辽宁省锦州市2024-2025学年高一年级下册期末数学试题（含解析）

辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试

数学试卷

一、单选题

Z=5，则Z的虚部为

1.已知复数Z满足（）

i.

A.12B.--C.-1D.--i

22

2.下列四个命题正确的是（）

A.alip,aua,bu0=a//bB.a1、Iua，mu。=11tn

C.ac\0=a,b//a=>b//c(D.l±a,mu0，alip=

3.下列函数为奇函数的是（）

A.y=|tanHB.y=x-sinxC.y=x+cosxD.y=xsinx

4.已知a=（3,3）,/?=（-2,5）,则向量。在b上的投影的数最为（)

A•骞B.等1764G

r•----D.

17IT

5.如图，攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为撮尖，清代称为攒尖，通常有圆形攒尖、

三角形攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部

的轮廓可近似看作一个正六楂锥，若此正六棱锥高为1且侧棱长为正，则棱锥侧面积为（）

D.巫

A3V7R2y/3r2V5

2357

6.在VA8C中，ZB=45°,。是3。边上一点，4)=5,AC=7,0c=3,则A8的长为（）

A.572C.巫

B.3nD.4x/3

7.已知函数/（x）=2cos2s+6sin23-l（”>0）的最小正周期为兀，则下列说法正确的有（）

A.0=2

B.函数/（力在0,7上为减函数

O

C.直线X=g是函数），=/（外图象的一条对称轴

D.点（1.0）是函数），=/"）图象的一个对称中心

8.在正三棱柱ABC-ABC中，仞=2,外接球表面积为64三冗，P为AG的中点，Q为侧面8CG用内（含

边界）一点，若尸。〃平面ABC；,则点。运动轨迹的长度为（）

A.x/5B.3C.V10D.4

二、多选题

9.已知i是虚数单位，若复数马满足i・（z/2i）=l,则（）

A.4的共规复数为_iB.|z.|=l

C.z；=iD.若复数z?满足目=1,则h-ZzI的最大值为2

10.已知函数小）=253+小;>0,网苫）的部分图象如图所示，其中M与2）,N[争,0）,则（）

A.J'（"的最小正周期为4兀

B.xw[o用时，/（"的最大值是G

C./（x）的图象向右平移与个单位后为奇函数

D./（另与g（x）=2singx有相同的零点

11.如图，线段A8为圆。的直径，点£,产在圆。上，EF〃AB,矩形A8co所在平面和圆。所在平面垂

直，且48=2，防=AQ=1,则下述正确的是（）

c

A.OF//^BCEB.BF_L平面AZ）尸

C.点A到平面C。叼勺距离为筌D.三棱锥。丽夕卜接球的体积为吊

三、填空题

12.化简sin40。卜an10。百）的值为.

13.函数），=；一的图象与函数y=2sin兀G2W4）的图象所有交点的横坐标之和等于_

\-x

14.如图，在三棱锥P-ABC的平面展开图中，AC=\,AB=AD=6,AB±AC,AI31AD,ZCAE=30°,

则cos/尸C4=.

四、解答题

15.已知向量a=（l」），W=2点.

（1）若〃〃匕，求〃的坐标;

⑵若(5a—2^)_L(a+〃)，求a与。的夹角.

16.如图，直三棱柱ABC—A用G中，AAi=AC=BC=^AB,若G,尸分别是qC,人招的中点.

⑴求证：G&/平面A8C；

(2)求证：平面BCC41平面ACq；

(3)设M是AC中点，求直线与M与平面ABC所成角的正弦值.

17.已知。也。分别为V4BC三个内角A,8,C的对边，向量M=(a,〃+(?),“=(J5sinC+cosC」卜

/nn=2(b+c).

⑴求A；

⑵若c=2>/18M=2MC,AM=2.求V/WC的面积.

18.如图，在三棱锥人一48中，平面人BZ)J_平面BCD,/\B=AD,O为8。的中点.

(1)证明：OA1CD,

⑵若，.OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱A。上，DE=2EA,且二面角E-8C-。的大小为45。,

求三楂锥A-8CD的体积.

tan600°+sin（手+C）]=csin（

19.已知VAAC中，角A,B,C所对的边分别为小b,c,其中。]+A

⑴若，=1，求cos8的值；

(2)当tanA取最大值时,记M=2/sinA,求M；

⑶在(2)的条件下设〃x)=Msin(2x+。若fw(0,+8)时，对于任意的x名目均有

"I"用一/哈卜2恒成立，求，的取值范围，

辽宁省锦州市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷参考答案

题号12345678910

答案BDBAACDAABDAC

题号11

答案ABC

1.B

11-i11.

2===，＞

【详解】根据题意，i7-(i+i)(1_i)2-2

则2的虚部为-J.

