函数的对称性重点考点 专项练-2026年高考数学一轮复习（含答案）

函数的对称性重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.已知函数/（x）（xeR）满足/（x）=f（2-x）,若函数尸B-2X-3I与y=r（X）图像的交点为（达山）,

E

（X2J2），…，（工,/7），则=

/=!

A.0B.mC.2mD.4ni

2.设函数y=/（x）的图像与y=2"。的图像关于直线丁=一、对称，且/（-2）+/（-4）=1,则。=

A.-1B.1C,2D.4

3.己知函数/（x）=lnx+ln（2—》），则

A./⑺在（0,2）单调递增B./（X）在（0,2）单调递减

C.y=/'（x）的图像关于直线x=l对称D.y=/（x）的图像关于点（1,0）对称

4.已知函数/3=1矶』7rI+XT，则£/（焉1=＜）

\\x~'I7;=i\2U247

2023

A.一-B.-2023C.-1012D.-2024

2

5.已知函数/（x+1）是R上的偶函数，且/'（x+2）+/（2—x）=0,当x«0,l］时，/（x）=log2,2x+1）,

函数/（x）在区间［-3,3］的零点个数为（）

A.7B.8C.9D.1（）

6.设/'（X）是函数/（力的导数，6（”x）+f（l+x）=0,"2）=0,当彳＞1时，（x—l）/（x）—/（x）＞0,

则使得/口）＜0成立的工的取值范围是（）

A.（O,1）U（1,2）B.（0J）kJ（2,+oo）C.（-oo,0）U（L2）D.S，0）U（2,2）

7.已知函数的定义域为R,函数户（x）=/（l+x）-（1+x）为偶函数，函数G（x）=/（2-3x）-l为

奇函数，则下列说法错误的是（）

A.函数“X）的一个对称中心为（2,1）B./（0）=-1

C.函数/（X）为周期函数，且一个周期为4D./（1）+/（2）+/（3）+/（4）=6

8.已知函数/"人（去后必，贝IJ”函数/（"的图象关于）轴对称”是“。=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

9.已知奇函数/(x)的定义域为R,若/(x)=/(2-x),则()

A./(O)=OB./(x)的图象关于直线x=2对称

C../'(x)=-/(-v+4)D./(x)的一个周期为4

10.已知函数/(x)的定义域为R,若/(x+y+l)=/")+/(力+2,且/(0)=1,则(〕

A./(-1)=-1B./(x)无最小值

30

C.Z/a)=1425D./(X)的图象关于点(-2,-5)中心对称

/=!

11.已知定义域为R的函数/(x)满足：@(x—l)=—/(x+l),/(12)=0;②y=/(》一2)的图象关于

直线x=2对称；③对任意的实数阳，x2e(-l,0)，且x尸x2，都有(内-再)-/(工2)］<0,则()

A./(X)是偶函数B./(cosl)>/(sinl)

C./("的图象关于(TO)对称D./(2024)+/(2025)=0

12.已知函数函兼)的定义域为R,函数尸(x)=/(l+x)-(l+x)为偶函数，函数G(x)=/(2-3x)-l为

奇函数，则()

A.函数/(x)的一个对称中心为(2,1)

B./(0)=-1

C.函数/(1)为周期函数，且一个周期为4

D./⑴+〃2)+/(3)+/(4)=6

13.已知函数/'(力=/+加+cx+d在(-8,0］上是增函数，在［0,2］上是减函数，且方程/(x)=0有3

个实数根，它们分别是万,2.则()

A.c=0

B.若(Z/(2))是对称中心,则极小值是-12

C./(1)>2

D.\a-p\>3

三、填空题

14.定义在(-8,+00)上的偶出数/。)满足/0+2)=/(刈，且/*)在［-1,0］上是增函数，卜面五个关

于/(x)的命题：①/(X)是周期函数:②/(x)图象关于x=l对称；③在［0J上是增函数；@/(x)

在［1,2］上为减函数；⑤/(2)=/(()),其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)

15.已知函数/Q),g(x)的定义域均为R,Kf(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若)，=以幻的图

象关于直线x=2对称，g(2)=4,则为W=.

*=|

四、解答题

16.已知函数/(x)=loga；^—+OT,〃>0且aW1.

2-x

⑴求曲线y=/(x)的对称中心；

(2)证明：曲线y=/(x)在对称中心处的切线不过坐标原点；

(3)讨论/(%)的单调性.

