Ur=7,所以2二大.

533

19.A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点P,。任一点均不重合），我们称如下懊作为“由A

\AP\sinZPAM

点对P。施以视角运窠,：若点M在线段PQ上，记（PQM）=|AQ=NMM若点时在线段也

/八八〃、|A尸Isin/PAM

外，记（P，2；M）=-/“八•在中，角A,B,C的对边分别是db,C,点。在射线

8c上.

（1）若三角形ABC为等边三角形，点。在BC延长线上，满足3C=CD,则A点对/3C施以视角运算,

求（B,C；D）的值；

（2）若A=120。，4）=2，由4点对BC施以视角运算，（B,C;D）=,求〃+2c的最小值：

（3）若A=60。，BC=2道，由4点对8c施以视角运算，（B,C;D）=2,求AD的最大值.

【答案】（1）-2

⑵3+2夜

（3）2+侦

3

【解析】

【分析】（1）由题目所给信息结合题目条件可得答案；

（2）由题目条件可得NBAO=NOAC=2,然后利用SASC=SAM+S八8,可得最后利用

3bc

基本不等式可得答案:

\BD\

（3）由题目条件可得混|=2,结合向量知识可得=c、2+4/+»（：,

又12=//+c2-庆:，可得3|4。『-4=从+机*,然后结合正弦定理与和差化积，积化和差公式可得答案.

小问1详解】

/、UBlsinZBAD

由寇目所给信息，又。在线段8c外，则（民&。）二一岸际’

如图，因三角形4BC为等边三角形