故选：B

2.D

【详解】若。〃夕，aua,bufi,则直线。与〃的位置关系可以平行和异面，故A错误；

若/ua,机u/7,则直线〃?与/的位置关系可以平行、相交和异面，故B错误；

若ac/7=a,bHa,则6/a或〃ua,故C错误；

若/_La,3甲，则/_L/?,又mu。,则/JL〃?，故D正确.

故选：D

3.B

【详解】函数y=侬】M的定义域为卜IX。+EMez｝关于原点对称，

又厮(-刈=卜12«1工|=即小所以y=|tan.N是偶函数，故A不符合题意；

函数V=x-sinx的定义域为R关于原点对称，乂(一”一sin(-x)=T+sinx=-(x-sinx),

所以y=x-sinx是奇函数，故B符合题意，

函数y=/(x)=X+8SX的定义域为R关于原点对称，又(—X)+COS(—X)=-X+COSX,

所以〃r)。/(工)旦/(T)工一/㈤，所以y=x+cos.r是非奇非偶函数，故c不符合题意；

函数y=xsinx的定义域为R关于原点对称，又(T)sin(T)=xsinx,所以y=xsinx是偶函数，故D不符

合题意.

故选:B

4.A

【详解】因为。=(3,3),人(-2,5),

-6+1595/29

则向量a在向量〃上的投影的数量为

74+2529,

故选：A

5.A

【详解】设正六棱锥底面边长为。，则由正六边形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为。，

又正六棱锥高为I且侧棱长为0,根据正六棱锥的性质得力=必¥，解得〃=1，

所以侧面等腰三角形的高〃=

所以棱锥侧面积为S=6x-x«/z=6x-xlx.

2222

故选：A

6.C

【详解】由题意，在.46中，〃>=5,4C=7,ZX?=3,

由余弦定理得,

A£)24-£>C2-AC2_52+32-72_1

cos/.ADC=

2ADDC2x5x3--2,

・•・乙ADC=120。，

ZADB=18(F-ZADC,=6()0,

在△48。中，由正弦定理得,

「ADsinZADB

AB=-------------

sinB

故选：C.

［详解］/(x)=2cos2cox+\［?>sin2(ox-1=cos2(ox+旧sin2(t)x=2sinf2fwx+看

A：因为口〉0,所以由-=兀=&=1,因此本选项说法不正确；

2(0

B：由上可知：/(x)=2sin(2x+^),

_兀71

当xeO1时,2X+-€

6662j-L-2,2

因此函数/(“在O，g上为增函数，所以本选项说法不正确;

.o_

C：因为/g］=2sin2xg+，］=l02,

⑶I36J

所以直线.1=］不是函数y=/(x)图象的一条对称轴，因此本选项说法不正确:

Li、，「(5兀\,.(-5兀n\..

D：因为/［丘1=2511112乂万+不卜。，

所以点(1。)是函数y=/(x)图象的一个对称中心，因此本选项说法正确，

故选：D

8.A

【详解】设正三棱柱"C-AqG的外接球半径为/?,

贝|］4五2="兀，解得R=W3

33

设BC，BC的中点分别为连接AF，AH,

在AF,A”上分别取G.M,使得AG=2GF,AM=2MH,

故G,M分别为等边三角形A4G和等边三角形ABC的中心，

连接GW,则GM的中点即为正三棱柱"C-ABC的外接球球心。，

即。人=半，设正三楂柱ABC—AMG的高为人则GM=/i,0Mg

因为AB=2,所以A”=A8sin60°=G，AM=-AH=—,

33

则+AM2=OA2,解得，=4,

因为P为AG的中点，所以PF7/AM，又ABUA\B\,所以PF〃A8,

因为必平面A8G，/Wu平面A8G，所以依〃平面48G，

取的中点石，连接£F，则EF〃GB,同理可证所〃平面A8G，

因为M=b,PF,EFu平面PEF,所以平面PEF//平面4BG，

故当。在线段石厂上时，PQu平面。EF,故PQ//平面人“a，

2222

故点Q运动轨迹的长度为斯的长，EF=y]BiF+BiE=Vl+2=>75.

B

故选：A

9.ABD

【详解】i《Z1-2i)=ln4=：+2i=*+2i=i.