参考数据：当xf0时，xlnxTO.

17.设函数/(x)=e¥+,+入2在x=_1处的切线经过坐标原点，

⑴求A：

(2)是否存在实数。乃使得函数g(x)=/(x)+er+aY关于直线x=b对称，若存在，求出的值，若

不存在，说明理由；

⑶若/(x)2c|H恒成立，求c的取值范围.

18.已知函数/(x)=(l+x)°(a>0).

(I)当。为奇数时，证明：/(冷的图象关于点(-1,0)对称：

(2)当x>-l时，f(x)<\+ax,求。的取值范围；

(3)证明：当〃WN，时,(-1——)+f——ri+•••+」—</?+1.

IVwJU2+22J(J2+"

19.已知函数/(x)=lnT二+nx有两个极值点司,々，满足；4西<、2.

⑴求”的取值范围；

⑵判断并证明函数/(X)的对称性；

(3)若/(玉)+质2>°恒成立，求实数〃的取值范围.

参考答案

题号12345678910

答案BCCACCCBADBCD

题号111213

答案AC1)ABDABI)

1.B

【详解】试题分析：因为y=/(x),y=,—2x-3|的图像都关于x=l对称，所以它们图像的交点也关

于x=l对称，当〃?为偶数时，其和为2x?=’〃；当m为奇数时，其和为2X2=+1=/〃，因此选B.

22

【考点】函数图像的对称性

【名师点睛】如果函数/(X),VXGD,满足Wxe。，恒有/(a+x)=/(6-x),那么函数的图象有对

称轴“4•：如果函数/(幻，VXGD,满足Txw。，恒有/(。7)=-/S+x),那么函数/⑴的

图象有对称中心(等,0).

2.C

【详解】试题分析：设(XJ)是函数y=/(x)的图像上任意一点，它关于直线y=-x对称为

(一H-X),由已知(一乂一盯在函数y=2"°的图像上，，r=2-K,

解得y=Tog2(—x)+a，即/(x)=Tog2(T)+4,

・•・/(—2)+/(-4)=-10&2+。-1。&4+。=1,解得〃=2,故选C.

考点：函数求解析式及求值

3.C

【详解】由题意知，/(2-x)=ln(2-x)+h】x=/(x),所以/(x)的图象关于直线x=l对称，故C正确,

D错误:又/G)=ln[x(2—x)](0<x<2),由复合函数的单调性可知/(0在(0,1)上单调递增,在(1,2)

上单调递减，所以A,B错误，故选C.

【名师点睛】如果函数/(x),VxeD,满足WxwQ,恒有+=那么函数的图

象有对称轴x=字；如果函数/。)，VXGD,满足力恒有/("》)=-/3+x),那么

2

函数/(X)的图象有对称中心(竽,0).

4.A

【分析】先根据函数性质可得当》e(0/)时，/(Jx)+/(x)=-l，最后应用分组求和即可.

TY*

［详解］当xw(O,l)时，］_x<0,【)，—<0,/(x)=ln—+x-I,

x-11-x

-x,ii%ii(ITx1ii

所以/(l-x)+/(x)=ln——+l-x-l+ln---+x-l=In----------1=-l,

X\-xVXl-x;

2023'2023］

则Z/

<2024)

i=l2024

2023fJ1(2023］］二2023

［2024)［1024~Y

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分析得/(1-戈)+/(工)=-1,从而得解.

5.C

【分析】根据/(力的对称轴和对称中心，结合函数的图象即可判断/(X)的零点个数.

【详解】因为函数/(x+1)是R上的偶函数，所以/(-x+l)=/(x+l),

所以/(M关于直线x=l对称,

因为/(X+2)+/(27)=0,尸2时/(4)=-/(0),

由/(x+2)+/(2r)=0,当工=0时,/(2)+/(2)=0,故"2)=0,

又“X)关于直线x=l对称，所以/(0)=0,/(-2)=/(4)=-/(0)=0,

由对称性可得/(X)在［-3,3］上的大致图象如下图所示，

则/(x)在区间［-3,3］的零点个数为9.

故选：C.

6.C

【分析】令g(x)=49,求导，得到g(x)在(L+8)上单调递增,且g⑵=0,由/(l-x)+/(l+x)=0

得到g(l-x)=g(l+x),得到g(x)的对称性,故g(x)在(-8,1)上单调递减，且g(0)=g(2)=0,得

到当x<0时，g(x)>0,则/(x)<0,当1cx<2时，g(x)<0,则/(x)<0,求出〃x)<Q成立的x

的取值范围.

【详解】令g(x)=警，则g'(x)=/(力)

因为X>1时，(x-l)/(x)-/|x)>0,故当x>l时,g")>0,

故g(x)在(L+oo)上单调递增，且g⑵=/(2)=0.

因为/(l-x)+/(l+x)=O,Jt(l-x-l)g(l-x)+(l+x-l)g(l+x)=O,

即-x.g(l-x)+x.g(l+x)=O,所以g(l-x)=g(l+x),

故g(x)关于直线X=1对称,故g(x)在上单调递减，且g(O)=g⑵=0,

当x<0时，g(x)〉0,则/(x)<0：

当I<xv2时，g(x)<0,则/(x)<。；

所以使得/3<()成立的x的取值范围是(f,0)U(l,2).

故选：C.

7.C

【分析】对于A,由G(x)为奇函数，则G(-x)=-G(x),再将G(x)=/(2+3x)-l代入化简可求出对

称中心；对于B,由选项A可得/(2)=1,再由/(外为偶函数可得/(1+幻-/(1-x)=2x,令x=l可

求出/(())；对于C,由/(X)的图象关于点(2,1)对称，结合=求出/(4)进行判断；对于D,利

用赋值法求解判断.

【详解】对于A,因为G(x)=/(2+3x)-l为奇函数，

所以G(—x)=-G(x),HP/(2-3x)-1=4/(2+3x)-1],

所以/(2—3x)+〃2+3x)=2,所以/(2r)+/(2+x)=2,

所以函数/("的图象关于点(2』)对称，所以A正确，

对于B,在〃2-幻+〃2+幻=2中,令x=0,得2/(2)=2,得/⑵=1,

因为函数/(》)=/(1+》)-(1+》)为偶函数，所以/(-x)=2x),

所以/(17)-(1-X)=/(1+X)—(1+X),

所以/(l+x)—/(l—x)=2x,

令x=l,则/(2)-/(0)=2,所以1—/(0)=2,得/(0)=-1,所以B正确，

对于C,因为函数/(力的图象关于点(2,1)对称，〃0)=-1,

所以〃4)=3,所以八0)工3(4),

所以4不是/(工)的周期，所以C错误，

对于D,在/(2-x)+/(2+x)=2中令x=l,则/⑴+/(3)=2,

令x=2,则/(0)+/(4)=2,因为/(0)=-1,所以/(4)=3,

因为"2)=1,所以/⑴+/⑵+/⑶+/(4)=6,所以D正确,

故选：C

【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简

后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题.

8.B

【分析】根据函数/(x)的图象关于y轴对称求出明再由必要不充分条件的定义判断可得答案.

【详解】若函数的图象关于y轴对称,

贝I」/(r)=_\+ac-x'Sinv=/G)=sinr»

可得〃2一/=1-/小，所以/=1,可得。=±1,

当”=1时，f(x)=-—―sinx?

-v7l+er

因为定义域为xwR,=—•sim-=1-e-sinx-=f(v),

'l+b1+e

所以/(“是偶函数，图象关于N轴对称,

当q=_］时，f(x)=-y-sinv»

定义域为｛X|XH。｝，定义域关于原点对称,

是偶函数，图象关于V轴对称,

综上所述，若函数〃x)的图象关于)，轴对称，则。=±1；

又当〃=1时，f(x)=U・sinx,/(X)是偶函数，图象关于V轴对称,

1+e*

则“函数/(x)的图象关于y轴对称”是“。=1”的必要不充分条件.

故选:B.

9.AD

【分析】由奇函数可得/(。)=0,再根据函数的周期性与对称性分别判断.

【详解】由函数/(X)为奇函数，则/(。)=0,A选项正确：

又/(x)=/(2—x),即/(x+l)=/(l—x),则函数/(x)关于直线x=l对称，B选项错误;

由/(x)=/(2-x)可知/(2-x)=/(4+x),

即/(x)=/(4+x),函数/(x)的一个周期为4,C选项错误,D选项正确；

故选：AD.