A：因为4的共桅复数为—i,所以本选项说法正确；

B：因为匕|=1,所以本选项说法正确;

C：因为z：=i2+=-i,所以本选项说法错误；

D：设复数句在复平面对应的点为P,设复数4在复平面对应的点为。(0,1),

因为上|=1,所以点。在以原点为圆心，半径为1的圆上，

式子卜-Z21表示复平面内P.Q两点的距离，

因此|z「Z21的最大值为J(o—0)2+(1—0)2+1=2,所以本选项说法正确，

故选:ABD

10.AC

【详解】观察图象得，1丁=]'生=学一?=3兀，得7=4兀，而3>0,所以/=:，

因为々*；+*=々+2履,4£2,所以e=g+2E,&cZ,又|时<5，所以*二g,

所以/(x)=2sin(J.r+m，故A正确：

­、,，「c27rll17i「兀2兀］.fl兀、\/3,

对于B,当时，-A-+-ey,—,所以singx+^Je—J,

所以f(x)w［后2］,即/(力的最大值是2,故B错误；

对干C,〃力的图象向右平移召个单位后为g(x)=2sin］；xT+百=2sin；x,

J、乙。J/N

则H(r)=2sin(—gx=-2singx=—g(x),故g(x)为奇函数，C正确：

对于D,令L+^=E,ZeZ得％=2履-名.AeZ,

233

即函数/(x)的零点为x=2E-g,攵eZ,令=wZ得x=2E,ZeZ,

即函数g(x)=2sin：x的零点为x=2尿、kwZ,

显然x=2E-丝AcZ与x=2E,kwZ无交集，

3

故f(x)与g(x)=2sin］没有相同的零点，D错误.

故选：AC

11.ABC

【详解】对于A：因为七五〃A5,所以律〃08,又48=2,E/=1,所以叮=03=1,则四边形OFE8为

平行四边形，

得0F〃EB,而0/0平面4C石，BEu平面3CE,所以。〃//平面4CE,故A正确；

对于B：因为D4_L/W,平面ABC。/平面A庄B,且平面ABC。。平面4人&?=八〃，人。在面A8C。内,

所以AO_L平面A庄8,B/u平面AFE8,则4。_1,区尸，

由A尸_1_8/，AD(AF=A,月。,从“(=平面八。尸，所以8产，平面AO尸，故B正确；

对于C：由A8〃EF,平面C",EFu平面CE产,可得A8//平面CE产.

则点A到平面C/)庄的距离等于8到平面CO庄的距离.

在，。砂中，由已知可得。后=。尸=所=1,则&0£F为等边三角形,

由对称性可知NBOE=NAOF=60°,OA=OF=OE=OB,

则》可与也是等边三角形，且边长均为1,知8E=M=I,BF=5ZBEF=120°,

由已知结合勾股定理求得CE=a,CF=2,EF=1,

则。。"回=三层=孝所以sin/C由中

k&lx巫=五,S

所以5的班.

244BEF224

设8到平面CQ正的距离为

1,

由%-叫e,»5XTX4XTXH解得“呼，故c正确;

△随厂外接圆的圆心为0,则矩形ABC。对角线长的一半为三棱锥C-比下外接球的半径，等于好,

2

3=2反，故D错误.

则二棱锥。-皿才外接球的体积为

36

故选：ABC.

12.-1

【详解】sin40°(tanl00-V3)

,。sin10。-Geos10。

=sin40°--------------------

cos100

2|-sin100--cosier

22

=sin40°•—----------------------

cos10°

_2sin40°sin(10°-60°)_2sin40°sin(-50°)

cos10°cos10°

-2sin40°cos40°-sin800-cos10°

--------------=--------=--------=-I

cos10°cos10°cos10°

故答案为：—1

13.8

【详解】由y=I(由=2sinm,5Mf(2-x)=2sin7c(2-x)=-2sin7U=-f(x),即y=2sin?u关于(1,0)对称;

rtly=.g(%)=—在(YO,1)上递增且值域为(0,+8)、(1,讨)上递增且值域为(―,0),且关于(1,0)对称;

1-X

又C)=2s呜=2=5

33

.1,根据对称性知:应)=-2=吗),

1---

2

所以y=g(x)、y=fM且X€[-2,4]的图象如下,

所以，在x=l的两侧各有4个交点，且4对交点分别关于(1,0)对称,

故任意两个对称的交点横坐标之和为2,所有交点的横坐标之和为8.

故答案为：8

【详解】•；AB1AC,AB=0AC=1,

由勾股定理得BC==2，

同理得3。=卡，;.BF=BD=m，

在A4CE中，AC=1,A£=AD=G，NCAE=30,

由余弦定理得CE2=AC2+AE2-2ACAECOS30=l+3-2xlxVJx—=1,

2

.\CF=CE=\,

在V8b中，BC=2,BF=a,CF=1,

CF2+BC2-BF2l+4-6_1

由余弦定理得cos/FC4=

2CFBC2x1x2--4

故答案为：4-

15.(1)。=(2,2)或)=(-2,-2)；

⑵*

【详解】(1)由题意，设6=然=仅,/1),

因为忖=2无，所以乒方=2五，所以九=±2,

所以8=(2,2)或〃=(—2,—2).