10.BCD

【分析】对于A,令x=-l,y=0即可；对于BC,令y=。得/(x+l)=/(x)+3,通过递推计算即可;

对于D,令y=-4-x,得/(.x)+/(-4-x)=-10即可判断函数/(x)的图象关于点(-2,-5)口心对称.

【详解】对于A,令x=7/=0,»/(O)=/(-l)+/(O)+2,解得=故A错误;

对于B,令产。，贝l」/(x+l)=/(x)+/(0)+2,且/(0)=1,即/'(x+l)=/(x)+3可知函数/(、)无

最小值，故B正确；

对于C,由B知，/(x+l)=/(x)+3,

所以/⑴=/(0)+3=4+0,/⑵=八1)+3=4+3,/⑶=/(2)+3=4+6,

/(4)=/(3)+3=4+9,…则

a30x29

Z/(/)=/(1)+/(2)+/(3)+…+/(30)=30x4+——x3=1425,故C正确；

/-I2

对于D,令y=-4-x,则原式化为/(-3)=/(x)+/(-4—x)+2,

令x=—34=3,所以/(1)=/(-3)+/(3)+2,即〃-3)=-8,

所以/")+/(-4-工)=/(-3)-2=-1(),所以函数/(X)的图象关于点(-2,-5)中心对称，故D正确.

故选：BCD.

11.ACD

【分析】利用函数的奇偶性、对称性、单调性，结合选项分析得出结论.

【详解】对于A,由函数y=/(x-2)的图象关干直线x=2对称，

得V=/(x)的图象关于直线x=0对称，则/")是偶函数，故A正确：

对于B,对任意的实数为，£€(-2,0),且王工马，国一工2)[/(西)-/(/)]<°，

则/(x)在区间(TO)上单调递减，在区间(0/)上单调递增，又0<cosl<sinl<l,

所以/(cosl)</(sinl),故B错误；

对于C,因为/(xT)=—/(x+1),所以/(x+2)=—/(x),

则/(x+4)=—/(x+2)=/(x),所以/(x)是周期为4的周期函数，又/(12)=0,

故/(0)=0,/(2024)=0.结合/(X)是偶函数，可得/(X+2)=_/(T),

所以函数J=/(x)的图象关于点(1,0)对称，故/(1)=0.又〃口)的周期为4,

所以/(x)的图象关于点(-30)称,

/(2025)=/(1)=0,故CD正确.

故选：ACD.

12.ABD

【分析】对A：借助奇函数的性质计算即可得：对B：借助A中所得，结合赋值法令x=0,借助偶

函数的性质，结合赋值法令x=-l代入计算即可得；对C：由对称性及/(0)的值可得〃4)的值，即

可得解：对D：借助赋值法令x=l代入计算即可得.

【详解】对A：由函数G(x)=/(2+3x)—1为奇函数，故/•(2+3、)-1二一/(2-3x)+1,

BP/(2+3x)+/(2-3x)=2,即/(2+x)+/(2-x)=2,

故函数/(x)的一个对称中心为(2,1),故A正确；

对B：由/(2+x)+/(2-x)=2,令x=0,则/⑵+/⑵=2,即/⑵=1,

由函数产(力=/(1+力-(1+'为偶函数,故/(l+x)-(l+x)=/(l-x)-(l-x),

即/(l+x)=/(l—x)+2x,令“-I,则/(0)=〃2)-2=1-2r故B正确；

对C：由函数/(x)的一个对称中心为(2,1),/(0)=-1,则/'(4)=3,

即/(。)//(4),故函数/(x)不以的4为周期，故C错误；

对D：由/(2+x)+/(2—x)=2,令工=1,有/(3)+/(1)=2,

由/(0)=-1,〃4)=3,故/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=6,故D正确.

故选：ABD.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

(1)关于对称：若函数/(X)关于直线x轴对称，则/(》)=/(2CLx),若函数/(》)关于点中

心对称，则/⑶=2b-八2。一刈,反之也成立；

(2)关于周期：若/(x+〃)=-/(x),或/@+。)=7二，或/(x+4)=-Jx，可知函数/。)的周

/(x)f(x)

期为2/

13.ABD

【分析】根据函数极值，单调性，零点，与导函数之间的关系，以及函数对称性，列出等式，分别判

断各选项的正误.

【详解】已知函数/a)=d+/+c、+d在(-8,0］上是增函数，在［0,2］上是减函数，所以在工=0取

得极大值,则/'(0)=0,

由/耳x)=3/+2bx+c,得/'(o)=c=o,所以A正确.

方程/(力二。有一个根是2,则/(2)=0,得/(2)=8+4方+4=0,

由函数对称中心是(2,0),可得/⑴=-/(3),

代入得l+b+d=—(27+9b+d),化简得5力+4+14=0.

8+46+d=0[6=—6,

联立./“八，解得〈，匕，则/x=/_6/+]6,

56+4+14=0[4=16''

求导得/'(力=3--12%，令/'(x)=3/_12x=0,解得“0或4,

可知函数在(一*0),(4,+8)单调递增，在(0,4)上单调递减，所以在x=4处取得极小值，

贝IJ7(4)=43—6x42+16=16,所以B错误.

已知/(》)=/+加+”,可得//)=3/+%1,因为/⑴在[0,2]上是减函数，所以八2厅0,

即12+4640,解得64-3.

由/(2)=8+4/>+d=0,得〃=-4/)—8,则/(l)=l+6+d=-36-7,

由3,可得一3b-722,所以/⑴22,所以C正确.

因为方程/(x)=0有3个实数根所以设/&)=&-。)"-6)6-2)=1-(。+//+2)尸-2泗，

a+^=-b-2

a-\-P+2=-h

所以，得

2ap=-d印=_:

由(4一a)2=M+a)2+4夕a得(口一口-=(〃+2/+2d=Z?一皿一口=(力-2)2—16,

因为64-3,所以@-2)2-1629,所以|。一功之3,所以D正确.

故选：ACD.

14.①②⑤

【分析】由已知条件得到函数周期性判断命题①，结合周期性和对称性确定对称轴判断命题②；由已

知单调区间，结合周期性和对称性判断命题③@:由周期性判断命题⑤.

【详解】/(X)定义域为(―8,y),满足/(x+2)=/(x),则/(用是周期函数，周期为2,命题①正确;

偶函数/'(X)满足/(x+2)=/(x)=/(r),所以/(X)图象关于x=l对称，命题②正确；

/(X)为偶函数，在上是增函数,则在［0』上是减函数,命题③错误;

/(X)在卜1,0］上是增函数,且/(幻周期为2,则/㈤在［1,2］上为增函数,命题④错误；

/(X)周期为2,有〃2)=/(0),命题⑤正确.

故答案为：①②⑤

15.-24

【分析】根据/")+g(2—x)=5,g(x)—/(x-4)=7得到=根据歹=g(x)的图象关于直

线x=2对称得到g(2-x)=g(2+x),然后通过替换得到/(x)为周期为4的周期函数，最后通过赋

值和周期性求函数值即可.

【详解】由/(x)+g(2—x)=5得/(2—x)+g(x)=5,

由g(x)—)=7得〃2T)+/(X-4)=-2,

令x=3得=

因为V=g(x)的图象关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(2+x),

由/(x)+g(2-x)=5得/(x)+g(2+x)=5,

由g(x)-/"-4)=7得g(2+z)-/(x-2)=7,

则/(X)+/(X-2)=-2,/(X-2)+/(X-4)=-2,

所以〃x)=/(x—4),/(x)为周期为4的周期函数，/(-1)=/(3)=-1,

在/(x)+g(2r)=5中,令％=0得/(0)+g(2)=5,则/(0)=/(4)=1,

在/(x)+/(x—2)=—2中,令*=2得/(2)+/'(0)=-2,贝iJ/(2)=—3,

令x=3得/⑶+/⑴=-2,贝”⑴二一1,/⑴+/(2)+/(3)+〃4)二一4,

£/(/r)=/(l)+/(2)+5x(-4)=-24.

八1

故答案为：-24.

16.⑴(1,。)

(2)证明见解析

⑶答案见解析

【分析】(1)根据题意，化简得到〃x)+/(2-x)=2a,即可得到曲线y=/(x)的对称性；

(2)求得/”("=+求得/，(1)=三亚J结合导数的几何意义，求得切线方程为

2-*Ina

丁=彳也丫一1_,即可得证；

InaIn。

(3)根据题意，求分。>1和两种情况讨论，结合引理，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】(1)解:由函数/([)=睢/Toga(2-力+",

x>0....