(2)因为伊-力)斗+6),

所以（5"2〃）.（a+〃）=0,所以5r+3a.〃-2/r=0,

即IO+M1-2x8=O，

ab21

设。与〃的夹角为巴则3*n丽=反运=5,

又。目（）,兀］,所以e=g,所以〃与〃的夹角

JJ

16.（1）证明见解析

⑵证明见解析

呜

【详解】（1）法一：取中点”，连接面，HF,

H,尸分别为&C,8/和4出中点.

/.HG//BC,HFHBA，'B/AB,从而HF〃AB,

“Gcz平面48C,Ma平面ABC,ACa平面ABC,ABa平面ABC,

HG〃平面ABC,HF〃平面/WC,”6<=平面//，HEu平面HGF,

•/HG与"尸在平面〃G£内且相交，，平面HGFH平面ABC,

GF^^HGF.:.GFH平ABC.

法二：连接与4,

尸为网中点.•.尸为"A中点,G为80中:.FGHCA,

CAu平面ABC,G〃（z平面ABC,「/G〃平面A8C.

（2）在直棱柱ABC-ASG中，Bq_L平面ABC,

，.・4。<=平面48。，，88114。，

不妨设AA=1,vAAi=AC=BC=^-AB,：.AC=BC=\,/仍=&，

.\CA2+CB2=AB2,:.AC工BC,

又•.・AC与BA，在平面BCC国内且相交，「.AC_L平面BCB£,

•.•人Cu平面ACB]，.:平面ACB11平面BCB|C.

(3)连接MB-

BBi±平面ABC,.•.直线BM为直线BM在平面ABC内的射影,

NB/MB是BM与平面ABC所成的角,

在.B&M中,BM=>JBC2+CM2=旧咚

故，山9=矗2

3,

17.⑴A=]

⑵出

2

【详解】(1)因为〃?〃=2(Z?+c),所以V5asinC+acosC=b+c,

所以V3siivlsinC+siiiAcosC=sinB+sinC,

所以\Z3sirt4sinC+sin4cosc=sinAcosC+cosAsinC+sinC,

所以V3sia4sinC=sinC(cosA+1),

,.•Ce(0,7r),sinCN0「.GsirL4-cosA=l,即2sin(=1,

又46(0,兀)，4一工£一工，工，故A-：=z，即A=z.

b\bbJ663

(2)8M=2MC，所以AM-AB=2(AC),

/.AM=-AB+—AC,

33

■.(\2Y12424

\AMf=\-AB+-AC\=-AB+-AC+-A8AC,

(33)999

又48="2疯4。=力,4〃=2,即河卜2,

2

/.4=-(26)2+-b^-b-2x/3cos-,

9993

:田+®-6=Q:.b=框或b=-2+(舍)，

故St八处℃.=—2bcsiihA=2.

18.(1)证明见解析；(2)f.

o

【详解】(1)因为=O是8。中点，所以。4_L4O,

因为。Au平面人肘），平面/WO_L平面8C。,

且平面ABOc平面8c£）=80,所以。4_L平面8CD.

因为CQu平面BCD,所以。4_LCD.

（2）［方法一］:通性通法一坐标法

如图所示，以。为坐标原点，3为z轴，OO为），轴，垂直。。且过。的直线为/轴，建立空间直角坐标

|2

设A(0,0,6),E(0,-,-in),

33

3

-,0）,

2

设。=（K乂z）为平面EBC的法向量，

EBn=（）厂2

则由可求得平面EBC的一个法向量为n=（-底1,--）.

BCn=Om

又平面4c。的一个法向量为。4=（（）,（）,/〃）,

，解得/〃=1.

又点C到平面ABD的距离为正,所以匕8。=%=Lx1x2x1x正=且,

2otuc-AHIJ3226

所以三棱锥A-8CD的体积为9.

［方法二］【最优解】：作出二面角的平面角

如图所示，作EG_L8。，垂足为点G.

作GrJ_AC,垂足为点忆连结E尸，则O4〃EG.

因为。41.平面AC。，所以石GJ•平面

N&G为二面角E-BC-。的平面角.

因为NEFG=45。，所以EG=R7.

由己知得03=8=1,故08=00=1.

又N0BC=N0CB=30。,所以5。=6.

24222

因为G/)=-,GB=-，尸G=-CD=—，EG=-.OA=1,

3

I111/o巧

VA.HCI)=-SHCI)XOA=-X2SHW.XOA=-X2X(-X^X\X\)X\=^.

［方法三］:三面角公式

考虑三面角B—E£)C,记NEBD为。,/EBC为0,NO8C=30°,

记二面角E—8C—O为。.据题意，得0=45。.

对。使用三面角的余弦公式，可得cos尸=cosacos30。，

化简可得cos/7=gcosa.①

使用三面角的正弦公式，可得鬻，化简可得si“=0sina.②

3

将①②两式平方后相加，可得;cos2a+2si!?a=\,

如图可知ae(0,5),即有