则满足'八，解得0<工<2,所以函数〃x)的定义域为(0,2),

2-x>U

S^jf(x)+f(2-x)=\ogax-loga(2-x)+ox+\oga(2-x)-\ogax+a[2-x)=2a

所以曲线y=/(x)的对称中心为(1,。).

(2)证明：由函数/(x)=l0glix-log0(2T)+ax,可得/'(、)=*g++%

则/，⑴=孚吧，所以曲线y=/(x)在对称中心处的切线方程为歹=乎吧>

\na\na\na

因为。>0且awl,J-HO,所以曲线y=/(x)在对称中心处的切线不过坐标原点.

ina

1(11\

(3)解：当时，/'")=「一+：；—+。>0,此时/(X)在(0,2)上单调递增；

Ina\.r2-xJ

、111、(-a\na)x2+2(a\na)x+2

当0<a<l时，rX=-——++4=1——5--―1—

Ina[x2-x)x(2-x)na

当0cx<1时，一2Vxinx<0.

设g(x)=xlnx,0<x<l,所以g[x)=lin+l,令g[x)=0,可得x=L,

e

所以g(x)在(o《)上单调递减，上单调递增，

因为当x70时，xlnx->0,g(l)=O,g(；)=-g，所以一2〈一:<Hnx<0,

由y={-a\na)x2+2(alna)x+2,可看成关于变量x的二次函数，

该二次函数的判别式为△=4(Hna1+8alna=4alna(alna+2)，

由引理可知，一2<alnav0,所以△<(),(-alna)x2+2(<zln(zjx+2>0,

因为0<avl时，lna<0,所以/'(x)<0,此时/(x)在(0,2)上单调递减，

综上所述，当时，/(x)在(0,2)上单调递增；当0<”1时，/(x)在(0,2)上单调递减.

17.(1)^=2

⑵存在，a=2,b=-

2

(3)c<3

【分析】(1)利用导数求得进而可求切线方程；

(2)存在。=2,6=满足题意，计算可得g(-x-l)=g(K)；

I、x+I,9r2'+1<9r2

(3)当x<0时，由题意可得)恒成立,令g(力c,求得最大值，再证明

XX

且x>0时，/(X)NC|M恒成立即可.

【详解】⑴/'(x)=e"，2h,尸(一1)=1-2片，/(—1)=1+左，

切线方程为k。+")=。-2硕x+1),代入(0,0)得左=2；

(2)存在。=2,〃=满足题意，证明如下：

g(x)=e*+,+e-x+2x(x+l),g(-x-l)=e-x+eK+,+2(-x-l)(-x)=g(x),

故函数g(x)关于直线工=-；对称；

(3)当x<0时，。川+2』2-％恒成立，即4—c恒成立,

x

人(、ex+,+2.r2加，/、(x-l)er>,+2x2

令g(x)二——;----则g[x)=^~J-------，

X

令/?(x)=(x-1)ex+,+2x2,则“(x)=x(et+,+4)<0,

故〃(x)在(-8,0)上单调递减，注意到1)=0,

所以xc(7o,-l)时，A(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增，

xw(-l,0)时,A(x)<0,g\x)<0,g(x)单调递减，

故g(x)max=g(T)=-3,故一3M—C,得。43：

下证c43且x>0时，/(x)“W恒成立，

即证。川+2.525恒成立，只需证23x恒成立，

构造函数P(x)=ev+,-x-2,则p[x)=ex+,-l,

X€(-00,-1),p(x)<0,p(x)单调递减，xe(T,+oo),p(x)>0,p(x)单调递增,

故p(x)Zp(-l)=0,所以e*+七x+2.

所以€川+2——31之工+2+2『-3k=2x一一+->0,证毕；

I2)2

综上所述，。的取值范围为c«3.

18.(1)证明见解析

(2)(0,1]

(3)证明见解析

【分析】(1)依据函数的性质，通过对/(幻+/(-2-x)进行化简，结合。为奇数这一条件，判断函

数/(幻的对称性.

(2)对函数g(x)求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而分析函数的最值情况，从而确定满

足(1+x)a41+外时。的取值范围.

n—

(3)利用已知不等式(1+》『勺+以('>-1,()<：。41)对(『^)"进行放缩，然后通过裂项相消法对

J2+P?~

数列求和，进而证明不等式.

【详解】(I)由题得/("+/(-2-耳=(1+工)。+(1-2-幻。=(1+幻。+(-1一；0。.

因为。为奇数，

所以(l+x)"+(—l—x『=(l+x)a—(l+x『=0.

BP/(x)+/(-2-x)=0.

所以/(文)的图象关于点(-1,0)对称.

(2)令g(x)=/(x)-(l+ax)=(l+x)"-ax-l,xe(-l,+8).

则g'(x)=H(l+x严一1].

①当。=1时，显然有(l+x)°=l+ax.

所以(1+x)。K1+ar成立；

②当〃>1时，

当一1<.》<0时・，因为(1+X『T〈(1+X)0=1,

所以g'(x)<0，

即g(x)在区间(TO)上单调递减，

所以当-l<x<0时,g(x)>g(O)=O.

即(1+x)"+

所以(1+炉>1+G，不满足题意：

③当0<a<1时,

当-1<X<O时，因为(1+X『T>(1+X)°=1,

所以g'(x)>0,

即g(x)在区间(TO)上单调递增,

当x=O时，(l+O)a-'-l=O,即g'(o)=o.

当x>0时，因为(1+x)-<(l+x)°=l,

所以g'(x)<0,即g(x)在区间(0,+<句上单调递减,

所以g(x)的最大值为g(O)=O.

所以g(x)«g(O)=O,KP(l+xr-(l+av)<0.

所以（l+x）"l+aj符合题意.

综上，。的取值范围为（0』.

(3)由(2)可知，当0<aWl时，(l+x)a<l+aA(x>-l).

当〃“时,因为,方i打I诉〃+局1—（〃^-而1）不1一1丽而1

7曰I1

<—FWIH---------

4n2A(A-1)2k(k+\)

3111

=〃+—3+-12W----1-------1--〃+—+----------

42°k(k+42|_2«(/7+1)

〃+1—

2〃(〃+I)

32

19.(1)--<a<-2

(2)有对称中心(1,。)，无对称轴，证明见解析

(3)k>2

【分析】(1)由条件转化为函数/'(x)在区间(0,2)上有2个变号零点，且满足;4.0<巧，转化为y=

与8(、)=下一；的图象的交点问题，即可求解；

x(2-x)

(2)首先并计算/(2-。)，并结合函数对称性的关系式，即可判断；

(3)法一：首先根据对称性可知内+占=2,再找到不等式恒成立的必要条件，再证明充分性；法二:

2x2x

利用对称性，根据不等式恒成立，参变分离为,人。K，再构造函数一一2二三一乙匚

2-x2-x

再根据导数求函数g")的最大值，即可求解.

【详解】(1)由题意知：x40,2)

12

一+。=下—有两个变号零点;

2-xx(2-x)

2，、/、

令g(x)=二亍，在(0/)上递减，。,2)上递增：

g，g(l)=2

又冷…得29年即-32

-<a<-2-

7

(2)V.VG(O,2),则对称性有关的横坐标：x=l,且/⑴=〃,

又？/(x)=lnar，//(2x)=ln<ag-xg),

2-X>

和/(x)+/(2T)=ln—^―----F2a=2a

2-Xx

故/(x)有对称中心(1M),无对称轴;

(3)法一:

2

有内+工2=2,4=一,2<1,

*(2-须)

故有/($)+去2=hl广—+亦|+履2=111卢一2\k@一/)X,

LA,|2»A*|2X]

当Xf1时，〃(x)=k—220,故AN2.

卜证充分性:

有/(阳)+依2NIn玉2+2(2—内)*e

2一再2—内

2

令"(x)=lnr-ln(2-x)-■+2(2-xe

2-xI)

2(-.?-4.r2-6.r+2)

贝1J/V(%)=」■十12

2^7(27)22(2r)2

令9(x)=-d-4/-6x+2,有(pf(x)=-3x2-8x-6<0,

故。'(x)在(；/

—,1上递减，，>0,

4

故存在使得。(%)=0,故Mx)在(；,%)上递增，在(%,1)上递减.

137

又确=0,哈卜-37+三＞0,故人(外＞0恒成立,

X2

若k<2有/'«)+仇<In+2(2F立

2-X12-x

]34

由。3＞3)=0,故存在玉＜1,使得/(%)+仇＜0,故"＜2不合题意.

综上，若/(菁)+4＞0恒成立，则实数a2.

法二:

21

有*+"2,。=-^^,广西<1,

2

故有/(*)+生=ln+g+kx=In+k。-内)x,G

2-司22-X|2—X]3

x

参变分离得2=丫7“2「

2-x

2山xCIX”X,/

令g(x)=，有g，2x\n------Tin------6x+4

2r"2—Xw2-x2-x

N-Xx4—6x3+12x2—S.v

其中x4-6.v3+12x2-Sx=x(x3-6x2+12x-8),令h(x)=xy-6x2+12x-8,

有=3x2-12x+12>0在xw上成立，故〃(》)在?1上递增,

又/7（l）＜0,故。（力＜0,/—6犬+12./-8、＜0,

令Q（X）=2xln^——x2ln-^——6x+4,

有Q'（x）=21n^—2xlnx-4=2（l-x）nj^—4,

2-x

六＜。且单调递增,

在上，2—x＞0且单调递减，In

故”(x)在(；』)上单调递增，又。'⑴=-4＜0,故“3＜0,

IQZ

Lil上单调递减,

>0.

故存在与£

故g(x)在上递减，在(％,1)上递增,

又g（l）=2,g（；）

<2,故心2.

函数的零点重点考点专题练

2026年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.“心-2”是“函数/(力=奴+3在区间［-1,2］上存在零点”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.若是方程的根，则属于区间()

(21(\2、

(3)123J

c

-IriJ。.叼

3.函数/(X)=0.3'-4的零点所在区间是()

A.(0,0.3)B.(0.3,0.5)C.(0.5,1)D.(1,2)

4.已知函数/(》)=＜：：圈若函数g*)=/(x)-收-2N伏eR)恰有4个零点，则〃的取值范用

是()

A.58,一;U(2\/2,-KO)B.ClJ(0,2扬

C.(-00,0)U(0,272)D.(YO,0)U(2j2,+oo)

5.已知当xe［01］时，函数少=(〃a-1)2的图象与y=«+M的图象有且只有一个交点，则正实数

m的取值范围是

A.(0,l]u[2x/3,+oo)B.(0』]“3,-8)

C.(0,V2]u[2x/3,+oo)D.(0,V2]u[3,+oc)

6.定义在(。,+8)上的函数满足上)=_/3，/m=-/(2力,当xe[l,2]时，

/(x)=(x-l)(.r-2),则函数J，=/(X)+：在区间[1,100]内的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

cosi27rx-Ina).x<a

7.设函数/(X)=2'I、2V、，若/(x)在区间(0,+8)内恰有6个零点，则a

x-2(a+\)x+a-+5,x>a

的取值范闹是()

8.已知函数y=/(x)满足〃x+2)=/(x—2)且/(4-x)=/(x),当xw[0,2]时,

25}

u

则函数F3=/（X）-11gX|在区间（0,10］上的零点个数为（)

1

x+一,

X

A.0B.1C.5D.10

二、多选题

9.已知函数/（%）=4詈2：1，°：，］，若方程，（力=左有四个不同的零点为，公，七，S且

x--6x+9,x>2

再<与<用<与，则下列结论正确的是（）

A.0<%<1

e”_［Y>Q

10.已知函数/（力=,二一八，则（）

J-+2x,x<0

A.直线卜=；与/（力的图象有四个交点

B./（力有两个零点

C.直线y=h与/（X）的图象至多有两个交点

D.存在两点（。8）,（-2-q力）（4>0力>0）同时在/（X）的图象上

U.已知函数/（加：2：：「；：：，下列有关方程/（上的<。）的实数解个数说法正确的是

A.当实数解的个数为1时，〃<-4B.当实数解的个数为2时、-3<A<0

C.当实数解的个数为3时，-4<k<-3D.当实数解的个数为3时，，-4<^<-3

12.（多选）已知函数/（"为定义在R上的单调函数，且/（/（工）-2'-2'）=10.若函数

/、f(x)-2x-ax<0,

g3=1I/y1有3个零点，则。的取值可能为：)

710

A.2B.-C.3D.—

33

三、填空题

13.已知2WR,函数小:尸产1广当2=2时，不等式./)<0的解集是___________.若函数

x-4.v+3,x<Z

式外恰有2个零点，则2的取值范围是.

14.若函数/(x)=242-亦-|如-2|+1恰有一个零点,则。的取值范围为.

15.已知函数/(x)=«：+4x+"j,0,则函数y=/(/(x))+l有_________个零点

log,x